Mot so PP tinh the tich cac khoi da dien

Gọi H là hình chiếu của I lên BC, từ giả thiết ta có SI vuông góc với (ABCD)... Hình chiếu của B’ lên (ABC) trùng trọng tâm của tam giác ABC..[r]

Một số phương pháp tính thể tích các khối đa diện.

I Tính trực tiếp.

Chú ý: Khi tính thể tích các khối đa diện theo phương pháp này ta cần tính đường cao của khối đa diện

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A

và D; AB = AD = 2a, CD = a, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600 Gọi I là trung điểm của AD, biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với (ABCD) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD

(Khối A – 09)

Hướng dẫn:

Gọi H là hình chiếu của I lên BC,

từ giả thiết ta có SI vuông góc với

(ABCD)

Góc giữa (SBC) và(ABCD) là góc

SHI bằng 600 Ta dễ tính được IC

= a 2; IB = BC = a 5 SABCD =

3a2 SIBC = SABCD - SABI – SCDI =

2

3

2

a

Nên IH = 2 3 3

5

IBC

Từ đó

VS.ABCD = 1/3.SABCD.SI = 3 15 3

15

a

S

I

H

Ví dụ 2: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a Góc giữa đường

thẳng BB’ và (ABC) bằng 600 Tam giác ABC vuông tại C, BAC = 600 Hình chiếu của B’ lên (ABC) trùng trọng tâm của tam giác ABC Tính thể tích của khối đa diện A’ABC theo a

(B – 2009)

HD: Gọi M là trung điểm của AC, H là

trọng tâm tam giác ABC Ta có:

BH = a/2  BM = 3

4

a

, B’H = 3

2

Đặt BC = x, thì CM = 1

2AC =

2 3

x

Sử dụng BM2 = BC2 + CM2 ta tính

được x2 = 27 2

52a

2

9 3 104

ABC

a S

3 '

9

208

A ABC

a

V

C'

A' B'

B

A

C

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có

tam giác ABC vuông tại C, AC = a,

AB = 2a, SA vuông góc với đáy

GÓc giữa (SAB) và (SBC) bằng

600 Gọi H, K lần lượt là hình chiếu

của A lên SB, SC Chứng minh AK

 HK và tính thể tích khối chóp

S.ABC

HD: CM AK  (SBC)  AK 

HK

SABC = 2 3

2

a , AK = AH.sin600

Tính SA = 2

2

a  V = 3 6

12

a

C

S

K H

Ví dụ 4: Cho lăng trụ đều

ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a,

khoảng cách giữa tâm O của tam

giác ABC đến (A’BC) bằng a/6

Tính thể tích của khối lăng trụ đều

HD: Đặt AA’ = x, sử dụng tam giác

đồng dạng : MHO MAA' ta tính

được x = 6

4

16

a V

j H

O M

C'

B'

A'

C

B

A

2 Sử dụng công thức tỉ số thể tích.

Trong phương pháp này ta sử

dụng tính chất:

' ' ' ' ' '

A B C

ABC

B'

C'

C

B A

S

Ví dụ 1: Cho lăng trụ tam đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông

tại B, AB = a, AA’ = 2aA’C = 3a Gọi M là trung điểm của A’C’, I là giao điểm của AM và A’C Tính VIABC

(D – 2009)

HD: Sử dụng tỉ số: IABC 23

MABC

3

4 9

IABC

a V

I

M A'

C' B'

B B

A

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có ABC BAD   90 0,CAD  120 0, AB = a, AC = 2a,

AD = 3a Tính VABCD.

HD:

Chọn M, N lần lượt là các điểm trên AC,

AD sao cho AM = An = a Ta có:

BM = 1/2AC = a; BN = a a

MN2 = AM2 + AN2 – 2AM.AN.cosMAN

3

MN a

   tam giác BMN vuông tại B

Vì AB = AM = AN nên hình chiếu của A

lên (BMN) trùng trọng tâm tam giác BMN

là trung điểm H của MN

Ta tính được VABMN = 3 2

12

a

Ta lại có:

ABMN

ABCD

2

a

H N

C B

A

Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên hợp với

cạnh đáy góc 600 Gọi M là điểm đối xứng với C qua D, N là trung điểm của

SC, mặt phẳng (BMN) chia khối chóp S.ABCD thành 2 phần tính tỉ số thể tích của hai phần đó

HD:

1

6

MDPQ

MBNC

V

5 6

DPQCNB MBCN

.

1 2

2

MBCN DBCN DBCS S ABCD

Từ đó ta có: V DPQCNB= .

5

12V S ABCD 5

7

DPQCNB

SABNPQ

V

V

Q P

N

B A

S

Ví dụ 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a, K là điểm thuộc CC’

sao cho CK = 2a/3, mặt phẳng (α) qua A, K và song song với BD chia khối lập phương thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần

HD: Tỉ số: 1/2

Bài tập:

3 Ứng dụng thể tích tính khoảng cách.

Bµi 1: SABC cã SA = 3a, SA  (ABC), ∆ABC cã AB = BC = 2a, ABC =120 o

TÝnh D(A,(SBC)).

Gi¶i

S ∆ABC = 21 AB.BC.sin120 o = 2a 24a 3 = a 3

3

S SABC = 31 S ∆ABC SA=

3 3 .

2 a

a = a 3 3

KÎ SM BC

BC SA (v× SA  (ABC))

⇒BC  AM ⇒ AM = a 3

∆SAM vu«ng t¹i A cã SM = 2 3 a

S ∆SBC = SM.BC = 2 3 a 2

d(A, (SBC)) 3 3 3 32 3

2

2 3

SABC SBC

B A

S

C

M

3a

2a

Ví dụ 2: