Phân tích đa thức thành nhân tử và các bài tập vận dụng

Nội dung "Phân tích đa thức thành nhân tử" được học khá kỹ ở chươngtrình đại số lớp 8, nó có rất nhiều bài tập và cũng được ứng dụng rất nhiều đểgiải các bài tập trong chương trình đại s

I ĐẶT VẤN ĐỀ

Môn toán là môn học rất phong phú và đa dạng, đó là niềm say mê của

những người yêu thích toán học Đối với học sinh, để có một kiến thức vữngchắc, đòi hỏi phải phấn đấu rèn luyện, học hỏi rất nhiều và bền bỉ Đối với giáoviên: Làm thế nào để trang bị cho các em đầy đủ kiến thức? Đó là câu hỏi màgiáo viên nào cũng phải đặt ra cho bản thân

Nội dung "Phân tích đa thức thành nhân tử" được học khá kỹ ở chươngtrình đại số lớp 8, nó có rất nhiều bài tập và cũng được ứng dụng rất nhiều đểgiải các bài tập trong chương trình đại số lớp 8 cũng như ở các lớp trên Vìvậy, yêu cầu học sinh nắm chắc và vận dụng nhuần nhuyễn các phương phápphân tích đa thức thành nhân tử là vấn đề vô cùng cần thiết và rất quan trọng Trong nhiều năm gần đây tôi được phân công giảng dạy toán lớp 8, tôinhận ra học sinh rất cứng nhắc, thiếu sáng tạo trong việc sử dụng các phươngpháp phân tích đa thức thành nhân tử và gặp lúng túng, khó khăn khi giải cácbài toán phân tích đa thức thành nhân tử và các bài toán liên quan Nắm đượctinh thần này trong quá trình giảng dạy toán lớp 8 tôi đã dày công tìm tòi,nghiên cứu, rút ra các ''kinh nghiệm phân tích đa thức thành nhân tử'' đa dạng

và dễ hiểu Góp phần rèn luyện trí thông minh và năng lực tư duy sáng tạo chohọc sinh Trong SGK đã trình bày các phương pháp phân tích đa thức thànhnhân tử là phương pháp đặt nhân tử chung, phương pháp nhóm các hạng tử,dùng hằng đẳng thức Trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi giới thiệu thêm

một số ''kinh nghiệm phân tích đa thức thành nhân tử'' bằng cách sử dụng các

phương pháp sáng tạo và đa dạng như: Phân tích đa thức thành nhân tử bằngphương pháp tách số hạng, phương pháp thêm bớt số hạng, phương pháp đặt ẩnphụ, phương pháp tìm nghiệm của đa thức Đồng thời vận dụng các phươngpháp phân tích đa thức thành nhân tử để làm một số dạng bài tập

Khi lồng ghép sáng kiến này vào quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinhrất thích thú và đạt được kết quả hết sức tốt, không những học sinh nắm vững

vàng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử mà còn rất linh hoạt vàsáng tạo trong việc giải các bài tập có liên quan đến phân tích đa thức thànhnhân tử như bài toán giải phương trình, bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất,bài toán tìm nghiệm nguyên , với tinh thần trên tôi quyết tâm thực hiện sángkiến kinh nghiệm: '' Kinh nghiệm phân tích đa thức thành nhân tử'' nhằm gópphần nâng cao chất lượng giáo dục trong huyện nhà.

II NỘI DUNG

1 CƠ SỞ LÝ LUẬN

1.1 Mục đích nghiên cứu:

- Chỉ ra những phương pháp dạy loại bài “ Phân tích đa thức thành nhân tử”

- Đổi mới phương pháp dạy học

- Nâng cao chất lượng dạy học

1.2 Nhiệm vụ và phương pháp nghiên cứu:

- Những chuyển biến sau khi áp dụng

- Rút ra bài học kinh nghiệm

1.2.2 Phương pháp nghiên cứu:

- Phương pháp đọc sách và tài liệu

- Phương pháp nghiên cứu sản phẩm

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

- Phương pháp thực nghiệm

- Phương pháp đàm thoại nghiên cứu vấn đề

1.3 Giới hạn (phạm vi) nghiên cứu:

- Đề tài nghiên cứu “Phân tích đa thức thành nhân tử và các bài tập vậndụng”

- Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 8 trường THCS Ba Động

Từ năm học 2009 - 2010 đến nay, tôi được nhà trường phân công giảng bộmôn toán lớp 8 Qua thực tế dạy học kết hợp với dự giờ thăm lớp của các giáo

viên trong trường, thông qua các kỳ thi chất lượng và kỳ thi học sinh giỏi cấphuyện bản thân tôi nhận thấy các em học sinh chưa có kỹ năng thành thạo khilàm các dạng bài tập như: Quy đồng mẫu thức, giải các loại phương trình, rútgọn, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất vì lý do để giải được các loại bài tập này cầnphải có kỹ năng phân tích các đa thức thành nhân tử.

Nếu như các em học sinh lớp 8 không có thủ thuật và kỹ năng phân tích đathức thành nhân tử thì việc nắm bắt các phương pháp để giải các dạng toán vàkiến thức mới trong quá trình học toán là một vấn đề khó khăn

Trong việc giảng dạy bộ môn toán giáo viên cần phải rèn luyện cho họcsinh tính tư duy, tính độc lập, tính sáng tạo và linh hoạt, tự mình tìm tòi ra kiếnthức mới, ra phương pháp làm toán ở dạng cơ bản như các phương pháp thôngthường mà còn phải dùng một số phương pháp khó hơn đó là phải có thủ thuậtriêng đặc trưng, từ đó giúp các em có hứng thú học tập, ham mê học toán vàphát huy năng lực sáng tạo khi gặp các dạng toán khó

Người thầy giáo trong khi giảng dạy cần rèn luyện cho học sinh của mìnhvới khả năng sáng tạo, ham thích học bộ môn toán và giải được các dạng bàitập mà cần phải thông qua phân tích đa thức thành nhân tử, nâng cao chấtlượng học tập, đạt kết quả tốt trong các kỳ thi Từ đó tôi mạnh dạn chọn đề tàisáng kiến kinh nghiệm "Một số kinh nghiệm phân tích đa thức thành nhân tử"nhằm giúp giúp học sinh của mình nắm vững các phương pháp phân tích đathức thành phân tử, giúp học sinh phát hiện phương pháp giải phù hợp vớitừng bài cụ thể ở các dạng khác nhau

3 CÁC BIỆN PHÁP TIẾN HÀNH

Trước hết giáo viên phải làm cho học sinh thấy rõ “Phân tích đa thức thànhnhân tử là gì và ngoài giải những bài tập về phân tích đa thức thành nhân tửthì những dạng bài tập nào được vận dụng nó và vận dụng nó như thế nào ?

- Phân tích đa thức thành nhân tử (thừa số) là biến đổi đa thức đã cho thànhmột tích của các đa thức

- Phân tích đa thức thành nhân tử là bài toán đầu tiên của rất nhiều bài toánkhác

3.1 Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử:

3.1.1 Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhóm, tách, thêm, bớt hạng tử:

Ví dụ 1: x4 + 5x3 +15x - 9

Giải: Đa thức đã cho có 4 số hạng không thể đặt ngay nhân tử chung hoặc

áp dụng ngay các hằng đẳng thức, vì vậy ta nghĩ tới cách nhóm các số hạnghoặc thêm bớt số hạng Ta có thể phân tích như sau:

x2y + xy2 + x2z + xz2 + y2z + yz2 + 3xyz

= x2y + x2z + xyz + xy2 + y2z + xyz + xz2 + yz2 + xyz

= x (xy + xz + yz) + y (xy + yz + xz) + z (xz + yz + xy)

= (xy + xz + yz) (x + y + z)

Ví dụ 3: x2 + 6x + 8

Giải: Với các phương pháp đã biết như đặt nhân tử chung, nhóm số hạng,dùng hằng đẳng thức ta không thể phân tích được đa thức này Nếu tách một sốhạng thành hai số hạng để đa thức trở thành 4 số hạng thì có thể nhóm các hạng

tử để xuất hiện nhân tử chung hoặc xuất hiện các hằng đẳng thức Từ đó cónhiều khả năng biến đổi đa thức đã cho thành tích

Giáo viên cần nhấn mạnh cho học sinh chú ý sau:

- Một đa thức dạng ax2 +bx + c chỉ phân tích được thành nhân tử trong tậphợp Q khi đa thức đó có nghiệm hữu tỉ   (hoặc , ) là một số chính phương(trong đó  = b2 - 4ac (, = b,2 - ac)

- Một đa thức dạng ax2 + bx + c tách làm xuất hiện hằng đẳng thức đượckhi :  (hoặc ' )là một số chính phương và chứa 2 trong 3 hạng tử của

A2 +2AB +B2 hoặc A2 - 2AB +B2

Ví dụ 5: bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a +b)

Giải: Đa thức trên ta có thể dự đoán có 1 nhân tử là b+c hoặc c-a hoặc a+ b.

Ta có các cách phân tích như sau:

Giải: Số mũ của a từ 5 xuống 1 nên giữa a5 và a cần có những số hạng với

số mũ trung gian để nhóm số hạng làm xuất hiện nhân tử chung

Thông thường khi gặp bài toán này học sinh thường thực hiện phép nhân

đa thức với đa thức sẽ được đa thức bậc 4 với năm số hạng Phân tích đa thứcbậc 4 với năm số hạng này thường rất khó và dài dòng Nếu chú ý đến đặcđiểm của đề bài: Hai đa thức x2 + x + 1 và x2 + x + 2 chỉ khác nhau bởi hạng

tử tự do, do đó nếu ta đặt y = x2 + x + 1 hoặc y = x2 + x thì biến đổi đa thứcthành đa thức bậc hai sẽ đơn giản hơn nhiều

Giải: Nhận xét: Ta có: 1 + 7 = 3 + 5 cho nên nếu ta nhân các thừa số x+1với x +7 và x + 3 với x + 5 ta được các đa thức có phần biến giống nhau.

Cách 1: Các ước của 4 là : 1;2;4;-1;-2;-4 Thử các giá trị này ta thấy x = 1

và x = -2 là nghiệm của đa thức đã cho

Cách 2: Tổng các hệ số của đa thức bằng 0 nên đa thức đã cho có nghiệm

x = 1

 Phương pháp tìm nghiệm hữu tỉ của một đa thức: Trong đa thức với hệ sốnguyên, nghiệm hữu tỉ (nếu có) phải có dạng p/q trong đó p là ước của hệ số

tự do; q là ước dương của số hạng có bậc cao nhất

Ví dụ: Tìm nghiệm của đa thức sau: 2x3 + 5x2 + 5x + 3

Giải:

Các ước của 3 là : 1;-1;3;-3 (p)

Các ước dương của 2 là : 1;2 (q)

Xét các số 1; 3;1/2; 3/2 ta thấy -3/2 là nghiệm của đa thức đã cho.Chú ý:

-Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức đó có một nghiệm bằng 1.

Cách 2: Đa thức x3 + 3x2 - 4 có nghiệm là x= -2 nên chứa nhân tử x + 2

Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức:

60 67 7

120 106

19 4

x x

x x A

Giải:

Ta có

60 67 7

120 106

19 4

x x

x x A

Ta thấy tử thức của phân thức có các nghiệm là 2; 3 ; 4 ; -5

Mẫu thức của phân thức có các nghiệm là -1 ; 3 ; -4;-5

Do đó:

60 67 7

120 106

19 4

x x

x x

A

x x B

Giải:

Ta thấy tử thức có nghiệm là 1; mẫu thức cũng có nghiệm là 1; nên ta có:

2

4 3

x x

B

=

2 2 2 2

4 4

x

x x x x x

=

2 2

x x

Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x ,ta có:

Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x ta có (4x + 3)2 - 25 chia hếtcho 8.

Do x là số nguyên nên (x + 2) (2x - 1) là số nguyên

Do đó 8 (x + 2) (2x - 1) chia hết cho 8 Ta suy ra ĐPCM

Cách 2: (4x + 3)2 - 25

= 16x2 + 24x + 9 - 25

= 16x2 + 24x - 16

= 8 (2x2 + 3x - 2)

Vì x là số nguyên nên 2x2 + 3x - 2 là số nguyên

Do đó 8 (2x2 + 3x - 3) chia hết cho 8.Ta suy ra điều phải chứng minh

Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n biểu thức:

A=

6 2

3 2 3

Muốn chứng minh biểu thức là số nguyên chỉ cần chứng minh 2n + 3n2 + n3

chia hết cho 6 với mọi số nguyên n

Ta thấy n (n + 1) (n + 2) là tích của ba số nguyên liên tiếp nên ít nhất cómột thừa số chia hết cho 2 và một thừa số chia hết cho 3 Mà 2 và 3 là hai sốnguyên tố cùng nhau nên tích này chia hết cho 6.

Vậy mọi số nguyên n biểu thức A=

6 2 3

3

n n

1 1

1 1

CMR: n n n n n n

c b a c b

1 1

1 1

với n lẻ

Giải:

Ta có:

c b a abc

ab ac bc c

b a c b

Vì n lẻ nên a2 = -bn hoặc bn = - c2 hoặc an = - cn

Thay vào ta suy ra điều phải chứng minh

3.2.3 Dạng 3: Áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải một số dạng phương trình.

a) Giải phương trình nghiệm nguyên

Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

x + 2y = 8 x + 2y = 12

3x + 4y = 12 3x + 4y = 8

Giải hệ (I) ta được x = 16; y = - 6 (Loại)

Giải hệ (II) ta được x = 4; y = 1 (Loại)

Giải hệ (III) ta được x = 4; y = 6 (Loại)

Giải hệ (IV) ta được x = - 16;y = 14 (Loại)

Vậy nghiệm của hệ x = 4; y = 1

Vậy nghiệm của phương trình: x= 4; y = 1

Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

=> 7 - 3xy > 0 => 3xy < 7 => xy <

3 7

hoặc (x2 + 2x + 2) = 0 không có giá trị nào của x Q

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = -1

n n



 là số nguyên với mọi số chẵn n

16) Chứng minh đa thức: x79 + x78 + + x2 + x+ 1 chia hết cho đa thức x19

+ x18 + + x2 + x + 1

4 KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC:

Áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này vào giảng dạy ở trường THCS BaĐộng trong năm học 2013 - 2014 đã thu được các kết quả khả quan

Kết quả học tập của học sinh được nâng lên rõ rệt qua các giờ học, qua mỗi

kỳ thi, đặc biệt là các em hứng thú học toán hơn, sử dụng thành thạo các thủthuật phân tích đa thức thành nhân tử để làm các dạng toán có liên quan đếnviệc phân tích đa thức đạt kết quả tốt Đa số các em học sinh đã biết sử dụngcác phương pháp phân tích thông thường một cách thành thạo, 80% các emhọc sinh có kỹ năng nắm vững thủ thuật phân tích đa thức dựa vào cácphương pháp phân tích đã được nêu trong sáng kiến kinh nghiệm, kết quảkiểm tra định kỳ chương I đại số 8 mà phần lớn kiến thức liên quan đến phântích đa thức thành nhân tử, các em làm bài rất tốt, hơn 95% học sinh đạt điểm

từ trung bình trở lên so với khi chưa áp dụng sáng kiến này là tăng 20% Bêncạnh đó các phương pháp này các em dễ dàng tiếp cận với các dạng toán khó

và các kiến thức mới cũng như việc hình thành một số kỹ năng trong quá trìnhhọc tập và giải toán khi học bộ môn toán Việc áp dụng sáng kiến này khôngnhững có hiệu quả về chiều rộng mà còn về chiều sâu Trong kỳ thi học sinhgiỏi khối 8 năm học này phần kiến thức liên quan đến phân tích đa thức thànhnhân tử các em làm rất tốt, đó là những kết quả bước đầu rất đáng khích lệgiúp tôi tin tưởng hơn trong việc áp dụng sáng kiến này vào dạy học và chia

sẽ cùng đồng nghiệp

III Kết luận.

Trải qua thực tế giảng dạy vận dụng sáng kiến kinh nghiệm trên đây có kết quả hữu hiệu cho việc học tập và giải toán Rất nhiều học sinh chủ động tìm tòi và định hướng phương pháp làm bài khi chưa có sự gợi ý của giáo viên, mang lại nhiều sáng tạo và kết quả tốt từ việc giải toán rút ra các phương phápphân tích đa thức thành nhân tử

Vì lẽ đó với mỗi giáo viên nói chung và bản thân tôi nói riêng cần hiểu rõkhả năng tiếp thu bài của các đối tượng học sinh để từ đó đưa ra những bài tập

và phương pháp giải toán cho phù hợp giúp học sinh làm được các bài tập,gây hứng thú học tập, say sưa giải toán, yêu thích học toán Từ đó dần dầnnâng cao từ dễ đến khó, có được như vậy thì người thầy giáo cần phải tìm tòinhiều phương pháp giải toán, có nhiều bài toán hay để hướng dẫn học sinhlàm, đưa ra cho học sinh cùng làm, cùng phát hiện ra các cách giải khác nhaucũng như cách giải hay, tính tự giác trong học toán, phương pháp giải toánnhanh, có kỹ năng phát hiện ra các cách giải toán nhanh, có kỹ năng phát hiện

ra các cách giải.'' Một số kinh nghiệm trong phân tích đa thức thành nhân tử ''

ở trên đây giúp học sinh rất nhiều trong quá trình giải toán và đạt được kết quảkhả quan

Đánh giá chất lượng trước khi thực hiện giải pháp

Năm học Số học

sinh khối 8

Kết quả kiểm tra định kỳ Chương I đại số lớp 8

(Có nội dung phần lớn là phân tích đa thức thành nhân tử)

Giỏi Khá Trung bình Yếu - Kém2012-2013 36 6 ( 17%) 12 ( 33%) 12 ( 33%) 6 ( 17%)

Đánh giá chất lượng sau khi thực hiện giải pháp

Năm học Số học

sinh khối 8

Kết quả kiểm tra định kỳ Chương I đại số lớp 8

(Có nội dung phần lớn là phân tích đa thức thành nhân tử)

Giỏi Khá Trung bình Yếu - Kém2013-2014 55 12 ( 22%) 21 ( 38%) 19 ( 35%) 3 ( 5%)Với kết quả khả quan như trên, tôi đã mạnh dạn trao đổi cùng một số đồngnghiệp, sau một thời gian sử dụng các đồng nghiệp cho ý kiến phản hồi khá

tích cực Những kết quả đạt được ban đầu giúp tôi củng cố niềm tin hoàn thiệnhơn nữa sáng kiến và chia sẽ rộng rải cùng đồng nghiệp, nhằm góp phần nângcao chất lượng giáo dục trong huyện nhà trong thời gian đến.

Sáng kiến kinh nghiệm ''Kinh nghiệm về phân tích đa thức thành nhân tử''

mà tôi đã viết trên đây có lẽ sẽ còn hạn chế Mong tổ chuyên môn trongtrường, đồng nghiệp góp ý chân thành để tôi có nhiều sáng kiến kinh nghiệmtốt hơn phục vụ tích cực cho việc giảng dạy

I Đặt vấn đề 01

II Nội dung 03

1 Cơ sở lý luận 03

1.1 Mục đích nghiên cứu 03

1.2 nhiệm vụ và phương pháp nghiên cứu 03

1.3 Phạm vi nghiên cứu 03

2 Thực trạng của vấn đề 03

3 Các biện pháp tiến hành 04

3.1 Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 05

3.1.1 Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhóm, tách, thêm, bớt hạng tử 05

3.1.2 Phương pháp đặt ẩn phụ .09

3.1.3 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tìm nghiệm của đa thức 10

3.2 Các dạng bài tập ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử 12

3.2.1 Dạng 1: Rút gọn biểu thức .12

3.2.2 Dạng 2: Chứng minh chia hết .13

3.2.3 Dạng 3: Áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải một số dạng phương trình 16

3.3 Bài tập 18

4 Kết quả đạt được 19

III Kết luận 21

TÀI LIỆU THAM KHẢO