BẤT ĐẲNG THỨCI.. Biến đổi tương đương 1... Bất đẳng thức Bunhia1.. Cho a, b là hai hằng số dương.. Phân tích số 16 thành tổng của hai số dương sao cho tổng các bình phương của chúng là b
Trang 1BẤT ĐẲNG THỨC
I Biến đổi tương đương
1 CMR: ∀x y, ta có : x2 +2y2 +2xy> − −6y 10
2 CMR: ∀ ≠a 2 ta có: 2 1 33
a a >a
3 CMR: a2 + + ≥b2 4 ab+2(a b+ )
4 CMR: a b c+ + ≥ ab + bc + ca; (a≥0,b≥0,c≥0)
5 ∀a b c, , CMR: a) a2 + + ≥b2 c2 ab bc ca+ +
b) ( )2 ( )
3
ab bc ca+ + ≥ abc a b c+ +
6 Cho 0 x y z< ≤ ≤ CMR: y 1 1 1( x z) (x z) 1 1
7 CMR: a2 + + +a 1 a2 − + ≥ ∀ ∈a 1 2, a ¡
8 ∀a b c d e, , , , hãy CMR: a2 + + +b2 c2 d2 + ≥e2 a b c d e( + + + )
9 CMR: a>0,b>0 thì a b a b
b + a ≥ +
10.CMR: ∀a b, ta có
11 , ,a b c là ba cạnh của một tam giác CMR:
a a2 + + <b2 c2 2(ab bc ca+ + ) b ( )2 ( )2 ( )2 3 3 3
a b c− +b c a− +c a b+ >a + +b c
c a b c a c b 1
b+ + − − − <c a c b a
12 Các cạnh của tam giác ABC có tính chất a b c< <
CMR: a b3( 2 −c2) (+b c3 2 −a2) (+c a3 2 −b2) <0
13 Tam giác ABC có tính chất a b c≤ ≤ CMR: ( )2
9
a b c+ + ≤ bc
14 Tam giác ABC có A B C≥ ≥ Hãy CMR: a b c b a c
h + h + h ≥ h + h +h
15 Cho a b c d≥ ≥ ≥ ≥0hãy CMR:
a 2 2 2 ( )2
a − + −b c d ≥ a b c d− + −
16 Cho các số dương , , ,a b c d hãy CMR:
a b c b c d c d a d a b
a b c b c d c d a d a b
17 , ,a b c là ba cạnh của một tam giác CMR: 1 a b c 2
b c c a a b
18 a Cho ab≥1 hãy CMR: 1 2 1 2 2
1 a +1 b ≥1 ab
b Cho a≥1,b≥1,c≥1 hãy CMR: 1 3 1 3 1 3 3
1 a +1 b +1 c ≥1 abc
Trang 219 Cho a, b, c dương CMR:
a ab b b bc c c ca a
+ +
20.a CMR:
b CMR: 12 3 2 4 3+ 1 + 1 + + (n 11) n <2
+
21 a Cho k∈¥,k ≥2 hãy CMR: 13 1 1
1
k < k −k
−
b CMR: 13 13 13 13 2
1 +2 +3 + +n <
22 CMR: a) x2 +2y2 +2xy y+ + > ∀1 0; x y,
b) ( 2 2)2 ( )2
x −y ≥ xy x y− ∀x y
23 Cho x y, >0; y y( 2 + +1) (x x2 − =1) 0 Hãy CMR: x2+ y2 <1
24 Cho , ,x y z thỏa mãn x y z+ + =1 Hãy CMR: x4 + y4+ ≥z4 xyz
II Bất đẳng thức Côsi
1 Tìm GTNN của hàm số
2
f x x
x
= + +
+ với x> −2; b ( )
( )2
1 2
1
f x x
x
− với x>1;
2 Tìm max của A= −(3 x) (4− y) (2x+3y) với 0≤ ≤x 3;0≤ ≤y 4
3 Cho p≥0;q≥0 CMR: ( p+2) (q+2) ( p q+ ) ≥16pq
4 Cho , ,a b c≥0 CMR: a (a b b c c a+ ) ( + ) ( + ) ≥8abc
b ab a b( + +) bc b c( + +) ca c a( + ) ≥6abc
x y
6 Tìm min của
2 2
2
1
a
x
+
7 Tìm tập giá trị của hàm số y x 1
x
= +
8 Cho , ,a b c>0 CMR:
2
ab bc ca a b c
a b b c c a
+ +
9 ∀a b c, , CMR: a2(1+b2) (+b2 1+c2) (+c2 1+a2) ≥6abc
10 Cho a≥0 CMR: 3 a2 + 3 a ≤ +1 a
11 Cho a≥1,b≥1 CMR: a b− +1 b a− ≤1 ab
12 Cho xyz≠ 0 CMR: 12 12 12 2 92 2
x + y + z ≥ x y z
13 Cho , ,x y z≥0 CMR: xy +3 yz +5 zx ≤3x+2y+4z
Trang 314 Cho c≥2,a≥3,b≥4 Tìm max của A ab c 2 bc a 3 ca b 4
abc
=
15 Cho , ,a b c>0 CMR: a a b b c c a 6
b (a b c) 1 1 1 9
a b c
a b b c c a
d
3 2
b c c a+ +a b ≥
16 Cho , ,x y z>0;x y z+ + =1 CMR: 18
2
xyz
xy yz zx
xyz
+
17 Cho , ,a b c>0 CMR: 3 31 3 31 3 31 1
a b abc b+ c abc c+ a abc ≤ abc
18 Cho , ,a b c>0 CMR: 2 1 2 1 2 1
2
a b c
a bc b ca c ab abc
+ +
19 Cho , ,a b c>0 và a2 + + =b2 c2 1 CMR: 2 2 2 2 2 2 3 3
2
b c +c a + a b ≥
20 , ,a b c là ba cạnh của một tam giác CMR:
36
S ≤ a b c+ + b ( p a p b p c− ) ( − ) ( − ≤) abc8
c (a b c b c a c a b+ − ) ( + − ) ( + − ≤) abc d R≥2r
p a p b p c a b c
b c a c a b a b c+ + ≥
g 12 12 12 12
4r ≥ a +b +c h ab a b( + −2c) +bc b c( + −2a) +ca c a( + −2b) ≥0
21 CMR 0;
2
x π
∀ ∈ ÷ ta có: cos sinx t anx cotx 1 1 6
sinx cos
x
x
22 CMR tam giác ABC đều nếu : 2
9
ab bc ca =
23 Cho a≥0,b≥0 CMR: 3a3 +7b3≥9ab2
24 a b c, , ∈( )0;1 CMR ít nhất một trong ba BĐT sau là sai:
(1 ) 1; (1 ) 1; (1 ) 1
25 a Cho , ,a b c>0 và 1 1 1 2
1 a +1 b+1 c ≥ + + + CMR: abc≤0,125
b Cho , , ,a b c d >0 và 1 1 1 1 3
1 a +1 b+1 c +1 d ≥
1 81
abcd ≤
26 Cho , ,a b c≥0 CMR: ( ) ( ) ( ) ( )3
3
27 Cho , ,a b c>0 và 1
8
abc≤ Tìm min của P 1 1 1 1 1 1
28 Cho x x1 2 >0,x z1 1≥ y x z12, 2 2 ≥ y22 CMR: ( ) ( ) ( )2
x +x z +z ≥ y + y
Trang 429.a CMR: ( ) ( )
( 2)( 2)
1
a b ab
b Cho x≥0,y≥0 Tìm max, min của ( ) ( )
( ) (2 )2
1
x y xy P
=
30 Cho , ,a b c>0 CMR: a33 b33 c33 a b c
31 Mọi tam giác ABC hãy CMR: 3S ≤2R2(sin3A+sin3B+sin3C)
32 Tam giác ABC có R=1 CMR: sin sin sin 3
m + m + m ≥
33 Cho , ,x y z≥0 và x y z+ + ≤3
x + y + z ≤ ≤ x + y + z
34 Cho , ,x y z>0 CMR: 32 x2 23 y2 32 z2 12 12 12
x y + y z + z x ≤ x + y + z
35 Cho , ,a b c>0 CMR:
a b c
a b c
b + c + a ≥ + +
36 Cho , , ,a b c d >0 CMR:
b +c + d + a ≥a +b +c + d
HD:
b +b +b +a +a ≥b
37 Ba số , ,x y z>0 và xyz=1; CMR: 1 1 1 *
3;
n
38 CMR: ∀a a1, , , , , , ,2 a b b n 1 2 b n >0 ta có :
n 1 2 n 1 2 n ( 1 1) ( 2 2) ( )
39 Tam giác ABC nhọn có các đường cao AA BB CC và trực tâm H1, 1, 1
CMR:
6
AH BH CH
A H + B H +C H ≥
40 Cho , ,x y z>0 và 3
2
x y z+ + ≤ Tìm min của A x y x 1 1 1
x y z
= + + + + +
41 Xét PT: 2 . 1 0
2
x −a x− = có các nghiệm x x Hãy tìm min của 1, 2
( )2 2
x x
42 x, y thỏa mãn các pt: x2 +2 a x+ =9 0,(a≥3 ) y2 −2by+ =9 0,(b≥3) Tìm min của biểu thức ( )2 1 1 2
3
A x y
x y
Trang 543 Cho HPT:
1 9
x y z
xy yz zx m xyz m
+ + =
+ + =
Tìm m để hệ có nghiệm x, y, z dương
44 Giả sử x x là các nghiệm của pt 1, 2 a x 2 +bx c+ =0, 1( ) và y y là các nghiệm của pt 1, 2
( ) ( )
cy +dy a+ = ac≠ CMR: 2 2 2 2
x +x + y + y ≥
45 Cho , ,x y z dương và xyz=1 CMR: 1 x3 y3 1 y3 z3 1 z3 x3 3 3
b c c+ a+ a b≥
47 Cho , ,x y z dương và 1 1 1 4
2x y z + x 2y z + x y 2z ≤
48 Cho , ,a b c dương và 3
4
a b c+ + = CMR: 3 a+3b+ 3 b+3c + 3c+3a ≤3
49 Cho , ,a b c dương CMR: (a+1) (b+1) (a c b c+ ) ( + ≥) 16abc
50 Cho , ,a b c dương CMR: 1 2 2 2 1 1 1
2
a b c a b b c c a
a b c
51 Cho , ,x y z dương và xyz=1.Tìm min của
P
y y z z z z x x x x y y
53 Cho , ,x y z dương và x y z+ + ≤1 CMR: 2 2 2
82
54 Cho , ,x y z dương Tìm min của
3 ( 3 3) 3 ( 3 3) 3 ( 3 3)
y z x
55 Tam giác ABC có diện tích bằng 3
2 CMR:
3
a b c h h h
56 Cho , ,x y z dương và xyz=1 CMR: 2 2 2 3
y + z + x ≥
57 Cho , ,x y z dương CMR: 4 4 4 ( )
1 2
x y z
y z + z x + x y ≥ + +
58 Các số dương x, y thay đổi thỏa mãn đk: x y+ =1 Tìm min của
P
Trang 6III Bất đẳng thức Bunhia
1 Cho , ,a b c dương và a b c+ + =1 CMR: a b+ + b c+ + c a+ ≤ 6
2 Các số a, b thỏa mãn đk: 2a+3b=5 CMR: 2a2 +3b2 ≥5
3 , ,x y z thỏa mãn x2 +y2 +z2 =1 CMR: x+2y+3z ≤ 14
4 Cho x, y thỏa mãn đk: 5x+7y=20 a Tìm max của P xy=
b Tìm min của Q x= 2 + y2; R=5x2 +7y2
5.GPT:a x− +2 4− =x x2 −6x+11 b 2x− +3 5 2− x x− +2 4x− =6 0
6 Cho x2 +y2 =u2 + =v2 1 CMR: u x( − +2) (v x y+ ) ≤ 2
7 Cho abc≠0 CMR:
8 Cho a, b là hai hằng số dương x, y là hai biến số dương thỏa mãn đk: a b 1
x + =y Tìm min của P x y= +
9 Cho a b+ ≥2 CMR: a4 + ≥b4 2
10 Cho , ,x y z thỏa mãn đk: xy yz zx+ + =4 Tìm min của P x= 4+ y4 +x4
11 Cho , ,x y z thỏa mãn đk: x2 + y2 +z2 =1 CMR: 1 1
2 xy yz zx
12 Cho x≥0,y≥0,x2 + y2 =1 Tìm max, min của y= 1 2+ x + 1 2+ y
13 Biết 36x2 +16y2 =9 Tìm max, min của A y= −2x+5
14 Phân tích số 16 thành tổng của hai số dương sao cho tổng các bình phương của chúng
là bé nhất
15 CMR nếu pt: ( ) (2 ) (2 )2 2
x a+ + y b+ + +x y =c có nghiệm thì ( )2 2
3
a b+ ≤ c
16 Cho 4 sô , , ,x y z t thỏa mãn đk: 2 2 2 20
1
x y z t
x y z t
+ + + =
+ + + =
Tìm max, min của P xy yz zt tx= + + +
17 , ,a b c là ba cạnh của một tam giác CMR: a p < p a− + p b− + p c− ≤ 3p
b a2 + + ≥b2 c2 4S 3 c a4 + + ≥b4 c4 16S2
18 Trong tam giác ABC CMR: nếu a2 + ≤b2 c2 thì 0,4 0,5
c
r h
< <
19 M là điểm bất kỳ trong tam giác ABC Gọi x, y, z lần lượt là khoảng cách từ M đến các cạnh BC, CA, AB
2
a b c
R
+ +
20 Cho , ,a b c dương và ab bc ca abc+ + =
CMR: b2 2a2 a2 2c2 c2 2b2 3
21 GHPT:
1
x y z
Trang 722 GPT: a x x+ +1 3− =x 2 x2 +1 b ( )2
IV Bất đẳng thức khác
1 Cho x2 + y 2=1 Tìm max, min của ( 2 )
2
x xy P
xy y
+
=
2 Cho xy≠0;(x y xy x+ ) = 2 + y2−xy Tìm max của A 13 13
x y
3 Cho y≤0,x2 + = +x y 12 Tìm max, min của A xy x= + +2y+17
4 Cho x2 + y2 =2 Tìm max, min của P=2( x3+ y3) −3xy