Viết 1 phương trình tiếp tuyến của C tại M biết tiếp tuyến đó vuông góc với IM.. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa đường thẳng AC và đường thẳng SB.. Theo chương
Trang 1SỞ GD&ĐT THANH HÓA
TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 2
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)
Câu 1 (2 điểm)
Cho hàm số: 2
1
x y x
có đồ thị là (C)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2 Gọi I là giao điểm 2 tiệm cận của (C), M là điểm thuộc (C) có hoành độ lớn hơn Viết 1
phương trình tiếp tuyến của (C) tại M biết tiếp tuyến đó vuông góc với IM
Câu 2 (2 điểm)
1 Giải phương trình:
3
2 sin 2 sin 1
cos
x
2 Giải bất phương trình: 2 2
3 x1 2x3 1 3x4
Câu 3 (1 điểm) Tính tích phân:
4
2
6
cos ln(1 sin ) sin
x
Câu 4 (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O; tam giác SBD đều cạnh 2a ,
tam giác SAC vuông tại S có SC a 3; góc giữa mp(SBD) và mặt đáy bằng 600 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa đường thẳng AC và đường thẳng SB
Câu 5 (1 điểm) Cho các số thực dương a b c, , thỏa mãn: a b c 12 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
S
II PHẦN RIÊNG (3 điểm): Thí sinh chỉ làm một trong hai phần A hoặc B
A Theo chương trình Chuẩn
Câu 6.a (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích bằng 144 Gọi
điểmM(2;1) là trung điểm của đoạn AB; đường phân giác trong góc A có phương trình AD x: y 3 0
Đường thẳng AC tạo với đường thẳng AD góc mà cos 4
5
Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết đỉnh B có tung độ dương
Câu 7.a (1 điểm) Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( ) : 2 P xy2z và các đường thẳng 0
Viết phương trình đường thẳng nằm trong mp(P), vuông
góc với d và cắt 1 d 2
Câu 8.a (1 điểm) Tính z iz biết z là số phức thỏa mãn: (z2)(z1) là số thuần ảo và z 3
B Theo chương trình Nâng cao
Câu 6.b (1 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn ( ) :C x2 y24x6y và đường 9 0 thẳng d x: y 1 0 Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông ngoại tiếp đường tròn (C) biết rằng đỉnh A thuộc đường thẳng d và có hoành độ dương
Câu 7.b (1 điểm) Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng : 1 2
d
và mặt phẳng
(P): xy z 3 0 Gọi M là giao điểm của đường thẳng d và mp(P) Viết phương trình đường thẳng nằm trong mp(P), vuông góc với đường thẳng d và khoảng cách từ điểm M đến bằng 42
Câu 8.b (1 điểm) Giải phương trình: log2x x.( 1)2log2x.log (2 x2x) 2 0
- Thí sinh thi khối D không phải làm câu 5
- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2 – NĂM HỌC 2012-2013
MÔN: TOÁN – Khối A, A 1 , B, D
Thời gian làm bài: 180 phút
Trang 2ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
1 Khảo sát và vẽ (C): 2
1
x y x
* TXĐ: DR\ 1
* Sự biến thiên:
- Giới hạn: lim lim 2 1
1
x y
x
tiệm cận ngang là đường thẳng y 1
tiệm cận đứng là đường thẳng x 1
- Chiều biến thiên: ' 3 2 0
y x
hàm số đồng biến trên TXĐ D
- Bảng biến thiên:
'
y
y
1
1
* Đồ thị: - Đồ thị hàm số đi qua điểm (0; 2) , (2; 0), ( 2; 4) , ( 4;3) và đối xứng qua
điểm I ( 1;1)
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
1
2 Viết phương trình tiếp tuyến…
- Giao điểm của 2 tiệm cận là I ( 1;1)
1
a
a
, suy ra phương trình tiếp tuyến tại M là:
2
a
3 1;
( 1)
u
a
1
IM a
a
- Tiếp tuyến vuông góc với IM khi và chỉ khi 0 1 9 3 0
( 1)
a
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Trang 34 1 3 1 3
(do a 1)
Vậy phương trình tiếp tuyến là: yx 2 2 3
0,25đ
1 Giải phương trình lượng giác:
3
cos
x
2
2
2
PT(1) cos 2 sin 2 sin 1 2 cos sin 1
2 cos cos sin 1 2 sin cos (cos sin ) 0
cos sin 2 cos (cos sin ) cos sin 1 0
cos sin 2 cos 1 2 sin cos cos si
cos sin cos 2 sin 2 cos sin 0
cos 2 sin 2 cos sin 0 sin 2 cos 2 sin cos
tan 1
x
x
2 2 2
- Kết hợp điều kiện ta được 2 họ nghiệm: , 2 ,
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
2
2 Giải bất phương trình: 2 2
3 x1 2x3 1 3x4 (1)
(1)9 x1 6x9 1 3x4 3x3 6x9 1 3x4 (2)
- Đặt t 3x4 (t0)3xt2 , BPT (2) trở thành: 4
1
4
3
0
x x
x
- Vậy BPT ban đầu có tập nghiệm là: 4; 1 0;
3
T
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
3
Tính tích phân:
cos ln(1 sin ) cos ln(1 sin )
6
Trang 4- Tính
4
2
6
ln(1 sin ) sin
x
x
2
1 sin cot sin
x dx
dv
x
2
4
6
4
6
3 ln ln
x
K
- Tính
4
6
x x
0,25đ
0,25đ
0,25đ
4
* Tính thể tích…
- Trong mp(SAC) dựng SH AC tại H
- Do SBD đều nên SOBD , lại do ABCD là hình thoi nên ACBD
- Vì SBD đều có cạnh 2aSOa 3 và SOBD
60
COBDSOC là góc giữa mp(SBD) và mp(ABCD)
a
SCSOa SOC SOC là tam giác đều
2
.
ABCD
a
* Tính khoảng cách giữa SB và AC
0,25đ
0,25đ
I
S
H
O
D
A
Trang 5- Gọi I là trung điểm SD OI//SBmp(IAC) //SB
- Ta thấy: I là trung điểm SD nên ( ; ( )) 1 ( ; ( ))
2
d I ABCD d S ABCD ;
Lại thấy:
3
ADC ABCD I ADC S ABCD
a
- Lại có: CD2CO2OD2 3a2a2 4a2
OI OC
2
13
4
3
I ACD D IAC IAC
.
:
D IAC IAC
h S
Vậy V S ABCD. a3 3 và ( ; ) 3
13
a
0,25đ
0,25đ
5
- Đặt x a y, b z, cx y z, , 0, x2y2z2 12
và
3 6
3 6
3 6
1 2 1
2 1
z x
yz
y z
xy
x S
- Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
2 1
1 ) 1
)(
1 ( 2 1
2 x3 x xx2 x xx2 x2 ;
dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x2
- Tương tự: 2 1y3 y22, 2 1z3 z22;
các dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi y2, z2
- Áp dụng các kết quả trên và giả thiết ta được:
2 5
2
S
x y z
2
1 2
2
x
Tương tự suy ra
) (
2 ) (
) (
3 12 ) (
3 3
3
z y x z
y x z y x z
y x z y
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Trang 6Suy ra
5
96 5
) (
8 ) (
5
2 2 2
2 2 2 2
z y x
z y x
5
S x yz ab c
6.a
* Gọi M’ là điểm đối xứng với M qua AD
'
M AC
+ Ta có pt MM' :x y 1 0
+ Gọi IMM'ADI ( 1; 2)
+ Do I là trung điểm MM'M ( 4; 5)
* Đường thẳng AD có vtpt là n (1;1)
+ Giả sử đường thẳng AC có vtpt là
2 2
n a b a b
+ Theo giả thiết suy ra:
1
7
b a
+ Với a7b, chọn b 1 a7 pt AC: 7xy330
- Điểm M(2;1) là trung điểm của ABB9; 0 (loại) + Với b7a, chọn a 1 b7pt AC x: 7y390
- Điểm M(2;1) là trung điểm của ABB1;8 (thỏa mãn đk)
48
10 2 và pt : 7 15 0 ( '; )
5 2
Lại vì M’ nằm giữa A, C nên AC3AM'C ( 18; 3) Vậy A 3; 6 , B 1;8, C ( 18; 3) là các điểm cần tìm
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
7.a
- Ta thấy: mp( )P có vectơ pháp tuyến là n (2; 1; 2)
; Đường thẳng d1 có vectơ chỉ phương là: u 1 (1;3; 2)
- Gọi 2
1
0
x
x y z
z
- Giả sử đường thẳng có vectơ chỉ phương là u
+ Vì
( )P u n
nên có thể chọn un u , 1 ( 8; 2; 7)
+ Lại do ( )P và cắt d 2 đi qua A (1; 2; 0)
Vậy phương trình đường thẳng : 1 2
x y z
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
8.a
- Giả sử za bi , ( ,a bR)z a bi và z a2b2
(z2)(z1) (a2)bi (a1)bi (a2)(a1)b 3bi là số
0,25đ
A
M’
M
I
D
Trang 7thuần ảo khi và chỉ khi (a2)(a1)b 0a b a 2 0 (1) + Mặt khác: z 3 a2b2 3a2b2 (2) 3
+ Từ (1) và (2) ta được a1, b 2 1 2
2
2
z i z
Vậy z i z 2 2 hoặc z i z 2 2
0,25đ
0,25đ
0,25đ
6.b
- Đường tròn (C) có tâm I (2; 3) , bán kinh R 2
- Vì đỉnh Ad x: y 1 0A( ;a a 1) với a 0
- Vì đường tròn (C) nội tiếp hình vuông ABCD nên tâm của đường tròn (C) cũng là tâm
IAR IA a
+ Vì I là trung điểm ACC(0; 1)
Đường thẳng BDAC tại I pt BD x: y 5 0
- Lại thấy các đỉnh B và D là giao điểm của đường thẳng BD và đường tròn ngoại tiếp
hình vuông ABCD suy ra tọa độ B, D là nghiệm của hệ phương trình:
4 1
(0; 5), (4; 1)
5
x y
y
Vậy các đỉnh của hình vuông là: A(4; 5), B(4; 1), C(0; 1), D(0; 5)
hoặc A(4; 5), B(0; 5), C(0; 1), D(4; 1)
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
7.b
- Vì M d( )P M (0; 1; 2)
- Mp(P) có vectơ pháp tuyến là: n (1;1;1)
,đường thẳng d có vectơ chỉ phương là:
(2;1; 1)
u
Do đường thẳng cần tìm nằm trong mp(P) và vuông góc với đường thẳng d nên đường thẳng có vectơ chỉ phương là: u1n u, ( 2;3; 1)
- Gọi N x y z( ; ; ) là hình chiếu vuông góc của M trên , suy ra MN( ;x y1;z2)
+ Theo giả thiết suy ra:
1
(4;0; 7)
( 4; 2;3)
42
N
N
MN
- Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán:
:
:
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
8.b
* Giải PT: log2x x.( 1)2log2x.log (2 x2x) 2 0 (1)
- ĐK: x 1
2
2 log ( ) log log log ( ) 2 0
x x
x
0,25đ
Trang 8
2
2
2 log ( ) 1 log log ( ) 1 0
1
2 0
2 1
1 4
4
x
x x
x
x
- Kết hợp điều kiện ta thấy PT(1) có duy nhất một nghiệm: x 2
0,25đ
0,25đ
0,25đ
* Chú ý: - Thí sinh giải cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa
- Câu hình học không gian (câu 4), nếu thí sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không chấm điểm
- Thí sinh thi khối D không phải làm câu 5, điểm của câu đó được tính vào câu 1 (mỗi ý 0,5 điểm)
