Vẽ đường tròn (O’) đường kính EB, qua trung điểm H của AE vẽ dây cung CD của đường tròn (O) và vuông góc với AE, BC cắt đường tròn (O’) tại I.. Đường thẳng vuông góc với CM kẻ từ O cắt M[r]
Trang 1PHÒNG GD&ĐT GIO LINH KỲ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP 9
NĂM HỌC 2015 - 2016
Khoá ngày 27 tháng 10 năm 2015
Đề thi môn: Toán
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (4,5 điểm): Cho biểu thức:
P
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm x nguyên dương để P nhận giá trị nguyên
Bài 2 (4,0 điểm):
a) Cho hàm số: f ( x )=(x3 +6 x − 7)2012
Tìm f(a) với a=√33+√17 +√33 −√17
b) Tìm tất cả các giá trị của x, y, z sao cho:
1
x y z z x (y 3)
2
Bài 3 (4,0 điểm):
a) Với a, b là các số nguyên và a – b là số nguyên chẵn Chứng minh rằng: Nếu 4a + 3ab 11b2 2 chia hết cho 5 thì (a2 - b2) chia hết cho 20
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của
A = xyz + yz
x +
zx
y với x,y,z là các số dương và x2 + y2 + z2 = 1
Bài 4 (4,5 điểm): Cho đường tròn tâm O đường kính AB; E là một điểm bất kì thuộc đường kính AB (E khác A và B) Vẽ đường tròn (O’) đường kính EB, qua trung điểm H của AE vẽ dây cung CD của đường tròn (O) và vuông góc với AE,
BC cắt đường tròn (O’) tại I Chứng minh rằng:
a) Ba điểm I, E, D thẳng hàng
b) HI là tiếp tuyến của đường tròn (O’)
c) HA2 +HB2 +HC2 +HD2 không đổi khi E chuyển động trên đường kính AB
Bài 5 (3,0 điểm): Cho tam giác ABC vuông cân tại A Gọi M, N, O lần lượt là
trung điểm của AB, AC, BC Đường thẳng vuông góc với CM kẻ từ O cắt MN tại
G, cắt AC tại P Chứng minh:
a) DOPN DCMA
b) G là trọng tâm của tam giác AMC
Hết./.
Trang 2PHÒNG GD&ĐT GL HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Năm học 2015-2016 Môn: Toán
I a) 3,0 đ
4,5 đ (ĐK: x ≥ 0; x ≠ 1)
A
A=
=
=
=
=
3
x x
0,25 0,75 0,5 0,5 0,5 0,5
b) 1,5đ
Ta có:
3
x P
x
=
− 5(√x +3) +17
√x +3 =−5+
17
√x+3
0,5 0,5 0,5
II a) 2,0 đ
4 đ Ta có: a=√33+√17 +√33 −√17 Û a3 =6 −6(√33+√17+√33 −√17)
Û a3+6 a− 6=0
Từ đó: f (a )=(a3+6 a −7)2012=(a3+6 a −6 − 1)2012=1
1,0
0,5 0,5 b) 2,0 đ
Điều kiện x ≥ 0; y z ≥ 0; z x ≥ 0 y ≥ z ≥ x ≥ 0
(b) 2 x 2 y z 2 z x x y z z x 3
( x 1) 2 ( y z 1) 2( z x 1) 2 0
x 1
y z 1
z x 1
x 1
y 3
z 2
(thỏa điều kiện)
0,5 0,5 0,5
0,5
III a) 2,0 đ
4 đ Ta có : 4a2 + 3ab -11b2 M5Þ (5a2 +5ab -10b2) – (a2 + 2ab + b2)M5 0,5
Trang 3Þ (a2 + 2ab + b2)M5 Þ (a + b)2 M5 Þ (a + b)M5 ( Vì 5 là số nguyên tố)
Þ a2 – b2 = (a + b)(a – b)M5
a + b và a – b có cùng tính chẵn lẻ mà a – b là số nguyên chẵn
nên (a + b)(a – b)M4
ta có: (4, 5) = 1 Do đó (a2 – b2 )M20
0,5 0,5
0,5 b) 2,0 đ
A = xyz + yz
x +
zx
y
Nên A2 = x2y2
z2 +y2z2
x2 +z2x2
y2 + 2 ( vì x2+y2+z2 =1) = B +2
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương ta có
2 2 2 2 2 2 2 2
2
y
Tương tự y
2
z2
x2 +
z2x2
y2 ≥2 z
2
x
2
y2
z2 +z2x2
y2 ≥2 x2
Cộng vế với vế ta được 2B 2 ⇒ B≥ 1
Do đó A2 = B +2 3 nên A √3
Vậy Min A = √3 ⇔ x=y=z= √33
0,5
0,5 0,5
0,5
IV a) 1,5 đ
4,5 đ
*Tứ giác ACED là hình thoi
(vì hai đường chéo vuông góc và cắt nhau tại trung điểm)
Þ AC // DE (1)
*I Î (O’), EB là đường kính Þ EI IB hay EI BC; C Î (O),
AB là đường kính Þ AC BC Þ EI // AC (2)
*Từ (1) và (2) => D, E, I thẳng hàng (đpcm)
0,5
0,5 0,5 b) 1,5đ
Trang 40,25 0,5 0,25 0,5
0,5 0,25 0,5 0,25
Trong tam giác vuông ICD có IH = HD =
1
2CD Þ DHID cân
Þ HID HDI và O 'IB B mà D B (cùng phụ với BCD )
HID O 'IB
Do đó: HIO ' 900, suy ra HI là tiếp tuyến của (O’)
c) 1,5
-Ta có: HA2 + HC2 = AC2 ; HB2 + HD2 = BD2
- Mà BD = BC (do AB là đường trung trực của CD)
Nên HA2 + HB2 + HC2 + HD2 = AC2 + BC2
-Mặt khác: ACB nội tiếp đường tròn đường kính AB ACB
vuông tại C AC2 + BC2 = AB2 = 4R2
-Vậy, tổng HA2 + HB2 + HC2 + HD2 = 4R2 không đổi khi E chuyển
động trên đường kính AB
V a) 1,0 đ
3,0đ Bài 5:
*AMON là hình vuông vì có bốn cạnh bằng nhau và có một góc
vuông
*Xét D ONP và DCAM có ONP=CAM=90· · 0và OPN=CMA· · (cùng phụ
với ·ACM)
Nên D ONP DCAM
0,5 0,75 0,25
0,5
0,5 0,5
b) 1,5 đ
D ONP DCAM
1 2
Vì NP//OM nên:
1 2
2
Mà MN là trung tuyến của tam giác MAC Do đó G là trọng tâm của
tam giác MAN
*Lưu ý: Nếu học sinh giải cách khác tùy theo cách giải mà cho điểm tương ứng theo từng phần.