Hệ phương trình có cách giải không mẫu mực

CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ CÁCH GIẢI KHÔNG MẪU MỰC LUYỆN THI ĐẠI HỌC 60 BÀI TOÁN CHỌN LỌC BÀI 1:Giải hệ phương trình sau : y x... Suy ra nếu f ' x có nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất

CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ CÁCH GIẢI KHÔNG MẪU MỰC LUYỆN THI ĐẠI HỌC (60 BÀI TOÁN CHỌN LỌC) BÀI 1:Giải hệ phương trình sau :

y x

Từ phương trình  1 ta nhân 2 cho hai vế phương trình suy ra :

2x 4x 1  1 5 2  y 5 2 y Xét hàm số : f t t t 21

cos 3 cos

42

74arcsin 2 cos 2

112

y x

3 3

3 3

2

20

Suy ra f u  có tối đa hai nghiệm Hai nghiệm đó là u 0 hoặc u 1



 

 thì các giá trị sẽ trở lại như cũ nên ta chỉ chọn k 0;1; 2



sin180

cos18

183

cos18

183

cos18

183

x

xy x

4

412

u u

3

ax a 

  Xét hàm số   25 9 9 4 2 18

2

253

x x

t t

t t

Ta có:

4 4

log4

y

x x x

x

y x

1log

2:3

sin 8 cos 4 cos 4 cos sin sin

sin 4 4 sin sin sin

0sin 4 4 sin 3sin sin 4 sin 3 2



3cos72



5cos72

Do x 0 và y 0 không là nghiệm của hệ nên ta chia hai vế của  1 cho 3

x suy ra được: 3

x y xy

16' 2 ln 2x 2 ln 2x

Do đó ta chỉ xét 0

0

x y

; ;4

14

24

1

34

x y z

Xét hàm số  

3 2 21

04

04

y x

x y z

Còn 2 là phương trình mặt cầu với tâm là gốc tọa độO ; bán kínhR  3

Bảng biến thiên

x y u

0

x y u

 1 sin  sin cos sin cos

x

y

x y

;1

1

24

f x





   Bảng biến thiên:

2 2

Ta có: I I1 2  58 497R r suy ra hệ phương trình vô nghiệm

Cách 2 Lấy    1  2 6x14y270

Xét đường tròn   2 2

C x y  x y  có tâm I11; 4  bán kính R 1và đường thẳng : 6x14y270

Thế vào      2  3  

1  2 sinx3 4 sin x6 sinx3 3 6 sinx4 1 *

 * 8sin3x24 sin2x24 sinx103 6 sin3 x4 2 sinx2323 6 sin3 x4 Đặt   3

26

1 8sin 24sin 24sin 10 3 6sin 4

2sin 2 3 2sin 2 3 6sin 4 6 sin 4

 

26

5

26

u

u u

Lấy    1 2

74

x y x y

Suy ra nếu f ' x có nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất Mà f ' 0   f ' 1 0vậy nên

' 2sin 4sin cos 2sin cos 2

z yz

1

x y

x y

3 5 2

1

t t

34

 

t x

*** & ****

64

Nhận thấy  1 là phương trình mặt cầu  S với tâm I1; 0; 0bán kính R 1

Mặt khác ta dễ nhận thấy  2 là phương trình mặt phẳng  P với VTPT n P 2; 1; 2 

Gọi  là đường thẳng qua tâm mặt cầu  S và vuông góc với  P

1 1

1

n i n

i i

n

i i

a a

1 1

1

k i k

i i

k

i i

a a

1 1

1

1

k i k

a

b  b   b

Áp dụng BĐT trên vào  2 ta có:

x v

1 sin 2

Lũy thừa mũ 12 cả hai vế của  1 ta có:

x x

 

2 2

x y

x

x y x

Ta sẽ giải phương trình  1 :

Cách 1 Nhận thấy rằng:

Nếu

2 5

x x

x x

 1 log2x.log 53 x 1 log2x.log25x.log 2 13 

Mà f ' t là hàm liên tục trên 0;  nên f ' t 0 có tối đa một nghiệm Do vậy thì

x y x

x y

Hệ đã cho tương đương với:

3 3

log 17log

'

17 ln 3 ln 3

u u

Với u 8 2

3

y x

2 2

y u

1 1

8' 9 ln 9 ln 8

'' 9 ln 9 8 ln 8 ln 8 0 0

t t

2 2

3 2 23

21

3 2 22

2

3 2 22

x

y a

3 2 22

3 2 22

y y

x

y y

2 2

;1

x t

5 30

65 14 3015

i i

Dễ nhận thấy rằng i 0;1

n n

1

11

2 2

02

log 1

2log 1

0 & 1

y y

Vậy hệ đã cho có hai nghiệm x y ;   4; 0 ; 4;1    ∎ BÀI 59: Giải hệ phương trình sau:

4 4

CHUYÊN ĐỀ 2 : THAM SỐ VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN

PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH( 25 BÀI)

3sin x cĩ đồ thị là đường nằm bên

cos

x x

sincos

1 cos

m x

   2

3 cos x2 sinx m

Bài giải:

Cách 1 Điều kiện cần:

3t 2t 3 m

    Vậy số giao điểm của   2

C y  t  t  và đường thẳng d y: m chính là số nghiệm của phương trình trên

Đồ thị của  C ( Độc giả tự vẽ)

Từ đồ thị dễ dàng suy ra không có giá trị nào thỏa mãn phương trình đã cho ∎ BÀI 6: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:

;cos 2

Nếu x0 là một nghiệm của hệ thì x0cũng là một nghiệm của hệ

2 4 3

1

15

x y

u u

2

;2

x

m y

Khi m  2 thì ta có hệ:

2 2

Từ hai phương trình ta có:

2 2

2

; ;4

Với

11

3

x y z



a c

a

m d

x x

t

Dễ thấy rằng d O ;1d O ;2vì vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt khi đường tròn tiếp xúc với 1&2 :

;1

 

2 2

( Với I1&I2 lần lượt là tâm của    C1 & C2 )

Hệ này có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi  C1 tiếp xúc  C2 Suy ra:

12

âm vô cùng) Nếu lim   lim   0

Đôi khi quy tắc L'Hôpital được sử dụng một cách khéo léo như sau: Cho f x  f ' x hội

tụ khi x   Khi đó: lim   lim   lim   '  lim   ' 

x x

1 ln 2

x

x x