Dành cho tất cả các thí sinh.. Tính khoảng cách giữa các đường thẳng AB và SM theo a.. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A PHẦN RIÊNG 3 điểm.. Thí sinh chỉ làm một trong hai phần A hoặ
Trang 1TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 2
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2 – NĂM HỌC 2010-2011 MÔN TOÁN (Khối A - B - D) - Thời gian làm bài: 180 phút
PHẦN CHUNG (7 điểm) Dành cho tất cả các thí sinh.
Câu I (2 điểm). Cho hàm số y x 1
x m
−
= + (1)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m= 1
2 Tìm các giá trị của tham số m sao cho đường thẳng (d): y x= + 2 cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A và B
sao cho AB=2 2.
Câu II (2 điểm)
1 Giải phương trình lượng giác:4sin sin sin 4 3.cos cos cos 2 2
x π +x π −x− x x+π x+ π =
2 Giải hệ phương trình:
2 2
Câu III (1 điểm) Tính tích phân sau:
3
2 0
cos cos sin
1 cos
x
=
+
∫
Câu IV (1 điểm).
Cho hình thoi ABCD cạnh a, góc · BAD= 60 0 Gọi G là trọng tâm tam giác ABD, SG⊥(ABCD) và 6
3
a
Gọi M là trung điểm CD
1 Tính thể tích khối chóp S.ABMD theo a.
2 Tính khoảng cách giữa các đường thẳng AB và SM theo a.
Câu V (1 điểm) Cho các số thực dương x y z, , thỏa mãn x y z+ + = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A
PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh chỉ làm một trong hai phần A hoặc B.
A Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2 điểm)
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình cạnh AB: x− 2y− = 1 0, đường chéo
BD: x− 7y+ 14 0 = và đường chéo AC đi qua điểm (2;1) E Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật.
2 Trong không gian Oxyz cho các đường thẳng 1 2
a Chứng minh rằng hai đường thẳng đó chéo nhau và vuông góc với nhau.
b Viết phương trình đường d cắt cả hai đường thẳng d d đồng thời song song với đường thẳng 1, 2
:
− .
Câu VII.a (1 điểm)
Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện z+ 2i = − +z 1 i và 1
2
+ − + là một số thuần ảo.
B Theo chương trình Nâng cao.
Câu VI.b (2 điểm)
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho elip ( ) : 2 2 1
16 9
E + = và đường thẳng : 3d x+ 4y− = 12 0 Chứng minh rằng
đường thẳng d cắt elip (E) tại hai điểm A, B phân biệt Tìm điểm C∈ ( )E sao cho ABC∆ có diện tích bằng 6.
2 Trong không gian Oxyz cho các đường thẳng 1: 2 4
:
− .
a Chứng minh rằng d d1 , 2 chéo nhau Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng đó.
b Gọi AB là đường vuông góc chung của d1 và d2 (A d B d∈ 1, ∈ 2) Viết phương trình mặt cầu đường kính AB.
Câu VII.b (1 điểm) Giải hệ phương trình:
log ( ) log ( )
2 2
1
2
Chú ý: - Thí sinh thi khối D không phải làm câu IV.2 và câu V.
Hết
Trang 2TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 2
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2
I (1 đ) 1
Với m=1ta được hàm số 1
1
x y x
−
=
1/ TXĐ: D R= \{ }−1
2/ Sự biến thiên:
1
x y
x
−
+ ⇒ đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y=1.
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
⇒ đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x= −1
- Chiều biến thiên:
2
( 1)
x
Hàm số không có cực trị
- Bảng biến thiên
x −∞ − 1 +∞
'
y + +
y
+∞
1
1
−∞
3/ Đồ thị:
- Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm (1;0), cắt trục Oy tại điểm (0; 1) −
0.25 đ
0.25 đ
0.5 đ
2
(1 đ)
- Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và đồ thị hàm số (1):
2
1
2
x
x
≠ −
− = + ⇔
- Đường thẳng d cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A, B phân biệt khi và chỉ khi PT (*) có hai nghiệm phân biệt khác m−
2
- Khi đó gọi x x1 , 2 là các nghiệm của PT (*), ta có 1 2
1 2
+ = − +
( ; 2), ( ; 2)
0.25 đ
0.25 đ
Trang 3Suy ra AB2 =2(x1−x2)2 =2 ( x1+x2)2−4x x1 2=2(m2−6m−3)
7
m
m
= −
- Kết hợp với điều kiện (**) ta được m=7 là giá trị cần tìm
0.25 đ 0.25 đ
II (1 đ) 1
Giải phương trình:
2
x π +x π −x− x x+π x+ π=
2
x= π +k π k∈
x= π +k π k∈
0.25 đ 0.25 đ 0.25 đ
0.25 đ
2
(1 đ)
Giải hệ PT:
2
2
* Nếu x=0thì hệ (I)
2
2
y
* Nếu x≠0 thì chia cả hai vế của cả hai PT trong hệ cho x ta được hệ tương đương
- Đặt
2
1
y
x
+
3 1
2 1
u v
=
=
- Với
2
2
2
x
10 3
x y
=
- Với
2
2
2
x
- Vậy hệ ban đầu có 4 nghiệm ( ; ) (2; 1) , (10; 3) , (1; 1) , (13; 5)x y = − − .
0.25 đ
0.25 đ
0.25 đ
0.25 đ
III (1 đ) Tính tích phân:
Chú ý: - Thí sinh thi khối D không phải làm câu IV.2 và câu V.
Trang 4M G
D
C B
A
3
2 0
1 cos
x
=
+
∫
2
.cos
- Tính
0
.cos
π
0
π
0
.sin
1 cos
x
π
= +
∫
Đặt x= − ⇒π t dx= −dt
Đổi cận :
π
2
Đặt t =cosx⇒ = −dt sin x dx
Đổi cận:
1 2 1
2 1
dt K
t
π
−
⇒ =
+
∫ , đặt t= tanu⇒ = +dt (1 tan 2u du)
Đổi cận:
u
4
π
−
4
π
4 2
4
(1 tan )
u du
u
π π
−
+
+
Vậy
2
2 4
I =π −
0.25 đ
0.25 đ
0.25 đ
0.25 đ
IV
(1 đ) (0.5 đ) 1
* Tính thể
Trang 5tích S.ABMD.
- Nhận thấy: SG là chiều cao của khối chóp S.ABMD, 6
3
a
Do ABCD là hình thoi cạnh a, · BAD=600⇒ ∆ABD và BCD∆ là các tam giác đều
cạnh a, M là trung điểm CD
∆
.
8
S ABMD
a
0.25 đ
0.25 đ
2
(0.5 đ)
* Tính khoảng cách giữa AB và SM:
- Nhận thấy: AB CD// ⇒AB SCD//( ), màSM ⊂(SCD)
2
2 0
SCM
1 3
SCM
V h
S∆
=
Mà
:
h
2
a
0.25 đ
0.25 đ
V
(1 đ) - Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
3
Tương tự cho 2 hạng tử còn lại, ta được:
A
- Sử dụng BĐT AM-GM để đánh giá mẫu số, ta có:
0.25 đ
Chú ý: - Thí sinh thi khối D không phải làm câu IV.2 và câu V.
Trang 62 2 2 2 2 2
2
A
A
3
3
x y z xyz
Vậy min
3
1 2
0.25 đ
0.25 đ
0.25 đ
VI.a (1 đ) 1
* Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật:
- Ta có: B AB BD= ∩ suy ra tọa độ B là nghiệm hệ:
(7; 3)
B
- Giả sử A=(2a+1; )a ∈AB: 2 2− y− =1 0; D=(7d−14; )d ∈BD x: −7y+ =14 0
a
d a
=
uuur uuur uuur uuur
Lại có: BCuuur=(x C−7; y C −3) Mà ABCD là hình chữ nhật nên AD BCuuur uuur=
( 4; 9 2 )
- Mặt khác điểm (2;1)E ∈AC⇒uuur uuurEA EC, cùng phương
2
0
a
Vậy A=(1; 0), B=(7; 3), C=(6; 5), D=(0; 0) là các đỉnh của hình chữ nhật cần tìm.
0.25 đ
0,25 đ
0.25 đ
0.25 đ
1
Đường thẳng d đi qua điểm 1 M1 =(0; 1;0)− , có vectơ chỉ phương là uur1=(1; 2; 1) Đường thẳng d đi qua điểm 2 M2 = −(1; 1; 4), có vectơ chỉ phương là uuur2 = −(1; 2;3)
a/ Ta có u uur uur1, 2=(8; 2; 4), − − M Muuuuuur1 2 =(1; 0; 4)⇒u uur uur uuuuuur1, 2.M M1 2 = − ≠8 0
1, 2
d d
Lại có u uur uur1 2 = − + = ⇒ ⊥1 4 3 0 d1 d2 Vậy d , 1 d chéo và vuông góc với nhau.2
b/ Gọi M = ∩d d N1, = ∩ ⇒d d2 M = − +( ; 1 2 ; ), t t t N = + − −(1 s; 1 2 ; 4 3 )s + s
⇒uuuur= + − − − + − là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d.
Lại có ur=(1; 4; 2)− là vectơ chỉ phương của ∆,
0.25 đ 0.25 đ 0,25 đ
Trang 7do đó //d ∆ ⇒ur cùng phương với MNuuuur , 0 2 0
s t
u MN
− + =
r uuuur r
0
(2;3; 2) 2
s
M t
=
=
:
0.25 đ
VII.a
(1 đ)
* Tìm số phức z
z a bi a b R
+ = + +
i
thuần ảo khi và chỉ khi a a( + − −1) (b 2)(b− = ⇔1) 0 4b2+ − =3b 1 0
Vậy có hai số phức cần tìm: z= −2 i và 7 1
4 4
0,25 đ 0,25 đ
0,25 đ 0,25 đ
VI.b 1
(1 đ)
* Chứng minh đường thẳng d cắt (E) tại 2 điểm
- Xét hệ PT giao điểm
2 2
4, 0 1
16 9
0, 3
+ − =
là các
giao điểm của d và (E).
- Gọi
2 2
0 0
0 0
5
0 0
0 0
ABC
0 0
- Từ (1) và (2) ta được PT 2
2y −12y +27 0= , PT này vô nghiệm
3
2
Vậy có hai điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
2 2; 3
2
3
2 2;
2
0,25 đ
0.25 đ
0.25 đ
0.25 đ
2
(1 đ)
:
− . 1
d đi qua điểm M1=(0; 2; 4)− , có vectơ chỉ phương là uur1 =(1; -1; 2)
2
d đi qua điểm M2 = −( 8;6;10), có vectơ chỉ phương là uuur2 =(2;1; 1)−
a/ u uur uur1, 2= −( 1;5;3), M Muuuuuur1 2 = −( 8; 4;14)⇒u uur uur uuuuuur1, 2.M M1 2 =70 0≠ Suy ra d và 1 d chéo nhau.2
1 2 1 2
1 2
1 2
35 ,
d d d
u u
ur uur uuuuuur
ur uur
b/ Ta có A d B d∈ 1, ∈ ⇒ =2 A ( ; 2t − − +t; 4 2 ), t B= − +( 8 2 ;6s +s;10−s)
0.25 đ
0.25 đ
0.25 đ
Chú ý: - Thí sinh thi khối D không phải làm câu IV.2 và câu V.
Trang 8Do AB là đường vuông góc chung nên 1 1
2
t
uuur ur uuur ur uuur uur uuur uur (2;0;0), (0;10;6)
(x−1) + −(y 5) + −(z 3) =35
0.25 đ
VII.b
Giải hệ PT:
log ( ) log ( )
2 2
4 2 2 (1)
1 log (4 4 ) log log ( 3 ) (2)
2
- ĐK: x>0,y>0 Đặt t=2log ( ) 3 xy >0, PT (1) trở thành 2
3
2
t
= −
Thay vào PT (2) ta được PT 4 2 362 1 4 4 9
2
2
3
6
x
=
3 3
6 6
2
y x
=
.
Vậy hệ có 2 nghiệm là ( ) 6
3; 3 , 6;
2
0.25 đ 0.25 đ
0.25 đ
0.25 đ
Lưu ý: - Các cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa của câu đó.
- Câu IV phải vẽ hình, nếu không vẽ hoặc vẽ sai cơ bản thì không chấm
- Thí sinh thi khối D thì câu I.1 cho 1.5 điểm; câu II.1 cho 1.5 đ; câu II.2 cho 1.5 đ
