Cùng với sự đổi mới chương trình và sách giáo khoa, tăng cường sử dụng thiết bị, đổi mới phương pháp dạy học nói chung và đổi mới phương pháp dạy và họctoán nói riêng trong trường THCS h
Trang 2PHẦN MỞ ĐẦU
1 Lý do chọn đề tài:
Toán học là bộ môn khoa học được coi là chủ lực, bởi trước hết Toán học hìnhthành cho các em tính chính xác, tính hệ thống, tính khoa học và tính logic,… vì thếnếu chất lượng dạy và học toán được nâng cao thì có nghĩa là chúng ta tiếp cận vớinền kinh tế tri thức khoa học hiện đại, giàu tính nhân văn của nhân loại
Cùng với sự đổi mới chương trình và sách giáo khoa, tăng cường sử dụng thiết
bị, đổi mới phương pháp dạy học nói chung và đổi mới phương pháp dạy và họctoán nói riêng trong trường THCS hiện nay là tích cực hoá hoạt động học tập, hoạtđộng tư duy, độc lập sáng tạo của học sinh, khơi dậy và phát triển khả năng tự học,nhằm nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện và hình thành kĩnăng vận dụng kiến thức một cách khoa học, sáng tạo vào thực tiễn
Trong chương trình Đại số lớp 8, dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử lànội dung hết sức quan trọng, việc áp dụng của dạng toán này rất phong phú, đa dạngcho việc học sau này như rút gọn phân thức, quy đồng mẫu thức nhiều phân thức,giải phương trình, Qua thực tế giảng dạy nhiều năm, cũng như qua việc theo dõikết quả bài kiểm tra, bài thi của học sinh lớp 8 (các lớp đang giảng dạy), việc phântích đa thức thành nhân tử là không khó, nhưng vẫn còn nhiều học sinh làm sai hoặcchưa thực hiện được, chưa nắm vững chắc các phương pháp giải, chưa vận dụng kĩnăng biến đổi một cách linh hoạt, sáng tạo vào từng bài toán cụ thể
Nhằm đáp ứng yêu cầu đổi mới phương pháp giảng dạy, giúp học sinh tháo gỡ
và giải quyết tốt những khó khăn, vướng mắc trong học tập đồng thời nâng cao chất
lượng bộ môn nên bản thân đã chọn đề tài: “ Rèn kĩ năng giải bài toán phân tích đa
thức thành nhân tử của học sinh - môn đại số 8 ”.
2 Mục đích nghiên cứu:
- Trang bị cho học sinh lớp 8 một cách có hệ thống các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, nhằm giúp cho học sinh có khả năng vận dụng tốt dạng toán này
- Học sinh có khả năng phân tích thành thạo một đa thức
- Phát huy khả năng suy luận, phán đoán và tính linh hoạt của học sinh
- Thấy được vai trò của việc phân tích đa thức thành nhân tử trong giải toán để
từ đó giáo dục ý thức học tập của học sinh
Để giải một bài toán phân tích đa thức thành nhân tử đòi hỏi người học phải có sự
tư duy và khả năng phán đoán cao Mặt các đây là kiến được áp dụng để giải cácbài toán có liên quan như tìm x, rút gọn biểu thức,…
Do đó mục đích viết đề tài này là có thể góp phần bé nhỏ nào đó của mình vào việcnâng cao chất lượng dạy và học nói chung và rèn kỹ năng phân tích đa thức thànhnhân tử nói riêng theo phương châm “ lấy kết quả đạt được trong thực tế làm thước
đo chất lượng giảng dạy”
Trang 33 Thời gian và địa điểm:
- Thời gian: Năm học 2014 - 2015
- Địa điểm: Trường TH&THCS Đại Dực – xã Đại Dực – huyện Tiên Yên –
tỉnh Quảng Ninh
4 Đóng góp mới về mặt thực tiễn:
Chương trình toán rất rộng, các em được lĩnh hội nhiều kiến thức, các kiếnthức lại có mối quan hệ chặt chẽ với nhau Do vậy khi học, các em không nhữngnắm chắt lý thuyết cơ bản mà còn phải biết tự diễn đạt theo ý của mình, từ đó biếtvận dụng để giải từng loại toán Qua cách giải các bài toán rút ra phương pháp chung
để giải mỗi dạng toán, trên cơ sở dĩ tìm ra các cách trình bày bài toán ngắn gọn hơn Với những nét đặc thù của môn Toán, để nắm vững được kiến thức thì đòi hỏihọc sinh không phải chỉ chú ý học lí thuyết là đủ mà phần lớn phải thực hành đượccác dạng bài tập Bởi vì bài tập Toán học nói chung chiếm một vị trí quan trọngtrong quá trình dạy – học môn Toán Nó giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triểnnăng lực tư duy, thực hiện tốt các mục đích dạy – học Toán ở trường phổ thông, hìnhthành kĩ năng, kĩ xảo, khả năng ứng dụng vào thực tiễn Riêng đối với dạng bài tậpphân tích đa thức thành nhân tử đã góp phần rèn luyện trí thông minh và năng lực tưduy sáng tạo, tính cẩn thận, chính xác cho học sinh, giúp các em có khả năng ứngdụng vào giải được một số dạng bài tập khác
Các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử không khó mấy đối với nhữnghọc sinh khá, giỏi nhưng lại khá khó khăn đối với những đối tượng học sinh trungbình, yếu Bởi vì, để giải được các bài tập dạng này không chỉ yêu cầu học sinh nắmvững kiến thức mà nó còn đòi hỏi học sinh cần có một kĩ năng giải bài tập nhất định Giải toán phân tích đa thức thành nhân tử, đòi hỏi học sinh phải kết hợp tốt cácphương pháp phân tích được giới thiệu trong sách giáo khoa:
Phương pháp hệ số bất định;
Trang 4Đồng thời giáo viên cần hệ thống những dạng bài tập có liên quan để học sinhthấy được việc ứng dụng của bài toán phân tích đa thức thành nhân tử trong việc giảimột số bài toán khác, thông qua đây học sinh cũng được củng cố sâu sắc hơn.
Xuất phát từ thực tế là các em học sinh ngại khó khi giải các bài toán, tôi thấycần tạo ra cho các em có niềm tin, yêu thích say mê học tập, luôn tự đặt ra nhữngcâu hỏi và tự mình tìm ra câu trả lời Khi gặp những bài toán khó, phải có nghị lực,tập trung tư tưởng, tin vào khả năng của mình trong quá trình học tập Để giúp họcsinh bớt khó khăn và cảm thấy dễ dàng hơn trong việc “Phân tích đa thức thành nhântử” ở lớp 8, tôi thấy cần phải hướng dẫn học sinh nắm vững các phương pháp phântích rồi phân tích các đa thức thành kĩ năng, sau đó áp dụng vào các bài toán liênquan
Trên thực tế, đối với học sinh khi giải các bài toán dạng này cần phải có khánhiều thời gian nghiên cứu Với thời lượng phân phối chương trình chỉ có 6 tiết (4tiết học lí thuyết, 2 tiết luyện tập) thì các em học sinh chỉ kịp hoàn thành phần bàitập côn việc đi sâu vào nghiên cứu, khai thác, tìm hiểu các cách giải bài tồn phântích đa thức thành nhân tử là rất hạn chế Hơn nữa, đa số học sinh là con em củanông dân lao động, thuộc vùng sâu nên điều kiện tự học, tự tìm hiểu của các emchưa thật tốt, các bậc phụ huynh phần lớn phó thác việc học tập của con em mìnhcho nhà trường dẫn đến kết quả học tập còn thấp
Qua thực tế giảng dạy tôi thấy dạy và học theo phương pháp cổ điển thì chấtlượng thu được còn hạn chế so với phương pháp tôi đã áp dụng; việc hệ thống cácphương pháp giải đối với từng loại toán là rất cần thiết, nó giúp các em thấy được sự
đa dạng và phong phú về nội dung của từng loại toán Đồng thời giúp các em có mộtcách nhìn nhận dưới nhiều góc độ khác nhau của một dạng toán, từ đó kích thích các
em có một sự tìm tòi sáng tạo, khám phá những điều mới lạ say mê trong học tập, cónhiều hứng thú trong học bộ môn Toán
Trước hết giáo viên cần cho học sinh ôn lại một số kiến thức cơ bản có liênquan đến việc giải bài toán “Phân tích đa thức thành nhân tử” như: đơn thức, đathức, các quy tắc nhân, chia đa thức, hằng đẳng thức,… và cho học sinh thấy rõ:Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thành thừa số) là phép biến đổi đa thức chotrước thành tích của những đơn thức hoặc đa thức Đồng thời nắm vững được nhữngphương pháp phân tích đã tìm hiểu trong sách giáo khoa và cho học sinh biết đượcmột số ứng dụng của bài toán dạng này:
Bài toán chứng minh chia hết;
Trang 5PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN
1.1 Cơ sở lí luận.
Trước sự phát triển mạnh mẽ nền kinh tế tri thức khoa học, công nghệ thông tinnhư hiện nay, một xã hội thông tin đang hình thành và phát triển trong thời kỳ đổimới như nước ta đã và đang đặt nền giáo dục và đào tạo trước những thời cơ vàthách thức mới Để hòa nhập tiến độ phát triển đó thì giáo dục và đào tạo luôn đảm
nhận vai trò hết sức quan trọng trong việc “đào tạo nhân lực, nâng cao dân trí, bồi
dưỡng nhân tài” mà Đảng, Nhà nước đã đề ra, đó là “đổi mới giáo dục phổ thông
theo Nghị quyết số 40/2000/QH10 của Quốc hội”
Nhằm đáp ứng được mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, con đường duynhất là nâng cao chất lượng học tập của học sinh ngay từ nhà trường phổ thông Làgiáo viên ai cũng mong muốn học sinh của mình tiến bộ, lĩnh hội kiến thức dễ dàng,phát huy tư duy sáng tạo, rèn tính tự học, thì môn toán là môn học đáp ứng đầy đủnhững yêu cầu đó
Việc học toán không phải chỉ là học như SGK, không chỉ làm những bài tập doThầy, Cô ra mà phải nghiên cứu đào sâu suy nghĩ, tìm tòi vấn đề, tổng quát hoá vấn
đề và rút ra được những điều gì bổ ích Dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử làmột dạng toán rất quan trọng của môn đại số 8 đáp ứng yêu cầu này, là nền tảng, làm
cơ sở để học sinh học tiếp các chương sau này, nhất là khi học về rút gọn phân thứcđại số, quy đồng mẫu thức nhiều phân thức và việc giải phương trình, … Tuy nhiên,
vì lý do sư phạm và khả năng nhận thức của học sinh đại trà mà chương trình chỉ đềcập đến bốn phương pháp cơ bản của quá trình phân tích đa thức thành nhân tửthông qua các ví dụ cụ thể, việc phân tích đó là không quá phức tạp và không quá banhân tử
Vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh giải bài toán phân tích đa thức thànhnhân tử một cách chính xác, nhanh chóng và đạt hiệu quả cao Để thực hiện tốt điềunày, đòi hỏi giáo viên cần xây dựng cho học sinh những kĩ năng như quan sát, nhậnxét, đánh giá bài toán, đặc biệt là kĩ năng giải toán, kĩ năng vận dụng bài toán, tuỳtheo từng đối tượng học sinh, mà ta xây dựng cách giải cho phù hợp trên cơ sở cácphương pháp đã học và các cách giải khác, để giúp học sinh học tập tốt bộ môn
1.2 Cơ sở thực tiễn.
Tồn tại nhiều học sinh yếu trong tính toán, kĩ năng quan sát nhận xét, biến đổi
và thực hành giải toán, phần lớn do mất kiến thức căn bản ở các lớp dưới, nhất làchưa chủ động học tập ngay từ đầu chương trình lớp 8, do chay lười trong học tập, ỷ
Trang 6lại, trong nhờ vào kết quả người khác, chưa nỗ lực tự học, tự rèn, ý thức học tập yếukém
Đa số các em sử dụng các loại sách bài tập có đáp án để tham khảo, nên khi gặpbài tập, các em thường lúng túng, chưa tìm được hướng giải thích hợp, không biết ápdụng phương pháp nào trước, phương pháp nào sau, phương pháp nào là phù hợpnhất, hướng giải nào là tốt nhất
Giáo viên chưa thật sự đổi mới phương pháp dạy học hoặc đổi mới chưa triệt
để, ngại sử dụng đồ dùng dạy học, phương tiện dạy học, vẫn tồn tại theo lối giảngdạy cũ xưa, xác định dạy học phương pháp mới còn mơ hồ
Phụ huynh học sinh chưa thật sự quan tâm đúng mức đến việc học tập của con
em mình như theo dõi, kiểm tra, đôn đốc nhắc nhở sự học tập ở nhà
Hơn nữa, Đại số 8 nói chung và bài toán phân tích thành nhân tử là một nộidung rất hay và phong phú, nó rèn kỹ năng tính toán và óc tư duy linh hoạt cho 1 họcsinh lớp 8 giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử học sinh Đây là những kiếnthức cơ bản làm nền móng cho việc tiếp thu kiến thức ở các lớp trên Việc giải quyếttốt bài toán phân tích đa thức thành nhân tử sẽ hỗ trợ đắc lực cho việc giải phươngtrình sau này Do yêu cầu đổi mới SGK, đổi mới phơng pháp giảng dạy đối với bộmôn toán 8 theo tinh thần " lấy học sinh làm trung tâm ", nên việc tổ chức hướngdẫn để các em tìm tòi cách giải toán là yêu cầu cần thiết của người thầy Mặt khác,kiến thức SGK rất cơ bản nên việc phát hiện bổ xung kiến thức, tìm tòi các phươngpháp mới trên cơ sở nền tảng kiến thức SGK là điều cần thiết, nó tạo cho các em tính
tò mò khoa học, tính tự lập và hình thành thói quen tự học Như vậy, toán 8 là mộtmắt xích quan trọng trong trục chương trình, không những nó giúp các em học toántốt hơn ở những năm học sau này, mà còn giúp các em học tốt hơn cả những mônhọc tự nhiên khác Khi giải quyết đợc vấn đề này, đồng thời các em cũng giải quyếtđợc nhiều mặt khác nh :
+ Củng cố kiến thức
+ Rèn kỹ năng tính toán, phân tích, tổng hợp,
+ Phát triển tư duy
+ Tạo ra một lượng vốn kiến thức cho những năm học sau này Từ những tâmhuyết và trăn trở nêu trên là động lực để tôi xây dựng đề tài này
CHƯƠNG 2: NỘI DUNG VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
2.1 Thực trạng.
a Thuận lợi:
- Đối với học sinh:
Học sinh trường TH&THCS Đại Dực đều ngoan hiền, ham học hỏi, vì đặc thù làtrường học vùng cao nên các em có điều kiện đến trường học hỏi thầy cô ( ở nội trútrường) về bài học
- Đối với giáo viên:
Trang 7Trường có 2 giáo viên dạy toán đều đạt trình độ trên chuẩn, có nhiều kinh nghiệm
giảng dạy, công tác nên giờ dạy đạt chất lượng tương đối cao
b Khó khăn:
- Đối với học sinh:
Vì đặc thù học sinh của trường là con em dân tộc vùng cao nên việc đầu tư vàquan tâm chăm sóc học tập của phụ huynh các em còn hạn chế
Trình độ tiếp thu của các em không đồng đều tồn tại nhiều học sinh trong tínhtoán, kĩ năng quan sát nhận xét, biến đổi và thực hành toán, phần lớn do mất kiếnthức căn bản từ lớp dưới nhất là chưa chủ động học tập ngay từ đầu chương trìnhlớp 8
Đa số các em khi gặp những bài tập khó thường lúng túng, chưa tìm đượchướng giải bài tập thích hợp, không biết áp dụng phương pháp nào trước, phươngpháp nào sau, phương pháp nào phù hợp nhất, hướng giải nào tốt nhất
- Đối với giáo viên:
Hầu hết giáo viên toán đều làm công tác kiêm nhiệm, số tiết nhiều nên thời giannghiên cứu, tìm hiểu, gần gũi học sinh để nắm được tâm tư nguyện vọng của các emcòn ít
Như vậy đối với học sinh có thể nói sau khi học xong 7 hằng đẳng thức đáng
nhớ thì học sinh gặp ngay một dạng toán mới đó là “phân tích đa thức thành nhân
tử” Ta biết rằng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ đóng vai trò rất quan trọng trong việc
giải toán phân tích đa thức thành nhân tử nhưng sự vận dụng của các em phần lớn làchưa tốt, còn nhiều em chưa thuộc chính xác 7 hằng đẳng thức đáng nhớ Hơn nữamột số kỹ năng phục vụ cho bài toán phân tích đa thức thành nhân tứ nhưnhân, chia đơnthức, quy tắc dấungoặc, một số công thứcvế luỹ thừa là chưa thànhthạo Chính vì thế mà kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử là chưa cao Các emchỉ hiểu và làm được những bài toán đơn giản trên cơ sở một vài phép biến đổi thuầntúy, chưa có khả năng phán đoán định hướng đúng cho việc giải bài toán
Về mặt phương pháp các em còn hiểu rất sơ sài mà chủ yếu là theo phương pháođặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức và nhóm nhiều hạng tử, việc vận dụngphương pháp còn mang tính nhỏ lẻ thiếu đồng bộ và không hệ thống
Có thể trong tiết luyện tập, ôn tập về nội dung bài toán phân tích đa thức thành nhân tử giáo viên chưa nắm bắt được những đặc điềm trên của học sinh Cũng có thểhướng dẫn cho học sinh từng bài cụ thể nhưng chưa định hướng cách giải chung chodạng toán này…Ngay bản thân tôi cũng đã rơi vào tình trạng này Mặc dù trong quátrình giảng dạy cũng đã đưa ra hệ thống câu hỏi mang tính gợi mở và định hướngchung cho học sinh nhưng có lẽ lúc đó tôi chưa chốt lại và chưa khai thác triệt để hệthống câu hỏi vậy nên kết quả không được như mong muốn
Vậy vấn đề tôi muốn nói ở đây là phải khai thác hệ thống câu hỏi định hướng nàynhư thế nào để tiết dạy có hiệu quả Từ những thực trạng nêu trên ta phải đi sâu vàonghiên cứu để tìm ra giải pháp sao cho thực sự hiệu quả để nâng cao chất lượng
“giải toán phân tích đa thức thành nhân tử của học sinh môn đại số 8”.
Trang 82.2 Những giải pháp mới của đề tài
Đề tài đưa ra các giải pháp mới như sau:
- Sắp xếp bài toán theo các mức độ, những dạng toán cơ bản
- Xây dựng các phương pháp giải cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử
Đối với học sinh yếu, kém: Củng cố kiến thức cơ bản
+ Phương pháp Đặt nhân tử chung
+ Phương pháp Dùng hằng đẳng thức
+ Phương pháp Nhóm nhiều hạng tử
Đối với học sinh đại trà: Vận dụng và phát triển kỹ năng
+ Phối hợp nhiều phương pháp (các phương pháp trên)
- Chữa các sai lầm thường gặp của học sinh trong giải toán
- Củng cố các phép biến đổi cơ bản và hoàn thiện các kĩ năng thực hành
- Tìm tòi những cách giải hay, khai thác bài toán
- Giới thiệu hai phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (Nâng cao)
Đối với học sinh khá, giỏi: Phát triển tư duy (giới thiệu hai phương pháp)+ Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác
Ta thường làm như sau:
- Tìm nhân tử chung của các hệ số (ƯCLN của các hệ số).
- Tìm nhân tử chung của các biến (mỗi biến chung lấy số mũ nhỏ nhất ).
Nhằm đưa về dạng: A.B + A.C + A.D = A.(B + C + D)
Chú ý: Nhiều khi để làm xuất hiện nhân tử ta cần đổi dấu các hạng tử
Ví dụ 1: Phân tích đa thức 14x2 y – 21xy2 + 28x2y2 thành nhân tử (BT-39c)-SGK-tr19)
Giáo viên gợi ý:
- Tìm nhân tử chung của các hệ số 14, 21, 28 trong các hạng tử trên ?
(Học sinh trả lời là: 7, vì ƯCLN(14, 21, 28 ) = 7 )
- Tìm nhân tử chung của các biến x2 y, xy2, x2y2 ? (Học sinh trả lời là xy )
- Nhân tử chung của các hạng tử trong đa thức đã cho là 7xy
Giải: 14x2 y – 21xy2 + 28x2y2 = 7xy.2x – 7xy.3y + 7xy.4xy
= 7xy.(2x – 3y + 4xy)
Ví dụ 2: Phân tích đa thức 10x(x – y) – 8y(y – x) thành nhân tử (BT-39e)-SGK-tr19)
Giáo viên gợi ý:
Trang 9- Tìm nhân tử chung của các hệ số 10 và 8 ? (Học sinh trả lời là: 2)
- Tìm nhân tử chung của x(x – y) và y(y – x) ?
(Học sinh trả lời là: (x – y) hoặc (y – x) )
- Hãy thực hiện đổi dấu tích 10x(x – y) hoặc tích – 8y(y – x) để có nhân tửchung (y – x) hoặc (x – y)?
Cách 1: Đổi dấu tích – 8y(y – x) = 8y(x – y)
Cách 2: Đổi dấu tích 10x(x – y) = –10x(y – x) (Học sinh tự giải )
Giải: 10x(x – y) – 8y(y – x) = 10x(x – y) + 8y(x – y)
= 2(x – y).5x + 2(x – y).4y = 2(x – y)(5x + 4y)
Ví dụ 3: Phân tích đa thức 9x(x – y) – 10(y – x)2 thành nhân tử
Lời giải sai: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) + 10(x – y)2 (đổi dấu sai )
= (x – y)[9x + 10(x – y)] (sai từ trên) = (x – y)(19x – 10y) (kết quả sai )
Sai lầm của học ở đây là:
Thực hiện đổi dấu sai: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) + 10(x – y)2
Sai lầm ở trên là đổi dấu ba nhân tử ø: –10 và (y – x)2 của tích –10(y – x)2 (vì –10(y – x)2 = –10(y – x)(y – x))
Lời giải đúng: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) – 10(x – y)2
= (x – y)[9x – 10(x – y)]
= (x – y)(10y – x)
Qua ví dụ trên, giáo viên củng cố cho học sinh:
Cách tìm nhân tử chung của các hạng tử (tìm nhân tử chung của các hệ số vànhân tử chung của các biến, mỗi biến chung lấy số mũ nhỏ nhất)
Quy tắc đổi dấu và cách đổi dấu của các nhân tử trong một tích
Chú ý: Tích không đổi khi ta đổi dấu hai nhân tử trong tích đó (một cách tổng
quát, tích không đổi khi ta đổi dấu một số chẵn nhân tử trong tích đó).
Trang 10Ví dụ 4: Phân tích đa thức (x + y)2 – (x– y)2 thành nhân tử (BT- 28a)-SBT-tr6)
Lời giải sai: (x + y)2 – (x– y)2 = (x + y – x – y)(x + y + x – y) (thiếu dấu ngoặc)
= 0.(2x) = 0 (kết quả sai)
Sai lầm của học sinh ở đây là: Thực hiện thiếu dấu ngoặc
Lời giải đúng: (x + y)2 – (x– y)2 = [(x + y) – (x – y)].[(x + y) + (x – y)]
= (x + y – x + y)(x + y + x – y) = 2y.2x = 4xy
Các sai lầm học sinh dễ mắc phải:
- Quy tắc bỏ dấu ngoặc, lấy dấu ngoặc và quy tắc dấu
- Phép biến đổi, kĩ năng nhận dạng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương, bìnhphương của một hiệu
Khai thác bài toán: Đối với học sinh khá giỏi, giáo viên có thể cho các em làmbài tập dưới dạng phức tạp hơn
* Nếu thay mũ “2” bởi mũ “3” ta có bài toán
= (a – b)(a2 + ab + b2)(a + b)(a2 – ab + b2)
Giáo viên củng cố cho học sinh:
Các hằng đẳng thức đáng nhớ, kĩ năng nhận dạng hằng đẳng thức qua bàitoán, dựa vào các hạng tử, số mũ của các hạng tử mà sử dụng hằng đẳng thức chothích hợp
Phương pháp chung
Lựa chọn các hạng tử “thích hợp” để thành lập nhóm nhằm làm xuất hiện một
trong hai dạng sau hoặc là đặt nhân tử chung, hoặc là dùng hằng đẳng thức
Thông thường ta dựa vào các mối quan hệ sau:
- Quan hệ giữa các hệ số, giữa các biến của các hạng tử trong bài toán
- Thành lập nhóm dựa theo mối quan hệ đó, phải thoả mãn:
+ Mỗi nhóm đều phân tích được.
+ Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì quá trình phân tích thành nhân tử phải tiếp tục thực hiện được nữa
1) Nhóm nhằm xuất hiện phương pháp đặt nhân tử chung:
Trang 11Ví dụ 6: Phân tích đa thức x2 – xy + x – y thành nhân tử (Bài tập 47a)-SGK-tr22)
Lời giải sai: x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y)
= x(x – y) + (x – y)
= (x – y)(x + 0) (kết quả dấu sai vì bỏ sót số 1)
Sai lầm của học sinh là: bỏ sót hạng tử sau khi đặt nhân tử chung
(HS cho rằng ở ngoặc thứ hai khi đặt nhân tử chung (x – y) thì còn lại là số 0)
Lời giải đúng: x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y)
= x(x – y) + 1.(x – y) = (x – y)(x + 1)
2) Nhóm nhằm xuất hiện phương pháp dùng hằng đẳng thức:
Ví dụ 7: Phân tích đa thức x2 – 2x + 1 – 4y2 thành nhân tử
Giải: x2 – 2x + 1 – 4y2 = (x2 – 2x + 1) – (2y)2
= (x – 1)2 – (2y)2
= (x – 1 – 2y)(x – 1 + 2y)
3) Nhóm nhằm sử dụng hai phương pháp trên:
Ví dụ 8: Phân tích đa thức x2 – 2x – 4y2 – 4y thành nhân tử
Lời giải sai: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y ) (đặt dấu sai)
= (x + 2y)(x – 2y) – 2(x – 2y) (sai từ trên) = (x – 2y)(x + 2y – 2) (kết quả dấu sai)
Sai lầm của học sinh là:
Nhóm x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y ) (đặt dấu sai ở ngoặc thứ hai)
Lời giải đúng: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) + (– 2x – 4y )
= (x + 2y)(x – 2y) – 2(x + 2y) = (x + 2y)(x – 2y – 2)
Qua các ví dụ trên, giáo viên lưu ý cho học sinh:
Cách nhóm các hạng tử và đặt dấu trừ “ – ” hoặc dấu cộng “ + ” ở trước dấungoặc, phải kiểm tra lại cách đặt dấu khi thực hiện nhóm
Trong phương pháp nhóm thường dẫn đến sự sai dấu, vì vậy học sinh cần chú
ý cách nhóm và kiểm tra lại kết quả sau khi nhóm
Lưu ý: Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì quá trình phân tích
thành nhân tử không thực hiện được nữa, thì cách nhóm đó đã sai, phải thực hiện lại.
Vận dụng và phát triển kỹ năng
Phối hợp các phương pháp thông thường
Phương pháp chung
Trang 12Là sự kết hợp nhuần nhuyễn giữa các phương pháp nhóm nhiều hạng tử, đặt
nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức Vì vậy học sinh cần nhận xét bài toán một
cách cụ thể, mối quan hệ của các hạng tử và tìm hướng giải thích hợp
Ta thường xét từng phương pháp: Đặt nhân tử chung ?
Dùng hằng đẳng thức ? Nhóm nhiều hạng tử ?
Ví dụ 9: Phân tích đa thức x4 – 9x3 + x2 – 9x thành nhân tử (BT- ?2 -SGK-tr22)
Gợi ý phân tích: Xét từng phương pháp: Đặt nhân tử chung ?
Dùng hằng đẳng thức ? Nhóm nhiều hạng tử ?
Các sai lầm học sinh thường mắc phải
Lời giải chưa hoàn chỉnh:
a) x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9) (phân tích chưa triệt để)
b) x4 – 9x3 + x2 – 9x = (x4 – 9x3 ) + (x2 – 9x)
= x3(x – 9) + x(x – 9 ) = (x – 9)(x3 + x ) (phân tích chưa triệt để)
Lời giải đúng: x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9)
= x[(x3 – 9x2 ) + (x – 9)]
= x[x2 (x – 9) + 1.(x – 9)]
= x(x – 9)(x2 + 1)
Ví dụ 10: Phân tích đa thức A = (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 thành nhân tử
(Bài tập 57- SBT-tr 9 toán 8 tập 1); (Đề thi học sinh giỏi lớp 8, Hà Đông - Hà Tây).
Trong ví dụ này có nhiều cách giải, học sinh cần phải linh hoạt lựa chọn cáchgiải phù hợp nhất, gọn nhất
= 3(x + y)(y + z)(x + z)
Khai thác bài toán:
1) Chứng minh rằng A chia hết cho 6 với mọi x, y, z nguyên
2) Cho x + y + z = 0 Chứng minh x3 + y3 + z3 = 3xyz (Bài tập 38-SBT-tr7)
Dùng x 3 + y 3 = (x + y) 3 – 3xy(x + y) và x + y + z = 0 x + y = – z