Bài giảng phuong trinh matphang

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng a.. Định nghĩa: Nếu vectơ vuông góc với mp thì được gọi là vectơ pháp tuyến của mp đó.. Điều kiện cần và đủ để điểm M bất kì thuộc mp là ∈ α 0 uuuuur

M0

n ur

I Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

a Định nghĩa:

Nếu vectơ vuông góc với mp( ) thì được

gọi là vectơ pháp tuyến của mp( ) đó

n ( 0) ≠

ur r

α α

M

Cho điểm M0 ( ) Điều

kiện cần và đủ để điểm M

bất kì thuộc mp( ) là

∈ α

0

uuuuur ur

* Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định

khi biết một điểm thuộc nó và một vectơ

pháp tuyến của nó.

*

* n ur ⊥ α ⇒ ( ) kn ur ⊥ α ( ) (k R ) ∈

?

? 1 Qua một điểm M0 cho trước có bao nhiêu

mặt phẳng vuông

góc với một vectơ cho

trước?

n ( 0)≠

ur r

n

ur

a r

b ur

a

b

1 2 3

a (a ;a ;a ) r = b (b ;b ;b ) ur = 1 2 3

* Trong kg Oxyz cho mp( ) có cặp vectơ chỉ phương Khi đó, mp( ) nhận

vectơ

làm VTPT

α ( 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1)

n ur =   a ,b r ur   = a b − a b ; a b − a b ; a b − a b

α α

Chú ý: * Hai vectơ ; không cùng phương và có giá song song hoặc

chứa trong mp( ) được gọi là cặp vectơ chỉ phương của mp( )

đó

b ur

α

a r

α

A

B

C

−

( 1; 2;4 ) − −

AB =

uuur

VTPT : n AB,AC

⇒ ur = uuur uuur = − 5 − 5

Giải: mp(ABC) có cặp vectơ chỉ phương là

( 2 ;1; 3 ) −

AC =

uuur

A(2;0; 1); B(1; 2;3); C(0;1;2)− −

Ví dụ 1: Trong không gian toạ độ Oxyz cho ba điểm không thẳng hàng

Tìm toạ độ cặp vectơ chỉ

phương của mp( ) từ đó suy ra toạ độ VTPT của mp( ) ABC ABC

( ; ; )

1 2

−

−

II- Phương trình tổng quát của mặt phẳng

n ur

g

α)

x

y

M0 z

O

Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng ( ) đi qua điểm

và có VTPT Với điểm M(x; y; z) bất kì

n (A;B;C)=

0

n.M M 0=

ur uuuuur

A(x x ) B(y y ) C(z z ) 0 (1)

0 0 0

Pt (1) và (2) được gọi là phương trình mp( )α

Ax By Cz

D (2)







0

= Trong đó:

* Định nghĩa: (SGK)

−+

n (A;B;C)ur = α Ax By Cz D 0+ + + =

* Chú ý: Nếu mp( ) có pt: thì VTPT của nó là

M

Ví dụ 2:

Viết pt mặt phẳng qua ba điểm M(1; 2; 1); N(2;1;0); P(3; 1;2)− − −

(8; 1; 5)

= − −

3 1 1 1 1 3

1 3 3 2 2 1

=   =  ÷

r uuuur uuur

Giải: Ta có:

mp(MNP) có VTPT là:

MN (1;3;1) ;uuuur =

MP (2;1;3)=

uuur

8(x 1) (y 2) 5(z 1) 0− − + − + =

mp(MNP) có phương trình tổng quát là

8x y 5z 15 0

Ví dụ 3: Viết pt mặt phẳng (P) đi qua điểm và song

song với mp(Q):

M(3;2; 1)−

n (1; 5;1)r = −

Giải: mp(P) có VTPT là:

(x 3) 5(y 2) (z 1) 0− − − + + = mp(P) có phương trình tổng quát là

x 5y z 0− + =

x 5y z 8 0

⇔ − + + =

Ví dụ 4:

Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(1; 2;3); B( 5;0;1)− −

Giải: Gọi I là trung điểm đoạn AB Khi đó, mp cần tìm đi qua I

và có VTPT là ABuuur

I( 2; 1;2); AB ( 6;2; 2)− − uuur = − −

6(x 2) 2(y 1) 2(z 2) 0

mp cần tìm có phương trình tổng quát là

3x y z 3 0

⇔ − + + = Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB

* Lưu ý: Ta có thể lập pttq của mặt phẳng trung trực theo cách cho

AM = BM với M(x; y; z) thuộc mp trung trực

3- Các trường hợp riêng của phương trình tổng quát

1 (3)

a + + =b c

Cho mp( ) có phương trình: α Ax By Cz D 0+ + + =

Hãy giải thích vì sao ta có các khẳng định sau

α

a Mặt phẳng ( ) đi qua gốc toạ độ O khi và chỉ khi D = 0

α

b Mặt phẳng ( ) song song hoặc chứa trục Ox khi và chỉ khi A = 0

= − = − = −

Phát biểu tương tự cho trường hợp B = 0 hoặc C = 0

α

c Mặt phẳng ( ) song song hoặc trùng với mp(Oxy) khi và chỉ khi

A = B = 0

Phát biểu tương tự cho trường hợp B = C = 0 hoặc C = A = 0

d Trong trường hợp các hệ số A, B, C, D đều khác 0, khi đó ta đặt

Ta đưa pt mặt phẳng về dạng

Lúc này ta thấy mp cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm M(a; 0; 0), N(0; b; 0), P(0; 0; c)

Pt (3) được gọi là pt mặt phẳng theo đoạn chắn.

2 Các trường hợp riêng :

Dạng phương trình Tính chất của các mặt so với các yếu tố của hệ trục toạ độ

Ví dụ 5:

Trong không gian Oxyz cho điểm M(30;15;6)

Giải: a Hình chiếu của M trên các trục toạ độ Ox, Oy, Oz lần lượt có toạ độ là các điểm (30; 0; 0) ; (0; 15; 0) ; (0; 0; 6)

mp cần tìm có phương trình là

OH t.nuuur = ur

a Viết phương trình mp( ) đi qua các hình chiếu của M trên các trục toạ độ

b Tìm toạ độ điểm H là hình chiếu của điểm O trên mp( )

α

α

b Gọi H(x; y; z), vì H thuộc mp( ) nên α x 2y 5z 30 0+ + − =

OHuuur

Và ta có cùng phương với VTPT nênn (1;2;5)ur

*

x t

y 2t (t R )

z 5t

=





⇔  = ∈

 =



Thay vào pt trên ta tìm được t = 1 suy ra H(1; 2; 5)

TÓM TẮT

Trong không gian Oxyz mp( ) đi qua điểm

và có VTPT Có pttq làn (A;B;C)ur =

α M (x ; y ;z )0 0 0 0

A(x x ) B(y y ) C(z z ) 0− + − + − =

hay Ax By Cz D 0+ + + =





 Trong đó:

Cần nắm được các trường hợp riêng của phương trình tổng quát

và làm các bài tâp trang 82-83 SGK

Quý thầy, cô, các em học sinh

sức khoẻ và

thành đạt.

KIỂM TRA 15 PHÚT

Viết phương trình mặt phẳng (α) trong các trường hợp sau:

1- (α) qua M(1; 0; 2) và nhận làm VTPT

2- (α) là mặt phẳng trung trục của đoạn AB với A(1; -2; 4); B(3; 6; 2) 3- (α) qua 3 điểm M(1; 1; 1); N(4; 3; 2); P(5; 2; 1)