lý thuyết đồ thị

trình thỏa mãn điều kiện: Mỗi chu trình có đúng một cạnh riêng, cạnh đó không nằm trong các chu trình còn lại và việc loại bỏ cạnh này không ảnh hưởng đến tính liên thông củ[r]

Bài toán cây khung nhỏ nhất

The Minimum Spanning Tree Problem

Nội dung

4.1 Cây và các tính chất cơ bản của cây

4.2 Cây khung của đồ thị

4.3 Xây dựng tập các chu trình cơ bản của đồ thị

4.4 Xây dựng cây theo chiều sâu và chiều rộng

4.5 Bài toán cây khung nhỏ nhất

Cây và rừng (Tree and Forest)

 Định nghĩa 1 Ta gọi cây là đồ thị vô hướng liên

thông không có chu trình Đồ thị không có chu

trình được gọi là rừng.

 Như vậy, rừng là đồ thị mà mỗi thành phần liên

thông của nó là một cây

T1

T3

Rừng F gồm 3 cây T1, T2,, T3

T2

VÍ DỤ

G1, G2 là cây

Các tính chất cơ bản của cây

 Định lý 1 Giả sử T=(V,E) là đồ thị vô hướng n đỉnh Khi

đó các mệnh đề sau đây là tương đương:

MĐ1: T là cây ( T liên thông và không chứa chu trình ).

MĐ2: T không chứa chu trình và có n-1 cạnh.

MĐ3: T liên thông và có n-1 cạnh.

MĐ4: T liên thông và mỗi cạnh của nó đều là cầu.

MĐ5: Hai đỉnh bất kỳcủa T được nối với nhau bởi đúng 1

đường đi đơn.

MĐ6: T không chứa chu trình nhưng hễcứthêm vào nó

một cạnh ta thu được đúng 1 chu trình.

Nội dung

4.1 Cây và các tính chất cơ bản của cây

4.2 Cây khung của đồ thị

4.3 Xây dựng tập các chu trình cơ bản của đồ thị

4.4 Xây dựng cây theo chiều sâu và chiều rộng

4.5 Bài toán cây khung nhỏ nhất

Cây khung của đồ thị

 Định nghĩa 2 Giả sử G=(V,E) là đồ thị vô hướng liên

thông Cây T=(V,F) với F E được gọi là cây khung của

G

Đồ thị G và 2 cây khung T1 và T2 của nó

T 2

T1

Số lượng cây khung của đồ thị

 Định lý sau đây cho biết số lượng cây khung

C

HH

H

HH

H

HC

C

HH

H

HC

H

HC

Cây như là các mô hình

 Khi n = 4, có đúng 2 cây không đẳng cấu, vậy có

đúng 2 đồng phân dạng C 4 H 10

C C C C

H H

H

H H

C C

H

H H

Ví dụ:

 Các cây khung của đồ thị:

abc, bcd, cda, dab,

afc, dfb, aec, deb,

aed, afb, bec, cfd,

efc, efd, efa, efb

Số cây khung là: 4 2 = 16

11

Nội dung

4.1 Cây và các tính chất cơ bản của cây

4.2 Cây khung của đồ thị

4.3 Xây dựng tập các chu trình cơ bản của đồ thị

4.4 Xây dựng cây theo chiều sâu và chiều rộng

4.5 Bài toán cây khung nhỏ nhất

Tập các chu trình cơ bản

 Định nghĩa: Giả sử G=(V,E) là đơn đồ thị vô hướng

hướng liên thông, H=(V,T) là cây khung của G

 Nếu thêm một cạnh e E\T vào cây khung H ta sẽ∈

thu được đúng 1 chu trình trong H, ký hiệu n là Ce

 Tập các chu trình: Ω= { Ce: e E\T } được gọi là∈ tập

các chu trình cơ bản của đồ thị G

Tính chất:

 Tập các chu trình cơ bản phụ thuộc vào cây khung của

đồ thị Hai cây khung khác nhau có thể cho hai tập chu

trình cơ sở khác nhau.

 Nếu một đồ thị liên thông có n đỉnh, m cạnh Khi đó cây

khung có n-1 cạnh, còn lại m-n+1 cạnh ngoài Tương

ứng với mỗi cạnh ngoài, ta có một chu trình cơ bản Vì

vậy, số chu trình cơ bản của một đồ thị liên thông là

m-n+1.

 Tập các chu trình cơ bản là một tập nhiều nhất các chu

trình thỏa mãn điều kiện: Mỗi chu trình có đúng một

cạnh riêng, cạnh đó không nằm trong các chu trình còn

lại và việc loại bỏ cạnh này không ảnh hưởng đến tính

liên thông của đồ thị và không ảnh hưởng đến các chu

trình còn lại Như vậy ta có thể bỏ tối đa m - n+1 cạnh

 Tên gọi chu trình cơ bản gắn liền với sự kiện chỉ ra

trong định lý sau đây:

thông, H=(V,T) là cây khung của nó Khi đó mọi chu trình của đồ thị G đều có thể biểu diễn như là hiệu đối xứng của một số các chu trình cơ bản.

Ý nghĩa ứng dụng

 Việc tìm tập các chu trình cơ bản giữ một vai trò

quan trọng trong vấn đề giải tích mạng điện:

Theo mỗi chu trình cơ bản của đồ thị tương

ứng với mạng điện cần phân tích ta sẽ thiết lập

được một phương trình tuyến tính theo định

luật Kirchoff: Tổng hiệu điện thế dọc theo một

mạch vòng là bằng không

Hệ thống phương trình tuyến tính thu được cho

phép tính toán hiệu điện thế trên mọi đoạn

đường dây của lưới điện

Thuật toán xây dựng tập chu trình cơ bản

 Đầu vào: Đồ thị G=(V,E) được mô tả bằng danh sách kề Ke(v), vV.

 procedure Cycle(v);

 (* Tập các chu trình cơ bản của thành phần liên thông chứa đỉnh v

Các biến d, num, STACK, Index là toàn cục *)

 if (u  STACK[d-1]) and (Index[v] > Index[u]) then

 < Ghi nhận chu trình với các đỉnh:

 STACK[d], STACK[d-1], , STACK[c], với STACK[c]=u >;

 d := d-1; end;

Thuật toán xây dựng tập chu trình cơ bản

Ví dụ:

19

Tập các chu trình cơ bản:

Nội dung

4.1 Cây và các tính chất cơ bản của cây

4.2 Cây khung của đồ thị

4.3 Xây dựng tập các chu trình cơ bản của đồ thị

4.4 Xây dựng cây theo chiều sâu và chiều rộng

4.5 Bài toán cây khung nhỏ nhất

Xây dựng cây khung

 Xây dựng theo chiều sâu

 Xây dựng theo chiều rộng

Xây dựng theo chiều sâu

/* Khai báo các biến toàn cục ChuaXet, Ke, T */

};

}

23

Xây dựng theo chiều sâu

Ví dụ: Xây dựng cây theo chiều sâu

25

Xây dựng cây theo chiều rộng/* Khai báo các biến toàn cục ChuaXet, Ke, QUEUE */

Xây dựng cây theo chiều rộng

main() /* Nhập đồthị, tạo biến Ke */{

for (v V) ∈ ChuaXet[v] = 1; /* Khởi tạo cờ cho đỉnh */

T = ; /* T là tập cạnh cây khung */ ∅ Tree_BFS(root); /* root là đỉnh nào đó của đồ thị */

}

27

Ví dụ: Xây dựng cây theo chiều rộng

 1->2->3->4->6->5->7->8->10->9

 Cây khung của G là:

Nội dung

4.1 Cây và các tính chất cơ bản của cây

4.2 Cây khung của đồ thị

4.3 Xây dựng tập các chu trình cơ bản của đồ thị

4.4 Bài toán cây khung nhỏ nhất

BÀI TOÁN CÂY KHUNG NHỎ NHẤT

Minimum Spanning Tree (MST)

Bài toán CKNN

Bài toán: Cho đồ thị vô hướng liên thông G=(V,E) với trọng số

c(e), e  E Độ dài của cây khung là tổng trọng số trên các cạnh

của nó Cần tìm cây khung có độ dài nhỏ nhất.

1

f

d a

Bài toán cây khung nhỏ nhất

 Có thể phát biểu dưới dạng bài toán tối ưu tổ hợp:

Tìm cực tiểu

c(H) =  c(e)  min,

eT

với điều kiện H=(V,T) là cây khung của G.

Do số lượng cây khung của G là rất lớn (xem định lý

Cayley), nên không thể giải nhờ duyệt toàn bộ

Ứng dụng thực tế: Mạng truyền thông

 Công ty truyền thông AT&T cần xây dựng mạng

truyền thông kết nối n khách hàng Chi phí thực hiện kênh nối i và j là cij Hỏi chi phí nhỏ nhất để thực hiện việc kết nối tất cả các khách hàng là bao nhiêu?

10

Giả thiết là: Chỉ có cách kết nối duy nhất là đặt kênh nối trực tiếp giữa hai nút.

Bài toán xây dựng hệ thống đựờng sắt

 Giả sử ta muốn xây dựng một hệ thống đường sắt nối n thành phố sao cho hành khách có thể đi lại giữa hai thành phố bất kỳ đồng thời tổng chi phí xây dựng phải là nhỏ nhất

 Rõ ràng là đồ thị mà đỉnh là các thành phố còn các cạnh là các tuyến đường sắt nối các thành phố tương ứng với phương án xây dựng tối ưu phải là cây

 Vì vậy, bài toán đặt ra dẫn về bài toán tìm cây khung nhỏ nhất trên đồ thị đầy đủ n đỉnh, mỗi đỉnh tương ứng với một thành phố, với độ dài trên các cạnh chính là chi phí xây dựng đường ray nối hai thành phố tương ứng

Sơ đồ chung của các giải thuật

Generic-MST(G, c)

A = { }

//Bất biến: A là tập con các cạnh của CKNN nào đó

while A chưa là cây khung do

tìm cạnh (u, v) là an toàn đối với A

Lát cắt

 Ta gọi lát cắt (S, V  S) là một cách phân hoạch tập

đỉnh V ra thành hai tập S và V  S Ta nói cạnh e là

cạnh vượt lát cắt (S, V  S) nếu một đầu mút của nó

là thuộc S còn đầu mút còn lại thuộc V  S

 Giả sử A là một tập con các cạnh của đồ thị Lát

cắt (S,V  S) được gọi là tương thích với A nếu như

không có cạnh nào thuộc A là cạnh vượt lát cắt

Lát cắt

Lát cắt của G = (V, E) là phân hoạch V thành (S, V – S)

Ví dụ. S = {a, b, c, f}, V – S = {e, d, g}

Các cạnh (b, d), (a, d), (b, e), (c, e) là cạnh vượt lát cắt

Các cạnh còn lại không vượt lát cắt

f

d a

5

2

Lát cắt tương thích với tập cạnh

f

d a

Cạnh nhẹ

f

d a

Cạnh nhẹ là cạnh an toàn!

Định lý Giả sử (S, V – S) là lát cắt của G=(V, E) tương thích với

tập con A của E, và A là tập con của tập cạnh của CKNN của G Gọi (u, v) là cạnh nhẹ vượt lát cắt (S, V – S) Khi đó (u, v) là an toàn đối với A; nghĩa là, A  {(u, v)} cũng vẫn là tập con

của tập cạnh của CKNN

S

V – S

42

v

2

A  { (u, v) }  T ', tức là, (u, v) là an toàn đối với A

Chứng minh. Giả sử T là CKNN (gồm các cạnh đỏ) chứa A.

Giả sử cạnh nhẹ (u, v)  T Ta có

T  { (u, v) } chứa chu trình

Tìm được cạnh (x, y)  T vượt lát cắt (S, V – S)

Cây khung T ' = T – { (x, y) }  { (u, v) } có độ dài 

độ dài của cây khung T Suy ra T ' cũng là CKNN.

Hệ quả Giả sử A là tập con của E và cũng là tập con của tập cạnh

của CKNN nào đó của G, và C là một thành phần liên thông trong rừng F = (V, A) Nếu (u, v) là cạnh nhẹ nối C với một thành phần liên thông khác trong F, thì (u, v) là an toàn đối với A.

Cạnh (u, v) là cạnh nhẹ vượt lát cắt (C, V – C) tương thích với A

Theo định lý trên, cạnh (u, v) là an toàn đối với A.

8

Hệ quả

Tìm cạnh an toàn?

Giả sử A là tập con của tập cạnh của một CKNN nào đó

A là rừng.

Cạnh an toàn được bổ sung vào A có trọng số nhỏ nhất

trong số các cạnh nối các cặp thành phần liên thông của nó

Thuật toán Kruskal

Thuật toán Prim

A là cây

Cạnh an toàn là cạnh nhẹ nối đỉnh trong A với một đỉnh

không ở trong A

Thuật toán Kruskal:

 Thuật toán sẽ xây dựng tập cạnh ETcủa cây khung

nhỏ nhất T=(VT, ET) theo từng bước Trước hết sắp

xếp các cạnh của đồ thị G theo thứ tự không giảm

của trọng số Bắt đầu từ ET= , ở∅ mỗi bước ta sẽ lần

lượt duyệt trong danh sách cạnh đã sắp xếp, từ cạnh

có độ dài nhỏ đến cạnh có độ dài lớn hơn, để tìm ra

cạnh mà việc bổ sung nó vào tập ET không tạo thành

chu trình trong tập này Thuật toán sẽ kết thúc khi ta

thu được tập ET gồm n−1 cạnh

Cụ thể có thể mô tả như sau:

1. Bắt đầu từ đồ thị rỗng T có n đỉnh

2. Sắp xếp các cạnh của G theo thứ tự không giảm

của trọng số

3. Bắt đầu từ cạnh đầu tiên của dãy này, ta cứ thêm

dần các cạnh của dãy đã được xếp vào T theo

nguyên tắc cạnh thêm vào không được tạo thành

chu trình trong T

4. Lặp lại Bước 3 cho đến khi nào số cạnh trong T

bằng n−1, ta thu được cây khung nhỏ nhất cần tìm

45

Thuật toán Kruskal

Thuật toán Kruskal

Generic-MST(G, c)

A = { }

//Bất biến: A là tập con các cạnh của CKNN nào đó

while A chưa là cây khung do

tìm cạnh (u, v) là an toàn đối với A

A = A {(u, v)}

// A vẫn là tập con các cạnh của CKNN nào đó

return A

Ví dụ:

 Tìm cây khung nhỏ nhất của đồ thị cho trong

hình dưới đây:

 Bây giờ số cạnh của T đã là 2 vẫn còn nhỏ hơn 6, ta tiếp

tục thêm cạnh tiếp theo trong dãy đã sắp xếp vào T

49

Cách giải

 Sau khi thêm cạnh (v4, v5) vào T, nếu thêm cạnh

(v5, v6) thì nó sẽ tạo thành với 2 cạnh (v4, v5),

(v4, v6) đã có trong T một chu trình

 Tình huống tương tự cũng xãy ra đối với cạnh

(v3, v4) là cạnh tiếp theo trong dãy

 Tiếp theo ta bổ sung cạnh (v1, v3), (v2, v3) vào T

và thu dược tập E T gồm 5 cạnh:

{(v3, v5), (v4, v6), (v4, v5), (v1, v3), (v2, v3)}

Bài tập

 Tìm cây khung nhỏ nhất của đồ thị cho trong

hình dưới đây:

51

Bài tập

f

d a

Cách cài đặt hiệu quả

Vấn đề đặt ra là:

Khi cạnh ei=(j,k) được xét, ta cần biết có phải j và k

thuộc hai thành phần liên thông (tplt) khác nhau hay không Nếu đúng, thì cạnh này được bổ sung vào

cây khung và nó sẽ nối tplt chứa j và tplt chứa k.

Thực hiện điều này như thế nào cho đạt hiệu quả?

 Mỗi tplt C của rừng F được cất giữ như một tập.

 Ký hiệu First(C) đỉnh đầu tiên trong tplt C

 Với mỗi đỉnh j trong tplt C, đặt First(j) = First(C) = đỉnh đầu tiên trong C.

 Chú ý: Thêm cạnh (i,j) vào rừng F tạo thành chu trình iff i và

j thuộc cùng một tplt, tức là First(i) = First(j)

 Khi nối tplt C và D, sẽ nối tplt nhỏ hơn (ít đỉnh hơn) vào tplt

lớn hơn (nhiều đỉnh hơn):

Nếu |C| > |D|, thì First(CD) := First(C).

Cách cài đặt hiệu quả

Phân tích thời gian tính

 Thời gian xác định First(i) = First(j) đối với i, j: O(1) cho mỗi cạnh Tổng cộng là O(m).

 Thời gian nối 2 tplt S và Q, giả thiết |S|  |Q|.

O(1) với mỗi đỉnh của Q (là tplt nhỏ hơn)

Mỗi đỉnh i ở tplt nhỏ hơn nhiều nhất là log n lần (Bởi vì, số

đỉnh của tplt chứa i tăng lên gấp đôi sau mỗi lần nối.)

 Tổng cộng thời gian nối là: O(n log n).

Thuật toán Prim

 Cạnh an toàn là cạnh nhẹ nhất trong

số các cạnh nối đỉnh trong A với một

đỉnh không ở trong A.

Thuật toán Prim

 Thuật toán Kruskal làm việc kém hiệu quả đối với

những đồ thị dày (đồ thị có số cạnh m ≈n(n−1)/2)

Trong trường hợp đó, thuật toán Prim tỏ ra hiệu

quả hơn Thuật toán Prim còn được gọi là

phương pháp lân cận gần nhất

Mô tả thuật toán Prim

Gọi (u, v) là cạnh nhẹ nhất với u  V(T) và vV(G) – V(T)

E(T)  E(T)  { (u, v) }; V(T)  V(T)  { v }

end

end;

Tính đúng đắn suy từ hệ quả đã chứng minh:

Giả sử A là tập con của E và cũng là tập con của tập cạnh của CKNN của G, và

C là một thành phần liên thông trong rừng F = (V, A) Nếu (u, v) là cạnh nhẹ nối C với một tplt khác trong F, thì (u, v) là an toàn đối với A.

d a

f

d a

d a

f

d a

d a

f

d a

Thuật toán Prim

1 V T :={v*}, trong đó v*là đỉnh tuỳ ý của đồ thị G

E T := ∅

2 Với mỗi đỉnh v j ∉ V T , tìm đỉnh w j ∈ V T sao cho

m(w j ,v j ) = min m(x i , v j )=:β j x i ∈ V T và gán cho đỉnh v j nhãn

[w j , β j ] Nếu không tìm đuợc w j như vậy (tức là khi v j

không kề với bất cứ đỉnh nào trong V T ) thì gán cho v j nhãn

[0, ∞]

3.Chọn đỉnh v j * sao cho β j *= min β j v j ∉ V T

V T := V T {vj*}, ∪

Thuật toán Prim

 Nếu |V T | = n thì thuật toán dừng và (V T , E T ) là cây

khung nhỏ nhất

 Nếu |V T | < n thì chuyển sang Bước 4

4 Đối với tất cả các đỉnh v j ∉ V T mà kề với v j *, ta

thay đổi nhãn của chúng như sau:

Nếu β j > m(v j *, v j ) thì đặt β j :=m(v j *, v j ) và nhãn của

v j là [v j *, β j ] Ngược lại, ta giữ nguyên nhãn của v j

Sau đó quay lại Bước 3.

67

Cài đặt thuật toán Prim đối với đồ thị dày

 Giả sử đồ thị cho bởi ma trận trọng số C={c[i,j], i, j = 1,

2, , n}

 Ở mỗi bước để nhanh chóng chọn đỉnh và cạnh cần bổ sung vào cây khung, các đỉnh của đồ thị sẽ được gán cho các nhãn

Thuật toán Prim – Ví dụ

 Ví dụ: Tìm CKNN cho đồ thị cho bởi ma trận trọng số

Thuật toán Prim: Ví dụ

Thuật toán Prim: Ví dụ

Thuật toán Prim: Ví dụ

Bài tập

Tìm cây khung nhỏ nhất của đồ thị sau theo thuật

toán Kruskal và Prim

CHƯƠNG V

CÂY

 Cây cũng được dùng để tạo ra các mã có hiệu quả để lưu trữ và truyền dữ liệu

 Dùng cây có thể mô hình các thủ tục mà để thi hành nó cần dùng một dãy các quyết định

ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN

 Định nghĩa: Cây là một đồ thị vô hướng liên thông, không chứa chu trình và có ít nhất hai đỉnh.

 Một đồ thị vô hướng không chứa chu trình và có

ít nhất hai đỉnh gọi là một rừng.

 Trong một rừng, mỗi thành phần liên thông là một cây.

Ví dụ:

 Rừng sau có 3 cây

CÂY CÓ GỐC

 Định nghĩa: Cây có hướng là đồ thị có hướng mà

đồ thị vô hướng nền của nó là một cây.

 Cây có gốc là một cây có hướng, trong đó có một đỉnh đặc biệt, gọi là gốc, từ gốc có đường đi đến mọi đỉnh khác của cây.

Ví dụ:

 Cây sau có nút gốc là r

Vẽ lại cây:

Các khái niệm:

 Nếu x không có con thì x là lá (leaf)

 Nếu x không là lá thì x là đỉnh trong

 Mức(level) của đỉnh x là chiều dài (số cành) của đường

đơn từ gốc v 0 tới x level(v 0 ) = 0

 Chiều cao(height) của một cây là mức lớn nhất trong cây

 Cây con(subtree) của T gốc tại x là đồ thị con của T mà:

 Tập đỉnh gồm x và tất cả các hậu duệ của x

Tập các cành gồm mọi cành nối tới các hậu duệ của x

89