skkn phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

Dạy toán nhằm trang bị cho học sinh một hệ thống tri thức khoa học phổ thôngcơ bản tạo điều kiện cho các em đợc hình thành và phát triển các phẩm chất, nănglực trí tuệ, đồng thời trang b

phần I : Lý do chọn đề tài

Chúng ta đã biết, Toán học là một môn học chứa rất nhiều điều thú vị và bấtngờ, nó chiếm một vai trò quan trọng trong hoạt động giáo dục, đặc biệt là trongcác lĩnh vực khoa học và đời sống

Dạy toán nhằm trang bị cho học sinh một hệ thống tri thức khoa học phổ thôngcơ bản tạo điều kiện cho các em đợc hình thành và phát triển các phẩm chất, nănglực trí tuệ, đồng thời trang bị cho các em hệ thống tri thức đảm bảo đủ để nghiêncứu và khám phá thế giới xung quanh, góp phần cải tạo thế giới, cải tạo thiên nhiênmang lại cuộc sống ấm no hạnh phúc cho mọi ngời

Trong chơng trình toán lớp8 nói riêng và toán THCS nói chung, dạng toán phântích đa thức thành nhân tử là một nội dung kiến thức rất quan trọng và lý thú, xong

nó lại là một trong những dạng toán khó đối với các em

Phân tích đa thức thành nhân tử đợc giới thiệu khá đầy đủ trong chơng trình

đại số 8 và có thể coi là nội dung nòng cốt của chơng trình Bởi nó đợc vận dụng rấtnhiều ở các dạng toán khác nh: Rút gọn phân thức, quy đồng mẫu của các phânthức, biến đổi các biểu thức hữu tỷ, biến đổi các biểu thức vô tỷ, phơng trình bậccao

Thực tế giảng dạy cho thấy, mặc dù các phơng pháp đợc giới thiệu trong sáchgiáo khoa rất rõ ràng, cụ thể Song việc các em vận dụng còn nhiều lúng túng Đặcbiệt đối với học sinh khá giỏi thì nội dung kiến thức cha đáp ứng đợc nhu cầu họctoán của các em

Vậy Dạy - Học nội dung: " Phân tích đa thức thành nhân tử " nh thế nào để đạtkết quả tốt nhất? phù hợp với học sinh đại trà?

Đồng thời đáp ứng đợc nhu cầu học tập của học sinh khá giỏi

Để đạt đợc kết quả đó, ngoài phơng pháp truyền thụ của ngời thầy phải nắm bắt

đợc kiến thức một cách nhuần nhuyễn Đó là lý do tôi chọn đề tài này

Với nội dung trình bày trong đề tài này, hy vọng đề tài này không chỉ là tài liệuhớng dẫn đối với học sinh mà còn là tài liệu tham khảo bổ ích cho công tác giảngdạy của giáo viên THCS

Phần II: Khảo sát thực tế

Qua thực tế giảng dạy và điều tra về hứng thú, trình độ nhận thức, vận dụng và

đặc biệt là khả năng giải toán phân tích đa thức thành nhân tử của học sinh cũng nhviệc áp dụng chúng để giải một số bài toán liên quan trong quá trình dạy học còn

nhiều hạn chế, điều đó có thể do nhiều nguyên nhân, song theo tôi có thể một sốnguyên nhân chính sau đây:

Một là: Khả năng phân tích, khai thác bài toán của đại đa số giáo viên còn nhiều

hạn chế

Hai là: Đối với dạng toán này nếu giáo viên không khéo léo khi giảng dạy sẽ làm

cho học sinh nhàm chán, thụ động và máy móc khi vận dụng

Ba là: Giáo viên thiếu những điều kiện thuận lợi, thiếu thời gian để phân tích tìm

lời giải, cha kích thích học chủ động sáng tạo

Trong quá trình thực hiện đề tài này tôi đã tổ chức khảo sát mức độ hứng thú,nhận thức và khả năng vận dụng của học sinh lớp 8A, 8B và 8C Trờng THCS Quảng

Đông trớc khi áp dụng đề tài: “Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử “ thì

kết quả nh sau:

1 Về hứng thú đối với dạng toán này:

2 Về tiếp thu kiến thức:

+ Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng

tử vào trong dấu ngoặc (kể cả hạng tử của chúng)

2 Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

b) 15x(x + y) - 5y(3x + 3y)= 15x(x + y) - 15y(x + y)

1



n n

An - 2B2 + +

 

2 1

1



n n

A2 Bn - 2 + n ABn - 1 + Bn

12 (A - B)n = An - n An - 1 B +  

2 1

1



n n

= (x + 3 + y)(x + 3 - y) c) x2 + y2 - z2 - 9t2 - 2xy + 6zt = (x2 - 2xy + y2) - (z2 - 6zt + 9t2)

Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:

a) 5y3 - 45y

b) 3x3y - 6x2y - 3xy3 - 6axy2 - 3a2xy + 3xy

Bµi lµm

a) 5y3 - 45y = 5y(y2 - 9) = 5y(y + 3)(y -3)

b) 3x2y 6x2y - 3xy3 - 6axy2 - 3a2xy +3xy

2 VÝ dô: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö:

2 VÝ dô:

VÝ dô1 : Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:

x4 + 64 = x4 + 64 + 16x2 - 16x2

= (x2 + 8)2 - (4x)2 = (x + 4x + 8)(x2 - 4x + 8)

Cho ®a thøc f(x), a lµ nghiÖm cña ®a thøc f(x) nÕu f(a) = 0 Nh vËy nÕu ®a thøcf(x) chøa nh©n tö (x - a) th× ph¶i lµ nghiÖm cña ®a thøc

Ta biÕt r»ng nghiÖm nguyªn cña ®a thøc nÕu cã ph¶i lµ íc cña hÖ sè tù do

2 VÝ dô: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:

x3 + 3x - 4

Ta xÐt c¸c íc cña (- 4) lµ: - 1; 1; - 2; 2; - 4; 4, sau khi kiÓm tra thÊy 1

lµ nghiÖm cña ®a thøc suy ra ®a thøc chøa nh©n tö (x - 1)

Do vËy ta t¸ch h¹ng tö cña ®a thøc lµm xuÊt hiÖn nh©n tö chung (x -1)

* C¸ch 1: x3 + 3x2- 4 = x3 -x2 + 4x2 - 4= x2(x - 1)+ 4(x - 1)(x + 1)

= (x - 1) (x2 + 4x + 4) = (x - 1)(x + 2)2

* C¸ch 2: x3 + 3x2 - 4 = x3 - 1 + 3x2 - 3 = (x3 - 1) + 3(x2 - 1)

= (x - 1)(x2 + x + 1) + 3(x2 - 1) = (x - 1)(x + 2)2

VÝ dô: 2x3 - 5x2 + 8x - 3

NghiÖm h÷u tû nÕu cã cña ®a thøc trªn lµ :(- 1); 1; (- 1/2); 1/2; (- 3/2); 3/2; - 3

Sau khi kiểm tra thấy x = 1/2 là nghiệm nên đa thức chứa nhân tử (x - 1/2) hay (2x - 1) Do đó ta tìm cách tách các hạng tử của đa thức để xuất hiện nhân tử chung (2x - 1).

B: các bài toán áp dụng phân tích đa thức

thành nhân tử

I - Bài toán rút gọn biểu thức

1 Ph ơng pháp :

Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử nhằm xuất hiện nhân tử chung

áp dụng tính chất cơ bản của phân thức đại số: Chia cả tử thức và mẫu thức chonhân tử chung

=> Học sinh thấy đợc sự liên hệ chặt chẽ giữa các kiến thức giúp phát triển tduy suy luận lô gic, sáng tạo

2) Rút gọn biểu thức:

a) A =

3 4 2

1 5 7 3

2 3

2 3

x x x

b) B =

1

3 1

1 2 1

x x

x

Bài làm

a) A =

3 3 2

2

1 4

4 3 3

2 2 3

2 2 3

x x x x x

x x

x

x x

x x

x

= (( 11)()(2 1)(3)(3 11))

) 3 2

)(

1 (

) 1 4 3 )(

1 (

2 2

x

x x

x x

x x

x x x

= 23 13

) 3 2 ( ) 1 (

) 1 3 ( ) 1 (

2 2

x

x x

x x

x x

x

B =

) 1 )(

1 (

3 1 2

x x x x

x

B =

x

x x

x

x x

x

x x

1 (

) 1 ( )

1 )(

1 (

b a c a c b c b a

3

45 12 7

2

2 3

2 3

x

x x

x

3 3 3

) ( ) ( ) (

3

x z z y y x

xyz z

y x

D = 0

2 VÝ dô: Gi¶i ph¬ng tr×nh:

* VÝ dô1:

AB D = 0 <=>

0 5

0 4 ) 1 (

5

2

x x

Vậy phơng trình đã cho có tập nghiệm S = {5}

* Ví dụ 2 :

(2x2 + 3x - 1)2 - 5(2x2 + 3x + 3) + 24 = 0

Đặt : 2x2 + 3x - 1 = t

=> 2x2 + 3x + 3 = t + 4 Phơng trình đã cho trở thành:

0 1

1

t t

2 0

1 2

0 2

x

x x

x

+) Thay t = 4 vào (*) ta có:

2x2 + 3x - 1 = 4

<=> 2x2 + 3x - 5 = 0

1 0

5 2

0 1

x

x x

5

; 2

2 VÝ dô: Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh

* VÝ dô 1:

x2 - 5x + 6 < 0 (1) <=> (x - 2)(x - 3) < 0

Ta cã b¶ng:

x 2 3

x - 2 - 0 + // +

x - 3 - // - 0 + (x - 2)(x - 3) + 0 - 0 +

VËy bÊt ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm lµ 2 < x < 3

IV - Bµi to¸n chia hÕt

1 Ph ¬ng ph¸p

Biến đổi đa thức đã cho thành một tích, trong đó xuất hiện thừa số có dạng chiahết.

3

2 n n n

Sau khi hoàn thành đề tài này, tôi đã đa vào áp dụng trong thực tiễn giảng dạy tại

ba lớp 8A,B,C Trờng THCS Quảng Đông Tôi nhận thấy hứng thú học tập, kiến thứccũng nh kĩ năng vận dụng của học sinh đợc cải thiện rõ nét

Kết quả khảo sát nh sau:

1 Về hứng thú:

2 Về tiếp thu kiến thức:

Phân tích đa thức thành nhân tử là một vấn đề rộng lớn trải suốt chơng trìnhhọc của học sinh, nó liên quan kết hợp với các phơng pháp khác tạo nên sự lôgicchặt chẽ của toán học Các phơng pháp đợc nêu từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phứctạp giúp học sinh hiểu sâu hơn và phát triển có hệ thống câu kỹ năng, kỹ xảo, phântích

Qua đó giúp học sinh phát triển trí tuệ, tính chăm chỉ, tính chính xác, năng lựcnhận xét, phân tích phán đoán, tổng hợp kiến thức

Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử không chỉ cần thiết đối vớihọc sinh THCS nói chung mà nó rất cần cho giáo viên trong quá trình dạy toán đểgiúp giáo viên chủ động về kiến thức, tự tin trong dạy toán, trong công tác bồi dỡnghọc sinh giỏi

Tuy nhiên do khả năng có hạn, kinh nghiệm giảng dạy và nghiên cứu còn ít ỏi,thêm nhiều yếu tố khách quan nên tài liệu có thể cha đáp ứng hết sự mong mỏi củacác thầy cô giáo, đồng nghiệp và các em học sinh

Rất mong đợc sự đóng góp chân thành, sự giúp đỡ tận tình của các thầy côgiáo, bạn bè, đồng nghiệp

Tôi xin chân trọng cảm ơn !!!

Quảng Bình, ngày 15 tháng 05 năm 2009

Ngời viết

Nguyễn Quốc Huy

Đánh giá của HĐKH

Trờng THCS Quảng Đông

phụ lục

Phần I: lí do chọn đề tài ……… Trang1

Phần II: Khảo sát thực tế………2

Phần III: Nội dung A - Các phơng pháp Phân tích đa thức thành nhân tử 3

*Các phơng pháp cơ bản 3

I Phơng pháp đặt nhân tử chung 3

II Phơng pháp dùng hằng đẳng thức 4

III Phơng pháp nhóm nhiều hạng tử 6

IV Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phơng pháp 8

V Phơng pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử 9

VI Phơng pháp thêm, bớt cùng một hạng tử 10

* Một số phơng pháp khác 12

VII Phơng pháp đặt biến số 12

VIII Phơng pháp xét giá trị riêng 13

IX Phơng pháp tìm nghiệm của đa thức 14

B - Các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử 16

I - Bài toán rút gọn 16

II - Bài toán giải phơng trình bậc cao 17

III - Bài toán giải bất phơng trình 20

IV - Bài toán chia hết 21

Phần IV: Kết quả sau khi đề tài đợc áp dụng……… 23

Phần V: Kết luận 23

Tài liệu tham khảo

Vũ Thế HuHoàng Trung

6 Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi

toán lớp 8 (phần Đại số)

Võ Đại Mau

Võ Đại Hoài đức