Lo¹i to¸n : Céng c¸c ph©n sè cã quy luËt Thñ thuËt : Ph¬ng ph¸p khö liªn tiÕp : T¸ch mçi ph©n sè thµnh mét hiÖu sao cho chóng triÖt tiªu trõ hÕt lÉn nhau.
Trang 1Lo¹i to¸n : Céng c¸c ph©n sè cã quy luËt Thñ thuËt : Ph¬ng ph¸p khö liªn tiÕp : T¸ch mçi ph©n sè thµnh mét hiÖu sao cho chóng triÖt tiªu (trõ
hÕt) lÉn nhau
D¹ng tæng qu¸t : Sn = ( 1 1)
3 2
1 2 1
1
+ + + +
n
n ( n > 1 ) = 1 -
1 1
1
+
= + n
n n
Bµi tËp
Bµi 1 TÝnh tæng :
2 1
1
x +
3 2
1
x + 3 4
1
x + +
10 9
1
x
Bíc 1: Dù ®o¸n :
2 1
1
x = 1/1 – 1/2 ;
3 2
1
x = 1/2 - 1/3 ; 3 4
1
x = 1/3 - 1/4 ;
Bíc 2: Quy n¹p :
1 ( 1)
n n+ = 1/n - 1/n+1 Bíc 3: ViÕt d·y tÝnh vµ tiÕn hµnh khö :
Cuèi cïng cßn : 1 -
1 1
1
+
= + n
n n
Bµi 2 TÝnh tæng :
2 1
1
x +
3 2
1
x + 3 4
1
x + +
100 99
1
x
Bµi 3 TÝnh tæng :
3 1
2
x +
5 3
2
x +
7 5
2
x + +
19 17
2
x
Bµi 4 TÝnh tæng :
5 2
3
x +
8 5
3
x +
11 8
3
x + +
20 17
3
x
Bµi 5 TÝnh tæng :
4 2
1
x +
6 4
1
x +
8 6
1
x + +
20 18
1
x
Bµi 6 TÝnh tæng :
4 1
1
x +
7 4
1
x +
10 7
1
x + + 37 40
1
x
Bµi 7 TÝnh tæng :
20
1 + 30
1 + 42
1 + +
90
1 + 110 1
Bµi 8 TÝnh tæng :
15
4 + 35
4 + 63
4 + 99
4 + 143 4
Bµi 9 TÝnh tæng :
16 11
2
x +
21 16
2
x +
26 21
2
x + +
66 61
2
x
Bµi 10 TÝnh tæng :
3 2 1
2
x
x +
4 3 2
2
x
x +
5 4 3
2
x
x + +
10 9 8
2
x x
Bµi 11 TÝnh tæng c¸c ph©n sè sau:
1.2 2.3 3.4+ + + +K 2003.2004
b/ 1 + 1 + 1 + +K 1
Trang 2Gợi ý: Đặt B = 1 1 1 1
1.3 3.5 5.7+ + + +K 2003.2005
Ta có 2B =
1.3 3.5 5.7 2003.2005
1 2004 1
2005 2005
K
Suy ra B = 1002
2005
Bài 12 Tính tổng sau :
61 59
4
9 7
4 7 5
Gợi ý: Vì 7 - 5 = 2 mà tử = 4 gấp 2 lần 2 nên biến tử thành 2.2 rồi đ a 2 ra ngoài ngoặc đơn sau đó tính
nh trên
Bài 13 Tính tổng sau :
66 61
5
26 21
5 21 16
5 16 11
Vì mẫu = 16 - 11 = 5 mà tử = 5 nên chỉ việc biến đổi 1/11 - 1/16 = 5/11.16 rồi khử
Bài 14 Tính tổng :
M =
3 2
1
2
x
x +
4 3 2
2
x
x +
5 4 3
2
x
x + +
10 9 8
2
x x
Giải : Nhận xét
3 2 1
2
x
x =
2 1
1
x -
3 2
1
x
Tơng tự với
4 3 2
2
x
x =
3 2
1
x -
4 3
1
x
10 9 8
2
x
x =
9 8
1
x -
10 9
1
x
Cuối cùng ta có :
2 1
1
x -
10 9
1
x =
45 22
Bài 15 Tính tổng sau :
100 99 98
2
4 3 2
2 3 2 1
2
+ + +
Bài 16 : Tính tổng
Sn = ( 11)( 2)
5 4 3
1 4 3 2
1 3 2
.
1
1
+ + + + +
+
n n n
Ta có Sn = + + + − + +
− +
−
) 2 )(
1 (
1 )
1 (
1 2
1
4 3
1 3 2
1 2
1 3 2
1 2 1
1 2
1
n n n
n
Sn = − + − + + + −( + 1 )( + 2 )
1 )
1 (
1
4 3
1 3 2
1 3 2
1 2 1
1 2
1
n n n
n
Sn = 21 11.2 ( 1)(1 2) =4( +(1)(+3)+2)
+ +
−
n n
n n n
n
5 4 3 2
1 4
3 2 1
1
+ +
+ + + +
n n
n n
Bài 18 Tính:
2009 2008
3 2 1
1
4 3 2 1
1 3
2 1
1 2
1
1
1
+ +
+ + + + + + +
+ + +
+
+
+
Giải: Tổng các số tự nhiên lên tiếp từ 1 đến n số hạng đợc tính theo công thức
2
) 1 ( +
ì n n
3
1 2
1 ( 2 ) 1 2 ( 2
2 2
1
+
ì
=
1 3
1 ( 2 ) 1 3 ( 3
2 3
2 1
+
ì
= + +
Trang 3)
5
1 4
1 ( 2 ) 1 4 ( 4
2 4
3 2
1
+
×
= + +
+
………
1 2009
1 ( 2 ) 1 2009 ( 2009
2 2009
2008
3
2
1
+
×
= +
+ + +
+
VËy:
2009 2008
3 2 1
1
4 3 2 1
1 3
2 1
1 2
1
1
1
+ +
+ + + + + + +
+ + +
+ +
+
= )
3
1 2
1
(
4
1 3
1 (
5
1 4
1 (
2010
1 2009
1 (
1 2009
1
5
1 4
1 4
1 3
1 3
1 2
1
(
2
=
2010
1 2
1
(
2
=
1005
1004
1
=
Bµi 19 Tìm Y biết:
3
16
1 13
1 ) 16 13
1 13 10
1 10 7
1 7 4
1 4 1
1
×
+
×
+
×
+
×
+
×
×
×Y