Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm m[r]

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

1 Kiến thức cần nhớ

- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục Ox và hai đường thẳng

,

xa xb ab :

 

b

a

- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x ,yg x  và hai đường thẳng

,

xa xb ab :

   

b

a

2 Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tính diện tích hình phẳng nếu biết hai đường giới hạn

Phương pháp:

- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục Ox và hai đường thẳng

,

xa xb ab được tính bởi công thức:

 

b

a

- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x ,yg x  và hai đường thẳng

,

xa xb ab được tính bởi công thức:

   

b

a

Dạng 2: Tính diện tích hình phẳng nếu chưa biết hai đường giới hạn

Phương pháp:

- Bước 1: Giải phương trình f x g x  tìm nghiệm

- Bước 2: Phá dấu giá trị tuyệt đối của biểu thức f x   g x

- Bước 3: Tính diện tích hình phẳng theo công thức tích phân:

   

b

a

Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 1

2

x y x





 và các trục tọa độ Chọn kết quả

A 3ln 6

B 3ln3

2

C 3ln3 2

2

D.3ln3 1

2

Giải:

Đồ thị hàm số cắt Ox tại 1; 0, cắt Oy tại 0; 1

2

  

 

Hàm số 1

2

x y x





3

2

x



1 2

x y x





 nghịch biến trên 1;0

Do đó y   0, x  1;0

Do đó

1

1

3

2

Chọn D

3 Bài tập

Câu 1: Diện tích phẳng giới hạn bởi:

Câu 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số và là:

Giá trị là:

Câu 3: Hình phẳng giới hạn bởi có diện tích là:

Câu 4: Diện tích hình giới hạn bởi , tiếp tuyến của (P) tại và trục Oy là

2

x 1; x2; y0; yx 2x

4

3

8 3

 C : ysin x  D : y x   2

2ab

33

8 2

yx, yx 1

2

1 6

1 3

  3

2

3

8 3

4 3

Câu 5: Cho hình phẳng (S) giới hạn bởi Ox, Oy, y = cosx và Diện tích hình phẳng (S) là:

Câu 6: Cho parabôn và đường thẳng Tìm m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi và đạt giá trị nhỏ nhất?

Câu 7: Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đường và bằng (đvdt)

D 2 Câu 8: Diện tích hình phẳng giởi hạn bởi các đường cong và

Câu 9: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường Vậy S bằng bao nhiêu ?

Câu 10: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi , và trục Ox là

Câu 11: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi , là:

Câu 12: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

D 2 Câu 13: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

Câu 14: Diện t ch hình phẳng giới hạn ởi và ( với ) có ết quả ằng

2

y  x 1



2



4





  2

P : yx 1  d : ymx 2

 P  d 1

2

3 4

2

yx 3x yx 32

3

16 3

8 3

2

yx 2x y x 6 95

6

265 6

125 6

65 6 3

yx 3x ; yx ; x 2 ; x2

2

y  x 4x 3 x0, x3 1

3

2 3

10 3

8 3 3

yx ; y4x x0, x3

2

  



 8

3

2 3

4 3

yx , y4x , y4 4

3

8 3 2

x y a

a

A B C D

Câu 15: Diện t ch hình phẳng giới hạn ởi và ằng

Câu 16: Hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường và trục hoành thì diện tích của hình

phẳng (H) là:

Câu 17: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và đường thẳng là:

Câu 18: Giả sử hình phẳng tạo bởi các đường cong có diện tích là còn hình

phẳng tạo bởi đường cong có diện tích là , còn hình phẳng tạo bởi đường

cong có diện tích là S3 Lựa chọn phương án đúng

Câu 19: Diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi đường cong ; đường thẳng và trục hoành là:

Câu 20: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và là:

ĐÁP ÁN

1D, 2D, 3B, 4C, 5D, 6D, 7A, 8C, 9B, 10D, 11D, 12D, 13D, 14A, 15A, 16D, 17B, 18A, 19A, 20C

2

a

3

2 a

2 a 2

2 a 4

23

3

3 2

55 12

1 4

y x , y 6 x

20

3

25 3

16 3

22 3 2

yx y3x2 1

4

1 6

1 5

1 3

y | f (x) |; y 0; xa; xb S2

y f (x); y0; xa; xb

y x2 yx 19

6

7 3

10 3 2

yx  x 2 y2x4 7

2

5 2

9 2

11 2

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm,

giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên

danh tiếng

I Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và

Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán : Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn

II Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành t ch học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc

Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn ph , ho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí