Giải các bất PT bậc hai... +Dựa vào BXD kết luậnChú ý: Phải cùng ,trái trái.
Trang 1BẤT ĐẲNG THỨC
DẠNG 1: Chứng minh bất đẳng thức A< B
Bài Tập 1: Chứng minh bất đẳng thức:
a) a4 + b4 ≥ a3b + ab3 , ∀a, b ∈ R b) a2 + b2 + 4 ≥ ab + 2(a + b) , ∀a, b ∈ R
c) 2(a5 + b5) ≥ (a2 + b2)(a3 + b3) , với a, b ≥ 0 d) 3 22 22; 0
3
a b
+
> > >
+
e) a3 + b3 ≥ a2b + ab2 ; với a, b ≥ 0 f) a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca , ∀a, b, c ∈ R
g) a2 + b(13b + a) ≥ 3b(a + b) , ∀a, b ∈ R h) 2 3
Bài Tập 2: Chứng minh bất đẳng thức( sử dụng BĐT cô si)
a) a b 2;a 0,b 0
+
a b c
4
a b c d
abcd a b c d
2
a b b c c a
g) (a + b)(ab + 1) ≥ 4ab, ∀a, b>0 h) (a b c ) 1 1 1;a 0,b 0,c 0
k) a b− +1 b a− ≤1 ab a b,∀ , >1
Bài tập 3: Tìm Giá trị nhỏ nhất của hàm số
a) y = x + 2 + 4
2
x+ với x≠2 b) y = x+5+
3
5 2
x+ − với x ≠ -1 và x > -5
c) y = 4x + 1
4x+2 với x ≠ -1/2 d) y =
y
= + với 0 < x < π/2 Bài tập 4: Tìm Giá trị lớn nhất của hàm số
e) với x, y, z > 0 và x + y z = 1 ; y =
f) Cho a ≥ 3; b ≥4, c ≥ 2; y = ab c 2 bc a 3 ac b 4
abc
DẤU NHỊ THỨC BẬC NHẤT
Bài tập 1: Xét dấu các biểu thức sau:
1/ f(x)=2x+3 2/f(x)=2-4x 3/f(x)=1-x 4/f(x)= 3x+1 5/y= 1
3
2
+
− x
6/ f(x)=(2x+3)(1-x) 7) f(x)=(2-x)x 8) f(x)=(1-x)(2-x)x 9/f(x)= (x+1)(5x+2)(3-x) 10/y=
x
x
− + −
x x+ 12/ y= 3 ( 2 1)
3 x x − 13/ y=x2− +3x 2 14/ y=x2−9 x 15 /y=5 4x x− + 2 16/ 2
f(x)= (x+1) (5x+2) 17/f(x)= (x-1) (4x+2) 3
Bài tập 2:Xét dấu các biểu thức thương các nhị thức sau:
1
x
f x
x
+
=
x
f x
x
= + 3)
9
f x
x
−
= 4 /f x( ) 2x2 9
x
+
=
5) ( ) ( 3)(3 2 )
1
f x
x
=
8
2
f x
x
+ 7)
2
3 4
x
f x
x
+
1
( )
2
f x
x
=
−
Trang 29) f x( ) 1
x
= 10) ( ) 1 1
2
f x
x
= −
( )
1
x
f x
−
+ + 12/
( ) 2
1
f x
= − −
−
−
2 3 2 ( )
1
+
2
f x
2
x
+ 17)
( )
f x
+ − 18)
( )
f x
19)
2 3 1 ( )
2
x
+ −
− 20)
9
2
x
+ 21)
2
( 1) ( 2) (3 2 ) ( )
(1 )
f x
x x
=
−
Bài tập 3:Giải các bất phương trình sau:
2 2
4
x− + <
3 1 2
−
9)
2 2 5
3 4
x x
+ + ≥ −
2 3 1 2
x x
+ − > −
− > −
9 4 2
x x
+ 13) ( ) ( ) ( )
0
≤
x ≥ x + x+ 15)x2 −7x+ <10 0
16) (− +x2 3x−2) (x2−5x+ ≥6) 0 17) 2 3 0
1 2
x
+ + <
2 2
− + ≤
x
+
2
0 30
− + >
− −
Bài tập 4: Giải các bất phương trình
1) x+ ≤1 2 2) 1− ≥x 2 3) 2x ≤3 4) 1≤ x 5) 1 4− x ≥2x+1 6) 2 5 1 0
3
x
x − + >
7) x 2 x 2
x
+ −
≥ 8) 2 x − − =x 3 3 9) x+ + − =2 x 1 5 10) x ≤2 x− + −4 x 2
11) x− − + <3 x 1 2 12) x+ ≤ − +1 x x 2
Bài tập 5: Giải các hệ bất phương trình sau:
1)
2 12 0
x
− − <
− >
0 2
x x x
<
+
− >
3)
2 9 0
3 0
x x
− <
+ ≥
1 1
0 1
x x
x
+
−
5)
2
2
2
3 0 1
2 0
x
x
+ >
+ <
− − <
6)
2 2 2
0 3
2 0
x
− + >
+ − <
Bài tập 6: Giải và biện luận các bất pt,hệ bất pt.
1) (m+2)mx >1 2).m x2 − ≥ +1 x m 3).(− 3x+1)(x m− ) 0> 4) 2 0
1
x
m
+
Trang 36) m(x-1)(2-x)>0 7) 2
0
4 0
m x x
− ≥
− >
0 1 0
m x x
+ ≥
10)
− >
>
Bài tập 7 Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình sau có nghiệm:
a)
2
+ − <
+ ≥
2
− − ≤
− − ≥
DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
Bài tập 1:Xét dấu các tam thức bậc hai:
1/f(x)=−x2 − 3x+ 4 2/f(x)=x2 − 4x+ 4 3/f(x)=x2 − 2x+ 3 4/f(x)=x2 − 4 5/f(x)=x2 + 2
6/f(x)=−x2 + 2x 7/f(x)= 2
2
1
x
− 8/f(x)=x2−2x−1 9/y= −x2 − 4x+ 1 10/y =x2 +x+ 1 11/
6 4
2 + +
−
y 12/.y= 2x2 13/ y=(1− 2)x2−2x−1 14) y=2(x+3)2−5 15) y= −(2x−1)2+4 16/.y= − 2x2+4x
Bài tập 2: Xét dấu các biểu thức tích,thương các tam thức (tích các tam thức với nhị thức) sau:
1/f(x)= (x - 4)(5x -4x-1) 2 2 2/f(x)= (x -3x+2) (12+x-x ) 2 2 3/f(x)= x (2-x-x )(x+2) 2 2 4/
2 2
( )
f x
=
( )
x
f x
− +
=
30
f x
=
− − 7/
2
f x
=
+ −
Bài tập 3 Giải các bất PT bậc hai.
1).− +x2 3x≤0 2) − − + >x2 3x 4 0 3).x2−5x+ ≤4 0 4).x2+ + >x 1 0 5)
2
x + x+ <
6) 2
x − x+ ≤ 7)x2−2(1+ 2)x+ +3 2 2 0> 8) 2
− − + ≤ 9) 2
4 0
x
− + ≤ 10)
2 14 0
x + < 11) 9−x2 >0 12) x2 ≤0 12/. 4x2− + <x 1 0 13/. −3x2+ + ≥x 4 0 14/.
x − − ≤x
Bài tập 4: Giải các hệ bất pt bậc hai
1)
2
2
12 0
1 0
x
− − <
− >
2 2
− − >
− − <
2 2
x x
− − <
− − ≥
2 2
5 0
+ + <
− + >
5)
2
2
2 2 2
− − ≤
− + >
7) 4 2 22 7 1
1
x
− −
+
8) 1 22 2 2 1
− −
2 2
− −
− < <
2 2 2
0 3
2 0
x
− + >
+ − <
11)
2 2
2 0 0
x x
− ≥
≤
12).(4−x2)(x2−4x+ ≤3) 0 13).(4−x)(− +x2 4x− ≥3) 0 14) 2
0
x
15) 22 2 0
x + + <x
− − 16) 2 2
0
+ − 17) (x− − +1)( x2 4x−3)(x2−4)(x2+ ≥1) 0
18) x4 + −x2 2x>0 19) 2x3+ − <x 1 0
Bài tập 5: Phương trình và bất phương trình có chứa trị tuyệt đối:
Trang 41) x2−5x+ = +4 x 4 2) x2−2x+ =8 x2−1 3) x2−5 x− − =1 1 0
4) 1− = + +x 1 x x3 5) x2− −1 2x<0 6) 1 4− x ≥2x+1
7) x2− + +3x 2 x2 >2x 8) 2x+ > −5 7 4x 9) 22 4 1
2
+ + 10)
2 2
1 4
x
1 0 3
x
x − + >
2 3
x
− + 13) x 2 x 2
x
+ −
2
2 1
x
x
2 2
1 5
≥ + − 16) 2 x − − =x 3 3
19) x− − + <3 x 1 2 20) x+ + − =2 x 1 5 21) x+ ≤ − +1 x x 2
Bài tập 6: Phương trình và bất phương trình có chứa căn :
1) x2+2x+ =4 2−x 2) 3x2−9x+ = −1 x 2 3) x2− −x 12 7< −x
21 4− x x− < +x 3 5) 2
1− +x 2x − − <3x 5 0 6) 2( 1)
2
x x
x
+ + <
− 7)
3
x
x
− + − >
− − − > + 9) 2 x 4x 3 2
x
− + − ≥ 10) x2+2x= −2x2−4x+3 11) (x+1) (x+2) =x2+3x−4 12) x2+3x+12 =x2+3x
13) 6 (x−2) (x−32) ≤x2−34x+48 14) x x( + ≤ − −3) 6 x2 3x
15)(x+4) (x+ −1) 3 x2+5x+ <2 6 16) x2−4x− ≥6 2x2− +8x 12
17) 2x x( − + >1 1) x2− +x 1 18) 2 2
3x +5x+ −7 3x +5x+ >2 1 19) (x−2) x2+ ≤4 x2−4
20) ( 2 )
2
x
x x
−
− 21) (x−3) x2+ ≤4 x2−9 22)
2 2
x
x
x− ≤ +
− 23) x6−4x3+ > −4 x 32 24) x+ −3 4 x− +1 x+ −8 6 x− =1 1
x x+ + − x − x+ > 26) x− −1 x− >2 x−3 27) 4 1 3
−
− >
−
−
− − − >
Bài tập 7: Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau:
y= x + x− − +x 2)
y
+ +
=
y
x y
−
Các dạng toán có chứa tham số:
Bài1: Tìm các giá trị của m để mỗi biểu thức sau luôn dương:
a) x2−4x m+ −5 b) x2−(m+2)x+8m+1 c) 2 ( )2
d) (3m+1)x2−(3m+1)x m+ +4 e)(m−1)x2−2(m+1)x+3(m−2)
Bài 2: Tìm các giá trị của m để mỗi biểu thức sau luôn âm:
a) (m−4)x2+(m+1)x+2m−1 b) (m+2)x2+5x−4 c) mx2−12x−5
d) − +x2 4(m+1)x+ −1 m2 e) 2 2
− + − − f)(m−2)x2−2(m−3)x m+ −1
Bài 3: Tìm các giá trị của tham số m để mỗi bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi giá trị x:
Trang 5c) ( )
2
2
0
2 2
0
Bài 4: Tìm các giá trị của m để phương trình:
a) x2+2(m+1)x+9m− =5 0 có hai nghiệm âm phân biệt
b) (m−2)x2−2mx m+ + =3 0 có hai nghiệm dương phân biệt.
c) (m− 5)x2−3mx m+ + =1 0 có hai nghiệm trái dấu
Bài 5: Tìm các giá trị của m sao cho phương trình :
4 1 2 2 2 1 0
a) vô nghiệm b) Có hai nghiệm phân biệt c) Có bốn nghiệm phân biệt
Bài 6 : Tìm các giá trị của m sao cho phương trình: ( ) 4 2 2
m− x −mx +m − = có ba nghiệm phân biệt
Bài 7: Cho phương trình: ( ) 4 ( ) 2
m− x − m+ x + m− = Tìm các giá trị của tham số m để pt trên có:
Bài 8: Xác định các giá trị của tham số m để mỗi bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x:
+ − <
2 2
1
− < <
− + −
Trang 6
+Dựa vào BXD kết luận
Chú ý: Phải cùng ,trái trái.
BT1:Xét dấu các biểu thức sau: a/ f(x)=2x+3 b/f(x)=2-4x
Giải hệ bất phương trình sau:
− ≥ +
+ > +
1 1
0 1
x x
x
+
−
3)
2 12 0
x
− − <
− >
2 2
− − >
− − <
5)
2
2
x x
− − <
− − ≥
2 2
5 0
+ + <
− + >
2
2
8)
2
2
2
− − ≤
− + >
9) 4 2 22 7 1
1
x
− −
2 2
1
− −
− +
11) 1 10 22 3 2 1
− −
− < <
2 2 2
0 3
2 0
x
− + >
+ − <
13)
2 2
4 2 2
3 0 1
2 0
2 0
x x
+ >
+ <
+ − ≥
− − <
Phương trình và bất phương trình có chứa trị tuyệt đối:
1) x2−5x+ = +4 x 4 2) x2−2x+ =8 x2−1 3) x2−5 x− − =1 1 0
Trang 74) 1− = + +x 1 x x3 5) x2− −1 2x<0 6) 1 4− x ≥2x+1
7) x2− + +3x 2 x2 >2x 8) 2x+ > −5 7 4x 9) 22 4 1
2
+ + 10)
2
2
1 4
x
1 0 3
x
x − + >
2 3
x
− + 13) x 2 x 2
x
+ −
2
2 1
x
x
2 2
1 5
≥ + − 16) 2 x − − =x 3 3 17)
2 2
x x
− + +
= + 18) x ≤2 x− + −4 x 2 19) x− − + <3 x 1 2 20)
2 2
1 2
≥ + − 21) x x− − >1 3x+ x 22)
2 2
x x
− −
≥
− 23) x+ + − =2 x 1 5 24) x+ ≤ − +1 x x 2
Các dạng toán có chứa tham số:
Bài1: Tìm các giá trị của m để mỗi biểu thức sau luôn dương:
a) x2−4x m+ −5 b) x2−(m+2)x+8m+1 c) 2 ( )2
Bài 2: Tìm các giá trị của m để mỗi biểu thức sau luôn âm:
a) (m−4)x2+(m+1)x+2m−1 b) (m+2)x2+5x−4 c) mx2−12x−5
d) − +x2 4(m+1)x+ −1 m2 e)− +x2 2m 2x−2m2−1 f)(m−2)x2−2(m−3)x m+ −1
Bài 3: Tìm các giá trị của tham số m để mỗi bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi giá trị x:
a) (m+1)x2−2(m−1)x+3m− ≥3 0 b) (m2 +4m−5)x2−2(m−1) x+ ≤2 0
2
2
0
2 2
0
Bài 4: Tìm các giá trị của m để phương trình:
x + m+ x+ m− = có hai nghiệm âm phân biệt
b) ( ) 2
m− x − mx m+ + = có hai nghiệm dương phân biệt.
m− x − mx m+ + = có hai nghiệm trái dấu
Bài 5: Tìm các giá trị của m sao cho phương trình :
4 1 2 2 2 1 0
a) vô nghiệm b) Có hai nghiệm phân biệt c) Có bốn nghiệm phân biệt
Bài 6 : Tìm các giá trị của m sao cho phương trình: (m−1)x4−mx2+m2− =1 0 có ba nghiệm phân biệt
Bài 7: Cho phương trình: (m−2)x4−2(m+1)x2+2m− =1 0 Tìm các giá trị của tham số m để pt trên có:
Bài 8: Xác định các giá trị của tham số m để mỗi bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x:
+ − <
2 2
1
− < <
2 2
5
+ +
− +
Bài 9: Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình sau vô nghiệm:
2 10 16 0
Bài 10: Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình sau có nghiệm:
a) ( )
2 2 15 0
+ − <
+ ≥
2 3 4 0
− − ≤
− − ≥