Sử dụng công nghệ thông tin để nâng cao hiệu quả giảng dạy phần ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng giải tích lớp 12

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓATRƯỜNG THPT CẨM THỦY 1 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SỬ DỤNG CÔNG NGHỆ THÔNG TIN ĐỂ NÂNG CAO HIỆU QUẢ GIẢNG DẠY PHẦN: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT CẨM THỦY 1

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

SỬ DỤNG CÔNG NGHỆ THÔNG TIN ĐỂ NÂNG CAO HIỆU QUẢ GIẢNG DẠY PHẦN: ỨNG DỤNG CỦA

TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

- GIẢI TÍCH LỚP 12

Người thực hiện: Phạm Thị Hường Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

MỤC LỤC

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2 2.3 “Sử dụng công nghệ thông tin để nâng cao hiệu quả giảng

dạy phần: Ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng –

Giải tích lớp 12”

3

1 Mở Đầu

1.1 Lí do chọn đề tài

Trong thời đại hội nhập quốc tế hiện nay, vai trò, vị trí của ngành giáo dục hết sức quan trọng, và ngày càng được khẳng định rõ rệt Ngành giáo dục đã và đang có những đổi mới căn bản cả về nội dung và phương pháp giáo dục.Trong

đó đổi mới phương pháp phải là việc làm thường trực của giáo viên Giáo dục hiện nay không còn là thầy giảng, trò nghe và chép bài, mà là trò lĩnh hội chiếm lĩnh tri thức Nên việc ứng dụng CNTT vào trong bài giảng là một việc rất quan trọng

So với các môn học khác, đổi mới phương pháp dạy học toán có các yêu cầu riêng biệt và cụ thể Một giờ học toán tốt là một giờ học phát huy được tính tích cực , chủ động, sáng tạo của cả người dạy và người học, nhằm nâng cao tri thức, bồi dưỡng năng lực hợp tác, năng lực vận dụng tri thức vào thực tiễn, bồi dưỡng phương pháp tự học,đem lại hứng thú học tập cho học sinh Giúp học sinh không thấy nhàm chán khi tiếp cận kiến thức

Để tránh sự thụ động trong quá trình tiếp cận kiến thức, và tăng hứng thú học tập cho học sinh trong từng bài giảng, tôi mạnh dạn đưa ra một đề tài: “Sử dụng công nghệ thông tin để nâng cao hiệu quả giảng dạy phần: Ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng – Giải tích lớp 12”

1.2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu rõ phương tiện dạy học hiện đại phần mềm Graph vẽ đồ thị trên máy tính và phần mềm trình diễn Microsoft powerPoint, sử dụng phương tiện này cho phù hợp với mỗi đơn vị kiến thức của bài Ôn tập kiến thức chương III, biết áp dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng một cách thành thạo Đồng thời thông qua việc nghiên cứu này chia sẽ kinh nghiệm giảng dạy đến các đồng nghiệp và góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy của bộ môn toán

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Để thực hiện được đề tài, tôi chọn các lớp 12 mà tôi đang trực tiếp giảng dạy để thực nghiệm, đó là các lớp: 12A2, 12A3 và đối chứng đó là các lớp 12A4, 12A9

Nghiên cứu nội dung của bài 5 chương III, Sách giáo khoa Giải tích lớp 12:

“Ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng”, các phương tiện dạy học cần thiết, tình hình học sinh các lớp 12 nói trên về tinh thần, học tập, đồ dùng học tập, chất lượng học tập; nghiên các tài liệu, kiến thức có liên quan đến việc sử dụng thiết bị kĩ thuật hiện đại và máy vi tính trong dạy học

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Xuất phát từ mục tiêu của đề tài, tôi đã sử dụng phương pháp nghiên cứu sau:

- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết: Dựa trên nền tảng là sách giáo khoa 10, 11, 12, Sách giáo viên, chuẩn kiến thức và các sách tham khảo khác để xây dựng cơ sở lý thuyết, từ đó thiết kế bài dạy cho phù hợp

- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin: Nhằm nắm bắt tình hình học tập của học sinh, và phản ánh của đồng nghiệp

- Phương pháp thống kê, xử lý số liệu: Để so sánh kết quả của nhóm đối chứng và nhóm thực nghiệm

2 Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Trong chương trình sách giáo khoa Giải tích 12 có 4 chương, trong đó chương III: “Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng” là một chương rất quan trọng với học sinh lớp 12, đặc biệt là trong kỳ thi THPT quốc gia Trong chương này yêu cầu học sinh tính thành thạo được các nguyên hàm, tích phân, và ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng và thể tích của vật thể tròn xoay

Để học tốt được các vấn đề : “Ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng” học sinh phải:

- Nắm chắc kiến thức lớp 10 về nội dung: Xét dấu của một hàm số, cách vẽ một số hình phẳng như đường thẳng, đường tròn, đường e líp, đường hypebol và parabol, thành thạo công thức phá dấu giá trị tuyệt đối

- Nắm chắc kiến thức lớp 12, đặc biệt là thành thạo trong việc tính tích phân

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Trong toán học, khi tính diện tích của các hình quen thuộc như tam giác, tứ giác, ngũ giác, lục giác,… gọi chung là đa giác, học sinh đều đã biết công thức tính diện tích từ các lớp dưới Tuy nhiên, với việc tính diện tích của các hình phức tạp mà không có công thức tính cụ thể thì phải nhờ đến “Ứng dụng của tích phân” Đây là một vấn đề rất thực tế, nhưng để học tốt nó vốn không đơn giản đối với các học sinh có tư duy hình học yếu, đặc biệt là tư duy cụ thể hoá, trừu tượng hoá Việc dạy và học vấn đề này ở chương trình sách giáo khoa lớp

12 đã gặp rất nhiều khó khăn bởi nhiều nguyên nhân, trong đó yếu tố “Trực quan và thực tế” đang còn thiếu

Trong quá trình dạy học, hầu hết các em học sinh thường có cảm giác “Sợ” bài toán tính diện tích hình phẳng Khi học vấn đề này nhìn chung các em thường vận dụng công thức một cách máy móc chưa có sự phân tích, thiếu tư duy thực tế và trực quan nên các em hay bị nhầm lẫn, hoặc không giải được, đặc biệt là những bài toán cần phải có hình vẽ để “Chia nhỏ” diện tích mới tính được Thêm vào đó trong sách giáo khoa cũng như các sách tham khảo có rất ít

ví dụ minh hoạ một cách chi tiết để giúp học sinh học tập và khắc phục “Những sai lầm đó” Càng khó khăn hơn cho những học sinh có kỹ năng tính tích phân còn yếu và kỹ năng “vẽ và đọc đồ thị” còn hạn chế

Vì vậy, việc đưa các phương pháp hợp lý, có sử dung công nghệ thông tin vào bài dạy “Ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng” nhằm giúp cho học sinh 12 rèn kỹ năng tính tích phân, đặc biệt là tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối, rèn kỹ năng vẽ và đọc đồ thị của hàm số, từ đó khắc phục những khó khăn, sai lầm khi gặp bài toán tính diện tích hình phẳng Giúp học sinh phát

huy tốt kiến thức về diện tích mà học sinh đã học ở lớp dưới, thấy được tính thực tế và sự liên hệ nội tại của vấn đề này trong chương III- Sách giáo khoa Giải tích 12, học sinh sẽ cảm thấy hứng thú, thiết thực và học tốt vấn đề ứng dụng của tích phân

2.3 “Sử dụng công nghệ thông tin để nâng cao hiệu quả giảng dạy phần: Ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng – Giải tích lớp 12”

2.3.1 Nội dung của vấn đề

Nội dung của vấn đề bao gồm:

- Hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số với trục hoành

+ Công thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y

=f(x) và trục hoành

+ Các ví dụ minh họa và bài tập tương tự

- Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số

+Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số

+ Các ví dụ minh họa và bài tập tương tự

- Hình phẳng giới hạn bởi nhiều đồ thị hàm số

+Cách tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi nhiều đồ thị hàm số

+ Các ví dụ minh họa và bài tập tương tự

2.3.2 Tổ chức giải quyết vấn đề

Nội dung 1: Hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số và trục hoành

a Công thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b

Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn a; b

Khi đó hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b có diện tích là S và được tính theo công thức:





b

a

dx x f

S ( ) (1) (Sách giáo khoa 12 nâng cao- trang 164)

- Giải pháp:

Đặt ra vấn đề là phải tính tích phân (1) , muốn vậy ta phải “phá” dấu giá trị tuyệt đối Để phá dấu trị tuyệt đối ta phải nắm được công thức phá dấu giá trị tuyệt đối:

( ) ( ) ( ) 0

f x neu f x

f x

f x neu f x







Vậy ta phải xét dấu của f(x) Giáo viên giúp học sinh ôn lại cách xét dấu của biểu thức (Kiến thức lớp 10) Thường có hai cách làm như sau:

- Cách 1: Dùng định lí “Dấu của nhị thức bật nhất và dấu của tam thức bậc

hai” để xét dấu các biểu thức f(x); đôi khi phải giải các bất phương trình f(x)

≥0, f(x) ≤ 0 trên đoạn  a; b

- Cách 2: Dựa vào đồ thị của hàm số y =f(x) trên đoạn  a; b để suy ra dấu

của f(x) trên đoạn đó.

Nếu trên đoạn [a ; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía “trên” trục hoành thì

a b

x

)

(x   

Nếu trên đoạn [a ; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía “dưới” trục hoành thì f(x)   x a b

* Đặc biệt nếu f(x) không đổi dấu trên [a ; b] thì ta có :





b

a b

a

dx x f dx x f

b Các ví dụ minh họa và bài tập áp dụng

Bài toán 1:

Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y =2x+4, trục hoành, các đường thẳng x = - 2, x = 0

Giải

Diện tích S của hình phẳng trên là S  x dx







0

2

4 2

Cách 1: Phá dấu giá trị tuyệt đối

Xét dấu nhị thức bậc nhất f(x) = 2x + 4

x -∞ -2 0 +∞ f(x)=2x + 4 - 0 +  +

Từ bảng xét dấu ta thấy: 2x 4  0  x - 2;0

Do đó

0

2



Cách 2: Vẽ đồ thị hàm số : y=2x+4

y

x

f x   = 2x+4

4

-2

O 1

Hình 1

Từ hình vẽ , suy ra 2x 4  0  x - 2;0

2

0 ) 4 ( ) 4 2 ( 4

0

2

0

2





























x x dx x

dx x S

(đvdt)

Bài toán 2:

Cho hàm số y = -x2 +2x – 2 có đồ thị (C ) Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C), trục hoành và hai đường thẳng x =0 , x = 3

Giải:

Hình phẳng trên được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = -x2 +2x - 2 , trục hoành và các đường thẳng x = 0, x = 3

Diện tích S của hình phẳng trên là S  x  x dx

3

0

Cách 1: phá dấu giá trị tuyệt đối:

Xét dấu tam thức f(x) = - x 2 + 2x – 2 ,có ' 1 2 ( 1 )( 2 ) 1 2 1 0



















a=- 1 < 0

Suy ra f(x) < 0 x R

x -∞ 0 3 +∞ f(x)= -x 2 + 2x 2 2 5

-Suy ra f(x)  0  x 0;3

0

3 ) 2 3

( ) 2 2 ( 2

3

0 2 3

0

x

6 0 6 9 3

27 0 2 0 3

0 3

.

2

3

3



































Cách 2: Vẽ đồ thị hàm số : y=x2  2x 2

(C)

y

x

f x  = -x 2 +2x-2

3

-4

2 -1

Hình 2

Từ hình vẽ , suy ra 2 2 2 0 , x 0;3











 x x

3 ) 2 3

( ) 2 2 ( 2

0 2 0

x

6 0 6 9 3

27 0 2 0 3

0 3

.

2

3

3

2

3

































Bài toán 3:

Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ) của hàm số:

y = x3 –x2 + 2, trục hoành Ox và các đường thẳng x = - 1 ; x = 2

Giải:

Diện tích S của hình phẳng trên là S x x dx









2

1

2

Cách 1: phá dấu giá trị tuyệt đối:

Xét dấu tam thức f(x) = x3  x2  2, phương trình x3  x2  2=0 có 1 nghiệm

là x= -1 Ta có bảng xét dấu sau:

x -∞ -1 +∞

f(x)= -x 2 + 2x - 2 - 0 +

suy ra 3 2 2 0 , x - 1;2









 x x

1

2 ) 2 3 4 ( ) 2 (

2

3 4 2

1

2 3 2

1

2 3























x x x dx x

x dx x

x

S

12

85 2 3

1 4

1 4 3

8 4 ) 2 3

1 4

1 ( 4 3

8 4

16 ) 2 3

) 1 ( 4

) 1 ( ( 2 2 3

2

4











































(đvdt)

Cách 2: Dùng đồ thị hàm số y=x3  x2  2

y

x

f x   = x 3 -x 2+2

3 6

2 -1

4

B

Hình 3

Từ hình vẽ , suy ra 3 2 2 0 , x - 1;2









 x x

2 ) 2 3 4 ( ) 2 (

2

3 4 2

1

2 3 2

1

2 3























x x x dx x

x dx x

x

S

12

85 2 3

1 4

1 4 3

8 4 ) 2 3

1 4

1 ( 4 3

8 4

16 ) 2 3

) 1 ( 4

) 1 ( ( 2

2

3

2

4









































(đvdt)

Kinh nghiệm rút ra:

Qua 3 bài toán trên ta nhận thấy học sinh có thể mắc phải một số sai lầm

và khó khăn như sau:

- Sai lầm trong khâu phá dấu giá trị tuyệt đối nhờ việc xét dấu của biểu thức (ở cách 1)

- Khó khăn trong khâu vẽ đồ thị hàm số (ở cách 2)

Hướng khắc phục:

- Nhắc lại cho học sinh nắm được các bước xét dấu của một biểu thức.

- Nhắc lại cách vẽ đồ thị một số hàm số đã học, đặc biệt là các hàm số quen thuộc

- Dùng phương tiện dạy học hiện đại phần mềm Graph vẽ đồ thị trên máy tính và phần mềm trình diễn microsoft powerPoint để đỡ mất thời gian khi ôn lại kiến thức cho học sinh Tuy nhiên, ở cả 3 bài toán trên, khi tính 

b

a

dx x f

dấu của f(x) là không đổi trên [a ; b] Vậy nếu dấu f(x) thay đổi trên [a ; b] thì việc tính diện tích hình phẳng sẽ được thực hiện thế nào?

Ghi nhớ :

Nếu phương trình f(x) = 0 có k nghiệm phân biệt x 1 , x 2 , …, x k thuộc (a ; b) thì dấu của f(x) sẽ thay đổi trên (a; b) Nhưng trên mỗi khoảng (a; x 1 ), (x 1 ; x 2 ) , …, (x k ; b) biểu thức f(x) có dấu không đổi

Khi đó để tính tích phân 

b

a

dx x f

S ( ) ta có thể tính như sau :









b

x

x

x

x

a

b

dx x f dx

x f dx x f dx x f

2

1 1

(Sách giáo viên 12 nâng cao - trang 205)

Bài toán 4:

Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 2 có đồ thị (C ) Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ), trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 2

Giải

Trục tung có phương trình x = 0

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ) , trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 2 được tính bởi công thức :

S x  x  dx

2

2

Cách 1 :

(C)

y

x

f x  = x 3 -3x 2+2

3

2 -1

4

Hình 4

Dựa vào đồ thị , suy ra trên đoạn [ 0 ; 2 ] đồ thị (C ) cắt trục hoành tại một điểm có hoành độ x = 1

Hơn nữa x3 -3x2 + 2 ≥ 0  x  [ 0 ; 1 ] và x3 -3x2 + 2 ≤ 0 x [ 1 ; 2 ]

Do đó S x 3x 2dx (x 3x 2 )dx (x 3x2 2 )dx

1

0

2

1

3 2

3 2

0

2











































4

1 ( 2 2 2 4

2 0 2 1 4

1 1

2 ) 2 4

( 0

1 ) 2 4

2

5 2 1 4

1 4 8 4 1

4

1

















Cách 2 :







2

1

2 3 1

0

2 3 2

0

2

x S

2

5 4

5 4

5 4

5 4

5 1

2 ) 2 4

( 0

1 ) 2 4























Lưu ý: với 2 cách trên giáo viên nên cho học sinh làm theo cách 2, để tránh

được việc mất thời gian trong khâu vẽ đồ thị hàm số.Vì với một số bài toán, việc vẽ được đồ thị là rất phức tạp

Bài toán 5 Cho hàm số y = -x4 + 5x2 - 4 có đồ thị (C )

a/ Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị (C ) với trục hoành

b/Tính diện tích của hình phẳng được tô màu ở trên

Giải





































2

1 4

1 0

4

2 2

4

x

x x

x x

x

Dựa vào đồ thị ta có đồ thị (C ) cắt trục hoành tại bốn điểm có toạ độ lần lượt là ( -2 ; 0) , ( -1 ; 0) , ( 1 ; 0) , (2 ; 0)

b/ Hình phẳng trên được giới hạn bởi đồ thị (C ) ,trục hoành và hai đường thẳng x =- 2, x = 2

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ) , trục hoành và hai đường thẳng x = -2 , x = 2 được tính bởi công thức :

S x x dx x x dx x x dx



=

1

4 2

2

( x 5x 4)dx





1

4 2 2

( x 5x 4)dx





1

4 2 2

( x 5x 4)dx





22 76 22

8

15 15 15

    (đvdt)

Bài toán 6:

Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = xlnx, trục hoành, trục tung và đường thẳng x = e

Giải

Trục tung có phương trình x = 0

Diện tích S cần tìm là

1

ln

e

S x x dx Ta sẽ thực hiện việc xét dấu nhờ giải

bất phương trình xlnx >0 (ĐK: x> 0)  lnx > 0  x > 1

Vì thế:  

e e

xdx x dx x x S

1 1

ln ln

Đặt 









 

2 1 ln

2

x v dx x du xdx dv

x u

4

1 1

4 2 1

ln 2

1 2 1

ln 2 ln

2 2

2

1

2

1

2 2

1

















x xdx x x e x x d x x x e xdx e x e e

S

e e

e

(đxdt)

Bài tập tương tự :

1/ Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau :

a y = -x2 + 2 , y = 0 và hai đường thẳng x = - 1 ; x = 1

b y = ex , y = 0 , và hai đường thẳng x = 0 , x = 2

c y = x3 – 4x + 3 , y =0 , x = - 2 , x = 1

d y = x3 – x2 – 4x + 4 , y =0

e y = x4 – 5x2 + 4 , y = 0 , trục tung và đường thẳng x = 2

2/ Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau :

a y = lnx , y = 0 , x = 1 , x = e

b y =2x , y =1

c y = sinx , y = 0 , x =  2 , x