ĐÁP án đề số 11 đến 15

Cho hình chóp tứ giác .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là một tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ABCD.. lượt là , , ,a b c d sao cho tứ giác ABC

32

N

D C

2 32

A

 Dựa vào bảng biến thiên hàm sốy f x( ) có 7 điểm cực trị. 

Câu 6 Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 

1

x m y

Ta có: 

11

m y

x y

25

x

x x

1lim

25

x

x x

Vậy phương trình cos 2 x  2 cos - 3 x  0 có 321 nghiệm trong khoảng 0; 2019  

Câu 9 Số giao điểm của đồ thị hàm số yx x2 24  với đường thẳng y   là 3

Lời giải Chọn D

Câu 10 Cho hàm số  f x  xác định trên  thỏa mãn  f' x 4x3 và  f 1  1. Biết rằng phương 

trình  f x   10 có hai nghiệm thực x x  Giá trị của tổng 1, 2 log2 x1 log2 x2  là

Lời giải Chọn C

-Vẽ đồ thị hàm số y f x 

Câu 13 Cho hình chóp tứ giác  S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là một 

tam  giác  đều  và  nằm  trong  mặt  phẳng  vuông  góc  với đáy ABCD.  Tính  thể tích  khối chóp 

a

332

B

D S

Câu 15 Cho hình lập phương ABCD A B C D    cạnh a. Tính diện tích toàn phần của vật tròn xoay thu 

được khi quay tam giác AA C quanh trục AA. 

Vì ABCD A B C D    là hình lập phương cạnh a nên ACa 2;A C a 3 và AA ABCDhay AA AC. 

Tam giác AA C  vuông tại Anên khi quay tam giác AA C quanh trục AAta thu được hình nón tròn xoay có bán kính đáy R ACa 2 đường caoAA a và đường sinh lA C a 3 Vậy diện tích toàn phần của hình nón là  2   2

. Mặt phẳng   chứa  d  và vuông góc với    nên có véc tơ pháp tuyến vu n,   4; 4; 0

D

C B

A

Chọn chỗ cho học sinh nam thứ 5 có 2 cách (Không ngồi đối diện học sinh nam thứ nhất, thứ hai, thứ ba, thứ tư). 

5 ( ) 16 4lim







  nên ta có  f(2) 16 0 hay  f(2) 16 . 3

x x

5

14

. Tính  f ' 1  

Vậy chiều cao mô hình là hR1.2 100 cm. 

Câu 23 Cho phương trình 

2cos4 cos2 2sin

0cos sin

Điều kiện: cos sin 0  ( )

Vậy  các  nghiệm  của  phương  trình  đã  cho  biểu  diễn  trên  đường  tròn  lượng  giác  là  các  điểm , , ,

x x





x x

x     với mọi  x    

2

22

x m

4 22

f x dx 

5

0( ) 4

f x dx 

1

1( 4 1)

1( 4 1)

Câu 29 Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ Oxyz,  cho  hai  điểm  A0; 0;3,  B  2; 0;1  và  mặt  phẳng 

   : 2x y 2z 8 0. Hỏi có bao nhiêu điểm C nằm trên mặt phẳng     sao cho tam giác 

Câu 30 Trong không gian với hệ trục tọa độ O xyz, cho điểm H1; 2; 2 . Mặt phẳng     đi qua H 

và cắt các trục O x,Oy,Oz  lần lượt tại các điểm  A B C, ,  sao cho H là trực tâm của tam giác 

ABC. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABCbằng

22

B

A

Lời giải 

Chọn C

Ta có C483  

Gọi  O  là đường tròn ngoại tiếp đa giác. A là 1 đỉnh bất kỳ của đa giác, kẻ đường kính 

AA thì A cũng là một đỉnh của đa giác. Đường kính AA chia  O  thành hai nửa đường tròn. Gọi T: “là biến cố lấy ba đỉnh tạo thành một tam giác nhọn”. 

T  “là biến cố lấy ba đỉnh tạo thành một tam giác vuông hoặc tam giác tù”. 

Chọn một đỉnh A có 48 cách. 

Chọn 2 đỉnh còn lại, thoả mãn ba đỉnh tạo thành một tam giác vuông hoặc tam giác tù. Ta sẽ có hai đỉnh còn lại thuộc thuộc một trong hai nửa đường tròn bao gồm cả A 24 điểm có 

24 242

 cách. 

Câu 32 Cho hình chóp  S ABC  có đáy  ABC  là tam giác đều cạnh  a  và   SBASCA90  Biết góc 

giữa đường thẳng  SA  và mặt phẳng  ABC  bằng  45  Khoảng cách giữa hai đường thẳng  SB

Vì ABC đều nên AM BC nên BCSAMBCSH. 

Mà SH  AM SH ABC. Khi đó góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng ABC 

Câu 33 Cho hình chóp tam giác S ABC  có đáy ABC  là tam giác vuông cân tại  B  với trọng tâm  G. 

Cạnh bên SA tạo với đáy ABC một góc 30  Biết hai mặt phẳng 0 SBG và SCG cùng vuông góc với mặt phẳng ABC. Tính  cosin  của góc giữa hai đường thẳng  SA và BC. 

Áp dụng hệ quả của định lí  cosin  trong tam giác  SAD ta có 

Câu 34 Cho lăng trụ đều ABC A B C ' ' ' có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a 2. Gọi  M  là trung điểm 

C

A

BS

Chọn B

Hình vẽ minh họa 

 Gọi N là trung điểm BC. Kẻ MN/ /ACMN/ / ' 'A C  

Câu 35 Gọi   C  là đồ thị hàm số y  x2  2 x  2 và điểm M  di chuyển trên   C  Gọi d1,d2 là 

các đường thẳng đi qua M  sao cho d1 song song với trục tung và d1,d2đối xứng với nhau qua tiếp tuyến của   C  tại M  Biết rằng khi M  di chuyển trên   C  thì d2 luôn đi qua một điểm 

C A'

A

lượt là  , , ,a b c d  sao cho tứ giác ABCDlà một hình thoi đồng thời hai tiếp tuyến tại  ,A C  song 

song với nhau và đường thẳng AC tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân. Tính tích abcd

;2

f x dx x

2

1 0

Câu 40 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A8;5; 11 , B5;3; 4 .C1; 2; 6  

và mặt cầu   S : x22y42z12 9. Gọi điểm M a b c ; ;  là điểm 

trên  S , sao cho  MA MB MC   

 đạt giá trị nhỏ nhất. Hãy tìm  a b

Lời giải Chọn C

Mặt cầu  S  có tâm  I2; 4; 1 , bán kính R   Gọi  E  là trung điểm  BC  3 3; ; 55

Gọi  K  là điểm đối xứng vơi  I  qua  E  suy ra  K4;1; 9 . 

Gọi điểm M a b c ; ;  là điểm trên  S  thì điểm  F  sẽ thuộc mặt cầu  S  tâm  K  bán kính 

A 3; 4.  B 0;3.  C 4; .  D 3; . 

Lời giải Chọn D

Câu 43 Tất cả  các giá trị  của tham sốm  để  phương  trình  4

2

2tan

cos

x  có 6 nghiệm phân  biệt thuộc  ;

A m 3.  B 2m3.  C 2m3.  D m2. 

Lời giải Chọn B

f t

t t

Từ bảng biến thiên suy ra 

   0;1

3

x y  y x trong đó 1 y x. 

- Hết  - 

Câu 45 Cho  phương  trình  1 1 2   1 1 2

25 x  m2 5 x 2m  ,  với 1 0 m  là  tham  số.  Giá  trị  nguyên dương lớn nhất của tham số m để phương trình trên có nghiệm là: 

Lời giải Chọn C

Đặt t 1 1x2  với x   1;1 ta được t 1; 2. 

Phương trình trở thành  2  

5 t m2 5t2m   với 1 0 t 1; 2. Đặt a5t  a 5; 25 và 

2

2 12

m a

 



 . Hàm   

2 2 12

Câu 46 Tổng tất cả các giá trị của tham số m để phương trình  2  

2

2 1 2

2 3

3x x  x m logx  x 2 x m 2  có đúng ba nghiệm phân biệt là: 

Lời giải Chọn B

TH1: m 0 ta có bảng biến thiên của g x  như sau:  

 Phương trình chỉ có tối đa 2 nghiệm nên không có m thoả mãn. 

TH2: m 2 tương tự. 

TH3: 0m2, bảng biến thiên g x  như sau: 

m m

A T  m n    B T   n m.  C T  m n    D T    m n. 

Lời giải  Chọn B

Với mọi số thực x, thay x bởi x vào biểu thức    2   6 2 2

A 3 64

15

.  B 33 3 64

2

2

3 2

    3;

a    

Với a  1 ta có   1 b 1, suy ra 3 b2 3 2. 

3

3.16

a

3

3.18

a

3

3.24

Từ (3) và (4) suy ra GK (SAD)d G SAD( ; ( ))GK. 

Câu 50 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu  S1  có tâm I11;0;1 ,  bán kính R 1 2và mặt cầu  S2  có 

tâm I 2 1;3;5 ,  bán kính R 2 1. Đường thẳng d thay đổi nhưng luôn tiếp xúc với  S1 ,  S2  lần lượt tại A và B. Gọi M m,  lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của đoạn AB. Tính 

A P 2 6.  B P 8 5.  C P 4 5.  D P 8 6. 

Lời giải  Chọn D

Ta có: I I1 2  5 R1R2 3. 

Gọi P Q,  lần lượt là tâm vị tự trong và ngoài của hai mặt cầu    S1 , S2  Qua P và Q lần lượt 

kẻ hai tiếp tuyến chung với hai mặt cầu    S1 , S2 là  MN  và  HK với M N H K, , ,  là các tiếp 

ĐỀ SỐ 12 LỜI GIẢI ĐƯỢC THỰC HIỆN BỞI DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN

Câu 1 Biết rằng phương trình 4x 3.2x m0 có một nghiệmx 0 Tính nghiệm còn lại

1

2

Lời giải Chọn A

Do x 0 là một nghiệm của phương trình, ta có:

x x





  



Vậy x 1 là nghiệm còn lại của phương trình

Câu 2 Tìm tập xác định D của hàm số 2 2

log1

Hàm số xác định khi và chỉ khi

0

201

x

x x

Câu 3 Cho tứ diện ABCD có thể tích V với M N, lần lượt là trung điểm AB CD, Gọi V V lần 1, 2

lượt là thể tích của MNBC và MNDA Tính tỉ lệ V1 V2

V



Vì M N, lần lượt là trung điểm AB CD, nên ta có:

3 ( 3) 3 

Câu 5 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A1;0;0, B0; 2;0, C0;0; 2  Biết

rằng có ba điểm phân biệt D, E, F sao cho mỗi điểm đó tạo với A, B, C thành hình bình hành Tính diện tích tam giác DEF.

Lời giải Chọn C

Dễ thấy A, B, C, D, E, F đồng phẳng và SDEF 4SABC

Câu 6 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M a b c ; ;  thuộc mặt phẳng

 P : 2x2y  z 3 0 thỏa mãn AM 4 với điểm A1; 2;3  Tính a b c  ?

A P

Suy ra M là hình chiếu của A lên mặt phẳng  P

 Đường thẳng AM qua A và có vecto chỉ phương trùng với vecto pháp tuyến của mặt phẳng

(P)

Ta có phương trình đường thẳng AM:

1 2

2 23

a b c

Câu 7 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho các điểm A, B, C với M1; 2; 2  là trung điểm

17x  1 m x 0 1 có hai nghiệm phân biệt khác 0

17 1

m m

y f x x ax b có giá trị cực tiểu bằng 2 và giá trị cực đại bằng

4 Tìm điều kiện cần và đủ của m để f x m có đúng hai nghiệm thực phân biệt?

A m 4 B m  2  4;

C m2; 4 D m  ; 24;

Lời giải Chọn B

Từ giả thiết ta có bảng biến thiên của hàm số trùng phương y f x x ax bnhư sau

Số nghiệm phương trình f x m là số giao điểm của đường thẳng ym và đồ thị hàm số

y x x mx nghịch biến trên khoảng 1; 2 và đồng biến trên khoảng 3;4 Tính số phần tử của tập hợp S?

Lời giải Chọn C

Ta có: y x22x m Dễ thấy hàm số đã cho có đạo hàm liên tục trên  nên yêu cầu bài

toán tương đương với  

Chọn B

Ta có: Với mọi giá trị của a0,a1 đồ thị hàm số x 2

 luôn đi qua điểm cố địnhA2;1

và đồ thị hàm số yloga4x luôn đi qua điểm cố địnhB3; 0

Nên độ dài đoạn thẳngABlà: AB  3 2 20 1 2  2

Câu 14 Kí hiệu z z là hai nghiệm phức của phương trình 1; 2 2

Ta có

1 2

Lời giải Chọn C

Ta có: ASB600 SAB là tam giác đều AB4 và hSO2 3

Vậy thể tích của khối nón cần tìm là 1 2  8 3 3

.2 2 3

Câu 18 Cắt mặt cầu  S bằng một mặt phẳng cách tâm một khoảng bằng 4cm được thiết diện là một

hình tròn có diện tích 9 cm 2 Tính thể tích khối cầu  S

cm3

 B 2500 3

cm3

 C 25 3

cm3



cm3



Lời giải Chọn D

S

A

B

C

Gọi r R, lần lượt là bán kính hình tròn và mặt cầu

Gọi một thiết diện qua trục là hình vuông ABCD (hình vẽ)

Cạnh của hình vuông ABCD bằng 2a nên khối trụ có bán kính đáy ROA

2

AB

 a, chiều cao hOOBC 2a

Câu 20 Trong không gian Oxyz cho mặt cầu x3 y1 z2 4 và đường thẳng

Gọi H là hình chiếu vuông góc của tâm cầu I3;1; 0lên d , từ đó ta tìm được H3; 0; 1  Thấy IH R nên d cắt ( ) S Vậy mặt phẳng cần tìm nhận IH  0; 1; 1  

làm VTPT nên pt mặt phẳng là y z  1 0

Câu 21 Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng   :axy2zb0 đi qua giao tuyến của hai mặt

phẳng  P :xy   và z 1 0  Q :x2y  z 1 0 Tính a4b

Lời giải Chọn A

Trên giao tuyến  của hai mặt phẳng    P , Q ta lấy lần lượt 2 điểm , A B như sau:

A

1 301

Gọi  là đường thẳng cần tìm và N  Oz

Ta có N(0; 0; ).c Vì  qua M N và , MOz nên MN( 1; 0; c1)

là VTCP của 

Nên d B , P  lớn nhất khi và chỉ khi BH BA H  ABA P

Mặt phẳng   P qua A và có vectơ pháp tuyến AB 2 ; 2 ; 4 

Ta có:

Phương trình đã cho là phương trình của mặt cầu khi và chỉ khi m thỏa:

Tập các giá trị nguyên của m là: S     3, 2, 1, 0,1, 2, 3

Câu 25 Một người thả một lá bèo vào một chậu nước Sau 12 giờ bèo sinh sôi phủ kín mặt nước trong

chậu Biết rằng sau mỗi giờ lượng bèo tăng gấp 10 lần lượng bèo trước đó và tốc độ tăng không đổi Hỏi sau mấy giờ thì bèo phủ kín 1

5 mặt nước trong chậu (kết quả làm tròn đến một chữ số phần thập phân)?

A 9,1 giờ B 9,7 giờ C 10,9 giờ D 11,3 giờ

Lời giải Chọn D

Sau mỗi giờ, lượng lá bèo phủ trên mặt nước là: 10n 1n12

 Lượng lá bèo phủ kín mặt nước trong chậu (sau 12 giờ) là:



Giả sử sau t giờ, lá bèo phủ kín được 1

5 mặt nước trong chậu, ta có

Đặt    2 

2

y g x f x

Câu 28 Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 1 3 2

20193

y  x x mx nghịch biến trên khoảng 0;  là: 

Lời giải Chọn A

Ta có: y  3 mcosxsinx

Hàm số đồng biến trên  khi và chỉ khi y 0,  x (1)

Đặt tcosxsin ,x t  2; 2, thu được hàm y t  3 mt t,   2; 2

Các giá trị nguyên của m nhận được là:  2, 1, 0,1, 2

Câu 30 Cho hàm số y f x  Hàm số y f x có bảng biến thiên như sau:

Bất phương trình f x 2 m đúng với mọi x   1;1 khi và chỉ khi:

ln3

Câu 32 Trong các số phức thỏa mãn: z  1 i z 1 2i , số phức z có mô đun nhỏ nhất có phần ảo

10



Lời giải Chọn D

Câu 33 Cho lăng trụ ABC A B C ' ' ' có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của điểm A'

lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm tam giác  ABC Biết khoảng cách giữa hai đường

a

3 36

a

3 33

a

3 324

a

Lời giải Chọn A

+ Gọi M là trung điểm BC , H là trọng tâm tam giác ABCA H' ABC

23

Câu 34 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA2a và vuông

góc với mặt phẳng đáy Gọi M là trung điểm cạnh SD Tính tang của góc tạo bởi hai mặt phẳng

AMC và  SBC bằng 

a

N

M H

A 3.

2 3.3

C 5

2 5.5

Lời giải Chọn D

Sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian

Gắn hình chóp vào hệ trục tọa độ Oxyz OA(0; 0; 0); (1; 0; 0); D(0;1; 0); (1;1; 0); (0; 0; 2)B C S

Do M là trung điểm của SD nên 0; ;11

A Xét các điểm M thuộc mặt cầu  S sao cho đường thẳng AM luôn tiếp xúc với  S

M luôn thuộc mặt phẳng cố định có phương trình là

A xy   z 6 0 B xy z 4 0

C 3x3y3z 8 0. D 3x3y3z40

Lời giải Chọn B

Trừ theo vế hai phương trình cho nhau ta được: xy z 4 0

Câu 36 Gọi là S là tập hợp tất cà các giá trị của tham số m để bất phương trình

Ta thấy x 2 là một nghiệm của bất phương trình với mọi m

Do đó, để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x   thì ta phải có x 2 là một nghiệm bội

lẻ của   2 2     

g x m x  x  x  m

m m

m  thỏa mãn yêu cầu bài toán Vậy

Tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc S bằng: 1

8



Câu 37 Cho hàm số y f x  Đồ thị của hàm số yf x' trên 5;3 như hình vẽ (phần cong của đồ

*)Parabol y ax 2bx c qua các điểm 2;3 , 1; 4 , 0;3 ,     1; 0 , 3; 0   nên xác định được 2

y x  x    suy ra x  

3 2

133

x

f x   x  x C Mà

3 2 1

*) Đồ thị f x trên đoạn '   5; 4 qua các điểm 4;2 ,  5; 1 nên

Ta có x  logab  logac; y  logbc  logba; z  logca  logcb Khi đó

4 loga loga logb logb 4logc 4logc

P    x y z  b  c  c  a  a  b

a a b

Câu 41 Một hình lập phương có thể tích gấp 24 lần thể tích một hình tứ diện đều Hỏi cạnh hình lập

phương gấp mấy lần cạnh tứ diện đều?

Lời giải Chọn D

Gọi a là độ dài cạnh hình lập phương, khi đó thể tích hình lập phương là a3

Gọi b là độ dài cạnh hình tứ diện đều ABCD a0;b0

Gọi I là trung điểm BCDI BC và 3

Câu 42 Cho khối tứ diện ABCD có bốn mặt là các tam giác vuông và cạnh lớn nhất có độ dài bằng 2a

Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối tứ diện ABCD

A 32 3

34

Ta có :

Gọi I là trung điểm AD

I D

B

C

H

Tam giác ABD vuông tại BI là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Câu 43 Cho hai mặt phẳng    P , Q song song với nhau và cùng cắt khối cầu tâm O, bán kính R

thành hai hình tròn cùng bán kính Xét hình nón có đỉnh trùng với tâm của một trong hai hình tròn này và có đáy là hình tròn còn lại Tính khoảng cách h giữa hai mặt phẳng    P , Q để diện tích xung quanh của hình nón là lớn nhất

Cắt khối cầu tâm O, bán kính Rbằng mặt phẳng    đi qua tâm O và vuông góc với hai mặt phẳng    P , Q ta được hình như hình vẽ bên dưới

Trong đó, AB      P ,CD      Q với ABCD, hSH ACBD, ROB Đường sinh lSCSD

Bán kính của mỗi hình tròn giao tuyến là