Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.. Gọi M là một điểm trên đồ thị C, tiếp tuyến tại M cắt các tiệm cận của C tại A, B.. Chứng minh rằng diện tích tam giác ABI I là giao củ
Trang 1TRƯỜNG THPT NGUYỄN HUỆ ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2 NĂM HỌC 2012- 2013
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)
Câu I: (2.0 điểm) Cho hàm số y = 2x+4
x-1 có đồ thị (C).
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2 Gọi M là một điểm trên đồ thị (C), tiếp tuyến tại M cắt các tiệm cận của (C) tại A, B Chứng minh rằng diện tích tam giác ABI (I là giao của hai tiệm cận) không phụ thuộc vào vị trí của M
Câu II: (3.0 điểm)
1 Giải hệ phương trình:
2 2
2
2 1
xy
x y
x y
x y x y
+ + =
+ = −
2 Giải phương trình: 2 sin2
(x-4
π
) = 2sin2x - tanx
3 Tính tích phân: I =
4
2 4
sinx
x
1 x x d
π
π
−∫ + +
Câu III: (2.0 điểm)
1 Cho tập hợp A= {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}, từ A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau, trong đó phải có chữ số 0 và 3
2 Cho lăng trụ ABC A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a, góc tạo bởi cạnh bên và đáy là 300 Hình chiếu
H của A trên (A’B’C’) thuộc đường thẳng B’C’ Tính khoảng cách giữa AA’ và B’C’ theo a
II PHẦN RIÊNG (3 điểm) THÍ SINH CHỌN MỘT TRONG HAI PHẦN SAU:
1 Theo chương trình chuẩn
Câu IVa: (2.0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác cân ABC tại A, có trọng tâm G( 4 1;
3 3), phương trình đường thẳng BC là: x - 2y - 4 = 0, đường thẳng BG: 7x - 4y - 8 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x + 4z – 4 = 0 Lập phương trình mặt phẳng (P) song song với (Q): x + 2y – 2z + 2013 = 0 và cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có đường kính bằng 4
Câu Va: (1.0 điểm) Giải phương trình sau trên tập số phức: z2+ =z 0
2 Theo chương trình nâng cao
Câu IVb: (2.0 điểm)
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn có phương trình (C): (x-1)2 + (y+2)2 = 9 và đường thẳng d: x + y + m = 0 Tìm m để trên d có duy nhất một điểm A mà từ đó có thể kẻ được 2 tiếp tuyến AB,
AC với đường tròn (C) (B, C là hai tiếp điểm) sao cho tam giác ABC vuông
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d 2 1
− − và hai điểm A(1;-1;2), B(3 ;- 4;-2).Tìm điểm I trên đường thẳng d sao cho IA +IB đạt giá trị nhỏ nhất
Câu Vb: (1.0 điểm) Giải phương trình sau trên tập số phức: 4 3 2 1 0
2
z
z − +z + + =z
- hết
-(Thí sinh không được sử dụng tài liệu, giám thị không giải thích gì thêm!)
Họ và tên thí sinh: , số báo danh:
Trang 2ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
I
Cho hàm số 2 4
1
x y x
+
=
−
1
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1,00 điểm)
2
1
a
a
+
Tiếp tuyến tại M có phương trình:
1 1
a
a a
−
−
Giao điểm với tiệm cận đứng x = 1 là 2 10
1;
1
a A
a
+
Giao điểm với tiệm cận ngang y = 2 là B a ( 2 − 1;2 )
Giao hai tiệm cận I(1; 2)
a
−
Suy ra đpcm
0.25
0.25
0.25 0.25
II
1 Giải hệ …(1 điểm)
( )
2 2
2
2
1 1
0 2
xy
x y
+
( )
( )
2
2 2
x y
+ =
⇔
0.5
Dễ thấy (4) vô nghiệm vì x+y>0
Thế (3) vào (2) ta được x2 − = y 1
1
0.5
2 Giải phương trình….(1 điểm)
Đk: cos x ≠ 0(*)
x
0.25
Trang 3( ) 2
cos x sin 2 cos x x 2sin cos x x sinx cos x sinx sin 2 cos x x sinx 0
cos 0
4
x
≠
3
2
1 2 2
sin
1
x
Vỡ hàm số y = 2
1 x+ sinx là hàm số lẻ nờn I1 = 0
Tớnh: I2 = 2( 4)
4
π −
Vậy : I = 2( 4)
4
π −
0.25x4
III
1
-Gọi số cần tỡm là abcde a ( ≠ 0 )
-Tỡm số cỏc số cú 5 chữ số khỏc nhau mà cú mặt 0 và 3 khụng xột đến vị trớ a
Xếp 0 và 3 vào 5 vị trớ cú: 2
5
A cỏch
3 vị trớ cũn lại cú A43cỏch
Suy ra cú A A52 43 số
-Tỡm số cỏc số cú 5 chữ số khỏc nhau mà cú mặt 0 và 3 với a = 0
Xếp 3 cú 4 cỏch
3 vị trớ cũn lại cú 3
4
A cỏch Suy ra cú 3
4
4.A số Vậy số cỏc số cần tỡm tmycbt là: 2 3
5 4
A A - 3
4
4.A = 384
0.25
0.25 0.25 0.25
2
Do AH ⊥(A B C' ' ') nên góc ∠AA H' là góc giữa AA’ và (A’ B’C’), theo giả thiết thì góc ∠AA H'
bằng 300 Xét tam giác vuông AHA’ có AA’ = a, góc ∠AA H' =300 ' 3
2
a
A H
⇒ = Do tam giác A’
B’C’là tam giác đều cạnh a, H thuộc B’C’ và ' 3
2
a
A H = nên A’H vuông góc với B’C’ Mặt khác ' '
AH ⊥B C nên B C' '⊥(AA H' )
Kẻ đờng cao HK của tam giác AA’H thì HK chính là khoảng cách giữa AA’ và B’C’
A’
C
C’
B’ K
H
Trang 4Ta có AA’.HK = A’H.AH ' . ' 3
4
A H AH a HK
AA
IVa
1
(0; 2)
Gọi M là trung điểm của BC thỡ M nằm trờn đường thẳng qua G và vuụng gúc với BC
Ta cú: M là trung điểm BC nờn C(4;0)
0,25
3
AG= AM
uuur uuuur
nờn A(0;3)
0.25
2
+ (S) cú tõm J( 1 , 0 , − 2 ) bỏn kớnh R = 3
+ (P) cú phương trỡnh dạng : x+ 2y− 2z+D = 0
+ (P) cắt (S) theo đường trũn cú bk r = 2 nờn d( J , (P) ) = R2 −r2 = 5
3
) 2 (
2 0 2 1
= +
−
−
−
−
=
+
−
=
↔
5 3 5
5 3 5
D D
+ KL : Cú 2 mặt phẳng : (P1): x+ 2y− 2z− 5 + 3 5 = 0và (P2) : x+ 2y− 2z− 5 − 3 5 = 0
0.25x4
Va
z = x + iy ( ,x y R∈ ), z2 + z = ⇔0 x2−y2+ x2+y2 +2xyi=0 0.25
0
xy
=
⇔ − + + =
0 0 0 1 0 1
x y x y x y
=
=
=
⇔ =
=
= −
0.25
Vb
1 Từ phơng trình chính tắc của đờng tròn ta có tâm I(1;-2), R = 3, từ A kẻ đợc 2 tiếp tuyến AB, AC
tới đờng tròn và AB⊥ AC=> tứ giác ABIC là hình vuông cạnh bằng 3⇒IA=3 2 0,5
=
−
=
⇔
=
−
⇔
=
−
⇔
7
5 6
1 2
3 2
1
m
m m
m
0,5
2
Vộc tơ chỉ phương của hai đường thẳng lần lượt là: uur1(4; - 6; - 8) và uuur2( - 6; 9; 12)
+) M( 2; 0; - 1) ∈ d1; M( 2; 0; - 1) ∉ d2
Vậy d1 // d2
0,25đ
*) Vộc tơ phỏp tuyến của mp (P) là nr = ( 5; - 22; 19); (P): 5x – 22y + 19z + 9 = 0
AB
uuur
= ( 2; - 3; - 4); AB // d1 Gọi A1 là điểm đối xứng của A qua d1 Ta cú: IA + IB = IA1 + IB ≥ A1B
IA + IB đạt giỏ trị nhỏ nhất bằng A1B
Khi A1, I, B thẳng hàng ⇒ I là giao điểm của A1B và d
Do AB // d1 nờn I là trung điểm của A1B
*) Gọi H là hỡnh chiếu của A lờn d1 Tỡm được H 36 33 15; ;
29 29 29
0,25đ
Trang 5A’ đối xứng với A qua H nên A’ 43 95; ; 28
29 29 29
I là trung điểm của A’B suy ra I 65; 21; 43
29 58 29
− −
0,25đ
Vb
Nhận xét z=0 không là nghiệm của phương trình (1) vậy z 0≠
Chia hai vế PT (1) cho z2 ta được : ( 0
2
1 )
1 ( )
1 2
z
z z
Đặt
t=z-z
1 Khi đó 2 = 2 + 12 −2
z z
2
2 + = +
z z
Phương trình (2) có dạng : t2-t+ 0
2
5
= (3) 2
9 9 2
5 4
1− =− = i
=
∆
PT (3) có 2 nghiệm t=
2
3
1+ i
,t=
2
3
1− i
0.25đ
Với t=
2
3
1+ i
2
3 1
=
− +
−
⇔
+
=
z
Có ∆=(1+3i)2 +16=8+6i=9+6i+i2 =(3+i)2 PT(4) có 2 nghiệm : z= + i + +i =1+i
4
) 3 ( ) 3 1 (
,z=
2
1 4
) 3 ( ) 3 1 ( + i − +i = i−
0.25đ
Với t=
2
3
1− i
2
3 1
z
Có ∆=(1−3i)2 +16=8−6i=9−6i+i2 =(3−i)2 PT(4) có 2 nghiệm : z= − i + −i =1−i
4
) 3 ( ) 3 1 (
,z=
2
1 4
) 3 ( ) 3 1 ( − i − −i = −i−
Vậy PT đã cho có 4 nghiệm : z=1+i; z=1-i ; z=
2
1
−
i
; z=
2
1
−
−i
0.25đ