Phan tich da thuc thanh nhan tu

Ch¼ng h¹n, ®Ó thùc hiÖn rót gän mét biÓu thøc ®¹i sè th× kh«ng thÓ thiÕu viÖc ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö, hay viÖc gi¶i mét ph¬ng tr×nh bËc cao sÏ gÆp rÊt nhiÒu khã kh¨n nÕu häc sin[r]

Trang 1

Phần chung

1 Lí do chọn đề tài

1.1 Cơ sở pháp chế

Đào tạo bồi dỡng học sinh giỏi là một công tác mũi nhọn của ngành giáo dục & đào tạo Trong xu thế phát triển hiện nay, việc đào tạo, bồi dỡng học sinh giỏi là một nhu cầu cấp thiết của xã hội, nó góp phần không nhỏ vào việc đào tạo, bồi dỡng nhân tài cho đất nớc Chính vì vậy, trong những năm gần đây, việc đào tạo, bồi dỡng học sinh giỏi đợc ngành giáo dục hết sức chú trọng

1.2 Cơ sở lý luận

Toán học là môn học giữ vai trò quan trọng trong suốt bậc học phổ thông Là một môn học khó, đòi hỏi ở mỗi học sinh phải có một sự nỗ lực rất lớn để chiếm lĩnh những tri thức cho mình Chính vì vậy, việc tìm hiểu cấu trúc của chơng trình, nội dung của SGK, nắm vững

ph-ơng pháp dạy học, để từ đó tìm ra những biện pháp dạy học có hiệu quả là một công việc mà bản thân mỗi giáo viên đang trực tiếp giảng dạy bộ môn toán thờng xuyên phải làm

Trong công tác giảng dạy bộ môn Toán, việc đào tạo, bồi dỡng những học sinh có năng khiếu về bộ môn Toán Giúp cho các em trở thành những học sinh giỏi thực sự về bộ môn toán

là một công tác mũi nhọn trong công tác chuyên môn đợc ngành giáo dục hết sức chú trọng Các cuộc thi học sinh giỏi các cấp đợc tổ chức thờng xuyên mỗi năm một lần đã thể hiện rõ

điều đó

Chơng trình Toán bậc THCS có rất nhiều chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi, trong đó

chuyên đề “Phân tích đa thức thành nhân tử” là một trong những chuyên đề giữ một vai trò

quan trọng, nó giúp cho học sinh hình thành kỹ năng biến đổi đồng nhất trên các biểu thức đại

số Chẳng hạn, để thực hiện rút gọn một biểu thức đại số thì không thể thiếu việc phân tích đa thức thành nhân tử, hay việc giải một phơng trình bậc cao sẽ gặp rất nhiều khó khăn nếu học sinh không thành thạo phân tích biểu thức vế trái thành nhân tử, thậm chí trong nhiều đề thi học sinh giỏi cấp huyện ,tỉnh, thành phố, nhiều năm cũng có những bài toán về chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử, Chính vì vậy, việc bồi dỡng cho học sinh chuyên đề về phân tích đa thức thành nhân tử là một trong những vấn đề mà bản thân tôi hết sức quan tâm

1.3 Cơ sở thực tiễn

Năm học này, bản thân tôi đợc Nhà trờng và Phòng giáo dục giao cho nhiệm vụ đào tạo bồi dỡng học sinh giỏi môn Giải toán trên máy tính Casio Đây là cơ hội để tôi đa đề tài này

áp dụng vào công tác đào tạo bồi dỡng học sinh giỏi

Với tất cả những lý do nêu trên, tôi quyết định chọn đề tài này

2 Nhiệm vụ của đề tài

- Nghiên cứu lí luận về phân tích đa thức thành nhân tử

- Xây dựng hệ thống bài tập phân tích đa thức thành nhân tử với các phơng pháp giải bài tập thích hợp cho từng bài

- Thực nghiệm việc sử dụng các phơng pháp giải bài tập phân tích đa thức thành nhân tử trong giảng dạy

- Đề xuất một số bài học kinh nghiệm trong quá trình nghiên cứu

3 Giới hạn của đề tài

Đề tài này tôi chỉ đem ra áp dụng tại hai trờng: Trờng THCS Nguyễn Thái Học và Trờng THCS Dân tộc Nội trú và dành cho đối tợng là học sinh giỏi bộ môn Toán lớp 9

4 Đối tợng nghiên cứu

Học sinh giỏi lớp 9 của Trờng THCS Dân tộc nội trú và Trờng THCS Nguyễn Thái Học

5 Phơng pháp nghiên cứu

Để thực hiện đề tài này, tôi sử dụng những phơng pháp sau đây:

a) Phơng pháp nghiên cứu lý luận

b) Phơng pháp khảo sát thực tiễn

c) Phơng pháp quan sát

d) Phơng pháp phân tích, tổng hợp, khái quát hóa

e) Phơng pháp tổng kết kinh nghiệm

6 Thời gian nghiên cứu

Từ ngày 5 / 9 / 2007 đến hết ngày 30 /12 / 2007

7 Tài liệu tham khảo

Để thực hiện đề tài này, tôi đã sử dụng một số tài liệu sau:

- Sách giáo khoa, sách giáo viên Toán 8, Toán 9

- Chuyên đề bồi dỡng Đại số 8 (Nguyễn Đức Tấn)

- “23 chuyên đề giải 1001 bài toán sơ cấp” của Nhóm tác giả: Nguyễn Văn Vĩnh – Chủ biên, Nguyễn Đức Đồng và một số đồng nghiệp (NKTH)

Nội dung đề tài

1 Nội dung thực hiện

Trang 2

1.1 Cơ sở lí luận

1.1.1 Định nghĩa phân tích đa thức thành nhân tử

a) Định nghĩa 1

+ Nếu một đa thức đợc viết dới dạng tích của hai hay nhiều đa thức thì ta nói rằng đa thức đã cho đợc phân tích thành nhân tử

+ Với bất kì đa thức ( khác 0 ) nào ta cũng có thể biểu diễn thành tích của một nhân tử khác 0 với một đa thức khác Thật vậy:

anxn + an-1xn-1 + … + a0 = c(

c

a n

xn +

c

a n 1

xn – 1 + … +

c

a0

) ( với c0, c1 )

b) Định nghĩa 2

Giả sử P(x)P x là đa thức có bậc lớn hơn 0 Ta nói P(x) là bất khả quy trên tr ờng P nếu nó không thể phân tích đợc thành tích của hai đa thức bậc khác 0 và nhỏ hơn bậc của P(x) Trờng hợp trái lại thì P(x) đợc gọi là khả quy hoặc phân tích đợc trên P

1.1.2 Các định lý cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử

a)Định lý 1

Mỗi đa thức f(x) trên trờng P đều phân tích đợc thành tích các đa thức bất khả quy, và sự phân tích đó là duy nhất sai khác thứ tự các nhân tử và các nhân tử bậc 0.”

b) Định lý 2

Trên trờng số thực R, một đa thức là bất khả quy khi và chỉ khi nó là bậc nhất hoặc bậc hai với biệt thức  < 0 Vậy mọi đa thức trên R có bậc lớn hơn 0 đều phân tích đợc thành tích của các đa thức bậc nhất hoặc bậc hai với  < 0”

c) Định lý 3( Tiêu chuẩn Eisenten )

Giả sử f(x) = a0 + a1x + … + anxn , n > 1, an 0, là một đa thức hệ số nguyên Nếu tồn tại một số nguyên tố p sao cho p không phải là ớc của an nhng p là ớc của các hệ số còn lại và

p2 không phải là ớc của các số hạng tự do a0 Thế thì đa thức f(x) là bất khả quy trên Q

1.2 Một số phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử

Qua các định lý trên, ta đã chứng tỏ rằng mọi đa thức đều phân tích đợc thành tích các đa thức trên trờng số thực R Song đó là mặt lí thuyết , còn trong thực hành thì khó khăn hơn nhiều , và đòi hỏi những “kĩ thuật” , những thói quen và kĩ năng “ sơ cấp” Dới đây qua các ví

dụ ta xem xét một số phơng pháp thờng dùng để phân tích một đa thức thành nhân tử

1.2.1 Phơng pháp đặt nhân tử chung

Phơng pháp này vận dụng trực tiếp tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng (theo chiều ngợc)

Bài 1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử

A = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax - by)

Giải: Ta có : A = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax –by)

= 2x2 (ax + 2by + ax – by)

=2x2(2ax + by)

Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

P = (2a2 – 3ax)(5y + 2b) – (6a2 – 4ax)(5y + 2b)

Giải: Ta có: P = (2a2 – 3ax)(5y +2b) – (6a2 – 4ax)(5y + 2b)

= (5y+2b)((2a2 – 3ax) – (6a2 – 4ax))

= (5y + 2b)(- 4a2 + ax)

= (5y + 2b)(x – 4a)a

Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử

B = 3x2(y – 2z ) – 15x(y – 2z)2

Giải: Ta thấy các hạng tử có nhân tử chung là y – 2z

Do đó : B = 3x2(y – 2z) – 15x(y – 2z)2

= 3x(y – 2z)((x – 5(y – 2z))

=3x(y – 2z)(x – 5y + 10z)

Bài 4 : phân tích đa thức sau thành nhân tử

C = (2a2 – 3ax)(5c + 2d) – (6a2 – 4ax)(5c +2d)

Giải: Ta có: C = (2a2 – 3ax)(5c + 2d) – (6a2 – 4ax)(5c + 2d)

= (5c + 2d)(2a2 – 3ax – 6a2 + 4ax)

= (5c + 2d)(ax – 4a2)

= a(5c + 2d)(x – 4a)

Bài 5: phân tích đa thức sau thành nhân tử

Q = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6xy2z – xyz2 + 3xy

Giải: Ta có: Q = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6xy2z – xyz2 + 3xy

= 3xy(x2 – 2x –y2 – 2yz – z2 + 1) = 3xy((x2 – 2x + 1) – (y2 + 2yz + z2)) = 3xy((x – 1)2 – (y + z)2)

= 3xy((x – 1) –(y + z))((x – 1) + 9 y+ z)) = 3xy(x - y –z –1)(x + y + z – 1)

Bài 6 : Phân tích đa thức thành nhân tử:

Trang 3

A = 16x(y – 2z) – 10y( y – 2z)

Giải: Ta có : A = 16x2(y – 2z) – 10y( y – 2z)

= (y – 2z)(16x2 – 10y)

B = x3 + 3x2 + 2x + 6

Giải: Ta có : B = x3 + 3x2 + 2x + 6

= x2(x + 3) + 2( x + 3) = (x2 + 2)(x + 3)

A = 6z3 + 3z2 + 2z +1

Giải: Ta có : A = 6z3 + 3z2 + 2z +1

= 3z2(2z + 1) + (2z + 1)

= (2z + 1)(3z2 + 1)

1.2.2 Phơng pháp nhóm các hạng tử

Phơng pháp này vận dụng một cách thích hợp tính chất giao hoán, tính chất kết hợp của phép cộng, để làm xuất hiện từng nhóm các hạng tử có nhân tử chung, rồi sau đó vận dụng tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng Sau đây là một số ví dụ :

B = xy2 – xz2 + yz2 – yx2 + zx2 – zy2

Giải: Ta có : B = xy2 – xz2 + yz2 – yx2 + zx2 – zy2

= (xy2 – xz2) + (yz2 - zy2) + (zx2 – yx2) = x(y2 – z2) + yz(z – y) + x2(z – y) = x(y – z)(y + z) – yz(y – z) – x2(y – z) = (y – z)((x(y + z) – yz – x2))

= (y – z)((xy – x2) + (xz – yz) = (y – z)(x(y – x) + z(x – y)) = (y – z)(x – y)(z – x)

A= 4x5 +6x3 +6x2 +9

Giải: Ta có : A= 4x5 +6x3 +6x2 +9

= 2x3(2x2 + 3) + 3(2x3 + 3)

= (2x3 + 3)(2x2 + 3)

B = x6 + x4 + x2 + 1

Giả: Ta có : B = x6 + x4 + x2 + 1

= x4(x2 + 1) + ( x2 + 1)

= (x2 + 1)(x4 + 1)

B = x2 + 2x + 1 – y2

Giải: Ta có: B = x2 + 2x + 1 – y2

= (x2 + 2x + 1) – y2

= (x + 1)2 – y2

=(x +1 – y)(x + 1 + y )

A = x2 + 2xy + y2 – xz - yz

Giải: Ta có : A = x2 + 2xy + y2 – xz - yz

= (x2 + 2xy + y2) – (xz + yz) = (x + y)2 – z(x + y)

= (x + y)(x + y – z)

P = 2xy + z + 2x + yz

Giải: Ta có : P = 2xy + z + 2x + yz

= (2xy + 2x) + (z + yz) = 2x(y + 1) + z(y + 1) = (y + 1)(2x + z)

A = xm + 4 + xm + 3 – x - 1

Giải: Ta có : A = xm + 4 + xm + 3 – x – 1

= xm + 3(x + 1) – ( x + 1) = (x + 1)(xm + 3 – 1)

P = x2(y – z) + y2(z - x) + z2(x – y)

Giải: Khai triển hai số hạng cuối rồi nhóm các số hạng làm xuất hiện thừa số chung y - z

Ta có : P = x2(y – z) + y2z – xy2 + xz2 – yz2

= x2(y – z) + yz(y – z) – x(y2 – z2) = x2(y – z) + yz(y – z) – x(y – z)(y + z)

Trang 4

= (y – z)((x + yz – x(y + z)) = (y – z)(x2 + yz – xy – xz) = (y – z)(x(x – y) – z(x – y)) = (y – z)(x – y)(x – z)

Nhận xét : dễ thấy z – x = -((y – z) + (x – y)

nên : P = x2(y – z) - y2((y – z) + (x – y)) + z2(x – y)

=(y – z)(x2 – y2) – (x – y)(z2 – y2)

= (y – z) (x – y)(x + y) - (x – y)(z - y)(z + y)

= (y – z) (x – y)(x + y – (z + y))

= (y – z) (x – y)(x – z)

A = ( a + b + c)(bc + ca + ab) - abc

Giải: Ta có : A = ( a + b + c)(bc + ca + ab) - abc

= ( a + b)(bc + ca + ab) + c(bc + ca + ab) - abc = ( a + b)(bc + ca + ab) + bc2 + c2a + abc – abc = ( a + b)(bc + ca + ab) + c2( a + b)

= ( a + b)(bc + ca + ab + c2) = ( a + b)( c(b + c) + a(b + c)) = ( a + b)(b + c)(c + a)

Bài 18: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: Q = a2b + ab2 + b2c +bc2 + c2a + ca2 + 3abc

Giải: Ta có : Q = a2b + ab2 + b2c +bc2 + c2a + ca2 + 3abc

= (a2b + ab2 + abc) + (b2c +bc2 +abc) + (c2a + ca2 + abc) = ab( a + b + c) + bc( a + b + c) +ca( a + b + c)

= ( a + b + c)(ab + bc + ca)

A = 2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc

Giải: Ta có : A = 2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc

= (2a2b + 4ab2) – (a2c + 2abc) + (ac2+ 2bc2) – (4b2c+ 2abc)

= 2ab(a + 2b) – ac(a + 2b) + c2(a + 2b) – 2bc(a + 2b)

= (a + 2b)(2ab – ac + c2 – 2bc)

= (a + 2b)(a(2b – c) – c(2b –c))

= (a + 2b)(2b – c)(a – c)

P = 4x2y2(2x + y) + y2z2(z – y) – 4z2x2(2x + z)

Giải: Ta có : P = 4x2y2(2x + y) + y2z2(z – y) – 4z2x2(2x + z)

= 4x2y2(2x + y) + z2(y2(z – y) – 4x2(2x + z)

= 4x2y2(2x + y) + z2( y2z – y3 – 8x3 – 4x2z) = 4x2y2(2x + y) + z2(z(y2 – 4x2) – (y3 + 8x3))

= 4x2y2(2x + y) + z2(z(y – 2x)(y + 2x) – (y + 2x)(y2 – 2xy + 4x2))

= (2x + y)( 4x2y2 + z3 – 2xz3 – z2y2 + 2xyz2 – 4x2z2)

= (2x + y)(4x2(y2 – z2) – z2y (y – z) +2xz2( y – z))

= (2x + y)(y – z)(4x2y + 4x2z – z2y + 2xz2)

= (2x + y)( y – z)(y(4x2 – z2) + 2xz(2x + z))

= (2x + y)( y – z) (2x + z)(2xy – yz + 2xz)

1.2.3 Phơng pháp dùng hằng đẳng thức đáng nhớ

Phơng pháp này dùng hằng đẳng thức để đa một đa thức về dạng tích, hoặc luỹ thừa bậc hai, bậc ba của một đa thức khác

Các hằng đẳng thức thờng dùng là :

A2 + 2AB + B2 = (A + B)2

A2 - 2AB + B2 = (A - B)2

A2 - B2 = (A + B) (A - B)

(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3

(A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3

A3 - B3 = (A - B)( A2 + AB + B2)

A3 + B3 = (A + B)( A2 - AB + B2)

Sau đây là một số bài tập cụ thể:

A = x4 + x2y2 + y4

Giải: Ta có : A = x4 + x2y2 + y4

= (x4 + 2x2y2 + y4) - x2y2

= (x2 + y2)2 - x2y2

= (x2 + y2 + xy)(x2 + y2 – xy)

B = a6 – b6 + a4 + a2b2 + b4

Trang 5

Giải: Ta có : B = a – b + a + ab + b

= (a6 – b6) + (a4 + a2b2 + b4 )

= (a3 + b3) (a3 - b3) + (a4 + a2b2 + b4 )

= (a + b)( a2 - ab + b2) (a - b)( a2 + ab + b2) + (a4 + 2a2b2 + b4) – a2b2 = (a + b)( a2 - ab + b2) (a - b)( a2 + ab + b2) +(a2 + b2 )2– a2b2

= (a + b)( a2 - ab + b2) (a - b)( a2 + ab + b2) +(a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 ) = (a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 ) ((a – b)(a + b) + 1))

= (a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 )(a2 – b2 + 1)

M = x4 + x2 + 1 + (x2 – x + 1)2

Giải: Ta có : M = x4 + x2 + 1 + (x2 – x + 1)2

= (x4 + 2x2 + 1) – x2 + (x2 – x + 1)2

= (x2 + 1)2 – x2 + (x2 – x + 1)2

= (x2 – x + 1) (x2 + x + 1) + (x2 – x + 1)2

= (x2 – x + 1) (x2 + x + 1 + x2 – x + 1)

= 2(x2 – x + 1)(x2 + 1)

A = x4 + y4 + z4- 2x2y2 – 2x2z2- 2y2z2

Giải: Ta có: A = x4 + y4 + z4- 2x2y2 – 2x2z2- 2y2z2

= (x4 + y4 + z4- 2x2y2 – 2x2z2 + 2y2z2) – 4y2z2

= (x2 – y2 – z2)2 – 4y2z2

= (x2 – y2 – z2 – 2yz) (x2 – y2 – z2 + 2yz)

= (x2 – (y + z)2 )( x2 – (y - z)2 )

= (x – y – z) (x + y + z) (x – y + z)(x + y – z)

A = (x + y)3 +(x - y)3

Giải: Dựa vào đặc điểm của vế trái và áp dụng hằng đẳng thức ta sẽ có cách khác giải nh sau :

Cách 1: A = (x + y)3 +(x - y)3

= ((x + y) +(x - y))3 – 3((x + y) +(x - y)) (x + y)(x - y)

= 8x3 – 3.2x(x2 – y2)

= 2x(4x2 – 3(x2 – y2))

= 2x(x2 + 3y2)

Cách 2: A = (x + y)3 +(x - y)3

= ((x + y) +(x - y))((x + y)2 – (x + y)(x – y) + (x – y)2

= 2x(2(x2 + y2) - (x2 – y2))

= 2x(x2 + 3y2)

A = 16x2 + 40x + 25

Giải: Ta có: A = 16x2 + 40x + 25

= (4x)2 + 2.4.5.x + 52

B = (x - y)3 +(y - z)3 +(z - x)3

Giải: Dễ thấy : x – y =(x – z) + (z – y)

Từ đó ta có : (x - y)3 = (x – z)3 + (z – y)3 + 3(x – z)(z – y)((x – z) + (z – y))

= - (z - x)3 - (y - z)3 + 3(z – x)(y – z)(x – y)

A = (a + b+ c) – (a3 + b3+ c3)

Giải: Ta có: A = (a + b+ c) –(a3 + b3+ c3)

= a3 + 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + (b + c)3 - (a3 + b3+ c3)

= a3 + 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + b3 + 3b2c + c3 - (a3 + b3+ c3)

= 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + 3bc(b + c)

= 3(b + c)(a2 + ab + ac + bc)

= 3(b + c)(a(a + b) + c(a + b)

= 3(b + c)(a + b)(a + c)

P = x8 – 28

Giải: Ta có : P = x8 – 28

= (x4 + 24) (x4 - 24)

= (x4 + 24)((x2)2 – (22)2 )

= (x4 + 24)(x2 – 22)(x2 + 22)

= (x4 + 24)(x2 + 22)(x – 2)(x + 2)

Q = (x3 – 1) + (5x2 – 5) + (3x – 3)

Trang 6

Giải: Ta có: Q = (x – 1) + (5x – 5) + (3x – 3)

= (x – 1)(x2 + x + 1) + 5(x – 1) (x + 1) + 3(x – 1)

= (x – 1)( x2 + x + 1 + 5x + 5 + 3)

= (x – 1)( x2 + 6x + 9)

= (x – 1)(x + 3)2

1.2.4 Phơng pháp thực hiện phép chia:

Nếu a là một nghiệm của đa thức f(x) thì có sự phân tích f(x) = (x – a).g(x) ,g(x) là một

đa thức Để tìm g(x), ta chia f(x) cho (x – a) Sau đó lại phân tích tiếp g(x)

Sau đây là một số ví dụ cụ thể:

f(x) = x5 + 6x4 + 13x3 + 14x2 + 12x + 8

Giải:

Dễ thấy: f(-2) = (-2)5 + 6(-2)4 + 13(-2)3 + 14(-2)2 + 12(-2) + 8 = 0

Nên chia f(x) cho (x + 2), ta đợc:

f(x) = (x + 2)(x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4) = (x + 2).g(x)

Dễ thấy: g(x) = x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4 có g(-2) = 0

Nên chia g(x) cho (x + 2), ta đợc:

g(x) = (x + 2)(x3 + 2x2 + 2x + 2)

Đặt h(x) = x3 + 2x2 + 2x + 2 Ta có: h(-2) = 0

Nên chia h(x) cho(x + 2), đợc: h(x) = (x + 2)(x2 + 1)

Vậy: f(x) = (x + 2) (x + 2) (x + 2) (x2 + 1)

= (x + 2)3(x2 + 1)

Khi thực hiện phép chia f(x), g(x), h(x) cho (x + 2), ta có thể sử dụng sơ đồ Hoocne để thực hiện phép chia đợc nhanh hơn

Ví dụ chia f(x) cho (x + 2) nh sau :

Vậy f(x) = (x + 2)(x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4)

Chia x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4 cho (x + 2) nh sau :

Vậy x4 + 4x3 + 5x2 + 4x + 4 = (x + 2)(x3 + 2x2 + 2x + 2)

Chia x3 + 2x2 + 2x + 2 cho (x + 2) nh sau :

Vậy x3 + 2x2 + 2x + 2 = (x + 2)(x2 + 1)

Vậy h(x) = (x + 2)3(x2 + 1)

P = x4 – 2x3 – 11x2 + 12x + 36

Giải: Tìm nghiệm nguyên của đa thức (nếu có) trong các ớc của 36 : 1; 2; 3; 4;

6 ; 9; 12; 18; 36

Ta thấy : x = -2

P(-2) = 16 + 16 –44 – 24 +36 = 68 – 68 = 0

Ta có: P = x4 + 2x3 – 4x3 – 8x2 – 3x2 – 6x + 18x + 36

= x3 (x + 2) – 4x2(x + 2) – 3x(x + 2) + 18(x + 2)

= (x + 2)(x3 – 4x2 – 3x + 18)

Lại phân tích Q = x3 – 4x2 – 3x + 18 thành nhân tử

Ta thấy: Q(-2) = (-2)3 – 4(-2)2 – 3(-2) + 18 = 0

Nên chia Q cho (x + 2), ta đợc :

Q = (x + 2)(x2 – 6x + 9)

= (x + 2)(x – 3)2

Vậy: P = (x + 2)2(x – 3)2

1.2.5 Phơng pháp đặt ẩn phụ

Bằng phơng pháp đặt ẩn phụ (hay phơng pháp đổi biến) ta có thể đa một đa thức với ẩn số cồng kềnh , phức tạp về một đa thức có biến mới, mà đa thức này sẽ dễ dàng phân tích đợc thành nhân tử Sau đây là một số bài toán dùng phơng pháp đặt ẩn phụ

A = (x2 + x) + 4(x2 + x) - 12

Giải: Đặt : y = x2 + x , đa thức đã cho trở thành :

A = y2 + 4y – 12

Trang 7

= y – 2y + 6y – 12

= y(y – 2) + 6(y – 2)

= (y – 2)(y + 6) (1)

Thay : y = x2 + x vào (1) ta đợc :

A = (x2 + x – 2)(x2 + x – 6)

= (x – 1)(x + 2)(x2 + x – 6)

A = (x2 + x + 1)( x2 + x + 2) - 12

Giải: A = (x2 + x + 1)( x2 + x + 2) - 12

Đặt y = (x2 + x + 1) Đa thức đã cho trở thành :

A = y(y + 1) – 12

= y2 + y – 12

= y2 – 3y + 4y – 12

= y(y – 3) + 4(y – 3)

= (y – 3)(y + 4) (*)

Thay: y = (x2 + x + 1) vào (*) ta đợc :

A = (x2 + x + 1 - 3)(x2 + x + 1 + 4)

= (x2 + x – 2) (x2 + x + 6)

= (x – 1)(x + 2)(x2 + x + 6)

B = x12 – 3x6 + 1

Giải: B = x12 – 3x6 + 1

Đặt y = x6 (y  0)

Đa thức đã cho trở thành :

B = y2 – 3y + 1

= y2 – 2y + 1 – y

= (y – 1)2 – y

= (y – 1 - y )(y + 1 + y ) (*)

Thay : y = x6 vào (*) đợc :

B = (x6 – 1 - x6 )(y 1  x6 )

= (x6 – 1 – x3)(x6 + 1 + x3)

A = x3 - 3 2 x2 + 3x + 2 - 2

Giải: Đặt : y = x - 2 , ta có x = y + 2

A = (y + 2 )3 - 3 2(y + 2)2 + 3(y + 2) + 2 - 2

= y3 + 3y2 2 + 3y.2 + 2 2 - 3 2 (y2 + 2 2y + 2) + 3(y + 2) + 2 - 2 = y3 - 3y – 2

= y3 - y – 2y – 2

= y(y2 – 1) – 2(y + 1)

= y(y – 1)(y + 1) – 2(y + 1)

= (y + 1)(y(y – 1) – 2)

= (y + 1)(y2 – y – 2)

= (y + 1)(y + 1)(y – 2)

= (y + 1)2(y – 2) (*)

Thay : y = x - 2 vào (*), đợc :

A = (x - 2 + 1)2(x - 2 - 2)

M = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15

Giải: Ta có:

M = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15

= ((x + 1)( x + 7))((x + 3)(x + 5)) + 15

= (x2 + 8x + 7)( x2 + 8x + 15) + 15

Đặt : y = (x2 + 8x + 7) Đa thức đã cho trở thành :

M = y(y + 8) + 15

= y2 + 8y + 15

= y2 + 3y + 5y + 15

= y(y + 3) + 5(y + 3)

= ( y + 3)(y + 5)

Thay : y = (x2 + 8x + 7), ta đợc :

M = (x2 + 8x + 10)(x2 + 8x + 12)

= (x2 + 8x + 10)( x2 + 2x + 6x + 12)

= (x2 + 8x + 10)((x(x + 2) + 6(x + 2))

= (x2 + 8x + 10)(x + 2)(x + 6)

Trang 8

Nhận xét: Từ lời giải bài toán trên ta có thể giải bài toán tổng quát sau : phân tích đa thức sau

thành nhân tử :

A = (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) + m

Nếu a + d = b + c Ta biến đổi A thành :

A = ((x + a)(x + d))((x + b)(x + c)) + m (1)

Bằng cách biến đổi tơng tự nh bài 36, ta đa đa thức (1) về đa thức bậc hai và từ đó phân tích đợc đa thức A thành tích các nhân tử

A = x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + 1

Giải: Giả sử x  0, ta viết đa thức dới dạng :

A = x2((x2 + 2

x

1

) + 6( x -

x

1

) + 7 )

Đặt y = x -

x

1

thì x2 + 2

x

1

= y2 + 2

Do đó : A = x2(y2 + 2 + 6y + 7)

= x2( y + 3)2

= (xy + 3x) 2

Thay y = x -

x

1

, ta đợc

A =

2

3 ) 1







x x x

= (x2 + 3x – 1)2

Dạng phân tích này cũng đúng với x = 0

Nhận xét :

Từ lời giải bài tập này, ta có thể giải bài tập tổng quát sau : Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

A = a0x2n + a1xn – 1 +…….+ an – 1xn – 1 +anxn + an – 1xn – 1 + … + a1x + a0

Bằng cách đa xn làm nhân tử của A, hay :

A = xn(a0xn + a1xn – 1 + …….+ an – 1x + an +

x

a n 1

+… +

1



n

x

a

+

n

x

a0

Sau đó đặt y = x +

x

1

ta sẽ phân tích đợc A thành nhân tử một cách dễ dàng nh bài tập trên

A = x2 + 2xy + y2 – x – y - 12

Giải: Ta có: A = x2 + 2xy + y2 – x – y – 12

= (x + y)2 – (x + y) – 12

- Đặt X = x + y, đa thức trên trở thành :

A = X2 – X – 12

= X2 - 16 – X + 4

= (X + 4)(X - 4) - (X - 4)

= (X - 4)(X + 4 - 1)

= (X - 4)(X + 3) (1)

- Thay X = x + y vào (1) ta đợc :

A = (x + y – 4)( x + y + 3)

A = (x2 + y2 + z2)( x + y + z)2 + (xy + yz + zx)2

Giải: A = (x2 + y2 + z2)( x + y + z)2 + (xy + yz + zx)2

Đặt : x2 + y2 + z2 = a

xy + yz + zx = b

 ( x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) = a + 2b

Đa thức A trở thành :

A = a(a + 2b) + b2

= a2 + 2ab + b2

= (a + b)2 (*)

Thay : a = x2 + y2 + z2

b = xy + yz + zx vào (*) ta đợc :

A = (x2 + y2 + z2 + xy + yz + zx)2

P = (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3

Trang 9

Giải: Đặt : A = x – y ; B = y – z; C = z – x

Ta có : A + B + C = 0 Nên

A + B = - C

Lập phơng hai vế :

(A + B)3 = - C3

 A3 + 3AB(A + B) + B3 = - C3

 A3 + B3 + C3 = - 3AB(A + B)

 A3 + B3 + C3 = 3ABC

Thay : A = x – y ; B = y – z; C = z – x, ta đợc :

(x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 = 3(x – y)(y – z)(z – x)

1.2.6 Phơng pháp đề xuất bình phơng đủ ( tách số hạng)

Phơng pháp đề xuất bình phơng đủ là phơng pháp thêm, bớt các hạng tử trong đa thức để làm xuất hiện các đa thức có thể đa về hằng đẳng thức đáng nhớ

Sau đây là một số ví dụ :

A = x2 – 6x + 5

Giải: Ta có thể giải bài toán trên đây bằng một số cách nh sau:

Cách 1: A = x2 – 6x + 5

= x2 – x – 5x + 5

= x(x – 1) – 5(x – 1)

= (x – 1)(x – 5)

Cách 2 : A = x2 – 6x + 5

= (x2 - 2x + 1) – 4x + 4

= (x – 1)2 – 4(x – 1)

= (x – 1)(x – 1 - 4)

= (x – 1)(x – 5)

Cách 3 : A = x2 – 6x + 5

= (x2 – 6x + 9) – 4

= (x – 3)2 – 4

= (x – 3 – 2) (x – 3 + 2)

= (x – 1)(x – 5)

Cách 4 : A = x2 – 6x + 5

= (x2 – 1) – 6x + 6

= (x – 1)(x + 1) – 6(x – 1)

= (x – 1)( x + 1 – 6)

= (x – 1)(x – 5)

Cách 5 : A = x2 – 6x + 5

= (3x2 – 6x + 3) – 2x2 + 2

= 3(x – 1)2 - 2(x2 – 1)

= 3(x – 1)(3(x – 1) – 2 ( x + 1))

= (x – 1)(x – 5)

Cách 6 : A = x2 – 6x + 5

= (5x2 – 10x + 5) – 4x2 + 4

= (x – 1)2 – 4x(x – 1)

= (x – 1)( (5(x – 1) – 4x))

= (x – 1)(x – 5)

Cách 7 : A = x2 – 6x + 5

= (6x2 – 6x) – 5x2 + 5

= 6x(x – 1) - 5(x – 1) (x + 1)

= (x – 1)(6x – 5(x + 1))

= (x – 1)(x – 5)

Cách 8 : A = x2 – 6x + 5

Đặt f(x) = x2 – 6x + 5

Dễ thấy tổng các hệ số của f(x) bằng 0 hay f(x) = 0 nên f(x) chia hết cho

(x- 1) Thực hiện phép chia f(x) cho (x –1) đợc thơng là (x – 5) Vậy

A = (x – 1)(x – 5)

Chú ý: Để phân tích đa thức ax2 + bx + c (c0) bằng phơng pháp tách số hạng ta làm nh sau : Bớc 1 : lấy tích a.c = t

Bớc 2 : phân tích t thành hai nhân tử ( xét tất cả các trờng hợp) t = pi.qi

Bơc 3 : tìm trong các cặp nhân tử pi, qi một cặp pa, qa sao cho : pa + qa = b

Bớc 4 : viết ax2 + bx + c = ax2 + pax + qax + c

Bớc 5 : từ đây nhóm các số hạng và đa nhân tủ chung ra ngoài dấu ngoặc

B = x4 + 2x2 - 3

Trang 10

C¸ch 1: B = x4 + 2x2 - 3

= x4 – x2+ 3x2 – 3

= x2(x2 – 1) + 3(x2 – 1)

= (x2 – 1) (x2 + 3)

= (x – 1)(x + 1)(x2 + 3)

C¸ch 2: B = x4 + 2x2 - 3

= x4 + 3x2 – x2– 3

= x2(x2 + 3) - (x2 + 3)

= (x2 + 3)(x2 – 1)

= (x2 + 3)(x – 1)(x + 1)

C¸ch 3 : B = x4 + 2x2 - 3

= (x4 ) + 2x2 – 1 – 2

= (x4 – 1) + 2x2– 2

= (x2 – 1)(x2 + 1) + 2(x2 – 1)

= (x2 – 1)(x2 + 3)

= (x – 1)(x + 1)(x2 + 3)

C¸ch 4 : B = x4 + 2x2 - 3

= (x4 + 2x2 + 1) - 4

= (x2 + 1)2 – 4

= (x2 + 1)2 – 22

= (x2 + 1 – 2)(x2 + 1 + 2)

= (x2 – 1) (x2 + 3)

= (x – 1)(x + 1)(x2 + 3)

C¸ch 5 : B = x4 + 2x2 - 3

= (x4 – 9) + 2x2 + 6

= (x2 + 3)(x2 - 3) + 2(x2 + 3)

= (x2 + 3)( x2 - 3 + 2)

= (x2 + 3)(x2 – 1)

= (x2 + 3)(x – 1)(x + 1)

C¸ch 6 : B = x4 + 2x2 - 3

= (3x4 – 3) – 2x4 + 2x2

= 3(x4 – 1) – 2x2(x2 – 1)

= 3(x2 – 1)(x2 + 1) - 2x2(x2 – 1)

= (x2 – 1)(3( x2 + 1) - 2x2)

= (x2 – 1) (x2 + 3)

= (x – 1)(x + 1)(x2 + 3)

A = x4 + x2 + 1

Gi¶i:

C¸ch 1 : A = x4 + x2 + 1

= (x4 + 2x2 + 1) - x2

= (x2 + 1)2 - x2

= (x2 + 1 - x)(x2 + 1 + x)

C¸ch 2 : A = x4 + x2 + 1

= (x4 + x3 + x2) – (x3 + x2 + x) + (x2 + x + 1) = (x2 + 1 - x)(x2 + 1 + x)

C¸ch 3 : A = x4 + x2 + 1

= (x4 - x3 + x2) + (x3 - x2 + x) + (x2 - x + 1) = x2(x2 - x + 1) + x(x2 - x + 1) + (x2 - x + 1) = (x2 - x + 1)(x2 + x + 1)

F = 5x2 + 6xy + y2

Gi¶i:

C¸ch 1 : F = 5x2 + 6xy + y2

= (5x2 + 5xy) + (xy + y2)

= 5x(x + y) + y(x + y)

= (x + y)(5x + y)

C¸ch 2 : F = 5x2 + 6xy + y2

= (6x2 + 6xy) – (x2 - y2)

= 6x(x + y) – (x – y)(x + y)

= (x + y)(6x – x + y)

= (x + y)(5x + y)

C¸ch 3 : F = 5x2 + 6xy + y2

= (4x2 + 4xy) +(x2 + 2xy + y2 )

= 4x(x + y) + (x + y)2

Định dạng
Số trang	15
Dung lượng	272 KB