1.Điểm của bài làm cho theo thang điểm 20, là tổng điểm thành phần và không làm tròn số2. Học sinh làm cách khác với đáp án nếu thấy đúng vẫn cho điểm tối đa...[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2009-2010
TỈNH ĐẮKLẮK MƠN: TỐN 12 - THPT
Thời gian làm bài: 180 phút ( khơng kể thời gian phát đề )
ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi: 22/12/2009
Bài 1: (5 điểm)
y
x m
điểm 2 đường tiệm cận của (C m ) thuộc parabol cĩ phương trình y = x 2
2) Chứng minh rằng phương trình x 3 + x - 1 = 0 cĩ một nghiệm duy nhất Gọi nghiệm đĩ là x 0 ,
1 0
2
x
Bài 2: (5 điểm)
1) Giải hệ phương trình :
2) Cho tứ diện ABCD cĩ BC = AD = a, CA = DB = b, AB = DC = c
a) Gọi O là trung điểm của AB Chứng minh rằng thiết diện OCD chia tứ diện đã cho thành hai tứ diện AOCD và BOCD cĩ thể tích bằng nhau.
b) Tính thể tích tứ diện ABCD
Bài 3: (5 điểm)
1) Trong mặt phẳng toạ độ xOy, tìm quỹ tích (tập hợp điểm) tâm các đường trịn sau : C:x2 y2 2 osxc 4y sin 3sin2 sin 1 0
2) Gọi a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác vuơng (c là cạnh huyền); x, y, z là các số liên
hệ với nhau bởi hệ thức ax + by = cz Chứng minh rằng x2 y2 z2
Bài 4:(5 điểm)
1) Cho x 0 , y 0 và x y 1 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
y +1 x +1
2) Cho 2 số dương a, b khác nhau Chứng minh
ab
- Hết
Họ và tên thí sinh……… Số báo danh……….
Trang 2SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2009-2010 TỈNH ĐẮKLẮK MƠN :TỐN 12 - THPT
ĐÁP ÁN, BIỂU ĐIỂM VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN LỚP 12 THPT
A ĐÁP ÁN, BIỂU ĐIỂM
Bài 1: (5 điểm)
2
y
x m
x m
2
1 0
2
x
+Và cĩ f(0) =-1<0, f(1)=1>0 do đĩ tồn tại giá trị x0 (0< x0<1) sao cho f(x0) =0
0
x ,x0:
0
1 2
1 0
2
x
Bài 2 (5 điểm)
1) Giải hệ phương trình :
1 11
Trang 3
+Đặt u x y z 1 khi đó ta có u2 + u -12 =0 0,5đ
+Từ 6x = 4y = 3z ta suy ra: 2x 3y 4z 2 3 4x y z 89
2) Cho tứ diện ABCD cĩ BC = AD = a, CA = DB = b, AB = DC = c
a) Gọi O là trung điểm của AB Chứng minh rằng thiết diện OCD chia tứ diện
đã cho thành hai tứ diện AOCD và BOCD cĩ thể tích bằng nhau
b) Tính thể tích tứ diện ABCD
B.OCD kẻ từ B
2
1
Hai tứ diện cĩ đáy chung và đường cao bằng nhau nên thể tích bằng nhau (đpcm)
Ta cĩ: tứ giác AEBF là hình chữ nhật (vì EF = CD = AB)
CD OH
Hay FB2 FA2 a2 b2 (1)
,
2
AK
ABCD
Trang 4= 1 ( 2 2 2)( 2 2 2)( 2 2 2)
A
C
F
E O
H K
Bài 3:(5 điểm)
1) Tìm quỹ tích (tập hợp điểm) tâm các đường tròn:
C:x2 y2 2 osxc 4ysin 3sin2 sin 1 0
Phương trình đường tròn viết lại như sau:
C : x c os 2 cos 2 y+2sin 2 4sin 2 3sin 2 sin 1 0
+Điều kiện để C : x c os 2y+2sin 2 sin là đường tròn thì phải 0,5đ
có sin 0
2sin
N N
y
4
N N
y
4
N N
y
2 Gọi a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác vuông (c là cạnh huyền); x, y, z là các
Hệ thức đã cho viết lại xsinA+ ycosA = z (2)
Trang 5Chọn góc sao cho cos 2x 2
(góc tồn tại vì
c
)
Bài 4 (5 điểm)
1) Cho x 0, y 0 và x y 1 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:
y +1 x +1
y +1 x +1= x + y + x + y3 3 2 2
x + y + xy +1
= x + y x - xy + y + x + y 2 2 2 2
x + y + xy +1 = 2 x + y - xy 2 2
2
2 x + y - 5xy
Đặt t = xy Khi đó 0 2 1
x y
4
t
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P chính là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm
2
t
f t
t
Ta có :
'
2
12
2
f t
t
B ng bi n thiên: ả ế
T 0 1
4
f ’(t) -
f(t) 1
1
3
Trang 6Vậy MaxP = 1 và minP = 1
2) Cho 2 số dương a, b khác nhau Chứng minh
ab
Ta có thể giả sử a>b>0, khi đó bất đẳng thức cần chứng minh là:
2 ln
a b
b
b
x
l x
2
2
1
2 n
x
l x
Ta có f x' 2(x lnx 1) 0 f '' x 2(1 1) 0
x
2
2 2 2 2
1
1
x
g x
x x
B.HƯỚNG DẪN CHẤM
1.Điểm của bài làm cho theo thang điểm 20, là tổng điểm thành phần và không làm tròn số
2 Học sinh làm cách khác với đáp án nếu thấy đúng vẫn cho điểm tối đa