Gọi E, F lần lợt là trung điểm của AB và AC.. Trên nữa mặt phẳng bờ AC chứa tia AB vẽ tia Ax vuông góc với AC.. Trên nữa mặt phẳng bờ AB chứa tia AC vẽ tia Ay vuông góc với AB.. Ax và Ay
Trang 1trờng tHCS hùng thành Đề thi học sinh giỏi toán 7
năm học 2008-2009 Thời gian làm bài: 120 phút
Câu1: (3điểm)
Thực hiện phép tính:
a)
3
1 3 : ) 3
1 3 4
1 2 7
3
1
b) (63+3.62+33):13.9-2
c)
7 , 0 875 , 0 6 7
5
1 25 , 0 3 1
11
7 9
7 4
,
1
11
2 9
2 4
,
0
+
−
+
−
− +
−
+
−
Câu2: (3điểm)
a) Cho |ad| = |bc|, cd≠ 0, c≠ ±d chứng minh rằng c a d b = cd ab
−
−
2 2
2 2
b) Cho ab+bc+ca = 0, abc≠ 0
Chứng minh rằng (a+b)(b+c)(c+a) + abc = 0
Câu3: (3điểm)
Cho tam giác cân ABC, AB = AC, A < 900 Gọi E, F lần lợt là trung điểm của
AB và AC Trên nữa mặt phẳng bờ AC chứa tia AB vẽ tia Ax vuông góc với AC Trên nữa mặt phẳng bờ AB chứa tia AC vẽ tia Ay vuông góc với AB Ax và Ay lần lợt cắt đờng thẳng BC tại P và Q PE cắt AQ tại M, QF cắt AP tại N
a) Chứng minh BN = CM
b) Chứng minh MN//EF
c) Gọi I là giao điểm của PM và QN, kéo dài AI cắt BC tại H Chứng minh
CP2-CH2 = 2AH2+HP2
Câu4: (1điểm)
Cho biết x2009 f(x− 2009) (= x− 2010)2009 f( )x Chứng minh rằng đa thức f(x) có
ít nhất hai nghiệm
_Hết _
Trang 2đáp án và biểu điểm
Câu1
(3đ)
a) ) : 331
3
1 3 4
1 2 7
3 1
3
10 4
9 7
10 ( − ⋅ ⋅ =73 −94
28
51
−
b) (63+3.62+33):13.9-2 = 33(23+22+1):13.( 3 2 ) − 2=
3 1
c)
7 , 0 0875 6
1 25 , 0 3 1
11
7 9
7 4 ,
1
11
2 9
2 4 , 0
+
−
+
−
− +
−
+
−
) 5
1 4
1 3
1 ( 2 7
5
1 4
1 3 1
) 11
1 9
1 5
1 ( 7
) 11
1 9
1 5
1 ( 2
= +
−
+
−
− +
−
+
−
1đ 1đ
1đ
Câu2
(3đ)
a) |ad| = |bc| suy ra ad = bc hoặc ad = -bc
Nếu ad = bc thì
d c
b a d
b c
a
+
+
=
2 2
2 2 2
d c
b a d
b c
a
+
+
=
2
d c
b a cd
ab
+
+
2 2
2 2 2
2 2
2
d c
b a d
b c
a
−
−
=
= , từ đó suy ra
cd
ab d c
b
−
−
2 2
2 2
(1) Nếu ad = -bc thì
d c
b a d
b c
a
+
−
=
−
2 2
2 2 2
d c
b a d
b c
a
+
−
=
2
d c
b a cd
ab
+
−
=
và 22 22 22 22
d c
b a d
b c
a
−
−
=
= , từ đó suy ra
cd
ab d
c
b a
−
=
−
−
2 2
2 2
(2)
Từ (1) và (2) suy ra đpcm
b) ab+bc+ca = 0 suy ra: ab = -c(a+b)
a
b a c
Tơng tự ta có
b
c b a
(2) và
c
c a b
(3) Nhân vế theo vế (1), (2) và (3) ta có đpcm
0,75đ
0,75đ
0,75đ 0,75đ Câu3
(3đ)
a)C/m∆BPE= ∆CFQ(c.g.c) ⇒P1 =Q1 ⇒P2 =Q2 ⇒ ∆APM = ∆AQN(g.c.g)
CM BN c
g c ACM ABN
AN
b) C/m ∆AMN, ∆APQ cân tại A suy ra AMN =AQP⇒MN//PQ, EF là
1đ 1đ
Trang 3đờng TB ∆ABC suy ra EF//PQ Vậy MN//EF
c) – C/m AH⊥PQ
Câu4
(1đ)
- Với x = 0 ta có (-2010)2009f(0) = 0 suy ra f(0) = 0 suy ra x = 0 là
nghiệm
- Với x = 2009 ta có 20092009 f(0) = -f(2009) suy ra f(2009) = 0 suy ra
x = 2009 là nghiệm
Vậy f(x) có ít nhất hai nghiệm
1đ
Lu ý: Mọi cách làm đúng khác đều cho điểm tối đa.