Ôn tập: nguyên hàmI.Lý thuyết 1.. Bảng nguyên hàm các hàm số cơ bản... Các hệ thức sau đây thờng đợc dùng để tính nguyên hàm: 1... Ph ơng pháp 3: Nguyên hàm từng phần Tính ∫fxdx.. Nếu
Trang 1Ôn tập: nguyên hàm
I.Lý thuyết
1 Định nghĩa: Hàm số F(x) đợc gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a; b), nếu
với mọi x € (a; b); ta có F(x)’ = f(x)
2 Nhận xét:
+ Với mọi hằng số C, F(x) + C cũng là nguyên hàm của h/số f(x) trên khoảng (a; b)
+ Ngợc lại, mọi nguyên hàm của h/số f(x) trên khoảng (a; b) đều ó thể viết dới dạng F(x) + C, với C là hằng số
Ta kí hiệu biểu thức F(x) + C là ∫f (x)dx ( đọc là tích phân của f(x)dx)
∫f (x)dx = F(x) + C
Trong đó: ∫ đợc gọi là dấu tích phân, f(x) là hàm số dới dấu tích phân; f(x)dxlà biểu thức dới dấu tích phân và đó cũng là vi phân của h/số F(x)
3 Tính chất:
(∫f(x)dx)' = f(x)
∫af (x)dx =a∫f(x)dx ( Với a là hằng số)
∫(f(x) ±g(x))dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx
1 Bảng nguyên hàm các hàm số cơ bản.
∫
∫
∫
∫
∫
≠
<
=
=
≠
=
−
≠ +
=
=
+
1 0
, ln
0 , ln
1 ,
1
1
a a
a dx
a
e dx
e
x x x
dx
x dx
x
x
dx
x x
x x
α α
α α
π
π π
k x x x
dx
k x
x x
dx
x xdx
x xdx
≠
−
=
+
≠
=
−
=
=
∫
∫
∫
∫
, cot sin
2 , tan cos
cos sin
sin cos
2 2
2 Các ph ơng pháp tính nguyên hàm :
Ví dụ : Nguyên hàm của h/số f(x) = 4x2 là ∫ x dx= ∫x dx= x +C
3 4 4
4
3 2
2
Nguyên hàm của h/số f(x) = sinx + cosx là
∫(sinx+ cosx)dx=∫sinxdx+∫cosxdx= cosx− sinx+C
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) f(x) = 5(x2 – 2x+ 3) b) f(x) = 5(3x2 – 1)2
c) f(x) = 3 12
x d) f(x) = 2x.3 2x+1
e) 22
1
2 ) (
x
x x
f
+
= f) f(x) = 33 x
g) f(x) =
x
x 2
sin
1
h) f(x) = 3sin2x/2 i) f(x) = 2
1
x k) f(x) = (2tanx + cotx)2
Trang 2m) f(x) =( 3 2 ) 2
x
x+
Tính ∫f(x)dx
+ Đặt u = u(x)
+ Lấy vi phân 2 vế, để tính dx theo u và du
+ Biểu thị f(x)dx theo u và du G/s f(x)dx = g(u)du
+ Tính ∫g(u)du =G(u) +C
+ Thay u trong G(u) theo biểu thức của nó theo x
Ví dụ: 1) Tìm nguyên hàm của h/s f(x) = (5x + 3)5
Ta có nguyên hàm của h/s f(x) = (5x + 3)5 là ∫( 5x+ 3 ) 5dx
Tính ∫( 5x+ 3 ) 5dx
+ Đặt u = 5x + 3 => du = (5x + 3)’ = 5dx Từ đó có dx = du
5 1
+ ∫( 5x+ 3 ) 5dx = ∫u5 du= ∫u5du= u6 +C = u6 +C
30
1 6
5
1 5
1 5
2) Tìm nguyên hàm của h/s f(x) = cos2xsinx
Ta có nguyên hàm của h/s f(x) là
∫cos 3x sin xdx
Tính ∫cos 3x sin xdx
+ Đặt u = cosx => du = (cosx)’dx = -sinxdx Từ đó sinxdx = - du
+ ∫cos 3x sin xdx = ∫u −du = −∫u du = −u +C
4 )
(
4 3
Bài tập áp dung: Tính nguyên hàm các hàm số sau
a) f(x) = (-2x + 5)4 b) f(x) = sin4xcosx
c) f(x) = 4 5
3
) 5 6 ( x +
x
d) f(x = 2 cosx− 1 sinx
e) f(x) =
1
+
x
x
e
e
f) f(x) = 3x1+5 g) f(x) = 3x2.x h) f(x) = tanx
i) f(x) = ( 5 sin 2 ) 2
cos
+
x
x
k) f(x) =
x
x
4 2
cos sin
Tính ∫f(x)dx
Chú ý: Để tính một số nguyên hàm, đôi khi ngời ta đổi biến số thành một hàm lợng
giác của biến mới
1 Nếu hàm số dới dấu tích phân chứa a2 −x2 thì đặt x = asinu hoặc
a = acosu
2 Nếu có a2 +x2 thì đặt x = a.tanu hoặc x = a.cotu
Trang 33 Nếu có 2 2
a
x − thì đặt x = sina u hoặc x = cosa u
Ví dụ: Tính ∫ 4 −x2dx
Giải:
Đặt x = 2.sinu với u € [ ;2
2
π π
− ] => dx = 2.cosudu
Ta co: 4 −x2 = 4 − 4 sin 2u = 4 ( 1 − sin 2u) = 4 cos 2u = 2 cosu
Khi đó
2
2 sin (
2 ) 2 cos 1 ( 2 2
2 cos 1 4 cos
4 cos
2 cos 2
Ghi nhớ:
A Các hệ thức sau đây thờng đợc dùng để tính nguyên hàm:
1 dx = d(x + b) 2 kdx = d(kx) = d(kx + b) 3 xdx = 1/2d(x2)
4 xndx = ( )
1
+
n
x d
n 5 dx/x = d(lnx) 6 ekxdx = 1/kd(ekx )
7 cosxdx = d(sinx ) 8 sinxdx = - d(cosx) 9 (tan )
cos 2 d x x
dx
=
10 (cot )
sin 2 d x
x
dx
−
=
B Bảng nguyên hàm đợc suy ra từ phơng pháp đổi biến số
∫ + = + ∫ + = + 3 ∫sin( + ) = −1cos( + )
ln
2 1
.
k dx b kx a
k
a dx a e
k dx e
b kx b
kx b
kx b
kx
1
) (
1 )
(
.
4
1
α
α
k dx b kx
+ +
=
1 ) cos(
7 ) cot(
1 ) ( sin 6 ) tan(
1 ) ( cos
.
k dx b kx b
kx k b kx
dx b
kx k b kx dx
Chẳng hạn:
C
x d x
d dx
C x xdx
x
x x
x
+
−
=
+
−
−
=
−
+
−
= +
−
=
+
−
+
− +
− +
−
∫
3 ln
3
2
1
) 3 2 ( 3
2
1 2
) 3 2 ( 3
3 2 4
3 cos 3
4 4
3
sin
1
3 2
3 2 3
2 3
2
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau bằng công thức ở phần ghi nhớ
a) f(x) = (-2x + 5)4 b) f(x) = sin4xcosx
c) f(x) = 4 5
3
) 5 6 ( x +
x
d) f(x = 2 cosx− 1 sinx
e) f(x) =
1
+
x
x
e
e
f) f(x) =
5 3
1
+
x
g) f(x) = 3x2.x h) f(x) = tanx
i) f(x) = ( 5 sin 2 ) 2
cos
+
x
x
k) f(x) =
x
x
4 2
cos
sin
Bài 2: Tính các tích phân sau
1) ∫ 2 −x2dx 2) ∫ x2+4
dx
3) ∫ x2−9
dx
Trang 4B Ph ơng pháp 3: Nguyên hàm từng phần
Tính ∫f(x)dx Nếu biểu thức dới dấu tích phân f(x)dx thờng có dạng:
f(x)dx P(x)exdx P(x)sinxdx P(x)cosxdx P(x)lnxdx exsinxdx …
(Với P(x) là đa thức )
Khi đó ta đã đa ∫f(x)dx về dạng ∫udv
Sau đó ta áp dụng công thức sau: ∫udv =u.v−∫vdu (*): Công thức nguyên hàm từng phần
Quy tắc tính:
1 Viết f(x)dx dới dạng udv
2 Tính u’ và v (v = ∫dv )
3 Thay vào (*)
Ví dụ áp dụng
Tính ∫( 2x+ 1 ) sinxdx Đặt u = 2x + 1 => du = (2x + 1)dx = 2.dx
dv = sinxdx => v = -cosx
Do đó áp dụng công thức (*) ta có:
∫( 2x+ 1 ) sinxdx= − ( 2x+ 1 ) cosx+∫2 cosxdx= − ( 2x+ 1 ) cosx+ 2 sinx+C
Bài tập áp dung: Tìm nguyên hàm các hàm số sau đây
1) f(x) = x2.cosx 2) f(x) = (x + 2).sin2x 3) f(x) = (-x + 3)ex
4) f(x) = (x2 + 1)e-x 5) f(x) = (3x – 6)lnx 6 ) f(x) = (-x2 + 1)lnx 7) f(x) = ex.cosx 8) f(x) = e2xsinx
