Hướng dẫn học sinh khai thác ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng và giải một số bài toán thực tế

TÀI LIỆU THAM KHẢO...34 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THCS&THPT THỐNG NHẤT SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHAI THÁC ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲN

MỤC LỤC

Trang

A.MỞ ĐẦU 02

1- Lý do chọn đề tài 02

2- Mục đích của đề tài 02

3- Phạm vi và đối tượng của đề tài 02

4- Phương pháp nghiên cứu 02

5- Đóng góp của đề tài……… 03

B NỘI DUNG 03

1- Cơ sở lý thuyết 03

2- Nội dung đề tài 04

C KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ: 33

D TÀI LIỆU THAM KHẢO 34

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THCS&THPT THỐNG NHẤT

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHAI THÁC ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

VÀ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN THỰC TẾ

Người thực hiện: Nguyễn Văn Phúc Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn SKKN thuộc môn: Toán

THANH HOÁ NĂM 2019

1 PHẦN MỞ ĐẦU.

1.1 Lý do chọn đề tài:

Trong chương trình phổ thông, môn Toán có vai trò, vị trí và ý nghĩa hết sứcquan trọng Nó giúp học sinh tiếp thu những tri thức và rèn luyện những kĩ năngtoán học cần thiết, đồng thời góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung như phântích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa; rèn luyện những đức tính cẩn thận,chính xác, tính kỉ luật, tính sáng tạo Học Toán còn giúp học sinh có tư duylogic, rành mạch, điều này sẽ tạo tiền đề cho việc tiếp cận với các lĩnh vực, cáctình huống trong thực tế trở nên dễ dàng hơn

Trong chương trình sách giáo khoa môn Toán do được viết đã lâu và chưađược chỉnh lý lại nên phần khai thác ứng dụng thực tiễn ở các bài học còn hạnchế, bên cạnh đó đa số giáo viên khi dạy còn nặng về lý thuyết và tính toán, chỉtruyền thụ kiến thức một chiều,chưa chú trọng đến khai thác ứng dụng thực tiễn

Do đó, nhiều học sinh khi học đã đặt câu hỏi: “ Học nội dung này để làm gì ?”bởi các em chưa thấy hoặc không thấy hết được những ứng dụng thực tế củaToán học đẫn đến việc học Toán đối với các em trở nên gượng ép, nhàm chán

Vì vậy trong quá trình lên lớp, ngoài việc khuyến khích học sinh tính tích cực,chủ động và sáng tạo nắm chắc kiến thức cơ bản, rèn luyện kĩ năng giải toán thìgiáo viên phải là người khơi gợi học sinh vận dụng được các bài toán đó để giảiquyêt những vấn đề thực tế Điều đó cũng phù hợp với mục đích đổi mớiphương pháp dạy học trong nhà trường giúp học sinh hứng thú hơn từ đó việchọc sẽ nhẹ nhàng và đạt hiệu quả tốt hơn

Tích phân là một trong những phần quan trọng của bộ môn Giải tích lớp 12.Các bài toán tích phân nói chung và bài toán ứng dụng tích phân nói riêng rất đadạng và phong phú, thường có mặt trong kỳ thi THPT Quốc gia Những năm gầnđây Bộ GD&ĐT triển khai hình thức thi trắc nghiệm đối với bộ môn Toán, vìvậy những bài toán về tích phân và ứng dụng tích phân để giải bài toán thực tế làcác bài toán hay song cũng gây không ít khó khăn cho học sinh kể cả với họcsinh khá- giỏi Từ những thực tế nhiều năm giảng dạy môn Toán khối 12 và ônthi THPT Quốc gia tôi đã xây dựng thành hệ thống các bài toán được áp dụngtrong khi dạy chủ đề: Tích phân và ứng dụng của tích phân Trong phạm vi sáng

kiến kinh nghiệm tôi xin trình bày một phần trong chuyên đề với đề tài: “Hướng dẫn học sinh khai thác ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng và giải một số bài toán thực tế” Đề tai nhằm xây dựng cho học sinh kiến thức

lôgic, đầy đủ về ứng dụng tích phân, giúp học sinh phát triển tư duy sáng tạo,biết vận dụng vào các bài toán thực tế, đáp ứng yêu cầu đổi mới dạy và học mônToán cũng như những đổi mới của kỳ thi THPT Quốc gia

1.2 Mục đích nghiên cứu:

Giúp học sinh hình thành phương pháp và rèn luyện kỹ năng giải toán, bồi

dưỡng năng lực tư duy sáng tạo Từ đó nâng cao khả năng giải toán phần “Tích

phân và ứng dụng của tích phân” của môn Toán Giải tích lớp 12

Giúp học sinh nâng cao hứng thú học tập môn Toán, vận dụng kiến thức

đã học để giải quyết các bài toán thực tế

1

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

- Các dạng toán về ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng.

- Các bài toán thực tế liên quan đến ứng dụng của tích phân

- Học sinh lớp 12A1 năm học 2017-2018 và học sinh lớp 12A1 năm học2018-2019 của trường THCS&THPT Thống Nhất – Yên Định-Thanh Hóa trước

và sau khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm để phân tích, đánh giá

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu: Những tài liệu có liên quan đến đề tài:Sách giáo khoa Giải tích lớp 12 Cơ bản và Nâng cao, các tài liệu tham khảo

- Phương pháp phân tích và tổng hợp các bài tập nhằm xây dựng một hệthống bài tập đi từ dễ đến khó

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Thường xuyên dự giờ, kiểm tra đánhgiá để biết được mức độ hiểu biết và khả năng giải toán ứng dụng tích phân củahọc sinh và cách giải quyết vấn đề của đồng nghiệp, từ đó để đánh giá chính xáckết quả phương pháp của mình

2 PHẦN NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận.

Trong chương trình Toán Giải tích lớp 12 học sinh được học chuyên đề Tíchphân và Ứng dụng của tích phân trong hình học đây là chuyên đề hay và khóđồng thời có nhiều bài toán thực tế có thể vận dụng kiến thức phần này để giảiquyết Vì vậy để phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh cũngnhư rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn, nhất là trongquá trình ôn luyện chuẩn bị kiến thức, kỹ năng cho học sinh tham gia kỳ thiTHPT Quốc gia yêu cầu giáo viên phải hệ thống kiến thức, xây dựng hệ thốngbài tập để giảng dạy chuyên đề này cẩn thận chu đáo

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Qua nhiều năm giảng dạy môn Toán và theo dõi quá trình học tập của họcsinh, tôi nhận thấy nếu trong quá trình giảng dạy giáo viên không hệ thống kiếnthức, không xây dựng hệ thống bài tập rõ ràng, không khai ứng dụng Toán họctrong thực tế thì khó tạo hứng thú học tập cho học sinh đẫn đến các em thấy

“ngại” học Toán, thường chỉ biết áp dụng công thức một cách máy móc và các

em không hiểu học chương này, chương kia ví dụ như chương 3- Giải tích lớp12: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng để làm gì? Thậm chí, có em đã họcxong chương trình THPT nhưng vẫn không thể tính được diện tích ngôi nhà haydiện tích mảnh đất của gia đình mình, bởi vì trong quá trình học tập học sinh chỉbiết giải các bài toán trong sách vở mà chưa thấy mối liên hệ giữa kiến thứcđược học với thực tế đời sống Đặc biệt là ở phần Tích phân và Ứng dụng củatích phân đây là phần có nhiều ứng dụng thực tiễn Dẫn đến hiệu quả học tập, kếtquả các bài kiểm tra, bài thi không cao

Với thực trạng ấy để giúp học sinh học và làm bài thi tốt hơn ở phần Tíchphân và ứng dụng của tích phân, theo tôi giáo viên cần hệ thống kiến thức, xâydựng hệ thống bài tập hợp lý từ đó hình thành cho học sinh khả năng tư duy theo

a

b x y

các dạng toán Việc rèn luyện tư duy qua quá trình giải toán sẽ giúp học sinh

hoàn thiện kỹ năng định hướng tìm lời giải bài toán Trong sáng kiến kinh

nghiệm này tôi sẽ nêu ra một số dạng toán của: “ Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng và giải một số bài toán thực tế”.

2.3 Giải quyết vấn đề.

Để thuận lợi cho quá trình học tập cũng như hệ thống hoá kiến thức của học sinh

tôi chia các bài toán liên quan đến: “Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng và giải một số bài toán thực tế” thành hai phần như sau:

Phần 1: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

1 Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành.

Cho y = f(x) liên tục , nhận giá trị không âm x[a, b] Diện tícha, b] Diện tích

hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x); trục hoành

và hai đường thẳng x = a và đường thẳng x = b là

Tổng quát: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

y = f(x) liên tục, trục hoành và hai đường thẳng x = a; x =

Bài 3:Tính diện tích hình phẳng giới hạn bới các đồ thị hàm số yx 1e2x, trụchoành và các đường thẳng x0;x2.

a

dx x g x

x x x

x x x

Lời giải

.Xét phương trình hoành độ giao điểm ta có

2 2

Bài 6: (trích đề tham khảo kỳ thi THPT quốc gia năm 2018)

Cho hình ( )H là hình phẳng giới hạn bởi parabol y 3x2, cung tròn có phương trình y 4  x2 (với 0  x 2) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ)

Ta có phương trình hoành độ giao điểm

y  x ( với  2  x 2) và trục hoành (phần tô đậm tronghình vẽ) Gọi S là diện tích của, biết S a b 3

Phương trình hoành độ giao điểm của parabol và nửa đường elip là:

2

1 0

a b c

3 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi ba đường cong tự cắt khép kín

Tìm diện tích hình phẳng S giới hạn bởi : 







) ( :

) (

) ( :

) (

) ( :

) (

3 1

x h y

C

x g y

C

x f y

Tiếp tuyến của  P tại A và B lần lượt là y 2x 4; y 4x 11.

Giao điểm của hai tiếp tuyến là 5; 1

5 1

Bài 3: Cho hình phẳng  H giới hạn bởi đồ thị hàm số 1

2

x y x





 và hai đườngthẳng y 2, y x 1 (phần tô đậm trong hình vẽ Tính diện tích của hình phẳng

3 5

x

y

h x ( ) = 27 x

B A

y  chia hình tròn có tâm là gốc tọa độ, bán kính bằng 2 2

thành hai phần có diện tích là S và 1 S , trong đó 2 S1S2 Tìm tỉ số 1

2

.

S S

S  S S   

Bài 2: (trích đề thi minh họa kỳ thi

THPT Quốc gia năm 2017)

Cho hình thang cong  H giới hạn bởi các

Gọi ABCDlà hình chữ nhật với AB nằm trên trục Ox, A  1;0 và C a ; a

Nhận thấy đồ thị hàm số y x cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 0 và điqua C a ; a Do đó nó chia hình chữ nhật ABCD ra làm 2 phần là có diện tíchlần lượt là S ,1 S Gọi 2 S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 1 y x

và trục Ox, x0,x a và S là diện tích phần còn lại Ta lần lượt tính 2 S ,1 S 2

Phần 2 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN THỰC TẾ

1 Bài toán liên quan họa tiết, hoa văn của các vật trang trí

Bài 1: Một hoa văn trang trí được tạo ra từ một miếng bìa mỏng hình vuông

cạnh bằng 10 cm bằng cách khoét đi bốn phần bằng nhau có hình dạng parabolnhư hình bên Biết AB 5cm, OH 4 cm Tính diện tích bề mặt hoa văn đó

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi   16 2 16

:

25 5

P y x  x, trục hoành và các đường thẳng x 0, x 5 là:

3

S  S cm2.Diện tích của hình vuông là: S  hv 100 cm 2

Bài 2: Sàn của một viện bảo tàng mỹ thuật được lát bằng những viên gạch hình

vuông cạnh 40 cm như hình bên Biết rằng người thiết kế đã sử dụng các đườngcong có phương trình 4x2 y2 và 4(x  1) 3 y2 để tạo hoa văn cho viên gạch.Tính diện tích phần được tô đậm

Lời giải

Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ

Gọi S là diện tích phần tô đậm, vì tính chất đối xứng nên ta có

Bài 3 Trong Công viên Toán học có những mảnh đất mang hình dáng khác

nhau Mỗi mảnh được trồng một loài hoa và nó được tạo thành bởi một trongnhững đường cong đẹp trong toán học Ở đó có một mảnh đất mang tênBernoulli, nó được tạo thành từ đường Lemmiscate có phương trình trong hệ tọa

độ Oxy là 16y2 x225  x2 như hình vẽ bên.Tính diện tích S của mảnh đấtBernoulli biết rằng mỗi đơn vị trong hệ tọa độ Oxy tương ứng với chiều dài 1

y x  x Góc phần tư thứ nhất

2 1

Bài 4 : Cổng trường Đại học Bách Khoa Hà Nội có hình dạng Parabol, chiều

rộng 8 m, chiều cao 12,5 m Tính diện tích của cổng

Lời giải

Xét hệ trục tọa độ như hình vẽ mà trục đối xứng của Parabol trùng với trục tung,trục hoành trùng với đường tiếp đất của cổng.Khi đó Parabol có phương trình dạng y ax 2c.Vì  P đi qua đỉnh I0;12,5 nên ta có c 12,5

 P cắt trục hoành tại hai điểm A  4;0 và B4;0 nên ta có 0 16a c 

2 Bài toán liên quan đến tính toán kinh tế.

Bài 1: (trích đề tham khảo năm 2017 của Bộ

GD-ĐT) Ông An có một mảnh vườn hình

Elip có độ dài trục lớn bằng 16m và độ dài trục

bé bằng10m Ông muốn trồng hoa trên một dải

đất rộng 8m và nhận trục bé của elip làm trục

đối xứng (như hình vẽ) Biết kinh phí để trồng

hoa là 100.000 đồng/1m2 Hỏi ông An cần bao

nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số

5 64 8 1

17

8m

Biết các kích thước cho như hình vẽ và kinh phí để trồng hoa và trồng cỏ NhậtBản tương ứng là 150.000 đồng/ m2 và 100.000 đồng/m2 Hỏi cần bao nhiêu tiền

để trồng hoa và trồng cỏ Nhật Bản trên trong khuôn viên đó? (Số tiền được làmtròn đến hàng đơn vị)

Lời giải

.Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ Khi đó phương trình nửa đường tròn là

Phần diện tích của hình phẳng giới hạn bởi  P và nửa đường tròn.( phần tômàu).Ta có công thức 1 2 

Bài 3: Ông An muốn làm một cái cổng sắt có hình dạng và kích thước như hình

vẽ bên, biết đường cong phía trên là một Parabol Giá 1 m 2 của cổng sắt là

(làm tròn đến hàng nghìn)

c c

y x  Diện tích S của chiếc cổng sắt là diện tích phần hình phẳng giới bởi đồ thị hàm

2 25

y x  , trục hoành và hai đường thẳng x 2,5, x 2,5

Bài 4: (trích đề tham khảo năm 2019 của Bộ GD-ĐT) Một biển quảng cáo

có dạng hình elip với bốn đỉnh A1, A2, B1, B2 như hình vẽ bên Biết chi phí sơn phần tô đậm là 200.000 đồng/ 2

m và phần còn lại là 100.000 đồng/ 2

m Tính số tiền để sơn biển trên, biết A A 1 2 8 m, B B 1 2 6 m và tứ giác MNPQ là hình chữ nhật có MQ 3 m

Diện tích phần tô màu là S S E  S  8   6 3.

Số tiền để sơn theo yêu cầu bài toán là

Bài 5: Một công ty quảng cáo X muốn làm một bức tranh trang trí hình MNEIF

ở chính giữa của một bức tường hình chữ nhật ABCD có chiều cao BC 6 m,chiều dài CD 12 m(hình vẽ bên) Cho biết MNEF là hình chữ nhật cóMN 4 m;cung EIFcó hình dạng là một phần của cung parabol có đỉnhI là trung điểm củacạnh AB và đi qua hai điểm C, D Kinh phí làm bức tranh là 900.000đồng/m2.Hỏi công ty X cần bao nhiêu tiền để làm bức tranh đó

Nếu chọn hệ trục tọa độ có gốc là trung điểm O của MN, trục hoành trùng với đường thẳng MN thì parabol có phương trình là 1 2

6 6

y x  Khi đó diện tích của khung tranh là

4 m(như hình vẽ) Phần diện tích S , l S dùng để trồng hoa, phần diện tích 2 S ,3 4

S dùng để trồng cỏ (Diện tích làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) Biết kinh

phí trồng hoa là 150.000 đồng /1m2, kinh phí để trồng cỏ là 100.000 đồng/1m2.Hỏi nhà trường cần bao nhiêu tiền để trồng bồn hoa đó

Lời giải

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Parabol có hàm số dạng y ax 2 bx c có đỉnh là gốc tọa độ và đi qua điểm

2

2 2 1

 

21

Bài 7. Một sân chơi dành cho trẻ em hình chữ nhật có chiều dài 50m và chiềurộng là 30m người ta làm một con đường nằm trong sân (như hình vẽ) Biết rằngviền ngoài và viền trong của con đường là hai đường elip và chiều rộng của mặtđường là 2m Kinh phí để làm mỗi m2làm đường 500.000 đồng Tính tổng sốtiền làm con đường đó

Lời giải

Xét hệ trục tọa độ Oxy sao cho trục hoành và trục tung lần lượt là các trục đối

xứng của hình chữ nhật trong đó trục hoành dọc theo chiều dài của hình chữnhật

Gọi S là diện tích của elip  E :x22 y22 1

Diện tích con đường là 375   299   76 

Do đó số tiền đầu tư là 76 500.000 119.320.000  

Bài 8: Anh Toàn có một cái ao hình elip với độ dài trục lớn và độ dài trục bé

lần lượt là 100m và 80m Anh chia ao ra hai phần theo một đường thẳng từ mộtđỉnh của trục lớn đến một đỉnh của trục bé (Bề rộng không đáng kể) Phần rộnghơn anh nuôi cá lấy thịt, phần nhỏ anh nuôi cá giống Biết lãi nuôi cá lấy thịt vàlãi nuôi cá giống trong 1 năm lần lượt là 20.000 đồng/m2 và 40.000 đồng/m2 Hỏitrong 1 năm anh Toàn có bao nhiêu tiền lãi từ nuôi cá trong ao đã nói trên