Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị.. 4) Định p để trên (C) có 2 tiếp tuyến có hệ số góc bằng p, trong trường hợp này chứng tỏ.. trung điểm của hai tiếp điểm là điểm cố định[r]
Trang 1Các vấn đề liên quan đến hàm số bậc 3
y = ax3 + bx2 + cx + d với a 0 cĩ đồ thị là (C)
I/ Các kiến thức liên quan đến Đơn điệu - Cực trị
1) a > 0 và y’ = 0 vơ nghiệm hàm số tăng trên R (luơn luơn tăng)
2) a < 0 và y’ = 0 vơ nghiệm hàm số giảm (nghịch biến) trên R (luơn luơn
giảm)
3) Hàm số khơng cĩ cực trị y ' 0 vơ nghiệm
4) a > 0 và y’ = 0 cĩ 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2
hàm số đạt cực đại tại x1 và đạt cực tiểu tại x2
Ngồi ra ta cịn cĩ:
+ x1 + x2 = 2x0 với x0 là hồnh độ điểm uốn
+ hàm số tăng trên (, x1) và trên (x2, +)
+ hàm số giảm trên (x1, x2)
5) a < 0 và y’ = 0 cĩ 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2
hàm đạt cực tiểu tại x1 và đạt cực đại tại x2 thỏa điều kiện
x1 + x2 = 2x0 (x0 là hồnh độ điểm uốn) Ta cũng cĩ:
+ hàm số giảm trên (, x1) và trên (x2, +)
+ hàm số tăng trên (x1, x2)
II/ Cách viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị
-Tính y’.Tìm điều kiện để hàm số cĩ cực trị Thực hiện phép tính y y : '
-Viết y = k(Ax + B)y’ + r x + q
-Gọi ( ; ) x y0 0 là tọa độ điểm cực trị y x '( ) 00 từ đĩ suy ra
y rx q
-Kết luận y rx q là đường thẳng đi qua cực trị (nhớ kết hợp với đk để
hàm số cĩ cực trị)
III/ Giao điểm của đồ thị với trục hồnh :
1) C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt
0 ) 2 x(
y ).
1
x(
y
2 x, 1 x biệt ân nghiệm ph 2
có 0 'y
2) Giả sử a > 0 ta cĩ:
a) (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt >
0 ) 2 x ( y ).
1 x ( y
0 ) ( y
2 x 1 x thỏa biệt ân nghiệm ph 2
có 0 'y
b) (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt <
0 ) 2 x ( y ).
1 x ( y
0 ) ( y
2 x 1 thỏa biệt ân nghiệm ph 2
có 0 'y
Tương tự khi a < 0 3) (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt cách đều nhau y’ = 0 cĩ 2 nghiệm phân biệt và y (x0) = 0 Với x0 là hồnh độ điểm uốn
IV/ Biện luận số nghiệm của phương trình : ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 (1) (a 0) khi x
= là 1 nghiệm của (1).
Nếu x = là 1 nghiệm của (1), ta cĩ
ax3 + bx2 + cx + d = (x - )(ax2 + b1x + c1) nghiệm của (1) là x = với nghiệm của phương trình ax2 + b1x + c1 = 0 (2)
Ta cĩ các trường hợp sau:
1) nếu (2) vơ nghiệm thì (1) cĩ duy nhất nghiệm x = 2) nếu (2) cĩ nghiệm kép x = thì (1) cĩ duy nhất nghiệm x = 3) nếu (2) cĩ 2 nghiệm phân biệt thì (1) cĩ 3 nghiệm phân biệt 4) nếu (2) cĩ 1 nghiệm x = và 1 nghiệm khác thì (1) cĩ 2 nghiệm
5) nếu (2) cĩ nghiệm kép thì (1) cĩ 2 nghiệm
V/ Tiếp tuyến của đồ thị : Gọi I là điểm uốn Cho M (C).
Nếu M I thì ta cĩ đúng 1 tiếp tuyến qua M
Nếu M khác I thì ta cĩ đúng 2 tiếp tuyến qua M
Biện luận số tiếp tuyến qua 1 điểm N khơng nằm trên (C) ta cĩ nhiều trường hợp hơn
Ghi chú : Đối với hàm bậc 3 : y = ax3 + bx2 + cx + d, ta cĩ:
i) Nếu a > 0 thì tiếp tuyến tại điểm uốn cĩ hệ số gĩc nhỏ nhất
ii) Nếu a < 0 thì tiếp tuyến tại điểm uốn cĩ hệ số gĩc lớn nhất
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1 : Cho họ đường cong bậc ba (Cm) và họ đường thẳng (Dk) lần lượt cĩ phương trình
là
y = x3 + mx2 m và y = kx + k + 1
PHầN I Trong phần này cho m = 3 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
1) Gọi A và B là 2 điểm cực đại và cực tiểu của (C) và M là điểm bất kỳ trên cung AB với
M khác A, B Chứng minh rằng trên (C) ta tìm được hai điểm tại đĩ cĩ tiếp tuyến
vuơng gĩc với tiếp tuyến tại M với (C)
2) Gọi là đường thẳng cĩ phương trình y = 1 Biện luận số tiếp tuyến với (C) vẽ từ E
với (C)
3) Tìm E để qua E cĩ ba tiếp tuyến với (C) và cĩ hai tiếp tuyến vuơng gĩc với nhau
4) Định p để trên (C) cĩ 2 tiếp tuyến cĩ hệ số gĩc bằng p, trong trường hợp này chứng tỏ
trung điểm của hai tiếp điểm là điểm cố định
5) Tìm M (C) để qua M chỉ cĩ một tiếp tuyến với (C)
PHầN I I.Trong phần này cho tham số m thay đổi.
6) Tìm điểm cố định của (Cm) Định m để hai tiếp tuyến tại hai điểm cố định này vuơng gĩc
nhau
7) Định m để (Cm) cĩ 2 điểm cực trị Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị
8) Định m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt
9) Định m để : a) hàm số đồng biến trong (1, 2) b) hàm số nghịch biến trong (0, +)
10) Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm cĩ hồnh độ tạo thành cấp số cộng
11) Tìm điều kiện giữa k và m để (Dk) cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt Tìm k để
(Dk) cắt (Cm) thành hai đoạn bằng nhau
12)Viết phương trình tiếp tuyến với (Cm) và đi qua điểm (-1, 1)
13)Chứng minh rằng trong các tiếp tuyến với (Cm) thì tiếp tuyến tại điểm uốn cĩ hệ số gĩc
lớn nhất
Bài 2: Cho hàm số y x3 3 mx2 3(1 m x m2) 3 m2 Viết
phương trình đường thẳng đi qua cực trị của hàm số
Bài 3: Tìm m để f x x3 mx2 7 x 3 cĩ đường thẳng đi qua CĐ,
Bài 4: Tìm m sao cho đồ thị hàm số cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt :
3 )
1 ( 3 ) 1 4
3
y
Bài 5: Định m để ( Cm) cắt trục Ox tại duy nhất một điểm
-Bài 6: Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I (1;2) với hệ số gĩc k ( k 3) đều cắt đồ thị hàm số
3 3 2 4
y x x tại ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm
của đoạn thẳng AB Bài 7:Tìm m để (Cm) y x 3 3 mx2 9 x 7cắt trục Ox tại 3 điểm
phân biệt cĩ hồnh độ lập thành CSC
Bài 8: Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số
1 ) 1 (
3
A(1; 2) Bài 9: Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị hàm số
1
2
y x x xvà cm tiếp tuyến tại điểm uốn cĩ hệ số gĩc nhỏ nhất Bài 10: Viết pt tt của đồ thị (C) 1 3 2
3
y x x x , biết tt này đi qua gốc
tọa độ O
Bài 11: Cho hs y = x - 3x + 23 2 Tìm M trên y = -2 sao cho từ đĩ kẻ đến (C) hai TT vuơng gĩc nhau
Bài 12: Tìm m để đồ thị (Cm) y x3 (2 m 1) x2 m 1 tiếp xúc với đường thẳng y 2 mx m 1
Bài 13: Tìm m để đồ thị hàm số y x 3 3 x2 m cĩ hai điểm phân
Trang 2CT vuơng gĩc với y 3x 7. biệt đối xứng với nhau qua gốc toạ độ
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1 : Cho họ đường cong bậc ba (Cm) và họ đường thẳng (Dk) lần lượt cĩ phương trình
là
y = x3 + mx2 m và y = kx + k + 1
PHầN I Trong phần này cho m = 3 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
1) Gọi A và B là 2 điểm cực đại và cực tiểu của (C) và M là điểm bất kỳ trên cung AB với
M khác A, B Chứng minh rằng trên (C) ta tìm được hai điểm tại đĩ cĩ tiếp tuyến
vuơng gĩc với tiếp tuyến tại M với (C)
2) Gọi là đường thẳng cĩ phương trình y = 1 Biện luận số tiếp tuyến với (C) vẽ từ E
với (C)
3) Tìm E để qua E cĩ ba tiếp tuyến với (C) và cĩ hai tiếp tuyến vuơng gĩc với nhau
4) Định p để trên (C) cĩ 2 tiếp tuyến cĩ hệ số gĩc bằng p, trong trường hợp này chứng tỏ
trung điểm của hai tiếp điểm là điểm cố định
5) Tìm M (C) để qua M chỉ cĩ một tiếp tuyến với (C)
PHầN I I.Trong phần này cho tham số m thay đổi.
6) Tìm điểm cố định của (Cm) Định m để hai tiếp tuyến tại hai điểm cố định này vuơng gĩc
nhau
7) Định m để (Cm) cĩ 2 điểm cực trị Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị
8) Định m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt
9) Định m để : a) hàm số đồng biến trong (1, 2) b) hàm số nghịch biến trong (0, +)
10) Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm cĩ hồnh độ tạo thành cấp số cộng
11) Tìm điều kiện giữa k và m để (Dk) cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt Tìm k để
(Dk) cắt (Cm) thành hai đoạn bằng nhau
12)Viết phương trình tiếp tuyến với (Cm) và đi qua điểm (-1, 1)
13)Chứng minh rằng trong các tiếp tuyến với (Cm) thì tiếp tuyến tại điểm uốn cĩ hệ số gĩc
lớn nhất
Bài 2: Cho hàm số y x3 3 mx2 3(1 m x m2) 3 m2 Viết
phương trình đường thẳng đi qua cực trị của hàm số
Bài 3: Tìm m để f x x3 mx2 7 x 3 cĩ đường thẳng đi qua CĐ,
CT vuơng gĩc với y 3x 7.
Bài 4: Tìm m sao cho đồ thị hàm số cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt :
3 )
1 ( 3 ) 1 4
3
y
Bài 5: Định m để ( Cm) cắt trục Ox tại duy nhất một điểm
-Bài 6: Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I (1;2) với hệ số gĩc k ( k 3) đều cắt đồ thị hàm số
y x x tại ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm
của đoạn thẳng AB Bài 7:Tìm m để (Cm) y x 3 3 mx2 9 x 7cắt trục Ox tại 3 điểm
phân biệt cĩ hồnh độ lập thành CSC
Bài 8: Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số
1 ) 1 (
3
A(1; 2) Bài 9: Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị hàm số
1
2
y x x xvà cm tiếp tuyến tại điểm uốn cĩ hệ số gĩc nhỏ nhất Bài 10: Viết pt tt của đồ thị (C) 1 3 2
3
y x x x , biết tt này đi qua gốc
tọa độ O
Bài 11: Cho hs y = x - 3x + 23 2 Tìm M trên y = -2 sao cho từ đĩ kẻ đến (C) hai TT vuơng gĩc nhau
Bài 12: Tìm m để đồ thị (Cm) y x3 (2 m 1) x2 m 1 tiếp xúc với đường thẳng y 2 mx m 1
Bài 13: Tìm m để đồ thị hàm số y x 3 3 x2 m cĩ hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc toạ độ
Các vấn đề liên quan đến hàm số bậc 3
y = ax3 + bx2 + cx + d với a 0 cĩ đồ thị là (C)
I/ Các kiến thức liên quan đến Đơn điệu - Cực trị
1) a > 0 và y’ = 0 vơ nghiệm hàm số tăng trên R (luơn luơn tăng)
2) a < 0 và y’ = 0 vơ nghiệm hàm số giảm (nghịch biến) trên R (luơn luơn
giảm)
3) Hàm số khơng cĩ cực trị y ' 0 vơ nghiệm
4) a > 0 và y’ = 0 cĩ 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2
hàm số đạt cực đại tại x1 và đạt cực tiểu tại x2
Ngồi ra ta cịn cĩ:
+ x1 + x2 = 2x0 với x0 là hồnh độ điểm uốn
+ hàm số tăng trên (, x1) và trên (x2, +)
+ hàm số giảm trên (x1, x2)
5) a < 0 và y’ = 0 cĩ 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2
hàm đạt cực tiểu tại x1 và đạt cực đại tại x2 thỏa điều kiện
x1 + x2 = 2x0 (x0 là hồnh độ điểm uốn) Ta cũng cĩ:
+ hàm số giảm trên (, x1) và trên (x2, +)
+ hàm số tăng trên (x1, x2)
II/ Cách viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị
-Tính y’.Tìm điều kiện để hàm số cĩ cực trị Thực hiện phép tính y y : '
-Viết y = k(Ax + B)y’ + r x + q
-Gọi ( ; ) x y0 0 là tọa độ điểm cực trị y x '( ) 00 từ đĩ suy ra
y rx q
-Kết luận y rx q là đường thẳng đi qua cực trị (nhớ kết hợp với đk để
hàm số cĩ cực trị)
III/ Giao điểm của đồ thị với trục hồnh :
1) C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt
0 ) 2 x ( y ).
1 x ( y
0 ) ( y
2 x 1 x thỏa biệt ân nghiệm ph 2
có 0 'y
b)(C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt <
0 ) 2 x ( y ).
1 x ( y
0 ) ( y
2 x 1 thỏa biệt ân nghiệm ph 2
có 0 'y
Tương tự khi a < 0 3) (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt cách đều nhau y’ = 0 cĩ 2 nghiệm phân biệt và y (x0) = 0 Với x0 là hồnh độ điểm uốn
IV/ Biện luận số nghiệm của phương trình : ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 (1) (a 0) khi x
= là 1 nghiệm của (1).
Nếu x = là 1 nghiệm của (1), ta cĩ
ax3 + bx2 + cx + d = (x - )(ax2 + b1x + c1) nghiệm của (1) là x = với nghiệm của phương trình ax2 + b1x + c1 = 0 (2)
Ta cĩ các trường hợp sau:
1) nếu (2) vơ nghiệm thì (1) cĩ duy nhất nghiệm x = 2) nếu (2) cĩ nghiệm kép x = thì (1) cĩ duy nhất nghiệm x = 3) nếu (2) cĩ 2 nghiệm phân biệt thì (1) cĩ 3 nghiệm phân biệt 4) nếu (2) cĩ 1 nghiệm x = và 1 nghiệm khác thì (1) cĩ 2 nghiệm
5) nếu (2) cĩ nghiệm kép thì (1) cĩ 2 nghiệm
V/ Tiếp tuyến của đồ thị : Gọi I là điểm uốn Cho M (C).
Nếu M I thì ta cĩ đúng 1 tiếp tuyến qua M
Nếu M khác I thì ta cĩ đúng 2 tiếp tuyến qua M
Biện luận số tiếp tuyến qua 1 điểm N khơng nằm trên (C) ta cĩ nhiều trường hợp hơn
Trang 3
0 ) 2 x(
y
).
1
x(
y
2 x, 1 x biệt ân nghiệm ph 2
có
0
'y
2) Giả sử a > 0
a) ta cĩ (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt >
Ghi chú : Đối với hàm bậc 3 : y = ax + bx + cx + d, ta cĩ: i) Nếu a > 0 thì tiếp tuyến tại điểm uốn cĩ hệ số gĩc nhỏ nhất ii) Nếu a < 0 thì tiếp tuyến tại điểm uốn cĩ hệ số gĩc lớn nhất