Bài giảng toán THSC

Các hàm số lượng giác y = sinx, y = cosx, y = tanx, y = cotx liên tục trên tập xác định của chúng Minh họa Hàm gián đoạn tại x = x0 Hàm bậc hai parabol Không gian mêtric Trong toán học,

Định lý Apolloni là định lý hình học phẳng cổ điển dược phát hiện bởi nhà toán học Apolloni (255 TCN-170 TCN) vào

khoảng năm 200 TCN

Phát biểu

Cho A và B là hai điểm trong mặt phẳng Euclide và r là một số dương khác 1 thì quĩ tích của các điểm P sao cho tỉ số các

độ dài AP/BP = r là một đường tròn

Lưu ý

• Đường tròn mô tả trong định lý còn được gọi là đường tròn Apolloni

• Dạng tổng quát của định lý trên dẫn tới định nghĩa của hình conic trong hình học không gian

Định lý Apéry là một định lý toán học mang tên nhà toán học người Pháp Roger Apéry (1916 - 1994) chứng minh ra nó

vào năm 1978

Phát biểu

Giá trị của hàm Riemann Zeta ζ(3) là số vô tỉ: =

(sequence A002117 in OEIS)(002117 in =53,772 m)

Lưu ý

ζ(3) là một chuỗi vô hạn nghịch đảo của lập phương (của các số nguyên đương)

Chứng minh ban đầu đã rất phức tạp và khó hiểu Sau đó, một chứng minh tương đối ngắn đã tìm thấy bởi ứng dụng của

đa thức Legendre

Kết quả hiện còn khá cô lập: người ta biết rất ít về ζ(n) trong đó n là các số lẻ khác Do tính chất quan trọng ζ(3) đã được

đặt tên là Hằng số Apéry

Đa thức Legendre

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Bước tới: menu, tìm kiếm

Trong toán học, các hàm Legendre là các hàm số thỏa mãn phương trình vi phân Legendre:

Phương trình vi phân này được đặt tên theo nhà toán học Pháp Adrien-Marie Legendre, và thường hay gặp trong vật lý học hay các ngành kỹ thuật Đặc biệt, nó xuất hiện trong việc giải phương trình Laplace trong hệ tọa độ cầu

Nghiệm của phương trình tồn tại khi |x| < 1 Tại x = ± 1 giá trị của nghiệm sẽ hữu hạn nếu n là số nguyên không âm, n =

0, 1, 2, Trong trường hợp này, các nghiệm tạo thành dãy đa thức của các đa thức trực giao gọi là đa thức Legendre

Một đa thức Legendre thường được ký hiệu là Pn(x) và là một đa thức bậc n Các đa thức này có thể được biểu diễn bằng công thức Rodrigues:

Tính chất

Tính trực giao

Các đa thức Legendre là trực giao với tích trong L2 trong khoảng −1 ≤ x ≤ 1:

với δmn là hàm delta Kronecker, bằng 1 nếu m = n và 0 nếu m ≠ n

Lý do của tính trực giao là phương trình vi phân Legendre có thể coi là một bài toán Sturm–Liouville

với các trị riêng λ tương ứng với n(n+1)

Tính đối xứng

Các đa thức Legendre thỏa mãn

Chuẩn hóa

Khi chuẩn hóa, giá trị của đa thức Legendre tại 1 là:

và, theo tính đối xứng ở trên, tại -1 là:

Trong đó, là không gian metric với phần tử là tất cả các hàm liên tục từ tới và metric được xác định bởi

công thức d(f,g) = maxX d(f(x),g(x)).

Tập con được gọi là bị chặn từng điểm nếu với mọi , tập hợp là bị chặn trong

Tập được gọi là liên tục đồng bậc trên nếu

Hàm liên tục

Ánh xạ từ X vào Y liên tục tại điểm x

U là lân cận của x trong X

Hàm liên tục tại một điểm x0 thuộc X là hàm số nhận lân cận của x0 là miền xác định và với mọi số ε bé tùy ý (ε>0) sẽ

luôn có tồn tại số δ>0 (phụ thuộc vào x0 và ε) sao cho mọi giá trị xi nằm trong khoảng |xi - x0| < δ đều cho |f(xi)-f(x0)| < ε

Hàm liên tục tại mọi điểm x0 thuộc X được gọi là hàm liên tục tại tập hợp X

Tính chất

1 Tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục tại một điểm là những hàm số liên tục tại điểm đó (trong trường hợp thương, giá trị của mẫu tại điểm đó phải khác 0) 2 Hàm đa thức và hàm phân thức hữu tỷ liên tục trên tập xác định của chúng 3 Các hàm số lượng giác y = sinx, y = cosx, y = tanx, y = cotx liên tục trên tập xác định của chúng

Minh họa

Hàm gián đoạn tại x = x0

Hàm bậc hai parabol

Không gian mêtric

Trong toán học, một không gian mêtric (tiếng Anh: metric space) là một tập hợp mà trong đó khái niệm về khoảng cách giữa các phần tử được định nghĩa Không gian mêtric gần nhất với hiểu biết trực quan của con người là không gian

Euclid ba chiều Mêtric Euclid của không gian này định nghĩa khoảng cách giữa hai điểm là độ dài đoạn thẳng nối chúng.Hình học của không gian phụ thuộc vào mêtric được chọn, và bằng các mêtric khác nhau, ta có thể xây dựng các hình họcphi Euclid thú vị, chẳng hạn như những loại hình học dùng trong thuyết tương đối rộng của Einstein.

Một không gian mêtric dẫn tới các tính chất tô pô như tập mở và tập đóng, những tính chất này dẫn đến nghiên cứu về các không gian tô pô còn trừu tượng hơn nữa

Định nghĩa

Cho tập hợp M và ánh xạ d : X × X → R thỏa mãn các điều kiện sau:

1 d(x, y) ≥ 0, với mọi x,y thuộc R; (tính chất không âm)

2 d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y;

3 d(x, y) = d(y, x), với mọi x,y thuộc R; (tính đối xứng)

4 d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), với mọi x,y,z thuộc R (bất đẳng thức tam giác)

Khi đó hàm d được gọi là hàm khoảng cách hay một mêtric trên tập X và (M,d) được gọi là một không gian mêtric Đôi khi, nếu đã ró ràng là đang sử dụng mêtric nào người ta chỉ viết M mà không kèm theo d.

Điều kiện thứ nhất trong bốn điều kiện trên có thể suy ra từ ba điều kiện sau vì:

2d(x, y) = d(x, y) + d(y, x) ≥ d(x,x) = 0.

Một số tài liệu đòi hỏi X phải là tập khác rỗng.

Không gian Metric xem như là không gian tôpô

The treatment of a metric space as a topological space is so consistent that it is almost a part of the definition

Với một điểm x bất kỳ trong không gian metric M ta định nghĩa một hình cầu mở bán kính r (>0) tâm x là tập

B(x; r) = {y in M : d(x,y) < r}.

Các hình cầu mở này sinh ra một tôpô trên M, và M trở thành không gian tôpô Cụ thể hơn,, một tập con của M được gọi

là mở nếu nó là hợp của (hữu hạn hoặc vô hạn) các hình cầu mở Phần bù của các tập mở được gọi là các tập đóng Một không gian tôpô có thể tạo ra từ cách này được gọi là không gian khả mêtric; xem trang Định lý mêtric hóa đẻ biết chi tiếthơn

Vì không gian mêtric cũng là không gian tôpô, ta cũng có khái niệm hàm liên tục giữa các không gian mêtric Định nghĩa này tương đương với định nghĩa dùng epsilon-delta cho tính liên tục

Các ví dụ về không gian metric

• Tập số thực với hàm khoảng cách d(x, y) = |y − x| , và tống quát hơn là Không gian Euclidean với khoảng cách Euclide, là không gian mêtric đầy đủ

• Tập số hữu tỷ với hàm khoảng cách như trên là không gian mêtric, nhưng không đầy đủ

• Không gian Hyperbolic

• Không gian định chuẩn là không gian metric nhờ định nghĩa d(x, y) = ||y − x|| (Nếu không gian như vậy là đầy, ta gọi nó là không gian Banach) Ví dụ:

o Không gian chuẩn Manhattan cho ta khoảng cách Manhattan, trong đó khoảng cách giữa hai điểm hoặc hai vetor bằng tống các độ lệch giữa các tọa độ tương ứng của chúng

o Chuẩn maximum cho ta khoảng cách Chebyshev hoặc khoảng cách bàn cờ vua, là số các bước đi ít nhất

của quân vua trên đường đi từ x tới y.

• Mêtric rời rạc, trong đó d(x,y)=1 với mọi x khác y và d(x,x)=0, là ví dụ đơn giản nhưng quan trọng có thể áp dụn

cho mọt tập khác rỗng Điều này nói lên rằng với mọi tập khác rỗng luôn có một không gian mêtric trên nó

• Mêtric British Rail (còn được gọi là mêtric Post Office) trên một không gian vetor định chuẩn, cho bởi d(x, y) = ||

x|| + ||y|| với các điểm phân biệt x ,y, và d(x, x) = 0 Tổng quát hơn ||.|| có thể thay bằng một hàm f từ một tập tùy ý

S vào tập số thực không âm và lấy giá trị 0 ở hầu hết điểm: khi đó một metric được định nghĩa trên S bởi d(x, y)=f(x)+f(y) cho các điểm phân biệt x và y, và d(x, x) = 0.

• Nếu X là một tập nào đó và M là một không gian metric, khi đó tập tất cả các hàm bị chặn f : X → M (nghĩa là ảnh

của các hàm này là các tập con bị chặn của M) có thể trở thành một không gian mêtric nhờ định nghĩa d(f, g) = supx trong X d(f(x), g(x)) với các hàm bị chặn f và g bất kỳ Nếu M là đầy đủ, thì không gian này cũng sẽ là đầy đủ

• Nếu M là một đa tạp Riemannian liên thông, thì có thể biến M thành một không gian mêtric bằng cách định nghĩa

khoăng cách giữa hai điểm là infimum của các đường đi (các đường cong khả vi liên tục)) nối chúng

• Nếu G là môth đồ thị vô hướng, thì tập V các đỉnh của G có thể trở thành không gian mêtric nhờ định nghĩa d(x,

y) là độ dài của đường đi ngắn nhất nối x và y.

Không gian tôpô

Không gian tôpô, hay không gian topo, là những cấu trúc cho phép người ta hình thức hóa các khái niệm như là sự hội

tụ, tính liên thông và tính liên tục Chúng xuất hiện hầu như trong tất cả mọi ngành của toán học hiện đại và là một khái niệm thống nhất có tính trọng tâm Ngành toán nghiên cứu về các không gian tôpô gọi là topology

Định nghĩa

Một không gian topo là một tập X cùng với một họ T của các tập con của X thỏa mãn các tiên đề sau đây:

1 Tập trống và X là thuộc T

2 Hợp của bất kì họ nào của các tập hợp trong T cũng thuộc T

3 Giao của bất kì cặp hai tập hợp nào trong T cũng thuộc T

Họ T được gọi là một topo trên X Các tập hợp trong T được gọi là các tập mở, và phần bù của chúng trong X được gọi là

các tập đóng Các phần tử của X được gọi là các điểm

Yêu cầu hợp của bất kì họ nào của các tập mở cũng là một tập mở là cao hơn việc chỉ đơn giản yêu cầu hợp của bất kì haitập mở là tập mở, bởi vì điều kiện sau bao gồm cả hợp của vô hạn các tập hợp

Bằng quy nạp, giao của bất kì họ hữu hạn nào của các tập mở cũng mở Do đó, bởi hợp của họ rỗng là tập rỗng, và giao

của họ rỗng là (bởi định nghĩa) X, một định nghĩa tương đương có thể đưa ra bằng các yêu cầu một topo là đóng dưới

phép hợp và phép giao hữu hạn

Ví dụ

X={1,2,3,4} và tập hợp T={{},{1,2,3,4}} gồm hai tập con của X tạo thành một không gian tôpô.

X={1,2,3,4} và tập hợp T={{},{1,2,3,4},{1},{1,2},{3,4},{1,3,4}} gồm năm tập con của X tạo thành một không gian tôpô.

So sánh các loại topo

Nhiều loại topo khác nhau có thể được đặt trên một tập hợp để tạo nên một không gian topo Khi mọi tập trong một topo

T1 cũng là một tập trong topo T2, ta nói rằng T2 là "mịn hơn" T1, và T1 là "thô hơn" T2 Một chứng minh chỉ dựa trên sự tồntại của một số loại tập mở nào đó cũng đúng cho bất kì topo nào mịn hơn, và tương tự như vậy một chứng minh chỉ dựa trên một số tập nào đó không mở cũng đúng cho bất cứ topo nào thô hơn Các từ "lớn hơn" và "nhỏ hơn" đôi lúc được sử dụng thay cho "mịn hơn" và "thô hơn" Các từ "mạnh hơn" và "yếu hơn" cũng được sử dụng trong sách vở, nhưng không được đồng ý bởi đại đa số về mặt ngữ nghĩa, do đó ta luôn luôn phải chắc chắn về cách sử dụng của tác giả khi đọc sách

Bộ sưu tập của tất các topo trên một tập cố định X tạo thành một lattice đầy đủ: nếu F = {Tα : α trong A} là một bộ sưu

tập các topo trên X, thì gặp của F là giao của F, và nối của F là gặp của một bộ sưu tập của các topo trên X chứa mọi phần

tử của F.

Ánh xạ liên tục

Một ánh xạ giữa hai không gian topo được nói là liên tục nếu như nghịch ảnh của mọi tập mở là mở Đây là một cố gắng

để nắm bắt trực giác về việc không có "vết đứt" hay "sự phân cách" trong hàm đó Một phép đồng phôi

(homeomorphism) là một song ánh liên tục và ánh xạ ngược của nó cũng liên tục Hai không gian gọi là "đồng phôi" nếu

như có một phép đồng phôi giữa chúng Dưới quan điểm topo, các không gian đồng phôi là như nhau

Phạm trù các không gian topo

- Xem các không gian topo như là các vật và các ánh xạ liên tục như là các cấu xạ thì họ các không gian topo lập thành một phạm trù, kí hiêu là Top Đây là một phạm trù cơ bản trong toán học Cố gắng phân loại các vật của phạm trù này (xêxích một phép đồng phôi) bởi các bất biến đã tạo ra nhiều lãnh vực nghiên cứu mới, như là lý thuyết đồng luân

(homotopy theory), lý thuyết đồng điều (homology theory) và K- Lý thuyết (K - theory), v.v.

Các định nghĩa tương đương

Có nhiều định nghĩa tương đương khác để định nghĩa một không gian tôpô Ví dụ, sử dụng các định luật de Morgan, các tiên đề định nghĩa tập mở trở thành các tiên đề định nghĩa các tập đóng:

1 Tập trống và X là đóng.

2 Giao của bất kì họ của các tập đóng nào cũng đóng

3 Hợp của bất kì cặp hai tập đóng nào cũng đóng

Sử dụng các tiên đề này có thể định nghĩa không gian tôpô là một tập X cùng với một họ T các tập con của X thỏa mãn

các tiên đề sau:

1 Tập rỗng và tập X thuộc T.

2 Giao của họ bất kỳ các tập thuộc họ T cũng thuộc họ T.

3 Hợp của hai tập thuộc họ T cũng thuộc họ T.

Theo định nghĩa này, các tập hợp trong tôpô T được gọi là các tập đóng, còn phần bù của chúng được gọi là các tập mở.

Một cách khác để định nghĩa một không gian tôpô là sử dụng các tiên đề bao đóng Kuratowski, định nghĩa các tập đóng như là những điểm bất động của một toán tử trên tập mũ của X (tập của các tập con của X)

Một lân cận của một điểm x là bất kì một tập nào chứa một tập mở có chứa x Hệ các lân cận tại x chứa tất cả các lân

cận của x Một topo có thể được xác định bởi một tập các tiên đề liên quan đến tất cả các hệ lân cận.

Một lưới là một sự tổng quát hóa khái niệm của dãy Một topo được xác định hoàn toàn nếu như với mọi lưới trong X tập hợp các điểm hội tụ (accumulation point) của nó được xác định

Ví dụ về các không gian topo

Một tập hợp cho trước có thể có nhiều tôpô trên đó Nếu như một tập được cho một tôpô khác, nó sẽ được xem như là một không gian tôpô khác Bất kì tập nào cũng có được cho tô pô rời rạc mà trong đó bất kì tập nào cũng mở Những dãy (hay lưới) hội tụ trong không gian này là những dãy (hay lưới) cuối cùng hằng số Cũng vậy, bất kì tập nào cũng được cho tôpô hiển nhiên (cũng còn được gọi là tôpô không rời rạc), mà trong đó chỉ có tập trống hay là toàn bộ không gian là

mở Mọi dãy và lưới và trong tôpô này hội tụ tới mỗi điểm trong không gian Ví dụ này cho thấy trong không gian tô pô tổng quát, giới hạn của chuỗi không nhất thiết là duy nhất

Có nhiều cách định nghĩa một tô pô trên R, tập hợp của các số thực Tô pô quy chuẩn trên R được tạo ra bởi các đoạn

mở Những đoạn mở này tạo thành một nền hay cơ sở cho topo đó, nghĩa là mọi tập mở là hợp của các tập mở cơ sở Tổng quát hơn, không gian Euclid Rn có thể được cho một topo Trong tô pô thông thường trên Rn các tập mở cơ sở là các quả cầu mở Tương tự như vậy, C và Cn có một tôpô quy chuẩn mà trong đó các tập mở cơ sở là các quả cầu mở

Mọi không gian metric có thể được cho một tôpô metric, mà trong đó các tập mở cơ sở là những quả cầu mở định nghĩa bởi metric đó Đây là tôpô quy chuẩn trên bất kì không gian vectơ định chuẩn nào

Nhiều tập hợp các toán tử trong giải tích hàm được trang bị với những tô pô định nghĩa bằng cách xác định khi nào thì một dãy của các hàm hội tụ đến hàm zero

Bất kì trường địa phương nào cũng có một topo bản chất của nó, và tôpô này có thể mở rộng ra không gian vectơ định nghĩa trên trường đó

Bất kì đa tạp nào cũng có to po tự nhiên bởi vì một cách địa phương chúng là Euclidean Tương tự như vậy, mỗi đơn hình

(simplex) và bất kì phức đơn hình (simplicial complex) thừa kế một tô pô tự nhiên từ Rn

Tô pô Zariski được định nghĩa một cách đại số trên phổ của một vành hay là một đa tạp đại số (algebraic variety) Trên

Rn hay Cn, tập hợp đóng của tôpô Zariski là tập hợp các nghiệm của hệ các phương trình đa thức

Một đồ thị tuyến tính có một to po tự nhiên tổng quát hóa nhiều khía cạnh hình học của đồ thị với các đỉnh và các cạnh.Không gian Sierpiński là không gian tô pô đơn giản không hiển nhiên, không rời rạc Nó có nhiều mối liên quan quan trọng đến lý thuyết máy tính và ngữ pháp

Bất kì tập vô hạn nào cũng có thể được cho tôpô cùng hữu hạn trong đó các tập mở là tập trống và những tập mà phần bù

là hữu hạn Đây là tô pô T1 nhỏ nhất trên bất kì tập vô hạn nào

Đường thẳng thực có thể được cho tôpô giới hạn dưới Ở đây, các tập mở cơ sở là các đoạn nửa mở [a, b) Topo này trên

R là thực sự mịn hơn topo Euclidean định nghĩa phía trên; một dãy hội tụ đến một điểm trong topo này nếu và chỉ nếu nó

hội tụ từ bên trên trong tô pô Euclidean Ví dụ này cho thấy một tập có thể có nhiều loại topo khác nhau định nghĩa trên đó

Nếu Γ là một số thứ tự, thì tập hợp [0, Γ] có thể được trang bị với topo thứ tự sản sinh từ các đoạn (a, b), với a và b là cácphần tử của Γ

Phân loại các không gian topo

Các không gian tô pô có thể được phân loại, chính xác đến một đồng phôi, bằng các tính chất tô pô của chúng Tính chất

tô pô là tính chất của không gian không thay đổi trong các phép biến đổi đồng phôi Để chứng minh hai không gian không đồng phôi, có thể tìm một tính chất tô pô mà chúng khác nhau Ví dụ như tính liên thông, tính compắc và dựa vào các tiên đề tách Xem thêm các tính chất tôpô

Các không gian topo với cấu trúc đại số

Đối với các đối tượng đại số thường có tôpô tự nhiên trên đó Tôpô này tương thích với các phép toán theo nghĩa các phép toán này là các ánh xạ liên tục Điều này dẫn tới các khái niệm như nhóm tôpô, không gian vectơ tôpô

Định lý Ascoli

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Bước tới: menu, tìm kiếm

Định lý này mang tên nhà toán học người Ý là Julio Ascoli (1843-1896)

Một họ F các ánh xạ từ 1 không gian topo X vào 1 không gian metric (Y,d) gọi là đồng liên tục tại p thuộc X nếu với ε >

0 cho trước, tồn tại 1 lân cận U của p sao cho d(f(p),f(x)) < ε với mọi f thuộc F và với mọi x thuộc U

Họ F gọi là liên tục đồng bậc nếu nó liên tục đồng bậc tại mọi điểm thuộc X

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Bước tới: menu, tìm kiếm

Định lý Banach-Steinhause mang tên hai nhà toán học Ba Lan Stefan Banach (1892-1945) và Hugo Steinhause

(1887-1972) Định lý này được tìm ra năm 1927 Nó còn được gọi là Nguyên lý cơ bản của tính bị chặn đều dùng trong giải tích hàm

Phát biểu

Một họ bị chặn từng điểm của các phép toán liên tục tuyến tính từ một không gian Banach đến một không gian tuyến tính chuẩn thì bị chặn đều.

Giải tích hàm

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Bước tới: menu, tìm kiếm

Giải tích hàm là một ngành của giải tích toán học nghiên cứu các không gian vector được trang bị thêm một cấu trúc

tôpô phù hợp và các toán tử tuyến tính liên tục giữa chúng Chính việc nghiên cứu phổ của các toán tử đã dẫn đến việc nghiên cứu các đại số topo, một đối tượng khác của giải tích hàm Các kết quả và phương pháp của nó thâm nhập vào nhiều ngành khác nhau như lý thuyết phương trình vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng, lý thuyết các bài toán cực trị và biến phân, phương pháp tính,lý thuyết biểu diễn, Ra đời vào những năm đầu của thế kỷ 20, bắt nguồn từ các công trình về phương trình tích phân của Hilbert, Fredholm, , đến nay giải tích hàm tích lũy được những thành tựu quantrọng và nó đã trở thành chuẩn mực trong việc nghiên cứu và trình bày các kiến thức toán học

Các khái niệm cơ bản của Giải tích hàm:

- Không gian vector tôpô lồi địa phương Đây có lẽ là loại không gian tổng quát nhất trong gải tích hàm

Các kg Frechet, định chuẩn, Banach, Hilbert, là các trường hợp riêng quan trọng của các kg vector tôpô lồi địa phương (sắp xếp theo thứ tự tính tổng quát giảm dần -> sự "tinh tế" tăng lên).

- Các toán tử tuyến tính liên tục giữa các không gian (còn gọi là đồng cấu) 2 trường hợp đặc biệt quan trọng là các phiếmhàm tuyến tính liên tục (dạng tuyến tính liên tục) và các tự đồng cấu

- Giống như với các không gian, ta có các đại số tương ứng Các đại số này dựa trên mô hình của đại số các tự đồng cấu,

vì thế nên lý thuyết tổng quát về các đại số còn được gọi là lý thuyết đại số toán tử Chú ý là khác với các không gian, cácđại số thường chỉ xét trên trường số phức Điều này là tự nhiên vì các tự đồng cấu chỉ có thể nghiên cứu "tốt" khi trường

cơ sở là đóng đại số Ngoài ra, dựa trên các tự đồng cấu tự liên hợp, người ta định nghĩa một lớp đại số định chuẩn rất quan trọng là các C*-đại số, không có sự tương ứng với các không gian!

Vào năm 1932, Banach xuất bản cuốn sách "Lý thuyết toán tử", nội dung bao gồm những kết quả được biết vào thời đó

về lý thuyết các không gian định chuẩn, đặc biệt là các định lý của Banach đã công bố trong các bài báo từ năm 1929 Cuốn sách này làm cho Giải tích hàm có một tác động như cuốn sách của Van der Waerden về đại số, được xuất bản hai năm trước đó Các nhà giải tích trên thế giới bắt đầu nhận thức được sức mạnh của phương pháp mới và áp dụng chúng vào các lĩnh vực khác nhau; các ký hiệu và thuật ngữ của Banach được chấp nhận rộng rãi, không gian định chuẩn đầy đủ được gọi là không gian Banach rồi chẳng bao lâu, lý thuyết này trở thành một phần bắt buộc trong chương trình đại học (Theo J Dieudonné (1981))

1922-Không gian định chuẩn

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

(đổi hướng từ Không gian tuyến tính chuẩn)

Bước tới: menu, tìm kiếm

Một không gian vectơ V trong ứng với mỗi phần tử x trong V có cách xác định một số thực ký hiệu là ||x|| và gọi là chuẩncủa x thỏa mãn 3 tính chất : 1.||x||>=0 ∀x thuộc X;||x||=0 <=> x=0(phần tử "KHÔNG "của không gian vector X) 2.||kx||=|k|.||x||,∀x thuộc X,k thuộc tập số thực R 3.||x+y||<=||x||+||y||,∀x,y thuộc X

được gọi là không gian định chuẩn.

Ví dụ

• Không gian hay với chuẩn là độ dài của vectơ

• Không gian các hàm số khả tích trên khoảng [0,1] với chuẩn

Không gian Banach

Trong toán học, không gian Banach, đặt theo tên Stefan Banach người nghiên cứu các không gian đó, là một trong những đối tượng trung tâm của nghiên cứu về giải tích hàm Nhiều không gian hàm vô hạn chiều xuất hiện trong các lĩnh vực khác nhau của giải tích là các ví dụ về các không gian Banach

Định nghĩa

Các không gian Banach được định nghĩa là các không gian vectơ định chuẩn đầy đủ Điều này nghĩa là một không gian Banach là một không gian vectơ V trên trường số thực hay số phức với một chuẩn ||·|| sao cho mọi dãy Cauchy (tương ứng với metric d(x, y) = ||x − y|| ) có giới hạn trong V

Các ví dụ

Sau đây, K kí hiệu cho trường R hoặc C.

• Không gian Euclid quen thuộc Kn , với chuẩn Euclid của x = (x1, , xn) được cho bởi ||x|| = (∑ |xi|2)1/2, là các không gian Banach

• Không gian của tất cả các hàm số liên tục f : [a, b]→ K định nghĩa trên một đoạn đóng [a, b] trở thành một không

gian Banach nếu ta định nghĩa chuẩn của hàm số như là ||f|| = sup { |f(x)| : x trong [a, b] } Đây thực sự là một

chuẩn bởi vì các hàm liên tục định nghĩa trên đoạn đóng thì bị chặn Không gian này là đầy đủ dưới chuẩn này

Theo định nghĩa, nó là một không gian Banach, được kí hiệu là C[a, b].

• Không gian C(X) của tất cả các hàm số liên tục X → K, với X là một không gian compact Với X là một không

gian topo bất kì, ký hiệu

B(X) là không gian của tất cả các hàm liên tục bị chặn với chuẩn

Có thể thay không gian tôpô X trong ví dụ này bằng một tập tùy ý Khi đó B(X) đuwocj xét là tậpcác hàm số bị chặn trên tập X với chuẩn được định nghĩa tương tự Trong tất cả những ví dụ này, ta có thể nhân các hàm

số với nhau và vẫn ở trong cùng một không gian đó: tất cả những ví dụ này thật ra là các đại số Banach có chứa đơn vị

• Nếu p ≥ 1 là một số thực, ta xét không gian của tất cả các dãy vô hạn (x1, x2, x3, ) của các phần tử trong K sao

cho ∑i |xi| p là hữu hạn Lũy thừa bậc 1/p của giá trị này được định nghĩa là chuẩn p của dãy đó Không gian cùng với chuẩn này là một không gian Banach; nó được kí hiệu là l p

• Không gian Banach l ∞ chứa tất cả các dãy x=(x_n) bị chặn với phần tử lấy từ K; chuẩn của một chuỗi như vậy là

supremum của các giá trị tuyệt đối của các phần tử trong chuỗi

• Một lần nữa, nếu p ≥ 1 là một số thực, ta có thể xét các hàm số f : [a, b] → K sao cho |f| p là khả tích Lebesgue

Lũy thừa bậc 1/p của tích phân này được định nghĩa là chuẩn của f Bản thân không gian này không phải là một

không gian định chuẩn bởi vì có những hàm số khác không với chuẩn là zero Chúng ta định nghĩa một quan hệ tương đương như sau: f và g là tương đương nếu và chỉ nếu chuẩn của f - g là zero Tập của các lớp tương đương sau đó tạo thành một không gian Banach; nó được kí hiệu là L p [a, b] Ở đây, sử dụng tích phân Lebesgue là điều

cốt yếu, bởi vì tích phân Riemann sẽ không đưa ra một không gian đầy đủ Những ví dụ này có thể tổng quát hóa; xem không gian L spacesp về các chi tiết

• Nếu X và Y là hai không gian Banach trên cùng một trường K, thì chúng ta có thể xây dựng tổng trực tiếp X ⊕ Y

Nó cũng là không gian Banach theo chuẩn được xác định chẳng hạn như ||(x,y)|| = ||x|| + ||y|| Cách xây dựng này

có thể tổng quát hóa thành tổng trực tiếp của một số bất kì các không gian Banach

• Nếu M là một không gian con đóng của một không gian Banach X, thì không gian thương X/M là một không gian

Banach

• Mọi không gian có tích vô hướng sẽ dẫn đến một chuẩn suy ra từ đó Không gian tích vô hướng này gọi là không gian Hilbert nếu chuẩn tương ứng là đầy đủ Do đó mọi không gian Hilbert là một không gian Banach do định nghĩa Điều ngược lại cũng đúng dưới một số điều kiện nhất định; xem bên dưới

2 A liên tục tại 1 điểm

3 A bị chặn, tức là A(M) là tập bị chặn trong W với mọi tập bị chặn M

Vì L(V, W) là một không gian vectơ, và bằng cách định nghĩa chuẩn ||A|| = sup { ||Ax|| : x trong V với ||x|| ≤ 1 } nó trở

thành một không gian Banach

Đặc biệt, không gian L(V) = L(V, V) còn là một đại số Banach có đơn vị với phép nhân là phép hợp của các phép biến đổi

tuyến tính

Không gian đối ngẫu

Nếu V là một không gian Banach và K là trường nền (hoặc là số thực hay là phức), thì bản thân K là một không gian

Banach (sử dụng giá trị tuyệt đối như là chuẩn) và ta có thể định nghĩa không gian đối ngẫu V′ như là V′ = L(V, K),

không gian của biến đổi tuyến tính liên tục vào K Không gian này lại là không gian Banach (với chuẩn của toán tử) Nó

có thể được sử dụng để định nghĩa một topo mới trên V: topo yếu

Chú ý rằng yêu cầu rằng các hàm phải liên tục là quan trọng; nếu V là vô hạn chiều, có những hàm tuyến tính nhưng

không liên tục, và do đó không bị chặn, do vậy không gian V* của các hàm tuyến tính vào K chưa phải là một không gian

Banach Không gian V* (có thể được gọi là không gian đối ngẫu đại số để phân biệt với V') cũng tạo ra một topo yếu và

mịn hơn topo tạo ra bởi đối ngẫu liên tục bởi vì V′⊆V*

Có một ánh xạ tự nhiên F từ V đến V′′ (đối ngẫu của đối ngẫu) định nghĩa bởi

F(x)(f) = f(x)

với tất cả x trong V và f trong V′ Vì F(x) là một biến đổi từ V′ sang K, nó là một phần tử của V′′ Ánh xạ F: x → F(x) do

đó là một biến đổi V → V′′ Như là một hệ quả của định lý Hahn-Banach, ánh xạ này là đơn ánh; nếu nó cũng là toàn ánh, thì không gian Banach V được gọi là có tính phản xạ Các không gian có tính phản xạ có nhiều tính chất hình học quan

trọng Một không gian là có tính phản xạ nếu và chỉ nếu không gian đối ngẫu của nó có tính phản xạ, đó là trường hợp nếu và chỉ nếu quả cầu đơn vị là compact trong topo yếu

Ví dụ, l p là có tính phản xạ với 1<p<∞ nhưng l 1 và l ∞ không có tính phản xạ Đối ngẫu của l p là l q với p và q liên hệ với nhau bởi công thức (1/p) + (1/q) = 1 Xem không gian L p để thêm chi tiết

Quan hệ với các không gian Hilbert

Như là được nói đến ở trên, mọi không gian Hilbert là một không gian Banach bởi vì, theo định nghĩa, một không gian

Hilbert là đầy đủ với chuẩn suy ra từ tích vô hướng, (chuẩn được suy ra từ tích vô hướng nghĩa là ||v||² = (v,v) với tất cả v.

Điều ngược lại không luôn luôn đúng; không phải không gian Banach nào cũng là không gian Hilbert Một điều kiện cần

và đủ cho một không gian Banach V có liên quan đến một tích vô hướng (mà cần có để làm V trở thành một không gian

Hilbert) là hằng đẳng thức hình bình hành:

||u+v||² + ||u-v||² = 2(||u||² + ||v||²)

với mọi u và v trong V, mà ||*|| là chuẩn trên V.

Nếu chuẩn của một không gian Banach thỏa mãn hằng đẳng thức này, tích vô hướng liên quan sẽ làm nó trở thành một

không gian Hilbert thông qua hằng đẳng thức phân cực Nếu V là một không gian Banach thực, thì hằng đẳng thức phân

cực là

(u,v) = (||u+v||² - ||u-v||²)/4

và nếu V là một không gian Banach phức, thì hằng đẳng thức phân cực được cho bởi

(u,v) = (||u+v||² - ||u-v||² + i(||u+iv||² - ||u-iv||²))

Điều kiện cần là dễ dàng từ định nghĩa của một tích vô hướng Để thấy điều kiện đủ —nghĩa là luật bình hành sẽ suy ra dạng định nghĩa bằng hằng đẳng thức phân cựa thật sự là một tích vô hướng đầy đủ—ta phải kiểm tra một cách đại số là dạng này là cộng với nhau được, từ đó bằng phép quy nạp dạng này là tuyến tính trên các số tự nhiên và số hữu tỉ Sau đóbởi vì mỗi số thực là giới hạn của một chuỗi Cauchy nào đó của các số hữu tỉ, tính đầy đủ của chuẩn mở rộng sự tuyến

tính lên toàn đường thẳng thực Trong trường hợp phức, ta có thể kiểm tra rằng dạng vô hướng đó là tuyến tính trên i

trong một tham số, và tuyến tính liên hợp trên tham số còn lại

Đạo hàm

Một vài khái niệm đạo hàm có thể được định nghĩa trên một không gian Banach Xem bài đạo hàm Fréchet và đạo hàm Gâteaux

Tổng quát hóa

Một số các không gian quan trọng khác trong giải tích hàm, ví dụ không gian tất cả các hàm khả vi vô số lần R → R hay

là không gian của tất cả các phân bố trên R, là đầy đủ nhưng không phải là các không gian vectơ định chuẩn và do vậy không phải là các không gian Banach Trong không gian Frechet ta vẫn có một metric đầy đủ, trong khi không gian LF là các không gian vec tơ thuần nhất đầy đủ phát sinh từ giới hạn của các không gian Fréchet

Định lý Banach-Tarski

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Bước tới: menu, tìm kiếm

Định lý Banach-Tarski nổi tiếng về kết quả "phi trực giác" của nó và thuờng được dùng để nhấn mạnh về sự bẽ gãy các

ý kiến của con người trên một thể tích Định lý này được phát biểu bởi hai nhà toán học người Ba Lan Stefan Banach (1892-1945) và Alfred Tarski (1901-1983) vào năm 1924

Trong trương hợp đặc biệt, nó chỉ ra rằng:

Một hình cầu đặc trong không gian Euclide 3 chiều có thể bị chia nhỏ ra làm một số hữu hạn các phần nhỏ mà sau đó lại được chuyển dịch để cấu trúc thành hai hình cầu có cùng một kích thước với hình cầu nguyên thủ.

Bổ đề Borel-Cantelli

Bổ đề Borel-Cantelli được phát biểu vào nửa đầu thế kỉ 20, được mang tên nhà toán học Pháp Emile Borel và nhà toán

học Ý Francesco Palo Cantelli Bổ đề này thường được dùng trong lý thuyết xác suất Nó còn được gọi là tiêu chuẩn

Borel cho luật không-một.

Lý thuyết này đề cập tới dãy các biến cố Trong một tương đối tổng quát hơn, nó cũng là một kết quả trong lý thuyết độ

đo (measurre theory)

Phát biểu

Cho (En) là một dãy các biến cố trong không gian xác suất, bổ đề Borel-Cantelli cho rằng:

Nếu tổng các xác suất của En là hữu hạn

thì xác suất để chúng xảy ra vô hạn là bằng không, nghĩa là

Ở đây, limsup là kí hiệu của giới hạn trên Lưu ý rằng không cần có giả thiết về sự độc lập (của các biến cố) Pr(X) là xác xuất của biến cố X

Thí dụ

Giả sử (Xn) là dãy các biến ngẫu nhiên, với Pr(Xn = 0) = 1/n2 cho mọi n Thế thì tổng của Pr(Xn = 0) là hữu hạn (thật ra nó

là π2/6 - xem Hàm Riemann zeta), thì bổ đề Borel-Cantelli kết luận rằng xác suất để Xn = 0 xảy ra một số nhiều vô hạn

các n là bằng 0.

Độ đo

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

(đổi hướng từ Lý thuyết độ đo)

Bước tới: menu, tìm kiếm

Trong toán học, một độ đo là một hàm số cho tương ứng một "chiều dài", một "thể tích" hoặc một "xác suất" với một phần nào đó của một tập hợp cho sẵn Nó là một khái niệm quan trọng trong giải tích và trong lý thuyết xác suất Một

cách hình thức, độ đo μ là một hàm số cho tương ứng mỗi phần tử S của một tập σ-đại số X với một giá trị μ(S) là một số

thực không âm hoặc vô hạn Các tính chất sau đây phải được thỏa mãn:

Các tính chất sau đây có được từ các tiên đề trên:

• Nếu E1,E2, là các tập đo được và E1 là tập con của E2, thì μ(E1) ≤ μ(E2)

• Nếu E1,E2,E3, là các tập đo được và En chứa trong En+1 với mọi n, vậy thì hợp E của các tập En là đo được và

μ(E) = lim μ(En)

• Nếu E1,E2,E3, là các tập đo được và En+1 chứa trong En với mọi n, vậy thì giao E của các tập En là đo được; hơn

nữa, nếu tồn tại một tập En có độ đo hữu hạn, thì μ(E) = lim μ(En)

Một tập S được gọi là hầu như rỗng hay có thể bỏ được nếu μ(S) = 0 Độ đo μ được gọi là đủ nếu mọi tập con của một

tập hầu như rỗng là đo được (một tập con như vậy thì bản thân nó cũng là một tập hầu như rỗng)

Ví dụ

Sau đây là một vài ví dụ tiêu biểu về độ đo:

• Độ đo đếm được định nghĩa bởi µ(S) = số phần tử của S.

• Độ đo Lebesgue là độ đo đủ duy nhất bất biến qua phép dịch chuyển trên σ-đại số chứa các các đoạn trên sao cho μ([a,b]) = b-a với a<b

• Độ đo Haar cho một nhóm khả tô pô compact địa phương là trường hợp đặc biệt quan trọng của độ đo (chính xác hơn là độ đo Radon) Nó bất biên đối với phép dịch chuyển trong nhóm

• Độ đo không được định nghĩa bởi μ(S) = 0 với mọi S.

• Mọi không gian khả xác suất đều cho phép định nghĩa một độ đo nhận giá trị bằng 1 cho tập hợp toàn thể (và cũng nhận tất cả các giá trị trong đoạn [0, 1]) Một độ đo như vậy được gọi là một độ đo xác suất Xem các tiên

đề xác suất

• Các khái niệm metric như độ dài, diện tích, thể tích đều là độ đo

Tổng quát

Trong một vài trường hợp, sẽ rất có ích nếu ta có một "độ đo" cho các giá trị không bị giới hạn chỉ ở các số thực dương

và ở vô hạn Ví dụ, một hàm σ-cộng tính được định nghĩa trên các tập hợp và cho các giá trị dương được gọi là "độ đo đảm bảo" (độ đo signée), trong khi một hàm cũng như vậy, nhưng cho giá trị là các giá trị phức, được gọi là "độ đo

phức" Một độ đo cho các giá trị trong một không gian Banach được gọi là "độ đo ảo" (độ đo spectrale) Các độ đo này được dùng chủ yếu trong giải tích hàm cho định lý ảo (định lí spectral).

Về khái niệm độ đo "cộng tính" hay "trung bình", định nghĩa tương tự như định nghĩa của độ đo nhưng tính σ-cộng tính được thay bởi tính cộng tính hữu hạn Thật ra trước đây định nghĩa này được đưa vào trước, nhưng lại có ít ứng dụng trong thực tế

Một kết quả đáng lưu ý trong hình tích phân, được biết dưới cái tên định lý Hadwiger, phát biểu rằng: không gian các bất biến hàm qua một phép biến đổi, cộng tính, là hàm số của các tập hợp không nhất thiết dương và được định nghĩa trênhợp của các tập compact lồi trong , được cấu thành từ các độ đo đồng nhất bậc k với mọi k = 0,1,2, ,n và tổ hợp tuyến tính của các "độ đo" này

Tính "đồng nhất bậc k" nghĩa là "mở rộng" bất kỳ một tập hợp nào đó bởi bất kỳ một hệ số c>0 nào đó cho nhân "độ đo" của tập hợp với c k Độ đo duy nhất có tính đồng nhất bậc n là thể tích thông thường với số chiều là n Độ đo duy nhất có tính đồng nhất bậc n-1 là "thể tích bề mặt" và được gọi là độ đo bề mặt Độ đo có tính đồng nhất bậc 1 được gọi là "chiều rộng trung bình" (largeur moyenne) Độ đo có tính đồng nhất bậc 0 là đặc trưng Euler.

Xác suất

Từ xác suất (probability) bắt nguồn từ chữ probare trong tiếng Latin và có nghĩa là "để chứng minh, để kiểm chứng"

Nói một cách đơn giản, probable là một trong nhiều từ dùng để chỉ những sự kiện hoặc kiến thức chưa chắc chắn, và

thường đi kèm với các từ như "có vẻ là", "mạo hiểm", "may rủi", "không chắc chắn" hay "nghi ngờ", tùy vào ngữ cảnh

"Cơ hội" (chance), "cá cược" (odds, bet) là những từ cho khái niệm tương tự Nếu lí thuyết cơ học (cơ học cổ điển) có

định nghĩa chính xác cho "công" và "lực", thì lí thuyết xác suất nhằm mục đích định nghĩa "khả năng"

Các giai đoạn lịch sử

Khoa học nghiên cứu về xác suất là một phát triển trong thời kỳ cận đại Việc chơi cờ bạc (gambling) cho chúng ta thấy rằng các ý niệm về xác suất đã có từ trước đây hàng nghìn năm, tuy nhiên các ý niệm đó được mô tả bởi toán học và sử dụng trong thực tế thì có muộn hơn rất nhiều

Hai nhà toán học Pierre de Fermat và Blaise Pascal là những người đầu tiên đặt nền móng cho học thuyết về xác suất vào năm (1654) Christiaan Huygens (1657) được biết đến như là người đầu tiên có công trong việc đưa xác suất thành một vấn đề nghiên cứu khoa học

Học thuyết chủ nghĩa về xác suất bắt đầu bằng những lần thư từ qua lại giữa Pierre de Fermat và Blaise Pascal (1654) Christiaan Huygens (1657) đã đưa ra những hiểu biết đầu tiên mang tính khoa học về vấn đề này Các cuốn Ars

Conjectandi của Jakob Bernoulli (sau khi chết, 1713) và Học thuyết chủ nghĩa cơ hội (Doctrine of Chances) của

Abraham de Moivre (1718) đã xem xét chủ đề như một chi nhánh của ngành toán học

Lý thuyết sai số (the theory of errors) có thể bắt đầu từ cuốn sách Opera Miscellanea của Roger Cotes (xuất bản sau khi

ông mất, 1722), nhưng lí thuyết này đã được áp dụng lần đầu tiên trong một luận văn của Thomas Simpson vào năm 1755

(in vào năm 1756) trong thảo luận về sai số xảy ra trong quan sát (errors of observation) Bản in lại (1757) của luận văn này đưa ra tiên đề rằng khả năng sai số âm và dương (positive and negative errors) là ngang nhau, "và rằng có các giới

hạn xác định được mà mọi sai số đều nằm trong các khoảng đó; các sai số liên tục được thảo luận và một đường cong xác

suất được đưa ra" (and that there are certain assignable limits within which all errors may be supposed to fall;

continuous errors are discussed and a probability curve is given).

Pierre-Simon Laplace (1774) đã thực hiện nỗ lực đầu tiên trong việc rút ra một qui luật từ việc kết hợp các quan sát từ các

nguyên lí của lí thuyết xác suất Ông đã giới thiệu định luật xác suất về sai số (the law of probability of errors) bằng một đường cong y = φ(x), x là một sai số bất kì và y là xác suất của lỗi đó, và đưa ra 3 thuộc tính cho đường cong này: (1) Nó

là đối xứng qua trục y; (2) trục x là đường tiệm cận, xác suất của sai số là 0; (3) diện tích vùng bao phủ là 1, thì một sai

số là tồn tại Ông cũng đã rút ra một công thức từ 3 quan sát đó Ông cũng đã đưa ra (1781) một công thức cho định luật

của điều kiện của sai số (the law of facility of error) (một thuật ngữ của Lagrange, 1774), nhưng công thức này dẫn đến

phương trình không thể giải quyết được Daniel Bernoulli (1778) đã giới thiệu nguyên lí của tích cực đại của các xác suất của một hệ thống sai số đồng thời

Phương pháp bình phương cực tiểu do Adrien-Marie Legendre (1805), giới thiệu trong cuốn Nouvelles méthodes pour la

détermination des orbites des comètes (Những Phương pháp mới để Xác định Quỹ đạo Sao chổi) Không biết đến đóng

góp của Legendre, Robert Adrain, một tác giả Mỹ gốc Ireland, chủ bút tạp chí The Analyst (1808), lần đầu đưa ra định luật điều kiện của sai số,

c và h là các hằng số phụ thuộc vào độ chính xác của quan sát.

Ông đưa ra hai chứng minh, chứng minh thứ hai về cơ bản giống với chứng minh của John Herschel (1850) Carl

Friedrich Gauss đưa ra chứng minh thứ nhất, dù chứng minh này có thể đã được biết đến ở châu Âu là chứng minh thứ basau Adrain, vào năm 1809 Các chứng minh tiếp theo đã được Laplace (1810, 1812), Gauss (1823), James Ivory (1825, 1826), Hagen (1837), Friedrich Bessel (1838), Donkin (1844, 1856) và Morgan Crofton (1870) đưa ra Các tác giả khác

đã đóng góp vào định luật này là Ellis (1844), Augustus De Morgan (1864), Glaisher (1872) và Giovanni Schiaparelli

(1875) Công thức của Peters (1856) về r, sai số xác suất của một quan sát, rất phổ biến.

Vào thế kỷ 19 các tác giả về lý thuyết xác suất có Laplace, Sylvestre Lacroix (1816), Littrow (1833), Adolphe Quetelet (1853), Richard Dedekind (1860), Helmert (1872), Hermann Laurent (1873), Liagre, Didion và Karl Pearson Augustus

De Morgan và George Boole đã đóng góp vào việc giải thích lý thuyết xác suất

Về mặt hình học (xem hình học giải tích) các tác giả có ảnh hưởng lớn là Miller, Crofton, McColl, Wolstenholme,

Watson và Artemas Martin

Khái niệm

Về cơ bản có một tập hợp những quy luật toán để có thể biến đổi các giá trị cuả xác suất; những quy luật nầy sẽ được liệt

kê ra trong phần "Sự hình thành cuả xác suất" dưới đâỵ (Có một số các quy luật được khác dùng để định lượng sự ngẫu nhiên như trong lý thuyết Dempster-Shafer và lý thuyết khả tạo nhưng những quy luật này thì khác biệt từ bản chất và không tương hợp với cách hiểu thông thưòng các định luật về xác suất Tuy nhiên, người ta vẫn còn tranh biện về những đối tượng chính xác nào mà trên đó những quy luật này được áp dụng Đây là đầu đề của những diễn dịch cuả xác suất

Ý tưởng chung của xác suất thường được chia thành 2 khái niệm liên quan:

• Xác suất may rủi (aleatory probability), đề cập đến khả năng xảy ra của các sự kiện trong tương lai mà khả năng

xảy ra của các sự kiện này phụ thuộc vào một hiện tượng vật lí nào đó mang tính ngẫu nhiên Khái niệm này còn

được chia ra thành (1) các hiện tượng vật lí, về cơ bản, có thể dự đoán được khi có đủ thông tin và (2) các hiện tượng không thể dự đoán được Ví dụ của loại trước là việc thả một con xúc sắc hay quay một bánh xe roulette; ví

dụ của loại sau là sự phân rã hạt nhân

• Xác xuất trong tri thức (epistemic probability), đề cập đến sự không chắc chắn của chúng ta về một mệnh đề nào

đó vì thiếu thông tin cung cấp để suy luận Ví dụ việc xác định khả năng một nghi phạm là có phạm tội, dựa trên các chứng cứ cung cấp

Sự hình thành xác suất

Như các lý thuyết khác, lý thuyết xác suất là một biễu diễn của khái niệm xác suất bằng các thuật ngữ hình thức - nghĩa làcác thuật ngữ mà có thể xác định một cách độc lập với ý nghĩa của nó Các thuật ngữ hình thức này được thao tác bởi các qui luật toán học và logic, và kết quả thu được sẽ được chuyển dịch trở lại miền (domain) của bài toán

Có hai hướng công thức hóa xác suất đã thành công là sự hình thành công thức Kolmogorov và sự hình thành công thức Cox Trong công thức của Kolmogorov, các tập được hiểu là các sự kiện và xác suất chính là một phép đo trên một lớp các tập đó.

Trong công thức của Cox, xác suất được xem là cái cơ bản (primitive - không thể phân tích thêm được nữa) và tập trung nghiên cứu vào việc xây dựng một phép gán tốt các giá trị xác suất đến các mệnh đề Trong cả 2 trường hợp, các định luật về xác suất là như nhau, ngoại trừ yếu tố chi tiết kĩ thuật:

1 xác suất là một giá trị số trong khoảng 0 và 1;

2 xác suất của một sự kiện hay mệnh đề và phần bù của nó cọng lại phải bằng 1; và

3 xác suất kết hợp của hai sự kiện hay hai mệnh đề là tích của các xác suất của một trong chúng và xác xuất của cái thứ hai với điều kiện biết cái trước xảy ra

Cách biểu diễn và chuyển đổi các giá trị xác suất

Xác suất của một sự kiện thương được biễu diễn bằng số thực trong khoảng 0 và 1, bao gồm 2 giá trị biên Và một sự kiện không thể xảy ra thì có xác suất là 0, còn một sự kiện chắc chắn thì có xác suất là 1, nhưng điều ngược lại không đúng Sự khác biệt giữa "chắc chắn" và "xác suất xảy ra 1" là rất quan trọng

Hầu hết các giá trị xác suất xảy ra trong thực tế là giữa 0 và 1

Sự phân bố

Một phân bố xác suất là một hàm số nhằm gán các giá trị (gọi là xác suất) cho các sự kiện Các giá trị số này đặc trưng cho khả năng xảy ra của các sự kiện Với một tập bất kì các sự kiện, có rất nhiều cách để gán các xác suất, và thường dựa vào sự lựa chọn loại phân bố của các sự kiện đang xem xét

Có nhiều cách để chỉ định một phân bố xác suất Thông thường nhất có lẽ là chỉ định một hàm mật độ xác suất

(probability density function) Từ đó, xác suất của một sự kiện sẽ được bằng cách lấy tích phân hàm mật độ Tuy nhiên,

hàm phân bố cũng có thể được chỉ định rõ trực tiếp Trong trường hợp chỉ có một biến (hay một chiều), thì hàm phân bố được gọi là hàm phân bố tích lũy (cumulative distribution function) Phân bố xác suất cũng có thể được chỉ định thông qua các giá trị mômen hay hàm đặc trưng (characteristic function), hay các cách khác nữa

Một phân bố được gọi là phân bố rời rạc nếu nó được định ra trên một tập rời rạc, đếm được; ví dụ tập các số nguyên Một phân bố được gọi là phân bố liên tục nếu nó được định ra trên một tập vô hạn, không đếm được.

Hầu hết các phân bố trong các ứng dụng thực tế đều hoặc là một trong hai, nhưng có một số ví dụ về phân bố bao gồm của cả 2, gọi là phân bố hỗn hợp

Các phân bố rời rạc quan trọng bao gồm phân bố đồng nhất, phân bố Poisson, phân bố nhị thức, phân bố nhị thức âm và phân bố Maxwell-Boltzmann

Các phân bố liên tục quan trọng bao gồm phân bố chuẩn (hay còn gọi là phân bố Gauss), phân bố gamma, phân bố-t của Student (Student's t-distribution), và phân bố hàm mũ (exponential distribution)

Xác suất với toán học

Tiên đề xác suất tạo thành nền tảng cho lý thuyết xác suất Việc tính toán các xác suất thường dựa vào phép tổ hợp hoặc

áp dụng trực tiếp các tiên đề Các ứng dụng xác suất bao gồm thống kê, nó dựa vào ý tưởng phân bố xác suất và định lý giới hạn trung tâm

Để minh họa, ta xem việc tung một đồng xu cân đối Về mặt trực quan, xác xuất để head xuất hiện phía trên là 50%;

nhưng phát biểu này thiếu tính toán học - Vậy con số 50% có ý nghĩa thực sự thế nào trong ví dụ này?

Một hướng là dùng định luật số lớn Giả sử là ta thực hiện một số lần gieo đồng xu, với mỗi lần gieo là độc lập nhau -

nghĩa là, kết quả của 2 lần gieo khác nhau là độc lập nhau Nếu ta tiến hành N lần gieo (trials), và đặt NH là số lần mà mặt

head xuất hiện, thì với tỉ lệ NH/N.

Khi số lần gieo N trở nên lớn, ta kì vọng rằng tỉ lệ NH/N sẽ tiến gần hơn đến giá trị 1/2 Điều này cho phép ta định nghĩa xác suất Pr(H) của mặt head xuất hiện là giới hạn, khi N tiến ra vô cùng, của chuỗi các tỉ lệ này:

Trong thực tế, dĩ nhiên ta không thể tiến hành vô hạn lần các lần gieo được; vì thế, nói chung công thức này áp dụng

chính xác cho tình huống khi mà chúng ta biết được một xác xuất cho sắn (a priori) cho một kết quả đầu ra nào đó (mà trong ví dụ này là thông tin đồng xu cân đối) Khi đó, định luật số lớn phát biểu rằng, khi cho biết Pr(H), và với một số nhỏ bất kì ε, luôn tồn tại một giá trị n sao cho với mọi N > n,

Khía cạnh thông tin cho sẵn a priori của hướng tiếp cận này đôi khi gặp khó khăn trong thực tiễn Ví dụ, trong với kịch

Rosencrantz and Guildenstern are Dead của Tom Stoppard, một nhân vật gieo đồng xu mà luôn xuất hiện mặt head, sau

100 lần gieo Ông ta không thể xác định đây là sự kiện ngẫu nhiên hay không - vì dù sao, điều này vẫn có thể xảy ra với đồng xu cân đối (dù hiếm)

Những chú ý khi tính toán xác suất

Khó khăn trong việc tính toán xác suất nằm ở việc xác định số sự kiện có thể xảy ra (possible events): đếm số lần xuất hiện của mỗi sự kiện, và đếm số lượng sự kiện có thể xảy ra đó Đặc biệt khó khăn trong việc rút ra một kết luận có ý nghĩa từ các xác suất tính được Một bài toán đố thú vị, bài toán Monty Hall sẽ cho thấy điều này

Để học thêm về cơ bản của lí thuyết xác suất, xem bài viết về tiên đề xác suất và định lý Bayes giải thích việc sử dụng xác suất có điều kiện trong trường hợp sự xuất hiện của 2 sự kiện là có liên quan nhau

Ứng dụng của xác suất với đời sống hàng ngày

Ảnh hưởng chính của lý thuyết xác xuất trong cuộc sống hằng ngày đó là việc xác định rủi ro và trong buôn bán hàng hóa Chính phủ cũng áp dụng các phương pháp xác suất để điều tiết môi trường hay còn gọi là phân tích đường lối.

Lý thuyết trò chơi cũng dựa trên nền tảng xác suất Một ứng dụng khác là trong xác định độ tin cậy Nhiều sản phẩm tiêu dùng như xe hơi, đồ điện tử sử dụng lý thuyết độ tin cậy trong thiết kế sản phẩm để giảm thiểu xác suất hỏng hóc Xác suất hư hỏng cũng gắn liền với sự bảo hành của sản phẩm

Không gian xác suất

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Bước tới: menu, tìm kiếm

Trong toán học, không gian xác suất là nền tảng của lý thuyết xác suất

Định nghĩa

Một không gian xác suất (Ω, F, P) là một không gian được trang bị một độ đo với độ đo toàn thể bằng 1 (nghĩa là

P(Ω)=1).

Thành phần đầu, Ω (xem không gian mẫu), là một tập không rỗng, với các phần tử thường được biết như là các "kết quả"

hay "trạng thái tự nhiên" (ví dụ trạng thái sấp hay ngửa của đồng tiền, ) Một trạng thái tự nhiên luôn tồn tại với một xácsuất nào đó Một phần tử của Ω thường được ký hiệu bởi ω

Thành phần thứ hai, F, là một tập hợp mà các phần tử của nó được gọi là các sự kiện (event) Các sự kiện là các tập con của Ω Tập F phải thỏa mãn một vài điều kiện, đặc biết nó phải là một σ-đại số Cùng với nhau, Ω và F tạo thành một

không gian đo được Một sự kiện là một tập hợp các kết quả hay trạng thái tự nhiên mà ta có thể xác định xác suất của nó

Thành phần thứ ba, P, được gọi là "độ đo xác suất", hay "xác suất" Nó là một hàm số từ F vào tập số thực, cho tương

ứng mỗi sự kiện với một xác suất có giá trị nằm giữa 0 và 1 Nó cần thỏa mãn các điều kiện, đó là nó phải là một độ đo

và P(Ω)=1.

Các độ đo xác suất thường được viết đậm có gạch, ví dụ hay Khi chỉ có một độ đo xác suất được đề cập trong bài,

nó thường được kí hiệu là Pr, nghĩa là "probability of "

Ví dụ

Ta tung một đồng tiền cân bằng, khi đó các kết quả là sấp (S) và ngửa (N) Các sự kiện là

• {S} sấp, xác suất là 0.5

• {N} ngửa, xác suất là 0.5

• { }=∅ không sấp cũng không ngửa, xác suất là 0

• {S,N} sấp hoặc ngửa, chính là tập mẹ Ω, có xác suất là 1.

Nếu một số ngẫu nhiên Z được lấy theo phân phối bình thường, thì tập hợp các kết quả là các số thực Ta có thể lấy ví dụ

về sự kiện như sự kiện Z là một số dương Lưu ý không phải bất kỳ tập con nào của R cũng là các sự kiện Ở đây, các sự

kiện phải là các tập số thực đo được Lebesgue hoặc đo được Borel

Điều này cho thấy không phải tất cả các tập kết quả đều nhất thiết là các sự kiện Nếu Ω là một tập đếm được, thì sẽ

không có vấn đề gì nếu lấy F là tập tất cả các tập con của Ω.

Một vài khái niệm khác

Biến ngẫu nhiên

Một biến ngẫu nhiên là một hàm từ Ω đến một tập hợp khác, thông thường là tập các số thực Đặc biết, nó phải là một hàm đo được Điều này có nghĩa là, ví dụ, nếu X là một biến ngẫu nhiên thực, thì tập hợp các kết quả sao cho X là dương,{ω∈Ω:X(ω)>0}, phải là một sự kiện

Người ta thường tóm gọn cách viết {ω∈Ω:X(ω)>0} thành {X>0} và viết P(X>0) thay vì viết P({X>0})

Độc lập

Hai sự kiện, A và B được gọi là độc lập nếu P(A∩B)=P(A)P(B).

Hai biến ngẫu nhiên, X và Y, được gọi là độc lập nhau nếu bất kì sự kiện nào xác định bởi X là độc lập với mọi sự kiện xác định bởi Y Một cách hình thức, chúng sinh ra các σ-đại số độc lập, trong đó hai σ-đại số G và H, là các tập con của F được gọi là độc lập nếu mọi phần tử của G là độc lập với mọi phần tử của H.

Khái niệm độc lập là nơi bắt nguồn của lý thuyết xác suất từ lý thuyết độ đo

Loại trừ lẫn nhau

Hai sự kiện, A và B được gọi là loại trừ lẫn nhau hay "rời rạc" nếu P(A∩B)=0 (yếu hơn khái niệm A∩B=∅, vốn là định

nghĩa rời rạc của các tập hợp)

Nếu A và B là các sự kiện rời rạc nhau, thì P(A∪B)=P(A)+P(B) Điều này vẫn đúng cho một dãy (hữu hạn hoặc vô hạn

đếm được) các sự kiện Tuy nhiên, điều này không co nghĩa là xác suất của hợp không đếm được các sự kiện bằng tổng các xác suất Ví dụ, nếu Z là một biến ngẫu nhiên phân phối bình thường, thì P(Z=x) bằng 0 với mọi x, nhưng P(Z là số thực)=1

Sự kiện A∩B nghĩa là A và B, và sự kiện A∪B nghĩa là A hoặc B.

P(AB)=P(A)*P(B)

Định lí Ceva

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Bước tới: menu, tìm kiếm

Định lí Ceva (trường hợp 1: ba đường thẳng đồng qui tại điểm O bên trong đường tròn

Định lí Ceva (trường hợp 1: ba đường thẳng đồng qui tại điểm O bên ngoài đường tròn

Định lí Ceva là một định lí phổ biến trong hình học cơ bản Cho một tam giác ABC, các điểm D, E, và F lần lượt nằm

trên các đường thẳng BC, CA, và AB Định lí phát biểu rằng các đường thẳng AD, BE và CF là những đường thẳng đồng qui khi và chỉ khi:

Ngoài ra, định lí Ceva còn được phát biểu một cách tương đương trong lượng giác rằng: AD,BE,CF đồng qui khi và chỉ

khi

.Định lí được chứng minh lần đầu tiên bởi Giovanni Ceva trong tác phẩm De lineis rectis viết năm 1678 của Ông

Một Cevian là một đoạn thẳng nối một đỉnh tam giác với một điểm nằm ở phía đối diện.

Nhân ba đẳng thức trên cho ta:

(điều phải chứng minh)

Ngược lại, giả sử rằng ta đã có những điểm D, E và F thỏa mãn đẳng thức Gọi giao điểm của AD và BE là O, và gọi giao điểm của CO và AB là F' Theo chứng minh trên,

Kết hợp với đẳng thức trên, ta nhận được:

Thêm 1 vào mỗi vế và chú ý rằng AF'' + F''B = AF + FB = AB, ta có

Do đó F''B = FB, vậy F và F'' trùng nhau Vì vậy AD, BE và CF=CF'' đồng qui tại O, và định lí đã được chứng minh (là

đúng theo cả hai chiều)

Công thức Heron

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Bước tới: menu, tìm kiếm

Một tam giác với ba cạnh a, b, và c.

Trong hình học, Công thức Heron cho rằng diện tích (S) của một tam giác có độ dài 3 cạnh lần lượt là a, b, và c là

với p là nửa chu vi của tam giác:

Công thức Heron còn có thể được viết:

Lịch sử

Công thức này mang tên nhà toán học Heron của Alexandria, và cách chứng minh có thể tìm thấy trong cuốn sách của

ông, Metrica, được viết vào khoảng năm 60 sau công nguyên Có lẽ Archimedes đã biết công thức này, bởi vì Metrica là

tuyển tập các kiến thức toán học có sẵn ở thế giới cổ đại Vì thế, cuốn sách này có lẽ là nguồn tham khảo của thời kì trước [1]

Một công thức tương đương với Heron có nội dung:

được phát hiện bởi người Trung Quốc độc lập với người Hy Lạp Nó được xuất bản trong cuốn sách Sổ thư cửu chương, được viết bởi Tần Cửu Thiều và xuất bản vào năm 1247 sau công nguyên

Chứng minh

Một cách chứng minh hiện đại, bằng cách sử dụng đại số và lượng giác và khá lạ so với cách chứng minh của Heron Gọi

a, b, c lần lượt là 3 cạnh của tam giác và A, B, C lần lượt là các góc đối diện của các cạnh Theo hệ quả định lí cosin, ta có:

Từ đó:

.Dựa vào đường cao và sin của góc C Ta có công thức tính diện tích tam giác ABC:

Tới đây công thức đã được chứng minh

Tam giác Heron

Trong Hình học, một tam giác Heron là một tam giác mà độ dài ba cạnh và diện tích của nó đều là các số hữu tỉ Nó được đặt theo tên của nhà toán học Hy Lạp Heron

Chi tiết

Bất kì một tam giác nào có độ dài ba cạnh tạo thành một bộ ba số Pythagore đều là một tam giác Heron, vì ba cạnh của

nó đều là ba số nguyên của một bộ ba số Pythagore, và diện tích của nó bằng một nửa tích hai cạnh góc vuông

Một tam giác với độ dài ba cạnh c, e và b + d, với chiều cao a.

Một ví dụ cho một tam giác Heron không phải là tam giác vuông là một tam giác có độ dài ba cạnh bằng 5, 5 và 6, với diện tích là 12; tam giác này thu được bởi ghép hai tam giác có độ dài ba cạnh là 3, 4, 5 dọc theo cạnh có độ dài bằng 4 Phương pháp tổng quát cho cách làm này được minh họa ở hình bên: Lấy một tam giác với độ dài ba cạnh là một bộ ba

Pythagore a, b, c (c là số lớn nhất); một tam giác khác có độ dài ba cạnh là một bộ ba số Pythagore a, d, e khác (e là số lớn nhất), ghép chúng lại dọc theo cạnh có độ dài là a để được một tam giác có độ dài ba cạnh là các số nguyên c, e,

b + d, và có diện tích là một số nguyên:

(một nửa cạnh đáy nhân với chiều cao)

Một câu hỏi thú vị đặt ra là liệu tất cả các tam giác Heron đều có thể được tạo ra bởi cách ghép hai tam giác vuông như trình bày ở trên không? Câu trả lời là không Nếu ta lấy một tam giác Heron với độ dài ba cạnh 0,5; 0,5 và 0,6, rõ ràng nó không thể được ghép từ hai tam giác với độ dài ba cạnh đều nguyên Hoặc một ví dụ khác tường minh hơn, là lấy một tam giác với độ dài các cạnh 5, 29, 30 với diện tích 72, thì lại không có đường cao nào của nó là một số nguyên

Công thức về cạnh cho các tam giác Heron

Công thức sau cho ta mọi tam giác Heron:

với m, n và k là các số hữu tỉ, a, b và c là độ dài ba cạnh tam giác đó.

Định lý lớn Fermat

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Bước tới: menu, tìm kiếm

Pierre de Fermat

Phương trình

Định lý cuối của Fermat (hay còn gọi là Định lý lớn Fermat) là một trong những định lý nổi tiếng trong lịch sử toán

học Định lý này phát biểu như sau:

Không tồn tại các nghiệm nguyên khác không x, y, và z thoả x n + y n = z n trong đó n là một số nguyên lớn hơn 2.

Định lý này đã làm hao mòn không biết bao bộ óc vĩ đại của các nhà toán học lừng danh trong gần 4 thế kỉ Cuối cùng nó được chứng minh bởi Andrew Wiles năm 1993 sau gần 8 năm ròng nghiên cứu, phát triển chứng minh các giả thiết có liên quan

Giả thiết Fermat

Fermat viết lại trên lề một cuốn sách rằng ông có cách giải rất hay, nhưng vì lề sách bé quá không đủ chỗ để viết

Bài toán II.8 trong Arithmetica của Diophantus, với chú giải của Fermat và sau đó trở thành định lý Fermat cuối cùng (ấn

bản 1670)

Lịch sử chứng minh định lý lớn Fermat

Cho tới đầu thế kỷ 20 các nhà toán học chỉ chứng minh định lý này là dúng với n=3, 4, 5, 7 và các bội số của nó Nhà toán học người Đức Ernst Kummer đã chứng minh định lý này là đúng với mọi số nguyên tố tới 100 (trừ 3 Số nguyên tố phi chính quy là 37, 59, 67).

Quá trình giải của Andrew Wiles

• Tháng 5 năm 1993, "crucial breakthrough", Wiles khoe với phu nhân là đã giải được rồi

• Tháng 6 năm 1993, "Elliptic Curves and Modular Forms", Wiles lần đầu tiên công bố là ông đã giải được Định lý lớn Fermat

• Tháng 7-8 năm 1993, Nick Katz (đồng nghiệp) trao đổi email với Wiles về những điểm chưa hiểu rõ, trong đó nhắc rằng trong chứng minh của ông có 1 sai lầm căn bản

• Tháng 9 năm 1993, Wiles nhận ra chỗ sai và cố gắng sửa Sinh nhật phu nhân ngày 6 tháng 10, bà nói chỉ cần quà sinh nhật là một chứng minh đúng Wiles cố hết sức nhưng không làm được

• Tháng 11 năm 1993, ông gởi email công bố là có trục trặc trong phần đó của chứng minh

• Sau nhiều tháng thất bại, Wiles sắp chịu thua Trong tuyệt vọng, ông yêu cầu giúp đỡ Richard Taylor, một sinh viên cũ của ông, tới Princeton cùng nghiên cứu với ông

Andrew Wiles

• Ba tháng đầu 1994, ông cùng Taylor tìm mọi cách sửa chữa vấn đề nhưng vô hiệu

• Tháng 9 năm 1994, ông quay lại nghiên cứu một vấn đề căn bản mà chứng minh của ông được dựa trên đó

• Ngày 19 tháng 9 năm 1994 phát hiện cách sửa chữa chỗ trục trặc đơn giản và đẹp, dựa trên một cố gắng chứng minh đã làm 3 năm trước Sau khi coi lại cẩn thận, ông mừng rỡ nói với phu nhân là đã làm được

• Tháng 5 năm 1995 đăng lời giải trên Annals of Mathematics (Đại học Princeton)

• Tháng 8 năm 1995 hội thảo ở Đại học Boston, giới toán học công nhận chứng minh là đúng

Helen G Grundman, giáo sư toán trường Bryn Mawr College, đánh giá tình hình của cách chứng minh đó như sau:

"Tôi nghĩ là ta có thể nói, vâng, các nhà toán học hiện nay đã bằng lòng với cách chứng minh Định lý lớn Fermat

đó Tuy nhiên, một số sẽ cho là chứng minh đó của một mình Wiles mà thôi Thật ra chứng minh đó là công trình của nhiều người Wiles đã có đóng góp đáng kể và là người kết hợp các công trình lại với nhau thành cái mà ông

đã nghĩ là một cách chứng minh Mặc dù cố gắng khởi đầu của ông được phát hiện sau đó là có sai lầm, Wiles và người phụ tá Richard Taylor đã sửa lại được, và nay đó là cái mà ta tin là cách chứng minh đúng Định lý lớn Fermat."

"Chứng minh mà ta biết hiện nay đòi hỏi sự phát triển của cả một lãnh vực toán học chưa đuợc biết tới vào thời Fermat Bản thân định lý được phát biểu rất dễ dàng và vì vậy xem ra có vẻ đơn giản một cách giả tạo; bạn không cần biết rất nhiều về toán để hiểu bài toán Tuy nhiên, để rồi nhận ra rằng, theo kiến thức tốt nhất của bạn, cần phải biết rất nhiều về toán mới có thể giải được nó Vẫn là một câu hỏi chưa có lời đáp rằng liệu có hay không một cách chứng minh Định lý lớn Fermat mà chỉ liên quan tới toán học và các phương pháp đã có vào thời Fermat Chúng ta không có cách nào trả lời trừ phi ai đó tìm ra một chứng minh như vậy."

Giả thuyết tổng quát

Phương trình:

hoặc tổng quát hơn:

không có nghiệm nguyên khác không

Giả thuyết tổng quát này hiện vẫn chưa được chứng minh, kiểm chứng

Định lý nhỏ Fermat

Định lý nhỏ của Fermat (hay định lý Fermat nhỏ - phân biệt với định lý Fermat lớn) khẳng định rằng nếu p là một số

nguyên tố, thì với số nguyên a bất kỳ , ap – a sẽ chia hết cho p Nghĩa là :

Một cách phát biểu khác của định lý như sau: nếu p là số nguyên tố và a là số nguyên nguyên tố cùng nhau với p, thì ap-1

-1 sẽ chia hết cho p Bằng ký hiệu đồng dư ta có:

Cũng có một cách phát biểu khác là: Nếu p là một số nguyên tố và a là số nguyên không chia hết cho p, thì a lũy thừa bậc

p-1 có số dư bằng 1 khi chia cho p.

Định lý Fermat nhỏ là cơ sở để kiểm tra tính nguyên tố theo xác suất trong kiểm tra Fermat

Lịch sử

Pierre de Fermat lần đầu thông báo định lý trong một bức thư đề ngày 18 tháng mười, năm 1640 cho bạn ông là Frénicle

de Bessy (theo [1]): p chia hết khi p là nguyên tố và a là số nguyên tố cùng nhau với p.

Như thường lệ, Fermat không chứng minh định lý này chỉ thông báo:

Et cette proposition est généralement vraie en toutes progressions et en tous nombres premiers; de quoi je vous envoierois

la démonstration, si je n'appréhendois d'être trop long

(And this proposition is generally true for all progressions and for all prime numbers; the proof of which I would send to you, if I were not afraid to be too long.)

Euler lần đầu tiên công bố một chứng minh vào năm 1736 trong bài báo tựa đề "Theorematum Quorundam ad Numeros Primos Spectantium Demonstratio", nhưng Leibniz đã có chứng minh với ý tưởng tương tự trong bản thảo không được công bố vào khoảng trước năm 1683

Tên gọi "định lý nhỏ của Fermat" được dùng lần đầu vào năm 1913 trong Zahlentheorie bởi Kurt Hensel:

Für jede endliche Gruppe besteht nun ein Fundamentalsatz, welcher der kleine Fermatsche Satz genannt zu werden pflegt,weil ein ganz spezieller Teil desselben zuerst von Fermat bewiesen worden ist."

(There is a fundamental theorem holding in every finite group, usually called Fermat's little Theorem because Fermat was the first to have proved a very special part of it.)

Lịch sử xa hơn

Một cách độc lập các nhà toán học Trung quốc đưa ra một giả thuyết (thường gọi là giả thiết Trung quốc) rằng p là một

số nguyên tố nếu và chỉ nếu Đúng là nếu p là số nguyên tố , thì Đây là trường hợp đặc biệt của định lý nhỏ của Fermat Tuy thế, điều ngược lại (nếu thì p là số nguyên tố)

là sai Chẳng hạn, , nhưng 341=11×31 là hợp số (nó là số giả nguyên tố (pseudoprime)

Tổng quát hơn nữa là Định lý Carmichael

Một định lý khác tống quát hóa của nó nằm trong các trường hữu hạn

Số giả nguyên tố

Nếu p là hợp số và có số nguyên a sao cho chia hết cho p, thì p được gọi là số giả nguyên tố cơ sở a F Sarrus

vào năm 1820 đã tìm thấy 341 = 11×31 là số giả nguyên tố đầu tiên,với cơ sở 2

Một số p là số giả nguyên tố cơ sở a với mọi a nguyên tố cùng nhau với p được gọi là số Carmichael (chẳng hạn 561).

Giả thuyết Poincaré

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Bước tới: menu, tìm kiếm

Trong một 2-mặt cầu thông thường, bất kì một vòng kín nào có thể thu nhỏ một cách liên tục thành một điểm trên mặt cầu Liệu điều kiện này có đặc trưng cho 2-mặt cầu? Câu trả lời là có, và nó đã được biết đến từ lâu Giả thuyết Poincare cũng đặt ra câu hỏi tương tự cho 3-mặt cầu, mà hình dung khó hơn

Giả thuyết Poincare là một trong những giả thuyết toán học nổi tiếng và quan trọng bậc nhất do Jules-Henri Poincaré

đưa ra năm 1904, và được Grigori Perelman chứng minh vào năm 2002, 2003 Trong 100 năm tồn tại, nó trực tiếp và giántiếp đem về 4 huy chương Fields cho Smale (1966), Thurston (1982), Freedman (1986) và Perelman (2006)

Phát Biểu

• Giả thuyết Poincare phát biểu rằng mọi đa tạp 3 chiều đóng và đơn liên thì nó đồng phôi với mặt cầu 3 chiều

• Ý nghĩa: Giả thuyết Poincare cho biết mặt cầu 3 chiều là đa tạp duy nhất có các tính chất "tốt"

Đa tạp

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Bước tới: menu, tìm kiếm

Trong hình cầu, tổng các góc trong của một tam giác cầu không bằng 180° (xem hình học cầu) Mặt cầu không phải là một mặt Euclidean, nhưng tại vùng lân cận thì gần như tương tự Tại một vùng nhỏ trên mặt địa cầu, tổng các góc trong tam giác vẽ trên mặt đất là xấp xỉ 180° Mặt cầu có thể được coi như một tập hợp các ánh xạ hai chiều, do đó mặt cầu chính là một đa tạp

Đa tạp tô pô n chiều là một không gian tô pô với một phủ mở {Ui} trong đó mỗi Ui đồng phôi với một tập mở Bi của không gian Euclide n chiều, nói một cách khác, là không gian tôpô tách với mỗi điểm của nó có một lân cận đồng phôi với một tập mở trong không gian Euclide n chiều Đa tạp chính là khái niệm toán học mở rộng của đường và mặt

• Đa tạp năm chiều

• Đa tạp nhiều chiều

Theo đối tượng nghiên cứu:

• Đa tạp đại số : tập hợp tất cả các điểm (z1, z2, , zn) trong không gian phức n chiều thỏa mãn hệ phương trình dạng

Fi(z1, z2, , zn)=0; i=1,2, ,s trong đó Fi là các đa thức của các biến số z1, z2, , zn

•

o Nếu các Fi đều là bậc nhất đối với tất cả các zj (j = 1, 2, , n) thì ta có đa tạp tuyến tính

o Nếu các hệ số của Fi là số hữu tỉ (thực, phức) thì ta có Đa tạp đại số hữu tỉ (thực, phức)

Figure 1: The four charts each map part

of the circle to an open interval, and

together cover the whole circle The

origin is understood to be at the center of

the circle

Figure 2: A circle manifold chart based on slope, covering all but one point of the circle

Four manifolds from algebraic curves: ■ circles,

A finite cylinder is a manifold with

boundary Một mặt Möbius The Klein bottle immersed in three-dimensional space

Không gian Euclide

Khoảng 300 năm TCN, nhà toán học Hy Lạp Euclide đã tiến hành nghiên cứu các quan hệ về khoảng cách và góc, trước hết trong mặt phẳng và sau đó là trong không gian Một trong các ví dụ về các quan hệ loại này là: tổng các góc trong mộttam giác là 180 độ Ngày nay các quan hệ này được biết dưới tên gọi là hình học Euclide hai hoặc ba chiều

Trong ngôn ngữ của toán học hiện đại, khoảng cách và góc đã được tổng quát cho các không gián 4 chiều, 5 chiều và

nhiều chiều hơn Một không gian n-chiều với các khái niệm về khoảng cách và góc thỏa mãn các quan hệ Euclide được

gọi là không gian Euclide n chiều.

Một tính chất quan trọng của không gian Euclide là "tính phẳng" Trong hình học còn có các không gian khác được gọi làkhông gian phi Euclide Chẳng hạn, mạt cầu là không gian phi Euclide; một tam giác trên mặt cầu có tổng các góc trong

là lớn hơn 180 độ Trên thực tế, chỉ có một không gian Euclide ứng với một số chiều, trong khi có thể có nhiều không gian phi Euclide có cùng số chiều Thông thường các không gian này được xây dựng bằng cáh là biến dạng khoong gian Euclide

Hình tượng trực giác

Một mặt ta hình dung mặt phẳng Euclide là một tập hợp các điểm quan hệ với nhau một cách vững chắc thông qua các biểu thức giữa các khoảng cách và các góc CHẳng hạn có hai có hai phép biến đổi quan trọng trên mặt phẳng Một là phép tịnh tiến, nghĩa là phép di chuyển các điểm của mặt phẳng theo cùng một hướng và một khoảng cách như nhau Phép biến đổi kia là phép quay quanh một điểm cố định trên mặt phẳng , trong đó mọi điểm trên mặt phẳng quay theo một điểm cố định các góc như nau Một trong các tư tưởng chính của hình học Euclide là hai hình (nghĩa là các tập con) của mặt phẳng được xem là bằng nhau nếu có thể di chuyển hình này vào trong hình kia nhờ một số phép tịnh tiến, phép quay và ngược lại (Xem Nhóm Euclide.)

Mặt khác, cần tiến hành các khảo sát tỷ mỉ về toán học, định nghĩa rõ ràng các khái niệm khoảng cách, góc, phép tịnh tiến, phép quay Con đường chuẩn tắc để làm việc này là phương pháp tiên đề, đó là định nghiã mặt phẳng Euclide như một không gian vectơ thực hai chiều với tích vô hướngt Khi đó:

• các vectơ trong không gian vectơ tương ứng với các điểm của mặt phẳng Euclide,

• phép cộng trong không gian vectơ tương ứng với phép tịnh tiến, còn

• tích vô hướng dẫn xuất tới các khái niệm về khoảng cách và góc, chúng lại được dùng để định nghĩa phép quay.Xây dựng mặt phẳng Euclide theo cách này có thể dễ dàng mở rộng cho không gian với số chiều tùy ý Phần lớn các thuậtngữ, công thức và tính toán sẽ không gặp khó khăn gì với số chiều nhiều hơn (Tuy nhiên, có thể gặp khó khăn đôi chút đối với phép quay trong không gian với số chiều nhiều hơn.)

Không gian các tọa độ thực

Giả sử R là ký hiệu của trường các số thực Với mỗi số nguyên không âm n, không gian cảu các bộ n số thực tạo thành

một không gian vectơ n chiều trên R, ký hiệu là Rn và thường được gọi là không gian các tọa độ thực Một phần tử của

Rn được viết là

trong đó mỗi xi là một số thực Các phép toán của không gian vectơ trên R n được định nghĩa bởi

Không gian vectơ Rn có một cơ sở chính tắc:

Một vectơ trong Rn có thể được viết dưới dạng

Rn là một ví dụ điển hình của không gian vectơ thực n-chiều; mọi không giạn vectơ thực n-chiều V là đẳng cấu với R n

Cấu trúc Euclide

Không gian Euclide cần nhiều thứ hơn không gian với tọa độ thực Để áp dụng hình học Euclide cần có khái niệm

khoảng cách giữa hai điểm và góc giữa hai đường hoặc hai vectơ Một cách tự nhiên ta sử dụng tích vô hướng chính tắc

(còn được gọi là tích chấm trên R n Tích vô hướng của hai vectơ x và y được định nghĩa bởi

Kết quả là một số thực Thêm nữa, tích vô hướng của x với chính nó luôn luôn không âm Tích này dẫn tới định nghĩa

"độ dài" của vectơ x như sau

Hàm độ dài này thỏa mãn tính chất của chuẩn và được gọi là chuẩn Euclide trên Rn.

Góc (không có hướng) θ (0° ≤ θ ≤ 180°) giữa x và y được cho bởi

trong đó cos−1 là hàm lượng giác ngược arccos

Cuối cùng, có thể dùng chuẩn để định nghĩa một metric (hay hàm khoảng cách) trên Rn bằng

Khoảng cách này được gọi là khoảng cách Euclide Nó là hình ảnh của định lý Pythago

Không gian các tọa độ thực cùng với cấu trúc Euclide được gọi là không gian Euclidean và thường được ký hiệu là En

(Nhiều tác giả dùng Rn cho cả không gian Euclide) Cấu trúc Euclide làm cho En trở thành một không gian với tích vô hướng (hơn nữa là một không gian Hilbert), một không gian vetơ định chuẩn, và một không gian metric

Phép quay của không gian Euclidean space được định nghĩa như [[phép biến đổi tuyên tính] T bảo toàn góc và độ dài:

Theo ngôn ngữ ma trận, phép quay là một ma trận trực giao

Topo của không gian Euclidean

Vì không gian Euclide là một không gian metric nó cũng là một không gian tôpô với tôpô tự nhiên sinh bởi metric Tôpô

trên En được gọi là tô pô Euclide Một tập là tập mở trong tôpô Euclide nếu và chỉ nếu nó chứa một hình cầu mở bao

quanh mỗi điểm của nó Tôpô Euclide tương đương với một tôpô tích trên Rn như là tích của n bản sao của đường thẳng

thực R (với tôpô chính tắc)

Phép đồng phôi

Bước tới: menu, tìm kiếm

Phép biến đổi topo giữa cái ca và cái vòng

Cho hai không gian tô pô X và Y Một ánh xạ được gọi là một phép đồng phôi (homeomorphism) từ X lên

Y nếu f là một song ánh đồng thời cả f lẫn ánh xạ ngược là những hàm liên tục Nếu tồn tại một phép đồng phôi từ X lên Y thì hai không gian này được gọi là hai không gian đồng phôi với nhau

Nôm na, theo thuật ngữ hai không gian đồng phôi nghĩa là có cùng mầm, cùng phôi Vậy phôi hay mầm ở đây là gì? Đó

là các tô pô (tức là họ các tập mở) trên X và trên Y Tất các các khái niệm tô pô khác như tập đóng, điểm trong, ngoài, biên, compact, trù mật, liên tục, v.v đều được định nghĩa hoặc dẫn xuất từ tập mở Như vậy, đương nhiên họ tập mở chính là "phôi, mầm" của không gian tô pô Theo tính chất của ánh xạ đồng phôi, nó biến tập mở trong không gian này thành một tập mở trong không gian kia và ngược lại Vì vậy, họ các tập mở trong X và Y có tương ứng 1-1 với nhau Về mặt tô pô, hai không gian đồng phôi với nhau được xem như là một

Nguyên lý Harnack

Trong giải tích phức, nguyên lý Harnack là một định lý nói về giới hạn của dãy các hàm điều hòa

Nếu các hàm u1(z), u2(z), điều hòa trong một tập mở G của mặt phẳng phức C, và

tại mọi điểm của G, thì giới hạn của dãy

hoặc là vô hạn với mọi điểm trong miền G hoặc là hữu hạn với mọi điểm trong miền, trong cả hai trường hợp đều là hội

tụ đều trong mỗi tập con đóng của G Ở trường hợp thứ hai, hàm

điều hòa trong tập G.

Luật De Morgan

Luật De Morgan, hay còn gọi là định lý De Morgan, được phát biểu và chứng minh bởi nhà toán học và lô gíc học

người Anh sinh trưởng tại Ấn Độ tên là Augustus De Morgan (1806-1871) Nguyên thủy, định lý này được chứng minh trong lý thuyết tập họp

Từ hai mệnh đề trên cùng với bảng chân trị của phép hội (A.B) và phép nghịch đảo ( ) người ta có thể chứng minh rằngmọi mệnh đề lô gíc đều có thể được biểu diễn bằng một mệnh đề mà chỉ bao gồm hai phép toán hội và phép nghịch đảo.

• Định lý De Morgan là tiền đề cơ bản cho sự phát triển của ngành máy tính vì chỉ cần có hai cổng điện toán - cổng đảo dấu (NOT gate) và cổng và (AND gate) chẳng hạn - thì người ta có thể thiết lập nên bất kì một phép toán lô gíc nào bằng tổ hợp của hai cổng điện toán trên

Nguyên lý ánh xạ mở

Trong toán học, có 2 định lý có cùng tên "nguyên lý ánh xạ mở" Trong cả hai trường hợp, chúng đều đưa ra những điềukiện mà nếu thỏa thì một số ánh xạ cho trước là ánh xạ mở, nghĩa là ảnh của những tập mở là những tập mở Đó là nhữngkết quả quan trọng, vì không giống như ảnh ngược, ảnh của ánh xạ thường là ít thông tin hơn

Giải tích hàm

Trong giải tích hàm, nguyên lý ánh xạ mở, cũng được biết đến như là Định lý Banach-Schauder, là một kết quả căn bản

phát biểu rằng: nếu A: X → Y là một toàn ánh liên tục và tuyến tính giữa các không gian Banach X và Y, thì A là một ánh

xạ mở (i.e nếu U là một tập mở trong X, thì A(U) là tập mở trong Y)

Chứng minh định lý này sử dụng định lý phạm trù Baire

Nguyên lý ánh xạ mở có hai hệ quả quan trọng sau đây:

• Nếu A: X → Y là một song ánh liên tục tuyến tính giữa hai không gian Banach X và Y, thì toán tử ngược A-1: Y →

X cũng liên tục (điều này gọi là định lý hàm ngược bị chặn)

• Nếu A: X → Y là một toán tử tuyến tính giữa hai không gian Banach X và Y, và nếu như mọi dãy (xn) trong X với

x n → 0 và Axn → y thì điều kéo theo là y = 0, thì A liên tục (Định lý đồ thị đóng).

Giải tích phức

Trong giải tích phức, định lý ánh xạ mở phát biểu rằng nếu U là một tập mở connected trong mặt phẳng phức C và f: U

→ C là một hàm số holomorphic không phải là hằng số, thì f là một ánh xạ mở (nghĩa là nó gửi các tập mở U đi thành các tập mở trong mặt phẳng phức C).

Định lý ánh xạ mở đưa ra điểm khác biệt rõ giữa holomorphy và khả vi thực (real-differentiability) Trên đường thẳng

thực, ví dụ, hàm số f(x) = x2 không phải là ánh xạ mở (hàm này gửi đường thẳng thực (mở) thành đoạn Trong khi

đó, f (z) = z2 là hàm holomorphic

Định lý này kéo theo một hàm số holomorphic không thể đưa một đĩa mở vào một phần của đường thẳng

Định lý cơ bản của số học

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Bước tới: menu, tìm kiếm

Định lý cơ bản của số học nói về sự phân tích duy nhất một số tự nhiên thành tích các thừa số nguyên tố.

Phát biểu của định lý - Dạng phân tích tiêu chuẩn của số tự nhiên

Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 có thể viết một cách duy nhất (không kể sự sai khác về thứ tự các thừa số) thành tích các thừa

số nguyên tố Mọi số tự nhiên n lớn hơn 1, có thể viết duy nhất dưới dạng:

trong đó là các số nguyên tố và là các số tự nhiên dương Tuy nhiên do tính giao hoáncủa phép nhân các số tự nhiên, tính duy nhất bỏ qua các sai khác về thứ tự các thừa số Vế phải của đẳng thức này được

gọi là dạng phân tích tiêu chuẩn của n.

Chẳng hạn

Lịch sử

Người ta cho rằng định lý được Euclid chứng minh, tuy nhiên nó được trình bày đầy đủ lần đầu tiên trong Disquisitiones Arithmeticae bởi Carl Friedrich Gauss

Chứng minh của Euclid

Chứng minh gồm hai phần Phần một chứng minh mọi số có thể viết dưới dạng tích của một hoặc nhiều số nguyên tố Phần thứ hai chứng tỏ rằng biểu diễn đó là duy nhất

Phân tích các số

Trước hết, mỗi số nguyên tố là tích của một thừa số là chính nó Giả sử rằng có các số nguyên dương lớn hơn 1 không

biểu diễn được thành tích các số nguyên tố Khi đó gọi n là số nhỏ nhất trong các số đó Số n này khác 1 và là hợp số Do

lại phân tích được Điều này mâu thuẫn với giả thiết

Chứng minh cách biểu diễn là duy nhất

Ta giả sử rằng tồn tại số nguyên lớn hơn 1 mà có 2 cách biểu diễn dưới dạng tích các thừa số nguyên tố Khi đó giả sử s

là số nhỏ nhất trong các số như vậy, tức là s = p1p2 pm = q1q2 qn với pi,qj là các số nguyên tố Do p1 chia hết q1q2 qn suy

ra tồn tại qj mà p1 chia hết qj Từ đó ta có pi = qj, bỏ 2 số nguyên tố ra khỏi đẳng thức ta được 2 vế là 2 khai triển khác nhau của số s chia cho p1, mà theo giả thuyết s là số nhỏ nhất như vậy, mâu thuẩn này chứng tỏ giả thiết là sai vậy mỗi sốnguyên lớn hơn một chỉ có một biểu diễn duy nhất dưới dạng tích thừa số nguyên tố (không kể đến thứ tự các thừa số)

Định lí Taylor

Trong giải tích, định lí Taylor cho ta một đa thức xấp xỉ một hàm khả vi tại một điểm cho trước ( gọi là đa thức Taylor của hàm đó ) có hệ số chỉ phụ thuộc vào các giá trị của đạo hàm tại điểm đó Định lí còn cho ta một đánh giá chính xác