Giáo án tự chọn môn toán Lớp 11

Tài liệu tham khảo Giáo án tự chọn môn toán Lớp 11 gồm lý thuyết và bài tập theo từng chuyên đề

CHỦ ĐỀ 1 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

I TÓM TẮT VÀ BỔ SUNG KIẾN THỨC

A PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

1 Phương trình sinx = a

 Nếu |a| > 1 : Phương trình vô nghiệm

 Nếu |a|  1 : Phương trình có nghiệm là x =  + k2 và x =  -  + k2, k  , với sin

 = a

2 Phương trình cosx = a

 Nếu |a| > 1 : Phương trình vô nghiệm

 Nếu |a|  1 : Phương trình có nghiệm là x =   + k2, k  , với cos = a

Điều kiện: sinx  0 hay x  k, k  

Nghiệm của phương trình là x=  + k, k   với cot = a

B MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP:

1 Phương trình asinx + bcosx = c

 asinx + bsinx = c  sin(x + ) = 2c 2

Chú ý: Phương trình này có nghiệm khi và chỉ khi c 2  a 2 + b 2

2 Phương trình a(sinx + cosx) + bsinxcosx = c

Đặt t = sinx + cosx, |t|  2

Phương trình trở thành bt2 + 2at – (b + 2c) = 0

(Loại do điều kiện)

II RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN:

1 Phương trình đưa về phương trình tích:

Bài 1: Giải phương trình: 3tan2x.cot3x + 3 (tan2x – 3cot3x) – 3 = 0

Giải

Điều kiện của phương trình là cos2x  0 và sin3x  0

Ta biến đổi 3tan2xcot3x + 3 (tan2x – 3cot3x) – 3 = 0

 3tan2xcot3x + 3 tan2x – 3 3 cot3x – 3 = 0

 tan2x (3cot3x + 3 ) - 3 (3cot3x + 3 ) = 0



Giải:

Điều kiện của phương trình đã cho là: cosx  0, sinx  0 và cot x  -1

Ta biến đổi phương trình đã cho:

2

x x

Điều kiện của phương trình đã cho: cos3x  0, cos4x  0 và cos5x  0

2 Phương trình đưa về phương trình bậc hai của các hàm số lượng giác

Bài 4: Giải phương trình: 1+sin2x = 2(cos4x + sin4x)

Giải:

Ta có: 1 + sin2x = 2(cos4x + sin4x)

= 2[(cos2x + sin2x)2 – 2sin2xcos2x]

Đặt t = sin2x với điều kiện -1  t  1 ta được phương trình:

Đó cũng là các nghiệm của phương trình đã cho

Bài 5: Giải phương trình sin2x(tanx – 1) = cosx(5sinx – cosx) – 2

Giải:

Điều kiện của phương trình là cosx  0

Chia hai vế của phương trình cho cos2x ta được:

tan2x (tanx – 1) = 5tanx – 1 – 2(1+tan2x)

 tan3x – tan2x = 5tanx – 3 – 2 tan2x

 tan3x + tan2x – 5tanx + 3 = 0

Đặt t = tanx ta được phương trình

t3 + t2 – 5t +3 = 0  (t – 1)(t2 + 2t – 3) = 0  1

3

t t



�

� 

�Với t = 1, phương trình tanx = 1 có nghiệm

4

x  k , k  

Với t = -3, phương trình tanx = -3 có nghiệm x = arctan(-3) + k, k  

Các giá trị này thỏa mãn điều kiện của phương trình đã cho Vậy phương trình đã cho có các

Với cosx  0, chia hai vế của phương trình cho cos2x, ta được:

3 Phương trình asinx + bcosx = c

Bài 7: Giải phương trình 4cosx + 2 3 sinx + cos2x + 3 sin2x + 3 = 0

Giải:

Ta có: 4cosx + 2 3 sinx + cos2x + 3 sin2x + 3 = 0

 4cosx + 2 3 sinx + 2cos2x – 1 + 2 3 sinxcosx + 3 = 0

Bài 8: Giải phương trình:

2cos3x – sin2x(sinx + cosx) + cos2x(sinx + 2 ) - 2 (sin2x + 1) – 2cosx – sinx = 0

Giải:

Ta biến đổi phương trình đã cho:

2cos3x – sin2x(sinx + cosx) + cos2x(sinx + 2 ) - 2 (sin2x + 1) – 2cosx – sinx = 0

 2 (cos2x – sin2x – 1) + sinx(cos2x – sin2x – 1) + 2cos3x – sin2xcosx – 2cosx = 0

 (cos2x – sin2x – 1) ( 2 + sinx) + cosx(2cos2x – sin2x – 2) = 0

 (cos2x – sin2x – 1) ( 2 + sinx) + cosx(cos2x + 1 – sin2x – 2) = 0

 (cos2x – sin2x – 1)(cosx + sinx + 2 ) =0



24

4 Phương trình a(sinx + cosx) + bsinx + cosx = c

Bài 9: Giải phương trình cos2x + cos2x + (5 – 3cosx)(sinx + cosx) – 2 = 0

Giải:

Ta có: cos2x + cos2x + (5 – 3cosx)(sinx + cosx) – 2 = 0

 5(sinx + cosx) – 3cosxsinx = 3

Đặt t = sinx + cosx (- 2  t  2 ), phương trình trở thành:

3t2 – 10t + 30 = 0 

13

Biến đổi phương trình đã cho, ta được: 2sin3x + cos2x – 3cosx + 2 = 0

 2sinx (1-cos2x) + 2cos2x – 3cosx +1=0

 (1 – cosx)[2sinxcosx + 2(sinx – cosx) + 1} = 0

Phương trình (1)cho ta nghiệm x = k2, k  

Giải phương trình (2), đặt t = sinx – cosx (- 2  t  2 )

Với t = 1 - 3 , giải ra ta được:



4 3sin2x - 3 3 sinxcosx + sin2x - 3 cos2x = 3

6 cos3x(3tanx + 6 + 2 3 ) – 3tanx + (3 - 2 3 ) sin2x = 2 3

7 sin2x – 2sin2x + 3sinx – cosx = 1

8 ( 2 - 1)sinx - 2 cosx-cos3x = 0

9 (sinx + cosx)(3cosx + 2) = cos2x + cos2x + 3

A = n(n -1) … (n – k + 1).

k n

n A

7 Giải sử  là không gian mẫu, A và B là các biến cố

 \A = A được gọi là biến cố đối của biến cố A.

 A  B là biến cố xảy ra khi và chỉ khi A hoặc B xảy ra

 A  B là biến cố xảy ra khi và chỉ khi A và B cùng xảy ra A  B còn được viết là AB

 Nếu AB = , ta nói A và B cung khắc

C XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

8 Kí hiệu P(A) là xác suất của biến cố A, ta có: P(A) = ( )

 P(A B) = P(A) + P(B) nếu A  B = 

9.Ta nói hai biến cố A và B độc lập nếu sự xảy ra (hay không xảy ra) của A không làm ảnh

hưởng đến xác suất của B

A và B độc lập khi và chỉ khi P(AB) = P(A).P(B)

A và B độc lập  A và B độc lập

10 Công thức cộng mở rộng:

Giải sử A và B là hai biến cố tùy ý cùng liên quan đến một phép thử Lúc đó:

P (A  B) = P(A) + P(B) – P(AB)

D BIẾN NGẪU NHIÊN:

11 Biến ngẫu nhiên hay đại lượng ngẫu nhiên là một quy tắc cho ứng mỗi kết quả của phép

12 Kì vọng, phương sai, độ lệch chuẩn

Giả sử X là biến ngẫu nhiên có bảng phân phối (1) Kì vọng của X, kí hiệu E (X), là một sốđược cho bởi công thức:

Kì vọng của X là số đặc trưng cho giá trị trung bình của X

Phương sai là độ lệch chuẩn là số đặc trung cho độ phân tán của X so với kì vọng của X

II RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN:

Bài 1: Hỏi có bao nhiêu đa thức bậc ba P(x) = ax3 + bx2 + cx + d mà các hệ số a, b, c, d thuộc tập {-3, -2, 0, 2, 3} Biết rằng:

Theo quy tắc nhân có: 4 x 4 x 3 x 2 = 96 đa thức

Bài 2: Để tạo những tín hiệu, người ta dùng 2 lá cờ màu khác nhau cắm thành hàng ngang

Mỗi tín hiệu được xác định bở số lá cờ và thứ tự sắp xếp Hỏi có thể tạo ra bao nhiêu tín hiệu nếu:

a Cả năm lá cờ đều được dùng?

Bài 3: Từ một tổ gồm 6 bạn nam và 5 bạn nữ, chọn ngẫu nhiên 5 bạn xếp vào bànd 9ầu theo

những thứ tự khác nhau Tính xác suất sao cho trong cách xếp trên có đúng 3 bạn nam

Giải

Mỗi một sự sắp xếp chỗ ngồi cho 5 bạn là một chỉnh hợp chập 5 của 11 bạn

Vậy không gian mẫu  gồm 5

11

A (phần tử)

Kí hiệu A là biến cố: “Trong cách xếp trên có đúng 3 bạn nam”

Để tính n(A) ta lí luận như nhau:

- Chọn 3 nam từ 6 nam, có C cách 63

- Chọn 2 nữ từ 5 nữ, có 2

5

C cách.

- Xếp 5 bạn đã chọn vào bàn đầu theo những thứ tự khác nhau, có 5! Cách

Từ đó theo quy tắc nhân ta có: n(A) = 3

Bài 4: Một tổ chuyên môn gồm 7 thầy và 5 cô giáo, trong đó thấy P và cô Q là vợ chồng.

Chọn ngẫu nhiên 5 người để lập hội đồng chấm thi vấn đáp Tính xác suất để sao cho hộiđồng có 3 thầy, 2 cô và nhất thiết phải có thầy P hoặc cô Q nhưng không có cả hai

Giải:

Kết quả của sự lựa chọn là một nhóm 5 người tức là một tổ hợp chập 5 của 12 Vì vậykhông gian mẫu  gồm 5

12 792

Gọi A là biến cố cần tìm xác suất

B là biến cố chọn được hội đồng gồm 3 thầy, 2 cô trong đó có thầy P nhưng không có cô

a Hai bạn H và K đứng liền nhau;

b hai bạn H và K không đứng liền nhau

Giải:

Không gian mẫu  gồm các hoán vị của 6 bạn Do đó: n() = 6! Do việc xếp là ngẫu nhiên

 gồm các kết quả đồng khả năng

a Kí hiệu: A là biến cố “H và K đứng liền nhau”,

B là biến cố “H đứng ngay trước K”

C là biến cố “K đứng ngay trước H”

Bài 6: Tổ I có 6 nam và 7 nữ, tổ II có 8 nam và 4 nữ Để lập một đoàn đại biểu, lớp trưởng

chọn ngẫu nhiên từ mỗi tổ hai người Tính xác suất sao cho đoàn đại biểu gồm toàn nam hoặc toàn nữ

Giải:

Gọi: A là biến cố: “Đoàn đại biểu được chọn gồm toàn nam hoặc toàn nữ”,

B là biến cố: “Đoàn đại biểu được chọn gồm toàn nam”,

C là biến cố: “Đoàn đại biểu được chọn gồm toàn nữ”

Bài 7: Xét phép thử gieo một đồng tiền 3 lần

a Xác định không gian mẫu

b Gọi X là số lần xuất hiện mặt gấp S, hãy liệt kê các giá trị mà X có thể nhận

c Tính các xác suất để X nhận các giá trị đó Lập bảng phân phối xác suất của X

Giải:

a Trong phép thử gieo đồng tiền 3 lần, không gian mẫu gồm 23 = 8 phần tử

 = {SSS, SSN, SNS, NSS,SNN, NSN, NNS, NNN}

Trong đó chẳng hạn NSN là kết quả đồng tiền lần đầu ngửa, lần thứ hai sấp, lần thứ ba ngửa

b X có thể nhận các giá trị 0, 1, 2, 3 Chẳng hạn: “X nhận giá trị 1: khi xảy ra một trong các kết quả SNN, NSN, NNS, nghĩa là:

[X = 1] = {SNN, NSN, NNS}

c Vì [X = 0] = {NNN} nên P[X = 0] = 1

8Tương tự [X = 1] = {NNS, SNN, NSN} nên P[X = 1] = 3

8[X = 2] = {SSN, SNS, NSS} nên P[X = 2] = 3

8[X = 3] = {SSS } nên P[X = 3] = 1

38

18

Bài 8: Từ một hộp có 3 bi xanh và 6 bi đỏ, chọn ngẫu nhiên 4 bi Gọi Y là số bi xanh trong 4

bi đã chọn

a Lập bảng phân phối xác suất của Y

b Tính xác suất sao cho trong 4 bi đã chọn có ít nhất 1 bi xanh

b Tính xác suất sao cho trong 4 bi đã chọn có nhiều nhất 2 bi đỏ,

d Tính kì vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của Y

126

C C

Tổng quát ta có: P[Y = k] =

4

3 6 4 9

k k

C C C

45126

6126

b Kí hiệu [Y  a] là biến cố “Y nhận giá trị lớn hơn hoặc bằng a”

Ta tính P[Y  1]

Vì [Y  1] là biến cố đối của biến cố [Y = 0] nên:

P[Y  1] = 1 – P [Y = 0] = 1 - 5 111 0,881

c Vì số bi đỏ được lấy là 4 – Y và 4 – Y  2  Y  2 nên

P[Y  2] = P[Y = 2] + P[Y = 3] = 45 6 51 0, 405

a Không có hai bạn cùng lớp ngồi đối diện nhau

b Không có hai bạn cùng lớp ngồi đối diện nhau hoặc cạnh nhau?

3 Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho 10 bạn vào ngồi quanh 2 bàn tròn sao cho bàn thứ nhất

có 6 bạn, bàn thứ hai có 4 bạn? Chú ý rằng hai cách xếp n người cụ thể vào ngồi quanh bàn tròn được coi là như nhau nếu bạn bên trái mỗi người trong cách xếp này cũng chính là bạn trong cách xếp kia

4 Có bao nhiêu cách xếp chỗ cho 6 nam, 4 nữ vào ngồi quanh một bàn tròn sao cho:

a Sự sắp xếp là tùy ý?

b Không có 2 nữ nào ngồi cạnh nhau?

5 a Một tổ có 6 nam, 5 nữ Có bao nhiêu cách phân công 4 bạn làm trực nhật sao cho trong

B

A

Ở đây n, m  1 và r  n, r  m

6 Có bao nhiêu cách xếp thành hàng ngang 4 quyển Toán khác nhau, 3 quyển Lí khác nhau

và 2 quyển Hóa khác nhau lên giá sách nếu:

a Các quyển được sắp tùy ý?

b Các quyển cùng môn phải cạnh nhau?

c Các quyển toán cạnh nhau, còn các quyển khác xếp tùy ý?

7 Một tổ gồm 6 nam, 6 nữ được xếp ngẫu nhiên vào 6 bàn, mỗi bàn 2 bạn Tính xác suất sao cho:

a Không bàn nào có 1 nam và 1 nữ

b Có đúng 4 bàn được xếp 1 nam và 1 nữ

8 Cho một mạng giao thông như hình 2.3 mà các ô

nhỏ đều là các hình vuông bằng nhau Một du khác

xuất phát từ A muốn đi đến B

a Có bao nhiêu cách đi nhanh nhất

9 Tìm các số hạng không chứa x trong các khai triển:

a A và B không độc lập

b B và C độc lập

12 Bốn quả cầu được rút ngẫu nhiên (cùng một lúc) từ một cái hộp chứa 8 quả cầu đen và 4 quả cầu trắng Giả sử ta sẽ nhận được 2 cái kẹo cho mỗi quả đen được rút ra và mất 1 kẹo chomỗi quả trắng được rút Kí hiệu X là số kẹo nhận được

a Lập bảng phân phối của X

b Tính kì vọng, phương sai, độ lệch chuẩn của X

13 Con xúc xắc cân đối đồng chất được gieo 2 lần Kí hiệu X là số nhỏ nhất trong 2 số chấm xuất hiện trên con xúc xắc

14 Trên mỗi tờ vé số, người ta in 6 ô, mỗi ô chứa một trong các số khác nhau từ 1 tới 49 Khi

mở thưởng người ta rút ngẫu nhiên cùng một lúc 6 quả cầu từ 49 quả cầu được đánh số từ 1 đến 49

Nếu vé của bạn có k số trúng thì bạn được xk đồng Giả sử bạn mua 1 vé số Tính số tiền thưởng trung bình mà bạn nhận được nếu giả thiết

x0 = 0, x1 = 100.000đ, x2 = 500.000đ; x3 = 1.000.000đ, x4 = 5.000.000đ; x5=10.000.000đ; x6 = 100.000.000đ

0 0 0 0 0 0 0 0

x x

n n

B HÀM SỐ LIÊN TỤC:

4 Định nghĩa:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; b); x0  (a; b)

 f(x) liên tục tại x0  (a; b)  lim ( )0 ( )0

x x f x f x

 f(x) liên tục trên (a; b)  f(x) liên tục tại mọi x  (a; b)

 f(x) liên tục trên [a; b] 

(hoặc y’(x0)), tức là f’(x0) =

0

0 0

II RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN:

Bài 1: Xác định dạng vô định và tính các giới hạn sau:

nếu x <2nếu x 2 liên tục tại x = 2

a Tính xlim� 4 f x( ); xlim ( ); lim ( ); lim ( );� 4 f x x�3 f x x�3 f x

b Tìm các khoảng liên tục của f(x)

* Sử dụng các định nghĩa và định lý về liên tục tại một điểm, liên tục trên một khoảng

Vì xlim� 4 f x( )  nên f(x) liên tục trên (- ; -4] f( 4)

Vì xlim� 4 f x( )�f( 4) nên f(x) không liên tục tại x= -4

Vì xlim ( ) lim ( )�3 f x x�3 f x  f(3) 4 nên f(x) liên tục tại x=3

Vậy hàm số f(x) liên tục trên các khoảng (- ; -4] và (-4; +)

Bài 4: Tìm số thực m sao cho hàm số:

2

3( )

Bài 5: Chứng minh rằng phương trình x3 – 2x2 + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm âm

* Sử dụng định lí: Nếu f(x) liên tục trên [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại điểm x  (a;b) saocho f(c) = 0

Giải:

Đặt f(x) = x3 – 2x2 + 1

Ta có f(x) liên tục trên  và do đó liên tục trên [-1; 0]

Mặt khác, vì f(0) = 1, f(-1) = -2 < 0 nên tồn tại số c  (-1; 0) sao cho f(c) = 0 Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm âm

Bài 6: Chứng minh rằng phương trình (3m2 – 5)x3 – 7x2 + 1 = 0 luôn có nghiệm âm với mọi giá trị của m

b Viết phương trình tiếp tuyến của (H) tại các giao điểm đó

* Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (H) của hàm số y=f(x) tại M 0 (x 0 ;y 0 ) là y-y 0 =f’(x 0 )(x–x 0 )

c h’(x) = -2cos(cos2x)cosxsinxcos(sin2x) – 2sin(cos2x)sin(sin2x)sinxcosx

= -sin2xcos(cos2x)cos(sin2x) – sin2xsin(cos2x)sin(sin2x)

= -sin2x [cos(cos2x)cos(sin2x) + sin(cos2x)sin(sin2x)]

= -sin2xcos(cos2x – sin2x)

= -sin2xcos(cos2x)

Vì g’(x) = 0 nên g(x) là một hàm bằng Bằng cách chọn x = 0, ta thấy g(0) =3

2Vậy g(x) = 3

Vậy dy =

2 2

dx x

5 2lim

2

x

x x

nếu nếu nếu

nếu nếu nếu

5 Tìm các khoảng liên tục của các hàm số sau:

3



7 Chứng minh rằng phương trình x3 – 10x2 – 1 = 0 có ít nhất một nghiệm dương

8 Chứng minh rằng phương trình (m2 + m +1)x5 + x3 – 27 = 0 có nghiệm dương với mọi giá trị của tham số m

a Hãy tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của hàm số tại x = 1

b Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(1; -2)

10 Chứng minh rằng hàm số f(x) =

2 2



tan x x

12 Tính gần đúng các số sau với sai số 0,001

1 Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì, nghĩa là với hai

điểm M, N tuỳ ý và ảnh M’, N’ tương ứng của chúng, ta luôn có M’N’ = MN

2 Các phép tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm, phép quay là những phép dời hình.

3 Thực hiện liên tiếp hai phép dời hình F và G ta được một phép dời hình Phép dời hình này

được gọi là hợp thành của F và G

c Biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến gốc thành góc bằng nó

d Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính

5 - Nếu một phép dời hình biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ thì nó cũng biến trọng

tâm , trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoài tiếp của tam giác ABC tương ứng thànhtrọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác A’B’C’

- Phép dời hình biến một đa giác n cạnh H thành một đa giác n cạnh H’, biến các đỉnh của H

thành các đỉnh của H’, biến các cạnh của H thành các cạnh của H’…

6 Hai hình được gọi là bằng nhau khi có một phép dời hình biến hình này thành hình kia

B PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG

7 Phép biến hình F được gọi là phép đồng dạng tỉ số k (k > 0), nếu với hai điểm M, N bất kì

và ảnh M’, N’ tương ứng của chúng ta luôn có M’N’ = kMN

a Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa cácđiểm ấy

b Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạnthẳng

c Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng nó

d Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính k R

11 - Nếu một phép đồng dạng biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ thì nó cũng biếntrọng tâm, trực tâm,tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác ABC tương ứngthành trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác A’B’C’

- Phép đồng dạng biến một đa giác n cạnh H thành một đa giác n cạnh H’, biến các

đỉnh của H thành các đỉnh của H’, biến các cạnh của H thành các cạnh của H’…

12 Hai hình được gọi là đồng dạng với nhau nếu có một phép đồng dạng biến hình này thành

hình kia

II RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN:

Bài 1: Chứng minh rằng nếu phép dời hình biến ba điểm O, A, B lần lượt thành O’, A’, B’ thì

ta có:

a ' ' ' 'O A O Buuuuur uuuuur uuuruuurOA OB

b ' 'O BuuuuurtO Auuuuur' '�OB tOAuuur uuur, với t là một số tuỳ ý

( ' 'O Buuuuur uuuuurO A' ') (OB OAuuur uuur )

 O Buuuuuur' '22 ' ' ' 'O B O Auuuuuruuuuuur uuuur2 OB22OB OA OAuuur uuur uuuur2

OBuuur  tOB OA t OAuuur uuur uuuur

 OB tOAuuur uuur r0

 OB tOAuuur uuur

Bài 2: Chứng minh rằng phép dời hình biến đường thẳng thành đường thẳng

* Để chứng minh hình H’ là ảnh của hình H qua phép biến hình F ta chứng minh rằng:

M  H  M’ = F(M)  H’

M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi tồn tại t  , sao cho AM t ABuuuur uuur