NW359 360 DẠNG 02 CSC CSN GV

DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm giá trị của u của cấp số cộng n 2... Tính tổng của 12 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó.. Lời giải Chọn B Gọi d là công sai của cấp số cộng... Người ta

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

 Cấp số cộng

+ Nếu  u n là cấp số cộng với công sai d , ta có công thức truy hồi: u n1 u n d với n��*

+ Nếu cấp số cộng có số hạng đầu u1 và công sai d

thì số hạng tổng quát u n được xác định bởi

công thức: u n   u1 n 1d với n�2.

+ Cho cấp số cộng  u n với công sai d Đặt tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng là

S    u u u Khi đó:  1   

1

1

n

 Cấp số nhân

+ Nếu  u n là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi: u n1u q n với n��*

+ Nếu cấp số nhân có số hạng đầu u1 và công bội q thì số hạng tổng quát u n được xác định bởi

công thức: 1 1

n n

u u q  với n�2.

+ Cho cấp số nhân  u n với công bội q�1. Đặt tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân là

S    u u u Khi đó:

1 1 1

n n

q







II-PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Vận dụng các công thức của cấp số cộng và cấp số nhân

II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

BÀI TẬP MẪU Câu 1: (ĐỀ MINH HỌA BDG 2020-2021) Cho cấp số cộng  u n

có u1 và 1 u2  Giá trị của 3 u3

bằng

Phân tích hướng dẫn giải

1 DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm giá trị của u của cấp số cộng n

2 HƯỚNG GIẢI:

B1: Sử dụng công thức u n1 u n d để tìm d

B2: Dùng công thức u n   u1 n 1d với n�2 để tìm u 3

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Lời giải Chọn D

Ta có: u2  u1 d �d u    2 u1 3 1 2.

Mà u3 u1 2d  1 2 2 5.  .

Bài tập tương tự và phát triển:

 Mức độ 1

u   u  d

DẠNG TOÁN 2: CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN

A d 5. B d7. C d6. D d 8.

Lời giải Chọn C

Ta có: u6 27�u15d 27�  3 5d 27� d6.

Câu 2 Cho cấp số cộng  u n

có: u1  0,3;u8 8 Khẳng định nào sau đây là sai?

A Số hạng thứ 2 của cấp số cộng này là: 1, 4 B Số hạng thứ 3 của cấp số cộng này là: 2,5

C Số hạng thứ 4 của cấp số cộng này là: 3, 6 D Số hạng thứ 7 của cấp số cộng này là: 7,7

Lời giải Chọn D

Ta có: 8 1

11

10

u  �u  d  �  d  �d 

Số hạng tổng quát của cấp số cộng  u n là: 0,3 11 1

10

n

u   n

u 

Câu 3 Cho dãy số  u n

có: 1

;

u  d  

Khẳng định nào sau đây đúng?

A 5

5 4

S 

4 5

S 

5 4

S  

4 5

S  

Lời giải.

Chọn C

Sử dụng công thức tính tổng n số hạng đầu tiên:

,

n n

n u n d n u u

Tính được: 5

5 4

S  

Câu 4 Xác định x để 3 số : 1x x; ;12  theo thứ tự lập thành một cấp số cộng?x

A. Không có giá trị nào của x B. x �2.

Lời giải Chọn C

Ba số : 1x x; ;12  lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khix x2    1 x 1 x x2

2

2x 2 x 1

� � � suy ra chọn đáp án C

Câu 5 Một cấp số cộng  u n có u13  và 8 d   Tìm số hạng thứ ba của cấp số cộng 3  u n .

Lời giải Chọn C

Ta có: u13  u1 12d �8 u1 12 3  �u1 44�u3 u1 2d 44 6 38  .

Câu 6 Cho cấp số cộng  u n

, biết u2  và 3 u4  Giá trị của 7 u bằng15

A 27 B 31 C 35 D 29

Lời giải Chọn D

Từ giả thiết u2  và 3 u4  suy ra ta có hệ phương trình: 7

1 1

3

u d

u d

 

�

�  

�

2

u d



�

� �



Vậy u15  u1 14d 29.

Câu 7 Cấp số cộng  u n có số hạng đầu u1 , công sai 3 d 5, số hạng thứ tư là

A u4 23 B u4 18 C. u4 8 D. u4 14

Lời giải Chọn B

u  u d  3 5.318.

Câu 8 Cho cấp số nhân  u n

có số hạng đầu u1  và công bội 3 q 23

Số hạng thứ năm của  u n

là

A.

27

16

27 16



16 27



Lời giải Chọn D

Ta có 1 n 1

n

u u q 

4 5

2 3

3

u   � �

� �

16 27

 

Câu 9 Cho cấp số nhân  u n

1

2

u   u  

Tìm q?

Lời giải Chọn B

Áp dụng công thức số hạng tổng quát cấp số nhân ta có

2

2

n n

q

u u q u u q q

q

Câu 10 Cho cấp số nhân:

; ;

Giá trị của a là:

A.

1 5

a �

B

1 25

a �

C

1 5

a �

D a �5.

Lời giải Chọn B

Ta có:

a  � ��� �� �� �a�

 Mức độ 2

Câu 1 Xác định x để ba số 2x1; ; 2x x1 lập thành một cấp số nhân:

A

1 3

x �

B x �3.

C

1 3

x �

D Không có giá trị nào của x Lời giải

Chọn C

Ba số: 2x1; ; 2x x1

theo thứ tự lập thành cấp số nhân �2x1 2  x 1 x2

4x  1 x

1 3

x

Câu 2 Cho một cấp số nhân có các số hạng đều không âm thỏa mãn u2  , 6 u4 24 Tính tổng của

12 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó

A. 3.212 3 B 2121 C 3.2121 D 3.212

Lời giải Chọn A

Gọi công bội của CSN bằng q Suy ra u4 u q2 2�q�2 Do CSN có các số hạng không âm nên q2.

Ta có

12

1 1

q

S u

q







12

1 2 3

1 2





 3 2 121

Câu 3 Tính tổng vô hạn sau: 2

1 1

1 2. 1

2

n 



Lời giải Chọn D

Đây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn, với u1 ; 1 q 12

Khi đó :

1

1

u S

q





1 1 1 2



 2

Câu 4 Cho cấp số cộng  u n có u1  và công sai 1 d  Tính tổng 2 u1   u2 u3 u10 bằng.

Lời giải Chọn B

Cấp số cộng  u n

có số hạng đầu u và công sai d thì tổng 1 n số hạng đầu của cấp số cộng là:

 

2

Ta có

 

10 10 1 2

2

Câu 5 Cho cấp số cộng  u n (n �,n 1),biết u3 4, u1116.Tính u7

A u7  8 B u7  10 C u7  12 D u7 20.

Lời giải

Chọn B

Gọi d là công sai của cấp số cộng

Ta có:

1

3

2

u



�

Suy ra:

3

6 1 6 10

2

u  u d   

Câu 6 Cho cấp số công   1 5

4

:

14

n

u u u

S

�

� 

� Chọn đáp án đúng

A

2

u d



�

� 

6

u d



�

� 

8

u d

 

�

� 

3

u d



�

�  

Lời giải

Chọn D

Ta có

1

u d

�

Câu 7 Cho cấp số cộng  u n

có u1123, u3u15 84 Số hạng u bằng17

Lời giải

Chọn B

Giả sử cấp số cộng  u n

có công sai d

Theo giả thiết ta có: u3u15 84 �u12d u 1 14d 84 �12d 84 �d  7.

Vậy u17  u1 16d 123 16 7   11.

Câu 8 Cho cấp số nhân  u n

có hai số hạng đầu là u11,u2 2021 Tính u2021.

1 2021

u 

Lời giải

Chọn C

Với  u n

là cấp số nhân với công bội q, ta có: u2 u q1 21

2021

2021 1

u q u

�

Khi đó: u2021u q1 2020 20212020.

Vậy u202120212020.

Câu 9 Ba số  3 ; ; 3 3x  theo thứ tự là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân Tìm công bội q

của cấp số nhân đó

A q �.3 B q  3. C q 3 D q � 3

Lời giải

Chọn D

Do  3 ; ; 3 3x  là một cấp số nhân �x2 9� x�.3

Vậy công bội của cấp số nhân là 3 3

x

Câu 10 Cho cấp số cộng  u n

có u1 2019, công sai d 5 Khẳng định nào sau đây là đúng?

A u n 2019 5 n. B u n  5 2019n1

C u n 2019 5 n1 . D u n  5 2019n.

Lời giải Chọn C

Ta có: u n   u1 n 1d 2019 5 n1.

Câu 11 Cho cấp số cộng  u n

có u12021, công sai d 5 Khẳng định nào sau đây là đúng?

A u n 2021 5 n. B u n 2021n2016

C u n 2016 5 n. D u n  5 2021n.

Lời giải Chọn C

Ta có: u n   u1 n 1d 2021 5 n 1 2016 5  n .

 Mức độ 3

Câu 1 Cho một cấp số cộng ( )u có n u1 và tổng 100 số hạng đầu bằng 24850 Tính1

S

4 23

S

9 246

S

49 246

S 

Lời giải Chọn D

Ta có S100 24850  1  24850

n

u u 

�

u 

Vậy u100  u1 99d �d u10099u1 �d 5.

S

1 246

246

246

S 

�

Câu 2 Trong sân vận động có tất cả 30 dãy ghế, dãy đầu tiên có 15 ghế, các dãy liền sau nhiều hơn

dãy trước 4 ghế, hỏi sân vận động đó có tất cả bao nhiêu ghế?

Lời giải Chọn D

Gọi u u1, , 2 u lần lượt là số ghế của dãy ghế thứ nhất, dãy ghế thứ hai,… và dãy ghế số ba 30

mươi Ta có công thức truy hồi ta có u n u n14 n2,3, ,30.

Ký hiệu:S30    u1 u2 u30, theo công thức tổng các số hạng của một cấp số cộng, ta được:

 

30

2

Câu 3 Cho hai cấp số cộng  x n : 4

, 7 , 10 ,… và  y n

: 1, 6 , 11,… Hỏi trong 2018 số hạng đầu tiên của mỗi cấp số có bao nhiêu số hạng chung?

Lời giải Chọn C

Số hạng tổng quát của cấp số cộng  x n

là: x n   4 n 1 3 3n 1

Số hạng tổng quát của cấp số cộng  y n là: y m  1 m1 5 5m 4

Giả sử k là 1 số hạng chung của hai cấp số cộng trong 2018 số hạng đầu tiên của mỗi cấp số

Vì k là 1 số hạng của cấp số cộng  x n

nên k  với 13 1i � �i 2018 và *

i��.

Vì k là 1 số hạng của cấp số cộng  y n

nên k5j4 với 1� �j 2018 và j�� *

Do đó 3 1 5i  j4�3i5j5 � Mi 5� �i 5;10;15; ;2015 � có 403 số hạng chung

Câu 4 Người ta trồng 3003 cây theo dạng một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất trồng 1 cây, hàng

thứ hai trồng 2 cây, hàng thứ ba trồng 3 cây, …, cứ tiếp tục trồng như thế cho đến khi hết số cây Số hàng cây được trồng là

Lời giải Chọn A

Gọi số cây ở hàng thứ n là u n

Ta có: u1 , 1 u2  , 2 u3  , … và 3 S u     1 u2 u3 u n 3003.

Nhận xét dãy số  u n

là cấp số cộng có u1  , công sai 11 d  Khi đó

1

2

S ��   ��



3003

Suy ra

3003 2

n��  n �� �n n  1 6006 2

6006 0

n  n 

�

77 78

n n



�

� � � �n77

(vì n ��).

Vậy số hàng cây được trồng là 77

Câu 5 Một tam giác vuông có chu vi bằng 3 và độ dài các cạnh lập thành một cấp số cộng Độ dài các

cạnh của tam giác đó là:

A.

;1;

;1;

;1;

;1;

Lời giải Chọn C

Gọi d là công sai của cấp số cộng và các cạnh có độ dài lần lượt là a d  , a , a d

0 d a  

Vì tam giác có chu vi bằng 3 nên 3a3 �a1.

Vì tam giác vuông nên theo định lý Pytago ta có   2 2 2

1 4

d 

�

Suy ra ba cạnh của tam giác có độ dài là

;1;

Câu 6 Cho tam giác ABC vuông tại A có ba cạnh CA AB BC, , lần lượt tạo thành một cấp số nhân có

công bội là q Tìm q?

A

5 1 2

q 

2 2 5 2

q 

C

2

q 

2 5 2 2

Lời giải Chọn B

Vì tam giác ABC vuông tại A nên BC2  AB2AC2 Theo giả thiết ta có ba cạnh

CA AB BC lần lượt tạo thành một cấp số nhân có công bội là q nên BC q AC 2. và

AB q AC .

Do đó BC2  AB2AC2 �q AC4 2 q AC2 2AC2�q4  q2 1 0

2

2

2

2

q q

�

�

�

�

Vì q0 nên q2 12 5 �q 2 2 52 .

Câu 7. Bạn A thả quả bóng cao su từ độ cao 10 m theo phương thẳng đứng Mỗi khi chạm đất nó lại

nảy lên theo phương thẳng đứng có độ cao bằng

3

4 độ cao trước đó Tính tổng quãng đường bóng đi được đến khi bóng dừng hẳn

A 40m B 70m C 50 m D 80m

Lời giải Chọn B

Các quãng đường khi bóng đi xuống tạo thành một cấp số nhân lùi vô hạn có u1 10và q34.

Tổng các quãng đường khi bóng đi xuống là

1

1

u S

q





10 3 1 4





40 . Tổng quãng đường bóng đi được đến khi bóng dừng hẳn 2S 10 70

Câu 8 Cho ba số x ; 5 ; 2 y lập thành cấp số cộng và ba số x ; 4; 2 y lập thành cấp số nhân thì x2y

bằng

A x2y 8. B x2y 9. C x2y 6. D. x2y 10.

Lời giải Chọn C

Ta có:

 

  2

x y

x y

�

�



x y

x y

�

�

x y



�

� � 

� hoặc

2

x y



�

� 

Từ đó, ta có x2y   8 2 6.

Câu 9 Với giá trị nào của tham số m thì phương trình x3mx26x 8 0 có ba nghiệm thực lập

thành một cấp số nhân?

Lời giải Chọn B

Ta chứng minh nếu x , 1 x , 2 x là nghiệm của phương trình 3 x3mx26x 8 0 thì

x x x m

x x x

  

�

x mx  x  x x x x x x

x mx  x  x x  x x x  x x x x x x x x x x

�

x x x m

x x x

  

�

Điều kiện cần: Phương trình x3mx26x 8 0có ba nghiệm thực x1x2 x3

lập thành một cấp số nhân � x x1 3 x22 3

1 .2 3 2

x x x x

2

8 x

Vậy phương trình x3mx26x 8 0phải có nghiệm bằng 2

Thay x vào phương trình ta có 2 m  3

Điều kiện đủ: Thử lại với m  ta có 3 x33x26x 8 0

4 2 1

x x x

 

�

� 

� �

� 

� (thỏa yêu cầu bài toán).

Câu 10 Để tiết kiệm năng lượng, một công ty điện lực đề xuất bán điện sinh hoạt cho dân với theo hình

thức lũy tiến (bậc thang) như sau: Mỗi bậc gồm 10 số; bậc 1 từ số thứ 1 đến số thứ 10 , bậc 2

từ số thứ 11 đến số 20 , bậc 3 từ số thứ 21 đến số thứ 30 ,… Bậc 1 có giá là 800 đồng/1 số, giá của mỗi số ở bậc thứ n  tăng so với giá của mỗi số ở bậc thứ n là 1 2,5% Gia đình ông A

sử dụng hết 347 số trong tháng 1, hỏi tháng 1 ông A phải đóngbao nhiêu tiền? (đơn vị là đồng, kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm)

Lời giải Chọn D

Gọi u là số tiền phải trả cho 10 số điện đầu tiên 1 u =10 800= 8000 (đồng)1

2

u là số tiền phải trả cho các số điện từ 11 đến 20 : u2 u1(1 0,025)

34

u là số tiền phải trả cho các số điện từ 331 đến 340: 33

u u 

Số tiền phải trả cho 340 số điện đầu tiên là:

34

1 1 0,025

1 1 0,025

 

Số tiền phỉ trả cho các số điện từ 341 đến 347 là: S2 7.800(1 0,025) 34 12965,80

433868,89

S S S 

 Mức độ 4

Câu 1 Cho hình vuông  C1

có cạnh bằng a Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần

bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông  C2 (Hình vẽ).

Từ hình vuông  C2

lại tiếp tục làm như trên ta nhận được dãy các hình vuông C ,1 C , 2 C ,.,3

n

C Gọi S là diện tích của hình vuông i C i i �1, 2,3,  

Đặt T    S1 S2 S3 S n Biết

32 3

T 

, tính a ?

5

Lời giải Chọn A

Cạnh của hình vuông  C2

là:

2

a

a  � � � �� � � �a  a 

2 2

5 8

5

8S



Cạnh của hình vuông  C3

là:

2

2

10

a

2 2

S � �� �a  S

� � Lý luận tương tự ta có các S ,1 S , 2 S3, S n tạo thành một dãy cấp số

nhân lùi vô hạn có u1 và công bội S1 q58

1

1

S T

q





2

8 3

a

 Với

32 3

T 

ta có a2 4�a2.

Câu 2 Hai siêu máy tính A và B tham gia thi đấu trong trận chung kết giải cờ vua Máy nào thắng

một ván được cộng một điểm và không có ván hòa Xác suất thắng một ván của Máy A là 0,6

và của Máy B là 0, 4 Máy nào hơn máy kia hai điểm thì thắng trận đấu Vậy xác suất để Máy

A thắng trong trận đấu là bao nhiêu, nếu số ván đấu là vô cùng lớn ?

A

9

4

7

3

4

Lời giải Chọn A

Gọi n là số ván máy B thắng, khi đó số ván máy A thắng là n , khi đó số ván đấu là2

2n 2

Gọi u là số khả năng xảy ra trong trường hợp trận đấu có 2 2 n n ván

- Nếu n  thì có một khả năng là aa khi đó 0 u0  1

- Nếu n  thì có hai khả năng là abaa hoặc baaa khi đó 1 u1 2

- Giả sử số ván đấu là 2k khi đó số khả năng là 2 u với k k � và ta luôn có máy A phải 0

thắng hai ván cuối, nghĩa là các trường hợp xảy ra phải là aa

Với mỗi khả năng thì luôn cảm sinh ra hai khả năng để số ván đấu là 2(k 1) 2 đó là aaba

hoặc baaa , do đó u k1 2u k, nghĩa là ( )u lập thành một cấp số nhân với công bội bằng 2, n

nên u n 2n

Do đó xác xuất để máyA thắng là

2 0,6 2 0, 4.0, 6 2 0, 4 0,6 2 0, 4 0,6n n n

Đây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu bằng P1 2 0,60 2 0,36, công bội

là

2

2 0, 4 0, 6 12

2 0, 4 0, 6 25

q    

Do đó

12

25

P P

q

Câu 3 Cho dãy số  a n

xác định bởi a1 5, a n1q a n với mọi 13 n� , trong đó q là hằng số, q�0, 1

q� Biết công thức số hạng tổng quát của dãy số viết được dưới dạng

1

1

n n

n

q

q

 . Tính 2?

Lời giải Chọn C

Cách 1 Ta có: a n1 k q a nk �k kq 3�k 13q

Đặt v n a nk 2

v  q v q v   q v

�

3

1

n

v q v q a k q

q



Vậy

1

n

q



Do đó:  5;  3�2  5 2.3 11 .

Cách 2 Theo giả thiết ta có a15,a2 5q Áp dụng công thức tổng quát, ta được3

1 1

1 1 1

2 1

2 1 2

1

1 1

1

q

q q



















�

�

�

�

�

, suy ra

5

5q 3 q





 

�

5 3







�

� 

�

2 5 2.3 11

     

�

Câu 4 Ông A vay ngân hàng 300 triệu đồng để mua nhà theo phương thức trả góp với lãi suất 0,50

mỗi tháng Nếu cuối mỗi tháng, bắt đầu từ tháng thứ nhất sau khi vay, ông hoàn nợ cho ngân hàng số tiền cố định 5,6 triệu đồng và chịu lãi số tiền chưa trả Hỏi sau khoảng bao nhiêu tháng ông A sẽ trả hết số tiền đã vay?

A 60 tháng B 36 tháng C 64 tháng D 63 tháng

Lời giải Chọn D

Sau tháng thứ nhất số tiền còn nợ (đơn vị triệu đồng) là 1

0,5

100

T

Sau tháng thứ hai số tiền còn nợ là

2

T �� �� �� ���� ��

2

Ký hiệu

0,5 1 100

 

t

thì số tiền còn lại ở tháng thứ n là:

n

T  t  ��t  t    �� 300 5,6 11

n

t

t



 300t n1120t n1120  820t n1120. Như vậy để trả hết nợ thì số tháng là 11000,5

1120

820



n

Câu 5 Cho bốn số , a b , , c d theo thứ tự đó tạo thành cấp số nhân với công bội khác 1 Biết tổng ba

số hạng đầu bằng

148

9 , đồng thời theo thứ tự đó chúng lần lượt là số hạng thứ nhất, thứ tư và

thứ tám của một cấp số cộng Tính giá trị biểu thức T     a b c d

A

101 27

T 

100 27

T 

100 27

T  

101 27

T  

Lời giải Chọn C

Ta có

 

 

 

2 2

1 2 148 3 9

ac b

bd c

a b c

�



�

�



�

�

�   

Và cấp số cộng có u1  , a u4  , b u8  Gọi x là công sai của cấp số cộng Vì cấp số nhân c

có công bội khác 1 nên x�0

Ta có :

3 7

b a x

c a x

 

�

�  

�  4 .

Từ  1

và  4

ta được :    2

a a x  a x �ax9x2 0.

Do x�0 nên a9x.

Từ  3 và  4 , suy ra 3a10x1489