DeDa thi thu DH lan 2 THPT Phan Dang Luu mon TOAN

[r]

SỞ GD & ðT NGHỆ AN

TRƯỜNG THPT PHAN ðĂNG LƯU

ðÁP ÁN VÀ BIỂU ðIỂM CHẤM ðỀ THI THỬ ðH LẦN II

NĂM HỌC 2009-2010 MÔN: TOÁN

Ta có

Lim y− Lim y+

Lim y Lim y

→−∞ = →+∞ = Do ñó, ñường thẳng x = 1 là tiệm cận ñứng;

ñường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của ñồ thị hàm số ñã cho

0.25

Ta có

2

1

x

−

− ℝ Do ñó hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (−∞; 1) và (1; +∞ ) Bảng biến thiên:

x −∞ 1 +∞

y

1

+∞

1

0.25

ðồ thị: ðồ thị hàm số cắt trục tung tại ñiểm

(0; -1), cắt truch hoành tại ñiểm (-1; 0)

ðồ thị hàm số nhận ñiểm I(1; 1) làm tâm

ñối xứng

0.25

2

1

1

x

hai ñiểm phân biệt A, B khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt Ta có

2

∆ = + + > ∀ ∈ℝ Vậy ∀ ∈m ℝ, thì ñồ thị hàm số ñã cho cắt ñường thẳng y=2x+m tại hai

ñiểm phân biệt A, B

0.25

Khi ñó hoành ñộ x A , x B của hai ñiểm A, B thỏa mãn 3

2

A B

m

x +x = −

Tiếp tuyến tại A có hệ số góc 2 2

A A

k x

−

=

− ; Tiếp tuyến tại B có hệ số góc 2

2

B B

k x

−

=

Tiếp tuyến tại A song song với tiếp tuyến tại B khi và chỉ khi k A =k B (**) Vì xA khác xB nên

−∞

Câu II 2.0

2

2

0.25

0

0 2

3 cos

3

30

2

75

3 cos

2

A

A

B C

kh ng tm A











= =





Vậy A = 300; B = C = 750

0.25

2 Giải bất phương trình x+ 1− + ≤x 1 24 x(1−x) (1+4 x(1−x) )(1) 1.0 Tập xác ñịnh: [0; 1] Khi ñó

4

(1)⇔ x+ 1− + −x 1 2 x 1− −x 2 x 1−x ≤ ⇔0 x− 1−x + x− 1−x ≤0 0.5

2

x



1 2

 

 

Câu III Tính tích phân 3( ) ( )

2

6

s inx 1 tan

π

π

3

6

2

π

π

−

3

I = −

0.5

Gọi I, J lần lượt là trung ñiểm của A’B’, A’C’ Vì ñáy ñều và lăng trụ ñứng nên C’I⊥(ABB’A’) Do ñó góc C’BI bằng 300 0.25 Suy ra BC’ = a 3; BB’ = a 2; BJ = 11

2

a

(vì A’C’⊥(BMJB’)) 0.25 Trong hình chữ nhật BMJB’ kẻ MH ⊥ BJ suy ra MH ⊥ (BA’C’) Do ñó

ñường cao của tứ diện MNBC’ là MH = 6

11

2

a

Vậy thể tích tứ diện MNBC’ là

3

a

V = MH dt NBC =

0.25

(Thí sinh có thể tính: V MNBC’ = 1/2 V MBA’C’ = 1/6 BM.dt(MA’C’) = … =

3

6 24

a

)

A

B

C

A’

B’

C’

M

N

I

J

Câu V (Quyền tác giả của bài toán thuộc về Th.s Phan Văn Cường – Tổ trưởng tổ Toán - Tin

Trường THPT Phan ðăng Lưu – Nghệ An) 1.0

x +y − x+ + x +y + x+ = ⇔ x− +y + x+ +y =

Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, ñặt ñiểm M(x; y), F1(-1; 0), F2(1; 0) thì ñiều kiện (*) trở thành: MF1 + MF2 = 6

0.25

Suy ra tập hợp ñiểm M thỏa mãn ñiều kiện bài toán là ñường Elip (E):

1

Ta có P = y2 – 334x2 + 2010x – 2015 = x2 + y2 – 335(x – 3)2 +1000

Suy ra P ≤ x2 + y2 + 1000

khi

3

3 0

0 1

x

x y

y



 =



=







Vậy MaxP = 1009 khi x = 3, y = 0

0.5

Do B thuộc ñường thẳng: x = 0 nên B(0; t) Vì D ñối xứng với B qua I(1; 1) nên D(2; 2 – t) Mặt khác D

Vì ABCD là hình thoi nên tan

2

IB IA

α =

, kết hợp với giả thiết tan 1

α =

Mặt khác ñiểm A năm trên ñường trung trực của ñoạn BD nên A(1; t) (t > 0) Kết hợp IA = 2 suy ra A(1; 3) 0.25 Suy ra C(1; -1) Vậy phương trình các ñường thẳng AB, BC lần lượt là: 2x – y + 1 = 0; 2x + y – 1 = 0 0.25

Vì tam giác OAB là tam giác vuông tại O nên tâm ñường tròn ñi qua 3 ñiểm O, A, B là 0; 2; 2

Do ñó tâm mặt cầu ñi qua 3 ñiểm O, A, B nằm trên ñường thẳng : 2

2 2 2

x t

z



 =





=







=





0.5

Gọi I là tâm mặt cầu cầm tìm IE ngắn nhất khi và chỉ khi I là hình chiếu vuông góc của E trên d

Từ ñó tìm ñược 2; 2; 2

 , R = IO = 5 Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:

− + −  + −  =

0.5

Số cách chọn ngẫu nhiên 5 học sinh trong 45 học sinh của lớp 12A là C455 =1221795 Do ñó số phần tử

Gọi A là biến cố ‘trong 5 học sinh ñược chọn, có ít nhất một học sinh là cán sự lớp’ Ta có số phần tử của biến cố A là: n A( )=C455 −C425 =371091(Có thể tính bằng cách khác: n A( )=C C13 424 +C C32 423 +C C33 422 ) 0.25

Do ñó xác suất của biến cố A là ( ) ( ) 371091 30, 3726075%

( ) 1221795

n A

P A

n

1 1.0

Gọi I là tâm ñường tròn cần tìm Vì I∈d1nên I(1 + t; t) Gọi H là hình chiếu của I trên d 2 suy ra H là

trung ñiểm của AB Do ñó

2 2

2 4

AB

Mặt khác IH = d(I; d 2) = t−1 Suy ra t = 3 hoặc t = -1 Do ñó I(4; 3) hoặc I(0; -1) 0.5

Phương trình ñường tròn (S) là: (x – 4)2 + (y – 3)2 = 8 hoặc x2 + (y + 1)2 = 8 0.25

Gọi u a b c d( ; ; )



(ðiều kiện: a 2 + b 2 + c 2 > 0) là véc tơ chỉ phương của ñường thẳng d Vì d ⊂( )P nên

d P

u n = (Trong ñó n P(1; 0;1)



là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P))

ðiều ñó tương ñương với a + c = 0 (1)

0.25

Mặt khác ñường thẳng d tạo với ñường thẳng ∆ một góc 600 suy ra 0

os60

d

d

u u c

∆

∆

=

 

  (Trong ñó

(1; 1; 0)

u∆ − là véc tơ chỉ phương của ñường thẳng ∆) ðiều ñó tương ñương với

a 2 + b 2 – c 2 – 4ab = 0 (2)

0.25

Từ (1) và (2) ta thấy a khác 0, nên chọn a = 1 suy ra c = -1 và b = 0 hoặc b = 4 0.25

Vậy phương trình ñường thẳng d cần tìm là

1 1

y

= +





=



 = −



hoặc

1

1 4

= +





= +



 = −



0.25

Câu VIIb (Quyền tác giả của bài toán thuộc về Th.s Phan Văn Cường – Tổ trưởng tổ Toán - Tin

Trường THPT Phan ðăng Lưu – Nghệ An) 1.0

ðặt z1 = x1 + y1i; z2 = x2 + y2i (x1, x2, y1, y2 là các số thực) ( ) (2 )2

z − − = ⇔i x − + y − = Do ñó tập hợp ñiểm M biểu diễn số phức z1 là ñường tròn (C1): ( ) (2 )2

z + − = ⇔i x + + y − = Do ñó tập hợp ñiểm N biểu diễn số phức z2 là ñường tròn (C2):

( ) (2 )2

z −z = x −x + y −y = MN

MN nhỏ nhất khi và chỉ khi M(0; 1), N(-1; 1) Vậy

hai số phức cần tìm là z1 = i; z2 = -1 + i

0.5

H

1

y

x -2 -1 O 1

Sở GD & ĐT Nghệ An

Trường THPT Phan Đăng Lưu

Đề thi thử đại học lần II Năm học 2009 – 2010

Môn thi: Toán

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

Phần chung cho tất cả thí sinh (7 điểm)

Cõu I (2 ủiểm) Cho hàm số 1

1

x y x

+

=

ư , cú ủồ thị (C)

1 Khảo sỏt và vẽ ủồ thị hàm số ủó cho

2 Tỡm tham số m ủể ủường thẳng y = 2x + m cắt ủồ thị (C) tại hai ủiểm phõn biệt A, B sao cho tiếp tuyến tại A,

B của ủồ thị (C) song song với nhau

Cõu II (2 ủiểm) 1 Tớnh cỏc gúc A, B, C của tam giỏc ABC Biết rằng cos2A + 3 (cos2B + cos2C) + 5

2 = 0

2 Giải bất phương trỡnh (ẩn x∈ℝ): x+ 1ư + ≤x 1 24 x(1ưx) (1+4 x(1ưx) )

Cõu III (1 ủiểm) Tớnh tớch phõn 3( ) ( )

2

6

s inx 1 tan x dx

π

π

+

Cõu IV (1 ủiểm) Cho hỡnh lăng trụ ABC.A’B’C’ cú ủỏy ABC là tam giỏc ủều cạnh a và AA’⊥(ABC) Gúc giữa ủường thẳng BC’ và mặt phẳng (ABB’A’) bằng 300 Gọi M, N lần lượt là trung ủiểm của AC, A’B Tớnh thể tớch

tứ diện MNBC’

Cõu V (1 ủiểm) Cho x, y là hai số thực thay ủổi thỏa món x2+y2ư2x+ +1 x2+y2+2x+ =1 6 Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức P = y2 – 334x2 + 2010x – 2015

PHẦN RIấNG (3 ủiểm) Thớ sinh chỉ ủược làm một trong hai phần (A hoặc B)

A Theo ch ương trỡnh Chuẩn

Cõu VIa (2 ủiểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ tọa ủộ Oxy, cho hỡnh thoi ABCD cú giao ủiểm hai ủường chộo là I(1; 1), cỏc ủiểm

B, D lần lượt thuộc cỏc ủường thẳng cú phương trỡnh x = 0 và x – 2y = 0 Gọi α là gúc BAD Viết phương trỡnh cỏc ủường thẳng AB và BC, biết rằng tan 1

α =

và ủiểm A cú tung ủộ là số dương

2 Trong khụng gian với hệ tọa ủộ Oxyz, cho 3 ủiểm A(0; 2; 0 ,) (B 0; 0; 2 ,) (E 2; 0; 2) Trong tất cả cỏc

mặt cầu ủi qua 3 ủiểm A, B và gốc tọa ủộ O; Hóy viết phương trỡnh mặt cầu cú tõm cỏch E một ủoạn ngắn nhất

Cõu VIIa (1 ủiểm) Lớp 12A Trường THPT Phan ðăng Lưu cú 45 học sinh, trong ủú cú 3 học sinh là ban cỏn sự

của lớp (lớp trưởng, lớp phú, bớ thư chi ủoàn) Thầy giỏo chọn ngẫu nhiờn 5 học sinh trong lớp ủể ủi lao ủộng Tớnh xỏc suất ủể 5 học sinh ủược chọn cú ớt nhất một học sinh là cỏn sự lớp

B Theo ch ương trỡnh Nõng cao

Cõu VIb (2 ủiểm)

a Trong mặt phẳng với hệ tọa ủộ Oxy, cho hai ủường thẳng d1: x 1 t, d2:x 2 0

y t

= +



ư =



=

ủường trũn (S) cú tõm nằm trờn ủường thẳng d 1, bỏn kớnh R=2 2và cắt ủường thẳng d 2 tại 2 ủiểm A, B thỏa món AB = 4

b Trong khụng gian với hệ tọa ủộ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + z – 1 = 0, ủiểm M(1; 1; 0) và ủường thẳng

1

z

=





∆  = ư

 =



Lập phương trỡnh ủường thẳng d ủi qua ủiểm M, nằm trong mặt phẳng (P) và tạo với ủường

thẳng ∆ một gúc 600

Cõu VIIb (1 ủiểm) Trong tất cả cỏc số phức z z thỏa món , z ư ư =1 i z + ư =2 i 1 Hóy tỡm hai số phức z z ,

sao cho z1−z2 nhỏ nhất

-Hết -