skkn phát huy trí lực của học sinh qua việc phân tích đa thức thành nhân tử

Vì nó được sử dụng rất nhiều khi giải toán trên các đa thức, rút gọn phân thức, quy đồng mẫu thức các phân thức, biến đổi đồng nhất các biểu thức hữu tỉ, chứng minh đẳng thức, giải phươn

Trang 1

Gi¸o viªn : NguyÔn ThÞ H¶i Lý Trêng THCS Tu©n §¹o

Phát huy trí lực của học sinh qua việc phân tích đa thức thành nhân tử

PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ

I/ LÝ DO CHỌN NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.

Đối với trình độ học sinh THCS, việc trang bị kiến thức có đào sâu suy nghĩ, rènluyện năng lực tư duy toán học Phát huy trí lực học sinh là một điều vô cùng quan trọng, nó là cơ sở vững chắc để các em học tập toán học được tốt

Trong chương trình toán học phổ thông phân tích đa thức thành nhân tử là một vấn đề dặc biệt quan tâm Vì nó được sử dụng rất nhiều khi giải toán trên các đa thức, rút gọn phân thức, quy đồng mẫu thức các phân thức, biến đổi đồng nhất các biểu thức hữu tỉ, chứng minh đẳng thức, giải phương trình và xuyên suốt quá trình học tập sau này của học sinh

Để phân tích một đa thức thành nhân tử có nhiều phương pháp Việc tìm ra phương pháp thích hợp cho lời giải một bài toán được ngắn gọn, chính xác, khoa họchay tìm ra nhiều cách giải khác nhau trong một bài toán tất cả đều phụ thuộc vào việc tiếp thu và vận dụng kiến thức của học sinh Khi lựa chọn các phương pháp để phân tích giúp cho học sinh phát triển tư duy toán học, óc tìm tòi sáng tạo, kỹ năng vận dụng kiến thức đã học khi giải một bài toán cụ thể Không những thế khi phân tích đa thức thành nhân tử học sinh được ôn lại hay sử dụng các kiến thức liên quan như : Hằng đẳng thức, kỹ năng thêm bớt tách các hạng tử, tính nhẩm nghiệm của đa thức Nói chung, các thủ thuật toán học để giải bài toán phân tích đa thức thành nhân

tử đòi hỏi học sinh phải tư duy nhiều nắm chắc kiến thức và vận dụng linh hoạt, sángtạo các kiến thức đó

Trang 2

Để giúp đỡ các em học sinh tiếp cận và khai thác lời giải các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử và các bài toán áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử trong quátrình giải, cũng như nhằm nâng cao kiến thức cần thiết giúp các em học tốt môn toán

và đồng thời phát huy được trí tuệ của học sinh Qua quá trình giảng dạy bộ môn

Toán 8 tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến và giải pháp thực hiện về việc “ Phát huy trí lực của học sinh qua việc phân tích đa thức thành nhân tử ” nhằm giúp các em

nắm vững một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, một số bài tập nâng cao, một số bài tập có áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, thấy được đó là công cụ đắc lực trong giải một số loại toán Và qua đó cũng nhằm phát huy trí lực của học sinh, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học

II/ MỤC TIÊU CỦA SÁNG KIẾN

1/ Nhằm đào sâu nội dung về phân tích đa thức thành nhân tử, giúp học sinh nắm được các phương pháp phân tích, rèn luyện nhiều kĩ năng giải toán loại này và nhằm phát tiển năng lực tư duy, năng lực sáng tạo của học sinh

2/ Giúp cho học sinh củng cố, khắc sâu kiến thức cơ bản, có hệ thống về phân tích đathức thành nhân tử

a/ Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử

b/ Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử góp phần rèn luyện cho học sinh đức tính cẩn thận, sáng tạo của người nghiên cứu khoa học

c/ Bài tập có áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử nhằm củng cố kiến thức và phân tích đa thức của học sinh thấy được tác dụng rất nhiều của kiến thức này trong giải một số dạng bài tập, đồng thời qua đó phát triển trí tuệ của học sinh, kĩ năng vậndụng của kiến thức đã học và những kiến thức tiếp theo, tư duy logic toán học, tính sáng tạo

III PHẠM VI, GIỚI HẠN

Trang 3

Một số phương pháp, một số bài toán phân tích đa thức thành nhân tử

Áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử ở môn toán lớp 8

IV TÀI LIỆU THAM KHẢO

- Sách giáo khoa Đaị số 8

- Sách giáo viên Đại số 8

- Sách bài tập đại số 8

- Sách toán bồi dưỡng học sinh lớp 8

- Các dạng toán đại số 8

Trang 4

Phương pháp dùng hằng đẳng thức

Phối hợp nhiều phương pháp

Phương

nhiều hạng tử

Phương

ph áp nhóm nhiều hạng tử

Các phương pháp đặc biệt hoá

CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN

T CH ÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

Trang 5

PHẦN II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I PHƯƠNG PHÁP ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG

Khi phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp này thường làm như sau:

T CH Í ĐA THỨC

TH NH NH N TÀ Â Ử

CHƯƠNG III:

PH T HUY TR ÁT HUY TRÍ Í LỰC HỌC SINH QUA VIỆC PH N Â

Trang 6

- Phân tích mỗi hạng tử thành tích của nhân tử chung, các nhân tử khác

- Viết nhân tư chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng tử

ở trong dấu ngoặc với dấu của chúng

Khi phân tích bằng phương pháp này ta dựa vào tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng các đa thức: A.B + A.C =A.(B +C)

II PHƯƠNG PHÁP DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC

Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử Kiến thức

cơ bản là :

1 Bình phương của một tổng : ( A + B )2= A2+ 2AB +B2

2 Bình phương của một hiệu: ( A - B )2= A2- 2AB +B2

3 Hiệu hai bình phương: A2- B2 =( A + B ).( A - B )

4 Lập phương của một tổng: ( A + B )3= A3+ 3A2B +3AB2+ B3

5 Lập phương của một hiệu: ( A - B )3= A3- 3A2B + 3AB2- B3

6 Tổng hai lập phương : A3+ B3 =( A +B ).(A2 - AB + B2 )

7 Hiệu hai lập phương : A3 - B3 =( A - B ).(A2 + AB + B2 )

Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 8x3y6 -1 =(2xy2)3 - 13

Giải

8x3y6 - 1 =(2xy2)3 - 13 = ( 2xy2 - 1 ).(4x2y4 + 2xy2 + 1)

Ví dụ 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

Trang 7

Giải

25x4 + 10x2y + y2 = (5x2)2 + 2.5x2 .y + y2 = ( 5x2 + y)2

III PHƯƠNG PHÁP NHÓM NHIỀU HẠNG TỬ

Khi sử dụng phương pháp này ta cần nhận xét đặc điểm của các hạng tử rồi kết hợp các hạng tử thích hợp nhằm làm xuất hiện dạng hằng dẳng thức hoặc xuất hiện nhân tử chung của các nhóm rồi dùng các phương phap đã biết để phân tích đa thức thành nhân tử

Ví dụ 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 4x2+8xy - 3x - 6y

Giải

4x2+8xy - 3x - 6y = (4x2+ 8xy ) - (3x + 6y) = 4x.(x+2y) - 3(x+2y) = (x+2y)(4x-3)

Ví dụ 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 - y2+ 2xz + z2

Giải

x2 - y2+ 2xz + z2=( x2 + 2xz + z2) - y2=(x+z)2 - y2=(x+y+z)(x-y+z)

IV PHỐI HỢP NHIỀU PHƯƠNG PHÁP

Thường được tiến hành theo các trình tự sau :

+ Đặt nhân tử chung (nếu có) để biểu thức còn lại đơn giản hơn dễ nhận xét hơn+ Nhóm hạng tử

+ Dùng hằng đẳng thức

Trang 8

Ví dụ 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 + 2xy + y2- xz – yz

Giải

x2 + 2xy + y2- xz – yz = (x2 + 2xy + y2) – (xz + yz) = (x+y).(x+y-z)

Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

3x3y - 6x2y- 3xy3- 6axy2- 3a2 xy +3xy

Giải

3x3y - 6x2y-3xy3- 6axy2 -3a2 xy +3xy

= 3xy(x2-2x-y2-2ay-a2+1)

= 3xy[(x2-2x+1)-(y2+2ay+a2)]

= 3xy[(x-1)2-( y+a)2]

= 3xy(x-1-y-a)(x-1+y+a)

I PHƯƠNG PHÁP TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ

Trong một số trường hợp bằng các phương pháp đã học không thể giải được mà

ta phải nghĩ tách một hạng tử thành nhiều hạng tử để có thể áp dụng được các

phương pháp đã biết

Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2- 6x + 8

Giải Cách 1 : x2- 6x + 8 = x2 - 2x- 4x+8 =x(x-2)-4(x-2) =(x-2)(x-4)

Cách 2 : x2- 6x + 8 = x2 - 6x +9-1 = (x-3)2 -12=(x-3+1)(x-3-1)= (x-2)(x-4)

Trang 9

Cách 3 : x2- 6x + 8 = x2 - 4-6x +12 =(x+2)(x-2)-6(x-2) = (x-2)(x+2-6)= (x-2)(x-4)Cách 4 : x2- 6x + 8 = x2 - 4x +4-2x+4=(x-2)2- 2(x-2)= (x-2)(x-4)

Có nhiều cách tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khảctong đó có 2 cách thông dụng là :

Cách 1 : Tách hạng tử bậc nhất thành 2 hạng tử rồi dùng phương pháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung

Cách 2 : Tách hạng tử không đổi thành hai hạng tử rồi đưa đa thức về dạng hiệu hai bình phương

Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 9x2+6x-8

Giải9x2+6x-8 =9x2-6x+12x-8 = 3x(3x -2)+4(3x+4) =(3x -2)(3x+4)

Trang 10

+ Tích a.c =9.(-8) =-72+ Phân tích -72 thành tích hai thừa số khác dấu sao cho thừa số dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn (để tổng hai thừa số bằng 6)

-72 =(-1).72 =(-2).36 = (-3).24 = (-4).12 = (-6).12 = (-8).9+ Chọn hai thừa số có tổng bằng 6, đó là -6 và 12

Từ đó ta phân tích9x2+6x-8 =9x2-6x+12x-8 = 3x(3x -2)+4(3x+4) =(3x -2)(3x+4)

Ví dụ 4 : Khi phân tích đa thức x 2 –x -6 thành nhân tử

Ta có : a = 1 ; b = -1 ; c = -6

+ Tích a.c =1.(-6) = -6+ Phân tích -6 thành tích hai thừa số khác dấu sao cho thừa số âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn vì b=-1 < 0 (để tổng hai thừa số bằng -1)

-6 = 1.(-6) = 2.(-3)

+ Chọn hai thừa số có tổng bằng -1, đó là : 2 và -3

Từ đó ta phân tích

x2 -x -6 = x2 + 2x -3x -6 = x(x+2) -3(x+2) = (x+2)(x-3)

*Chú ý : Trong trường hợp tam thức bậc hai : ax2 + bx + c có b là số lẻ, hoặc không

là bình phương của một số nguyên thì nên giải theo cách một gọn hơn so với cách hai

II PHƯƠNG PHÁP THÊM BỚT CÙNG MỘT HẠNG TỬ

Trang 11

Khi đa thức đã cho mà các hạng tử trong đa thức đó không chứa thừa số chung, không có dạng của một hằng đẳng thức nào cũng như không thể nhóm các số hạng thì ta phải biến đổi hạng tử để có thể vận dụng được các phương pháp phân tích đã biết

Ví dụ 5 : Phân tích đa thức x4 + 4 thành nhân tử

Ta thấy x4 =(x2)2 ; 4 = 22 Do đó ta có thể thêm bớt vào đa thức đã cho cùng hạng tử4x2

x4 + 4 = (x4 + 4 + 4x2)– 4x2= (x2+2)2 – (2x)2 = (x2+ 2x +2)( x2- 2x +2)

Ví dụ 6 : Phân tích đa thức 64a2 + b4 thành nhân tử

Ta thấy 64a4 =(8a2)2 ; b4 = (b2)2 Do đó ta có thể thêm bớt vào đa thức đã cho cùng hạng tử 16a2b2

64a2 + b4 = 64a2 + b4 + 16a2b2 - 16a2b2

= (8a2 + b2)2 - (4ab)2 = (8a2 + b2-4ab)( 8a2 + b2+4ab)

III PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ ( ĐẶT ẨN PHỤ)

Ví dụ 7 : Phân tích đa thức (x2+x)2 + 4x2 + 4x - 12 thành nhân tử

Ta có : (x2+x)2 + 4x2 + 4x - 12 = (x2+x)2 + 4(x2 + x) - 12 Nhận thấy nếu đặt x2 + x = y thì có đa thức đơn giản hơn y2 + 4y -12 là tam thức bậc hai của biến y

Ta có : y2 + 4y -12 = y2 +6y - 2y -12 = (y+6)(y-2) = (x2 + x+6)( x2 + x -2)

=(x2 + x+6)( x2 +2x-x -2)

=(x2 + x+6)[x ( x +2)- ( x +2) ]

Trang 12

=(x2 + x+6)(x+2)(x-1)

*Chú ý : x2 + x+6 không phân tích được nữa trong phạm vi số hữu tỉ (vì tích a.c = 6

= 1.6 =2.3 không có hai thừa số nào có tổng bằng 1 - cách 1 phần I)

Ví dụ 8 : Phân tích đa thức (x2+ 3x + 1) (x2+ 3x + 2)- 6 thành nhân tử

Giải Đặt (x2+ 3x + 1) = y

Ta có : (x2+ 3x + 1) (x2+ 3x + 2)- 6 =y(y + 1 ) - 6 = y2 + y - 6 = y2 + 3y - 2y - 6

= (y + 3)(y - 2) = (x2+ 3x + 1 +3)( x2+ 3x + 1 -2) = (x2+ 3x + 4)( x2+ 3x -1)

IV PHƯƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM CỦA ĐA THỨC

( PHƯƠNG PHÁP HẠ BẬC ĐA THỨC )

Tổng quát : cho đa thức f(x); a là nghiệm của f(x) nếu f(a) = 0 như vậy nếu f(x)

chứa nhân tử x - a thì a phải là nghiệm của đa thức

- Trong đa thức với hệ số nguyên, nghiệm nguyên nếu có phải là ước của hạng

tử không đổi

- Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức chứa nhân tử x-1

Nếu đa thức có tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì

đa thức chứa nhân tử x + 1

Ví dụ 9 : Phân tích đa thức x3 + 3x2 -4 thành nhân

Nếu đa thức có nghiệm là a thì nhân tử còn lại có dạng x2 + bx +c

Trang 13

Suy ra: a.c = -4, tức là a phải là ước của -4 ( 1;  2; 4) Kiểm tra thấy 1 là

nghiện của đa thức Như vậy đa thức chứa nhân tử x – 1 Do đó ta tách các hạng tử của đa thức làm xuất hiện nhân tử chung x-1

Ví dụ 10 : Phân tích đa thức 2x 3 - 5x 2 + 8x-3 thành nhân tử

Các ước của -3 là :  1 ;  3 mà  1;  3 không là nghiệm của đa thức Như vậy

đa thức không có nghiệm nguyên Nhưng đa thức có thể có nghiệm hữu tỉ.

*Chú ý : Trong đa thức với số nguyên, nghiệm hữu tỷ nếu có phải có dạng q

p

với p là ước của hạng tử không đổi, q là ước dương của hạng tử cao nhất.

Như vậy trong đa thức trên nghiệm hữu tỉ nếu có chỉ có thể là :

Kiểm tra thấy x=

hay 2x-1

Trang 14

Do đó ta tìm cách tách các hạng tử của đa thức để xuất hiện nhân tử chung 2x-1

Ta có: 2x 3 - 5x 2 + 8x-3 =2x3 - x2-4x2+2x+6x-3

=x2(2x-1)-2x(2x-1)+3(2x-1) =(2x-1)(x2-2x-3)

V PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH

Ví dụ 11: Phân tích đa thức 2x3-5x2+8x-3 thành nhân tử

Giải : Nếu đa thức tiện phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng

(ax+b)(cx2+dx+m)=acx3+(ad+bc)x2+(am+bd)x+bm

Đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho 2x3-5x2+8x-3 , ta được:

2x3-5x2+8x-3 = acx3+(ad+bc)x2+(am+bd)x+bm

Suy ra : a.c = 2 ; ad+bc =-5 ; am+bd = 8 ; b.m = -3

Có thể giả thiết a>0 (vì nếu a<0 thì ta đổi dấu cả hai nhân tử) Do đó a=2 hoặc a=1Xét a=2 thì c=1 suy ra : 2d+b=-5 ; 2m+bd=8 ; bm=-3

=> b có thể là  1 hoặc  3

Xét b=-1 thì m=3 => d=-2 thoả mãn các điều kiện trên

=> a=2 ; b=-1 ; c=1 ;d=-2 ; m=3

Vậy 2x3-5x2+8x-3 = (2x-1)(x2-2x+3)

VI PHƯƠNG PHÁP XÉT GIÁ TRỊ RIÊNG

Ví dụ 12 : Phân tích đa thức P= ab(a-b) + bc(b-c) + ac(c-a) thành nhân tử

Giải

Trang 15

Sử dụng phương pháp xét giá trị riêng ta có Nếu ta thay a bởi b thì P= 0+ bc(b-c) + bc(c-b) =0, nên p chia hết cho a-b vai trò của a,b,c như nhau trong đa thức nên p chia hết cho (a-b)(b-c)(c-a)

Trong phép chia đó, đa thức bị chia P có bậc 3 đối với tập hợp các biến và đa thức chia (a-b)(b-c)(c-a) cũng có bậc 3 đối với tập hợp các biến số nên thương là hằng số k

ab(a-b) + bc(b-c) + ac(c-a)=k(a-b)(b-c)(c-a)

Trong đẳng thức trên cho ta các biến nhận giá trị riêng a=2 ; b=1 ; c=0, ta được : 2.1.1+0 +0 =k.1.1.(-2)

2 = -2k => k=-1 Vậy P = (a-b)(b-c)(c-a)

Ví dụ 13 : Phân tích đa thức Q = (a+b+c)3-a3-b3-c3 thành nhân tử

Giải

Sử dụng phương pháp xét giá trị riêng ta có Nếu ta thay a bởi -b thì

Q= (0+c)3+b3-b3-c3=0 Vậy Q chia hết cho (a+b) vai trò của a,b,c như nhau trong đa thức nên Q chia hết cho (a+b)(b+c)(c+a)

Trong phép chia đó, đa thức bị chia Q có bậc 3 đối với tập hợp các biến và đa thức chia (a+b)(b+c)(c+a) cũng có bậc 3 đối với tập hợp các biến số nên thương là hằng

số k

(a+b+c)3-a3-b3-c3 = k(a+b)(b+c)(c+a)

Cho biến nhận các giá trị riêng a=0; b=1; c=2 ta có :(0+1+2)3-0 -13-23 = k(0+1)(1+2)(2+0)

Trang 16

18 = 6 k => k=3 Vậy : (a+b+c)3-a3-b3-c3 = 3(a+b)(b+c)(c+a)

*Chú ý : Khi đa thức có nhiều biến số và vai trò các biến như nhau trong đa thức thì ta sử dụng phương pháp xét giá trị riêng như trên.

Chương III

Phát huy trí lực của học sinh qua việc Phân tích đa thức thành nhân tử

I BÀI TOÁN CHỨNG MINH SỰ CHIA HẾT

Ví dụ 1 : Chứng minh rằng : x3 - x chia hết cho3 với mọi số nguyên x

Giải : Ta có P = x3 - x =x(x2 -1) = x(x+1)(x-1)

Vì x nguyên nên x+1,x-1 là số nguyên Do đó:

P = (x+1) x (x-1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp sẽ chia hết cho 3

Định dạng
Số trang	24
Dung lượng	170 KB