Công thức biến đổi tích thành tổng:cos.
Trang 1GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC
0
sin 0 √6 − √2
4 2 − √2
2
1
2 √22 √32 2 + √2
2 √6 + √24 1 √6 + √24 2 + √2
2
√3
2 √22
1
2 2 − √2
2 √6 − √24 0
cos 1 √6 + √2
4 2 + √2
2
√3
2 √22
1
2 2 − √2 2
√6 − √2
4 0 √2 − √6
4 −2 − √2
1
2 − √22 − √23 −2 + √2
6 + √2
4 -1
tan 0 2 − √3 √2 − 1 √33 1 √3 √2 + 1 √6 − √24 | −2 − √3 −√2 − 1 −√3 -1 − √33 1 − √2 √3 − 2 0
cot | 2 + √3 √2 + 1 √3 1 √33 √2 − 1 2 − √3 0 √3 − 2 1 − √2 − √33 -1 −√3 −√2 − 1 −2 − √3 |
Dấu của các giá trị lượng giác:
0 < α <
< α < π
Các đẳng thức lượng giác cơ bản:
sin2 + cos2 = 1
tan cot = 1
1 cos2= 1 +tan2 1
sin = 1 + cot
Hàm số lượng giác của cung đối nhau:
sin −! = − sin cos −! = cos tan −! = − tan cot −! = − cot
Hàm số lượng giác của các cung bù nhau:
sin " − != sin cos " − !=−cos tan " − !=−tan cot " − != −cot
Hàm số lượng giác của cung phụ nhau:
sin "2− ! = cos cos "2 − !=sin tan "2 − !=cot cot "2 − != tan
CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Công thức cộng:
sin ± $!=sin cos $ ± cos sin $
cos ± $!= cos cos $ ∓ sin sin $
tan ± $! = 1 ∓ tan tan $tan ± tan $
cot ± $! =± cot cot $ − 1cot ± cot $
Công thức nhân đôi:
sin 2 = 2 sin cos
tan 2 =1 − tan2 tan
cos 2 = cos − sin = 2 cos − 1 = 1 − 2sin
Công thức nhân ba:
cos 3 = 4 cos& − 3 cos
tan 3 = 3tan − tan1 − 3 tan& sin 3= 3 sin − 4 sin&
Trang 2Công thức biến đổi tích thành tổng:
cos cos $ =12 'cos + $! + cos − $!(
sin sin $ = 12 'cos − $! − cos + $!(
sin cos $ =12 'sin + $! + sin − $!(
cos sin $ =12 'sin + $! − sin − $!(
Công thức biến đổi tổng thành tích:
cos + cos $ = 2 cos + $2 cos − $2
cos − cos $ = −2 sin + $2 sin − $2
sin + sin $ = 2 sin + $2 cos − $2
sin − sin $ = 2 cos + $2 sin − $2
tan + tan $ =cos cos $sin + $!
cot + cot $ =sin + $!sin sin $ tan − tan $ =cos cos $sin − $!
cot − cot $ =sin $ − !sin sin $
Công thức hạ bậc:
sin =1 − cos 22
cos =1 + cos 22
sin& =3 sin − sin 34 cos& =3 cos + cos 34
Công thức rút gọn:
asin ) + * cos ) = √++ *sin ) + ! ,ớ- cot =./
= √++ *cos ) − ! ,ớ- tan =/.
asin ) − * cos ) = ++ *sin ) − ! ,ớ- cot =+*
=√+ + *cos ) + ! ,ớ- tan = /.
Hệ quả:
sin + cos = √2 sin 0 +"41 = √2 cos 0 −"41
sin − cos = √2 sin 0 −"41 = −√2 cos 0 +"41
tan + cot =sin 22
tan − cot = −2 cot 2
Công thức tính sinα, cosα, tanα theo 2 = 2345
sin =1 + 626
cos =1 − 61 + 6
tan =1 − 626
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
Định lý hàm số cosin:
+ = *+ 7− 2*7 cos 8
* = ++ 7− 2+7 cos 9 7
= ++ *− 2+* cos :
Trang 3Định lý hàm số sin:
+
sin 8 =sin 9 =* sin : = 2;7
Định lý đường trung tuyến:
*+ 7 = 2</ ++2
+ + 7 = 2<. +*2
++ * = 2<=+72
Định lý đường phân giác:
Phân giác trong
>? = 2*7 cos 82
* + 7 = 2*7@ @ − +!
* + 7
>A= 2+7 cos 92
+ + 7 = 2+7@ @ − *!
+ + 7
>B =2+* cos :2
+ + * = 2+*@ @ − 7!
+ + *
Phân giác ngoài
>′? = 2*7 cos 82
|* − 7|
>′A =2+7 cos 92
|+ − 7|
>′B =2+* cos :2
|+ − *|
Định lý hình chiếu:
a = b.cosC + c.cosB
b = c.cosA + a.cosC
c = a.cosB + b.cosA
Công thức về diện tích:
E =F*7 sin 8 = F+7 sin 9 = F+* sin :
E = +*74;
E = @G = @ @ − +! tan82 = @ @ − *! tan92 = @ @ − 7! tan:2
E = @ @ − +! @ − *! @ − 7!
E =12 +ℎ/ =12 *ℎ. = 12 7ℎ=
E = 2;sin 8 sin 9 sin :
E =+sin 9 sin :2 sin 8 = *sin 8 sin :2 sin 9 =7sin 8 sin 92 sin :
E = G/ @ − +! = G. @ − *! = G= @ − 7!
E =34 @I @I− </! @I− <.! @I− <=! Jớ- @I=12 </+ <.+ <=!
E =ℎ/4 ℎ. 1
K@I @I− ℎ/! @I− ℎ.! @I− ℎ/ℎ.
ℎ= !
Jớ- @I= 12 Lℎ/+ ℎ.+ℎ/ℎℎ.
= M Cho A’, B’, C’ là chân các đường phân giác:
E?IAIBI = E + + *! * + 7! 7 + +!2+*7
Cho HA, HB, HC là chân các đường cao:
EN N N = E cos 8 cos 9 cos :
Trang 44 Px!phangiakhue
Công thức liên quan đường tròn nội tiếp:
G =@ = 4; sinE 82 sin92 sin:2 = @ − +! tan82 = @ − *! tan92 = @ − 7! tan:2
G/ = @ tan82 G. = @ tan92 G= = @ tan:2
1
G =ℎ1/+ℎ1.+ℎ1=
Công thức về góc:
sin82 = R @ − *! @ − 7!*7 sin92 =R @ − +! @ − 7!+7 sin:2 =R @ − +! @ − *!+* cos82 =R@ @ − +!
*7 cos92 =R@ @ − *!+7 cos:2 =R@ @ − 7!+*
tan82 = R @ − *! @ − 7!
@ @ − +! tan92 = R @ − +! @ − 7!
@ @ − *! tan:2 = R @ − +! @ − *!
@ @ − 7!
Một số công thức trong tam giác vuông:
+ = *+ 7 1
ℎ = *1+71 *
= *′+
Một số công thức trong tam giác thường:
AI và AJ là phân giác của 98:S thì:
T9
T: =U9U: =898:
HA là chân đường cao từ A, OA là trung điểm BC:
89− 8: = 29:VVVV.WVVVVVVV?X?
H’ là trực tâm tam giác, HA là chân đường cao từ A:
X?X X?8 = X?9 X?:
Đẳng thức trong tam giác:
sin 8 + sin 9 + sin : = 4 cos82 cos92 cos:2
cos 8 + cos 9 + cos : = 4 sin82 sin92 sin:2 + 1
tan 8 + tan 9 + tan : = tan 8 tan 9 tan :
cot 8 cot 9 + cot 9 cot : + cot 8 cot : = 1 tan82 tan92 + tan92 tan:2 + tan82 tan:2 = 1 cot82 + cot92 + cot:2 = cot82 cot92 cot:2
Bất đẳng thức trong tam giác:
sin 8 + sin 9 + sin : ≤3√3
2
1 < cos 8 + cos 9 + cos : ≤32
1 < sin82 + sin92 + sin:2 ≤ 32
2 < cos82 + cos92 + cos:2 ≤3√3
2
sin 8 sin 9 sin : ≤3√3
8 sin82 sin92 sin:2 ≤18 cos 8 cos 9 cos : ≤18 cos82 cos92 cos:2 ≤3√3
8
Trang 5sin8 + sin9 + sin: ≤ 92
tan + + tan 9 + tan : ≥ 3√3
tan82 + tan92 + tan:2 ≥ √3
tan82 tan92 tan:2 ≤ 1
3√3 cot 8 + cot 9 + cot : ≥ √3 cot82 + cot92 + cot:2 ≥ 3√3
HỆ THỨC TRONG TỨ GIÁC
E = R @ − +! @ − *! @ − 7! @ − ^! − +*7^ cos9 + _
2 Jớ- @ =+ + * + 7 + ^2
E =8: 9_ sin 2 Jớ- >à aó7 a-ữ+ ℎ+- đườda 7ℎéf
Nếu tứ giác nội tiếp thì:Tích hai đường chéo bằng tổng tích hai cạnh đối
E = @ − +! @ − *! @ − 7! @ − ^!
-® -
VI PHÂN
Hàm lũy thừa:
^ )g! = )ghF ^)
^ +) + *! = + ^)
^ L1)M = −^))
^ L)1iM = −d))ihFi ^)
^j√)k =2√)^)
^j √)l k = ^)
d √)l ihF
Hàm lượng giác:
^ sin )! = cos ) ^)
^ cos )! = − sin ) ^)
^ tan )! =cos^)) = 1 + tan)! ^)
^ cot )! = −sin^))
Hàm lượng giác ngược:
^ sinhF)! = ^)
√1 − )
^ coshF)! = − ^)
√1 − )
^ tanhF)! =1 + )^)
^ cothF)! = −1 + )^)
Hàm mũ và logarithme:
^ ln )! =^))
^ log/)! =) ln +^)
^ op! = op ^)
^ +p! = +pln + ^)
Trang 66 Px!phangiakhue
TÍCH PHÂN
Hàm lũy thừa:
q r ^) = r) + 7
q^)) = ln|)|
q )i ^) =d + 1 + 7)isF
q )ti ^) =< + d )d tsii + 7
q √)l ^) =d + 1d l)isF+ 7
q^)) = −1) + 7
q^))i = − d − 1!)1 ihF+ 7
q^)
√)
l = d − 1d l)ihF+ 7
q +) + *!i ^) = +) + *!+ d + 1! + 7 ,isF ớ- d ≠ 1!
q+) + * =^) 1+ ln|+) + *| + 7 ,ớ- +) + * ≠ 0!
q ^ +) + *! = +) + * + 7
q +) + *!ti ^) =+ < + d! +) + *!d tsii + 7
q +) + *!^) i = −+ d − 1! +) + *!1 ihF+ 7
q √+) + *l ^) =+ d + 1! +) + *!d l ihF+ 7
q ^)
√+) + *
l = + d − 1! +) + *!d l ihF+ 7
Hàm lượng giác:
q sin ) ^) = − cos ) + 7
q cos ) ^) = sin ) + 7
q tan ) ^) = − ln|cos )| + 7
q cot ) ^) = ln|sin )| + 7
qsin^)) = − cot ) + 7
qcos^)) = tan ) + 7
q sin +) + *! ^) = −+ cos +) + *! + 71
q cos +) + *! ^) =1+ sin +) + *! + 7
q tan +) + *! ^) = −1+ ln|cos +) + *!| + 7
q cot +) + *! ^) =+ ln|sin +) + *!| + 71
qsin +) + *! = −^) 1+ cot +) + *! + 7
qcos +) + *! =^) 1+ tan +) + *! + 7
Hàm logarithme:
q op ^) = op+ 7
q owp ^) =1r owp+ 7
q +p ^) =ln + + 7+p
q +wp ^) =r1ln + + 7+p
q ohp ^) = −ohp+ 7
q ln ) ^) = ) ln ) − 1! + 7
q o/ps. ^) =1+ o/ps.+ 7
q +gpsx ^) =+ ln + + 7gpsx
q ln +) + *! ^) =1+ +) + *!'ln +) + *! − 1( + 7
Trang 7Hàm phân thức:
q+) + * =^) 1+ ln|+) + *| + 7
q)^)+ 1 = tanhF) + 7
q)^)− 1 =12 ln y) − 1) + 1y + 7
q)^)+ + = 1+ tanhF)
+ + 7
q)^)− + =2+ ln z1 ) − +) + +z + 7
q ) + $!^)+ a = a tan1 hF) + $
a + 7
q ) + $!^)− a = 2a ln {1 ) + *! − +
) + $! + +{ + 7
Hàm căn thức:
q ^)
√1 − ) = sinhF) + 7
q ^)
) ± 1= ln z) + )± 1z + 7
q ^)
√+− ) = sinhF)
+ + 7
q ^)
) ± + = ln z) + )± +z + 7
q +− ) ^) =)2+− ) ++2 sin hF)
+ + 7
q )± + ^) =)2 ) ± + ++2 ln z) + ) ± +z + 7
a − ) + $! =1α sinhF) + $
a + 7
) + $!± a = 1 ln z ) + $! + ) + $!± +z + 7
q a− ) + $! ^) = ) + $!
2 a− ) + $! +2 sin+ hF) + $
a + 7
q ) + $!± a ^) =) + $2 ) + $!± ++2 ln z) + ) + $!a ± az + 7