Lµ b×nh ph¬ng cña mét sè tù nhiªn.. TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ADM.[r]
Trang 1phòng giáo dục và
năm học: 2008 - 2009
(Hớng dẫn giải trên máy tính fx 570 MS, điểm tối đa là 50 điểm)
Bài1:
a Tìm số d trong phép chia
2 , 2
1 9 8 , 4 5 , 2 7 , 1
x
x x x
x x
b Tính 2,5% của
0,04
8,0đ
a)
(5,0 đ)
Ta có P(x) = Q(x)(x-a) + r, với P(x), Q(x) là các đa thức, r là số d Cho x = a ta đợc
r = P(x), Do đó bài toán tìm số d trong phép chia đa thức cho đơn thức trở thành bài
Tính P(2,2): 2,2 5 2 1,7 1,25đ
4 2,5 3 4,8 1,25đ
2 9 1
Kq: r = P(2,2) = 85,43712
1,25đ
b)
(3,0đ)
2 2 3 0,04 2,5 100
Kq: 0,458333333.
1,5đ
Bài 2:
a.Tính giá trị biểu thức: A =
2
với a = 3
(Chính xác đến 0,01).
b Cho biểu thức B = 3(sin8x – cos8x) + 4(cos6x – 2sin6x) + 6sin4x Chứng
minh rằng biểu thức B không phụ thuộc vào x
8,0đ
a)
(4,0đ)
a
a a
a a
a
1 1
1 1
1 3 : 1
1
2
2 2
1,0đ
Với a = 3
3 2
2 3
2
3
ấn:
1 2 Kq: 0,73. 1,0đ
b)
(4,0đ)
B = 3(sin4x + cos4x)(sin2x + cos2x)(sin2x - cos2x) + 4(cos6x – 2sin6x) + 6sin4x
= 3sin 6 x + 3 cos 4 x.sin 2 x - 3 sin 4 x cos 2 x - 3cos 6 x + 4cos 6 x - 8sin 6 x + 6sin 4 x 1,0đ
= 3 cos 4 x.sin 2 x - 3 sin 4 x cos 2 x + cos 6 x - 5sin 6 x + 6sin 4 x
= 3 cos 4 x.sin 2 x - 3 sin 4 x cos 2 x + cos 6 x + 6sin 4 x(1 - sin 2 x) + sin 6 x 1,0đ
= 3 cos 4 x.sin 2 x - 3 sin 4 x cos 2 x + cos 6 x + 6sin 4 x.cos 2 x + sin 6 x
= 3 cos 4 x.sin 2 x + 3 sin 4 x cos 2 x + cos 6 x + sin 6 x 1,0đ
= 3 cos 2 x.sin 2 x(cos 2 x + sin 2 x) + (cos 2 x + sin 2 x) 3 - 3 sin 2 x cos 2 x(sin 2 x + cos 2 x) = 1
^ +
^
-=
a b/c
A
Trang 2Bài 3:
a)
(4,0đ)
b)
(2,0đ)
c)
(2,0đ)
Bài 3: Dân số một nớc là 80 triệu, mức tăng dân số trong một năm bình quân là
1,2%
a Viết công thức tính dân số sau n năm
b Viết quy trình bấm phím tính dân số sau 20 năm
c Dân số nớc đó sau n năm (nZ+) sẽ vợt 100 triệu Tìm số n bé nhất
8,0đ
Gọi số dân ban đầu là a và mức tăng dân số hàng năm là m%.
Sau 2 năm tổng số dân sẽ là: a(1 + m) + a(1 + m).m = a.(1 + m) 2 1,0đ Sau 3 năm tổng số dân sẽ là: a.(1 + m) 2 + a.(1 + m) 2 m = a.(1 + m) 3 1,0đ
b áp dụng bằng số với a = 80.000.000; m = 1,2%; n = 20 ta có:
80.000.000 1 0,012 20
Kq: 101 554 749 ngời
2,0đ
c Ta có: a.(1 + m) n = 100 000 000., m = 1,2%
Với n = 19 ta tìm đợc số dân 100 350 542 ngời.
Với n = 18 ta tìm đợc số dân 99 160 615 ngời
1,0đ
Vậy số n (nZ+) nhỏ nhất để dân số vợt quá 100 triệu dân là: n = 19. 1,0đ
Bài 4
4,0đ
1.0đ
1.0đ
Bài 4: Cho số a = 1.2.3…17 (Tích của 17 số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ số 1)
Hãy tìm ớc số lớn nhất của a, biết ớc số đó:
a Là bình phơng của một số tự nhiên
b Là lập phơng của một số tự nhiên
6,0đ
Số a = 1.2.3…17 chứa các luỹ thừa của 2:
2 x 22 x 2 x 23 x 2 x 22 x 2 x 24 = 215
Vì trong tích a = 1.2.3…17 có mặt các số: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 1,0đ
Số a chứa các luỹ thừa của 3: 3 x 3 x 32 x 3 x 3 = 36 (vì a chứa các số: 3, 6, 9,
Số a chứa các luỹ thừa của 5: 5 x 5 x 5 = 53 (vì a chứa các số: 5, 10, 15) 1,0đ
Số a chứa các luỹ thừa của 7: 7 x 7 = 72 (vì a chứa các số: 7, 14) 1,0đ
a ớc số lớn nhất của a là bình phơng của một số tự nhiên là:
214 x 36 x 52 x 72 = (27 x 33 x 5 x 7)2 = 1209602 = 14 631 321 600
1,0đ
b ớc số lớn nhất của a là lập phơng của một số tự nhiên là:
215 x 36 x 53 = (25 x 32 x 5)3 = 14403 = 2 985 984 000
Kq: a 4 631 321 600; b 2 985 984 000.
1,0đ
Bài 5
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = a =14,25cm; AC = b = 23,5cm.
AM, AD thứ tự là các đờng trung tuyến và phân giác của tam giác
a Tính độ dài đoạn thẳng BD và CD (Chính xác đến 0,0001)
b Tính diện tích tam giác ADM (Chính xác đến 0,0001)
11đ
a)
(6,0đ)
B
A
0,75
đ
(
x
Trang 3a Ta có: BC2 = AB2+ AC2 = a2 + b2 (Theo Pitago)
Theo tính chất đờng phân giác ta có:
AC AB
AB CD
BD
BD AC
AB CD
BD
0,75
đ
b a
a BC
BD
BD =
b a
b a a b a
BC a
2 2
đ
Và CD = BC - BD =
b a
b a b b a
b a a b a
2 2 2
2 2
đ
Tính BD:
14,25 14,25 23,5 0,75 đ
14,25 23,5
1 4 Kq: 10,3744 cm.
0,75
đ
Tính CD:
23,5 14,25 23,5 0,75 đ
14,25 23,5
1 4 Kq: 17,1086 cm.
0,75
đ
b)
(5,0đ)
Gọi x là diện tích tam giác ADM, S là diện tích tamgiác AMC (và cũng là diện
tích tam giác AMB), ta có:
b
a AC
AB CD
BD S
S
ACD
ABD
0,75
đ
SABD = SABM - SADM = S - x; SACD = S + x ; Vậy
b
a x S
x S
đ
Mà S =
2
1 SABC =
4
.b a
b
a x ab x ab b
a x ab
x ab
4
4 : 4 4 4
đ
b
a x ab
x ab
4
4
bx ax b a ab ax b a bx
) ( 4
) ( )
( ) ( 4
b a
a b ab x a b ab b a x
1 4
Kq: 20,5139.
0,75
đ
(5,0đ) Điều kiện: x, y, z 0 từ phơng trình đã cho ta có:
y2z2 + z2x2 + x2y2 = 3xyz xyz > 0 1,5 đ
áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có: y2z2 + z2x2 + x2y2
33 x4y4z4
Từ đó ta có: 3xyz 33 x4y4z4 hay xyz 1 Do xyz > 0 , xyz Z,
nên xyz = 1
2,0 đ
x
x
MODE
MODE
Trang 4Từ đó ta có các nghiệm: (1, 1, 1); (1, -1, -1); (-1, -1, 1); (-1, 1, -1) 1,5 đ
Bài 7
Bài 7: Chứng minh rằng số D dới đây là một số chính phơng:
D = 11 1 x 100 05 + 1
2009 số 1 2008 số 0 4,0 đ
Đặt 11 1 = a, ta có 100 05 = 9a + 6
2009 số 1 2008 số 0
2,0 đ
Suy ra D = a(9a + 6) + 1 = (3a + 1)2 = ( 33 34 ) 2
2008 số 3
Vậy D là một số chính phơng
2,0 đ
Ghi chú: Học sinh giải theo cách khác mà đúng vẫn cho điểm từng phần
tơng ứng theo hớng dẫn chấm.