Tự đồng cấu của nhóm aben chia được

Nghiên cứu tự đồng cấu của nhóm Aben không chỉ giúp hiểu thêm về nhóm, còn có giá trị rất hữu ích trong nghiên cứu vành trên nhóm Aben, là một trong những hướng quan trọng của Lý thuyết

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Đặng Thanh Duy

TỰ ĐỒNG CẤU CỦA NHÓM ABEN CHIA ĐƯỢC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2016

Đặng Thanh Duy

TỰ ĐỒNG CẤU CỦA

Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số

Mã số: 60 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS PHẠM THỊ THU THỦY

T hành phố Hồ Chí Minh – 2016

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các tài liệu và kết quả nêu trong luận văn này là trung thực và chưa từng được công bố trong một công trình nào khác

Tôi xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được ghi rõ nguồn gốc và được phép công bố

Học viên thực hiện Đặng Thanh Duy

Trong quá trình thực hiện luận văn tôi đã nhận được sự hướng dẫn và giúp

đỡ nhiệt tình của TS Phạm Thị Thu Thủy, người giảng viên đã gợi cho tôi những ý tưởng rất hay và mới lạ mà bản thân chưa hề nghĩ đến Trong quá trình làm việc, cô

đã đưa ra những lời góp ý và lời khuyên quý báu về mặt chuyên môn cũng như cách thức làm việc, nghiên cứu khoa học, giúp bù đắp những thiếu sót của bản thân tôi Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và lòng biết ơn sâu sắc nhất đến cô

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến tất cả các thầy cô khoa Toán - Tin học

Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, cảm ơn những gì mà thầy cô đã dạy cho tôi trên giảng đường

Xin cảm ơn Ban lãnh đạo khoa Toán - Tin học, và các thầy cô Phòng Sau đại học Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn này

Tôi cũng xin cảm ơn gia đình và tất cả bạn bè, những người đã luôn ủng hộ

và động viên tôi trong những lúc khó khăn

Một lần nữa xin cảm ơn tất cả, chúc tất cả thật nhiều sức khỏe và thành công

TP Hồ Chí Minh – Tháng 9 năm 2016

Đặng Thanh Duy

T rang phụ bìa

Lời cam đoan

Lời cảm ơn

Mục lục

Các ký hiệu

L ời nói đầu 1

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Các khái niệm cơ bản 3

1.2 Vành số nguyên p - adic 8

1.3 N hóm Aben chia được 10

Chương 2 TỰ ĐỒNG CẤU CỦA NHÓM ABEN CHIA ĐƯỢC 12

2.1 Tự đồng cấu của nhóm Aben chia được không xoắn 12

2.1.1 C ấu trúc  - không gian vectơ trên nhóm Aben chia được không xoắn 12

2.1.2 B iểu diễn ma trận của tự đồng cấu trên nhóm chia được không xoắn 15

2.2 T ự đống cấu của nhóm Aben chia được xoắn 23

2.3 Điều kiện để nhóm Aben chia được đẳng cấu với nhóm tự đồng cấu của nó 30

K ết luận 34

T ài liệu tham khảo 35

L ỜI NÓI ĐẦU

Tự đồng cấu là một khái niệm quan trọng trong các nghiên cứu về nhóm Aben Nghiên cứu tự đồng cấu của nhóm Aben không chỉ giúp hiểu thêm về nhóm, còn có giá trị rất hữu ích trong nghiên cứu vành trên nhóm Aben, là một trong những hướng quan trọng của Lý thuyết nhóm Aben hiện nay Vành tự đồng cấu được nghiên cứu trong các công trình của R Baer [1], L Fuchs [2-6] và các nhà toán học khác Trong [9] Wickless W.J đưa ra bài toán mô tả các nhóm Aben mà trong đó mọi tự đồng cấu đều là một phép nhân trái với một phần tử nào đó trong

một vành nào đó trên G Một trong số những nhóm như vậy là lớp nhóm Aben G thỏa tính chất: G đẳng cấu với nhóm tự đồng cấu của nó Trong lớp các nhóm Aben quan trọng, nhóm Aben chia được có cấu trúc được mô tả rõ ràng, là điều kiện thuận lợi để tìm hiểu về tự đồng cấu trên nó Mục tiêu của luận văn là mô tả tự đồng của các nhóm Aben chia được, từ đó giải quyết bài toán “khi nào nhóm Aben đẳng cấu với nhóm tự đồng cấu của nó?” trong lớp nhóm Aben chia được

Nội dung của luận văn bao gồm:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Chương này nhằm mục đích cung cấp những kiến thức cơ bản phục vụ cho chương sau Chương này được phân ra làm ba bài trình bày về một số khái niệm cơ

bản liên quan đến nhóm, vành các số nguyên p-adic và tính chia hết trong nhóm

Aben

Chương 2 Tự đồng cấu của nhóm Aben chia được

Chương này là nội dung chính của luận văn, được phân ra làm ba bài

Trình bày về cấu trúc -không gian vectơ của nhóm Aben chia được không xoắn và từ đó xây dựng và mô tả cấu trúc của nhóm các tự đồng cấu trên nhóm Aben chia được không xoắn

2.2 T ự đồng cấu của nhóm Aben chia được xoắn

Trình bày về cấu trúc *

p

 -không gian vectơ của p-nhóm tựa cyclic và từ đó

xây dựng và mô tả cấu trúc của nhóm các tự đồng cấu trên nhóm Aben chia được xoắn hạng hữu hạn

2.3 Nhóm Aben chia được đẳng cấu với nhóm tự đồng cấu của nó

Đưa ra câu trả lời cho bài toán “khi nào nhóm Aben đẳng cấu với nhóm tự đồng cấu của nó” ? trong lớp nhóm Aben chia được Cụ thể chứng minh nhóm

Aben chia được G đẳng cấu với nhóm tự đồng cấu End G khi và chỉ khi G đẳng

cấu với nhóm cộng các số hữu tỉ 

Trong toàn bộ luận văn này tất cả các nhóm được xét đều là nhóm Aben Do

đó để đơn giản, từ “nhóm” mặc định được hiểu là “nhóm Aben” Ta luôn dùng ký hiệu “+” cho phép toán trong tất cả các nhóm

Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này trình bày một số kiến thức thiết yếu nhất phục vụ cho việc nghiên cứu chương sau

Định nghĩa Cho tập G ≠ ∅ cùng với một phép toán hai ngôi “ + ” được gọi là nhóm Aben nếu

(1) Phép toán “ + ” có tính chất kết hợp, nghĩa là x+(y+z) (= x+ y)+ với z

mọi , ,x y z∈G

(2) Tồn tại phần tử 0 G∈ sao cho x+ = + = 0 0 x x với mọi x∈ G

(3) Mọi phần tử x G∈ đều có phần tử đối, ký hiệu là −x, nghĩa là

x+ − = x

(4) Phép toán “ + ” có tính giao hoán nghĩa là x+ = +y y x với mọi ,x y∈ G

Định nghĩa Cho G là một nhóm Tập con H ≠ ∅ của G được gọi là nhóm con của

G nếu

(1) H ổn định đối với phép toán trong G, nghĩa là x+ ∈y H với mọi x y, ∈H (2) H cùng với phép toán cảm sinh từ phép toán trên G là một nhóm

Cho G là một nhóm Giao của một họ không rỗng các nhóm con của một

nhóm G là một nhóm con của G Nếu M là một tập con của G thì nhóm con nhỏ nhất của G chứa M được gọi là nhóm con sinh bởi tập M và ký hiệu là M Nhóm sinh bởi tập chỉ có một phần tử x được gọi là nhóm cyclic sinh bởi x và ký hiệu là

Định nghĩa Cho G là một nhóm và g G∈ Cấp của phần tử g là số nguyên dương

n nhỏ nhất thỏa ng =0 Nếu không tồn tại số nguyên dương nào để ng = thì ta 0

nói g có cấp vô hạn Cấp của phần tử g được ký hiệu là o g ( )

Cho p là một số nguyên tố, tập hợp G p tất cả các phần tử có cấp là lũy thừa

của p được gọi là thành phần p-nguyên sơ của G Dễ thấy

p

G = ∈x G ∃ ∈n  p x= và là một nhóm con của G

Tập hợp T tất cả các phần tử có cấp hữu hạn của nhóm G được gọi là phần

xoắn của nhóm G Dễ thấy T ={x∈G|∃ ∈n :nx=0 }

Mệnh đề 1.1.1 Cho G là nhóm Khi đó phần xoắn T là tổng trực tiếp của tất cả

các thành phần p – nguyên sơ của G

Định nghĩa Nhóm xoắn là nhóm mà mọi phần tử đều có cấp hữu hạn

Nhóm không xoắn là nhóm mà mọi phần tử khác 0 đều có cấp vô hạn

Nếu mọi phần tử của nhóm G đều có cấp là lũy thừa của số nguyên tố p thì G

được gọi là đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu)

Nhóm G được gọi là đẳng cấu với nhóm H, ký hiệu G≅ Hnếu tồn tại một

đẳng cấu từ nhóm G vào nhóm H

Định nghĩa Cho G và H là hai nhóm Khi đó tập hợp tất cả đồng cấu từ G vào H,

ký hiệu là Hom(G H, ), sẽ lập thành một nhóm với phép toán cộng được định nghĩa

như sau: nếu :f G→ và :H g G →H là hai đồng cấu thì đồng cấu f + g G: → H

cho tương ứng mỗi phần tử x G∈ với phần tử f x( )+g x( )∈ H

Trong trường hợp G H= thì tập hợp các tự đồng cấu của G được ký hiệu là End G

Định nghĩa Cho { }G i i I∈ là một họ không rỗng các nhóm Tập tích Descartes

∏ cùng với phép toán hai ngôi ( )x i i I∈ +( )y i i I∈ =(x i + y i)i I∈ tạo

thành một nhóm và được gọi là tích trực tiếp của họ các nhóm { }G i i I∈

Tập hợp tất cả các phần tử ( )i i I i

i I

∈

∈∏ sao cho chỉ tồn tại hữu hạn i I∈

sao cho x i ≠0 là một nhóm con của i,

Định nghĩa Cho p là một số nguyên tố, một nhóm G được gọi là p-nhóm tựa cyclic nếu tồn tại các phần tử a i ≠0 với *

i∈ thỏa pa1 =0 và pa i+1 =a i ( *)

i∈

và G = a a1, 2, , a i Khi đó { }a i i∈* được gọi là tựa cơ sở của nhóm G

Theo định nghĩa ta thấy ngay mọi p-nhóm tựa cyclic đều đẳng cấu với nhau nên ta ký hiệu p-nhóm tựa cyclic là ( )p∞

Mệnh đề 1.1.2 Cho G là một p-nhóm tựa cyclic với tựa cơ sở là { }a i i∈* Khi đó mọi phần tử x G ∈ đều có thể biểu diễn dưới dạng ma n với m∈ và *

,

n ∈ hơn

nữa nếu x ≠ thì c0 ó thể chọn số nguyên m thỏa (m p, )= 1

Hệ quả 1.1.3 Cho G là một p-nhóm tựa cyclic với tựa cơ sở là { }a i i∈* và n là một

số nguyên dương Cho x ∈ G Nếu n 0

p x = thì x có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng x=ma n với m∈ và 0 n

m p

≤ <

Định nghĩa Vành là một tập hợp R ≠ ∅ được trang bị hai phép toán cộng “+” và

nhân “⋅” thỏa các tính chất sau:

(1) R với phép toán cộng là một nhóm Aben

Định nghĩa Cho G là một nhóm Aben và R là vành có đơn vị Khi đó, G được gọi

là R- môđun (trái) nếu tồn tại một phép nhân R G× → G thỏa: với mọi ,rs R∈ , ,

Định nghĩa Cho G là một nhóm Aben, khi đó tập hợp các tự đồng cấu End G

cùng với phép cộng ánh xạ và phép nhân (phép hợp thành hai ánh xạ) là một vành

có đơn vị Hơn nữa, đơn vị của vành này là đồng cấu đồng nhất

Mệnh đề 1.1.4 Cho G là một nhóm Khi đó G có cấu trúc môđun trên vành các tự

đồng cấu của G với phép nhân ngoài giữa đồng cấu f và phần tử x G ∈ cho kết quả là f x ( )

p → với r p−α và 0 là một chuẩn p-adic trên 0 

Dãy { }x n ⊂  được gọi là dãy Cauchy nếu: với mọi ε >0, tồn tại n0∈ sao cho với mọi m n, >n0, ta đều có x m −x n p < ε

− Quan hệ “−” là một quan hệ tương đương và mỗi

lớp tương đương được gọi là một số nguyên p-adic Ký hiệu p là tập hợp tất cả

n∈

Nếu x={ }x n n∈*, y ={ }y n n∈*∈p thì ta định nghĩa tổng và tích trong  p

của x và y như sau:

Mệnh đề 1.2.2  cùng với hai phép toán cộng và nhân tạo thành một vành giao p

hoán có đơn vị Nhóm cộng của vành  được ký hiệu là p (p,+)

1.3 NHÓM ABEN CHIA ĐƯỢC

Định nghĩa: Cho nhóm aben G, n là một số nguyên Phần tử g G∈ được gọi là

chia hết cho n, ký hiệu là | n g nếu tồn tại a G∈ sao cho na= g

Định lý 1.3.2 [2] Nhóm aben G chia được nếu và chỉ nếu G đẳng cấu với tổng trực

tiếp của các bản sao của và các nhóm tựa cyclic

Từ định lý 1.3.2 ta dễ dàng thấy: Nếu G là nhóm chia được không xoắn thì G đẳng cấu với tổng trực tiếp các bản sao của nhóm hữu tỉ  Nếu G là nhóm chia được xoắn thì G đẳng cấu với tổng trực tiếp của các nhóm tựa cyclic

Mệnh đề 1.3.3 Nhóm con A của nhóm chia được G là chia được khi và chỉ khi A

Hệ quả 1.3.6 Cho hai nhóm G và H, G H≅ Khi đó, G là nhóm chia được khi và

chỉ khi H là nhóm chia được

Chương 2: TỰ ĐỒNG CẤU CỦA NHÓM ABEN CHIA

= + Đối với nhóm Aben chia được không xoắn, phép nhân ngoài này có thể

mở rộng thành phép nhân với một số hữu tỉ bất kì, khi đó G trở thành không gian

vectơ trên  Cụ thể ta có mệnh đề sau:

Mệnh đề 2.1.1 Nếu G là nhóm Aben chia được không xoắn thì G là -không gian

vectơ với phép nhân ngoài như sau: Với mọi , m n∈,n≠0 và phần tử x G ∈ ta

định nghĩa m x y

n = khi và chỉ khi mx=ny

Chứng minh

Ta chứng minh quy tắc trên thật sự là phép nhân ngoài nghĩa là một ánh xạ

từ ×G vào G Thật vậy, cho ,m n∈,n≠0 và x G ∈ Vì G là nhóm chia được

không xoắn nên từ mệnh đề 1.3.1 (1) suy ra tồn tại duy nhất y G∈ sao cho

với 'n và đẳng thức thứ hai với n, ta có ' n ny=n mx' và nn y' '=nm x' Mặt khác vì

Ta chứng minh G cùng với phép nhân định nghĩa như trên là không gian

vectơ trên  Rõ ràng, G là nhóm cộng giao hoán và 1x x= với mọi x∈ Ngoài G

ra từ định nghĩa phép nhân ngoài ở trên, dễ thấy n m x mx

* 1 1 1 *

m x = + + + x =1*x+ + 1*x = + +x x x=mx (m lần) Nếu m< , 0tương tự ta có m x* = − + − + + −( 1 ( )1 ( )1 *) x = −( )1 *x+ + − ( )1 *x =mx Ta

= ⊕ với e i∈G i Khi đó { }e i i I∈ là cơ sở của -không gian vectơ G

Cho i∈I, ta có G i ≅  nên tồn tại f i:→G i Đặt e i = f i( )1 Ta có e i ≠0

vì f i là đẳng cấu và 1 0 ≠ Khi đó với mọi x∈G i, tồn tại k

đó x k e i e i

l

= ∈ Vậy G i = e i Từ đó dễ thấy { }e là i hệ sinh nên là cơ sở của

-không gian vectơ G i

Ngược lại giả sử f là một tự đồng cấu nhóm trên G Ta chứng minh f là ánh

xạ tuyến tính trên -không gian vectơ G

f x+ y = f x + f y với mọi x y, ∈G Vậy f là phép biến đổi tuyến tính trên

-không gian vectơ G 

2.1.2 BIỂU DIỄN MA TRẬN CỦA TỰ ĐỒNG CẤU TRÊN NHÓM CHIA ĐƯỢC KHÔNG XOẮN

Ta đã biết trong không gian vectơ n chiều với hệ cơ sở mỗi ánh xạ

đồng cấu trên nhóm không xoắn chia được ta có kết quả tương tự bằng cách mở rộng khái niệm ma trận thành ma trận suy rộng cấp bất kì như sau: Với mỗi bản số

n bất kì, ta chọn một tập hợp I đại diện thỏa I =n

Định nghĩa Cho m,n là hai bản số đại diện bởi tập hợp I và J Ma trận suy rộng cấp ×m n là một bộ các số hữu tỉ ( )r i j i I j J∈,∈ thỏa điều kiện: Với mỗi j J∈ chỉ tồn

tại hữu hạn các giá trị i I∈ sao cho r i j ≠0 Tập hợp các ma trận suy rộng được ký hiệu là Μm n×

Rõ ràng, mọi ma trận kích thước hữu hạn thông thường đều là ma trận suy

rộng Tương tự với ma trận cấp hữu hạn ta có các định nghĩa sau:

 Hai ma trận suy rộng được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng cấp và các

Tương tự như đối với ma trận cấp hữu hạn, ta có thể xây dựng quy tắc cộng

và nhân các ma trận suy rộng như sau:

Lưu ý các phép toán chỉ thực hiện được với các ma trận có cấp thích hợp

Mệnh đề 2.1.4 Cho A, B, C là các ma trận suy rộng Giả sử các phép toán được

đề cập trong các khẳng định đều thực hiện được Khi đó:

Từ mệnh đề trên ta dễ dàng có được định lý sau về cấu trúc của tập hợp các ma trận

suy rộng vuông cấp n

Mệnh đề 2.1.5 Tập hợp các ma trận suy rộng vuông cấp n v ới hai phép toán cộng

và nhân ma trận suy rộng được định nghĩa ở trên là một vành có đơn vị 

1) Rõ ràng tọa độ của một phần tử phụ thuộc vào cơ sở được chọn Tuy nhiên đối

với nhóm chia được không xoắn G, trừ khi có ghi chú khác, nếu ta biểu diễn

i I i I

∈ ∈

= ⊕ = ⊕ nghĩa là ta mặc định chọn cơ sở là E={ }e i i I∈ Khi đó để đơn

giản, tọa độ của x đối với E được ký hiệu là [ ]x

j∈I là tọa độ f e( )j  của f e( )j được gọi là ma trận của ánh xạ tuyến tính f

(trong cơ sở E)

Ghi chú Từ định nghĩa tọa độ ta suy ra mỗi cột của ma trận R của ánh xạ tuyến

tính f ở trên chỉ chứa hữu hạn phần tử khác 0 nên R là ma trận suy rộng vuông cấp

= ⊕ = ⊕ là nhóm chia được không xoắn và R là

ma trận suy rộng vuông bất kì có cấp n = I Khi đó, ánh xạ f R :G→G xác định bởi f R( )x =R x[ ] là một tự đồng cấu trên nhóm G Ngược lại, nếu f G: G là một tự đồng cấu trên nhóm G thì tồn tại ma trận suy rộng R sao cho f = f R.

Ngược lại, xét :f G  là một tự đồng cấu của nhóm G Theo mệnh đề G

2.1.3 ta có f G:  là ánh xạ tuyến tính trên G  - không gian vectơ G Gọi

= ⊕ = ⊕ là nhóm chia được không xoắn Khi đó nhóm

tự đồng cấu End G đẳng cấu với nhóm cộng các ma trận suy rộng vuông cấp

Chứng minh ϕ là đơn cấu Giả sử R ( )r i j i j I,

∈

= và S ( )s i j i j I,

∈

= là hai ma trận suy rộng thỏa ϕ( )R =ϕ( )S Ta chứng minh R= Cho S j0∈I, ta có tọa độ của phần tử cơ sở e là j0 e j0 ( )x j j I

Do j0∈I được lấy bất kì nên R= S

Chứng minh ϕ là toàn cấu Với mọi f ∈End ,G theo định lý 2.1.8 tồn tại

ma trận suy rộng R∈Μn sao cho f = f R Do đó f =ϕ( )R Vậy ϕ là toàn cấu

Vậy End G≅ Μn 

Trong trường hợp I = thì 1 Μ ≅ 1 nên ta có kết quả quen thuộc sau:

Hệ quả 2.1.10 Nhóm các tự đồng cấu End  đẳng cấu với  Cụ thể với mỗi

r ∈ ánh xạ f r cho tương ứng x∈ với phần tử rx xác định một tự đồng cấu trên  Ngược lại, nếu f là tự đồng cấu trên  thì tồn tại r ∈ sao cho f = f r

