Về một số lớp vành thoả mãn điều kiện mọi idêan nguyên tố đều là iđêan tối đại

Về một số lớp vành thoả mãn điều kiện mọi iđêan nguyên tố đều là iđêan tối đại .... Đối với các vành có đơn vị thì mọi iđêan tối đại đều là iđêan nguyên tố.. Đã có nhiều lớp vành thoả mã

Bộ giáo dục và đào tạo Tr-ờng đại học vinh

==== o0o ====

nguyễn trọng thiện

Về một số lớp vành thoả mãn điều kiện mọi iđêan nguyên tố đều là

iđêan tối đại

Chuyên ngành : Đại số và lí thuyết số

Mã số : 60.46.05

luận văn thạc sĩ toán học

Cán bộ h-ớng dẫn khoa học

TS chu trọng thanh

Vinh – 2009

Mục lục

Trang

Mở đầu 1

Ch-ơng 1 Kiến thức cơ sở 3

1.1 Các phần tử đặc biệt của vành 3

1.2 Các iđêan đặc biệt của vành 5

1.3 Đặc tr-ng một số lớp vành 9

1.4 Một số khái niệm về căn của vành 14

Ch-ơng 2 Về một số lớp vành thoả mãn điều kiện mọi iđêan nguyên tố đều là iđêan tối đại 16

2.1 Về các vành 2-primal 16

2.2 Vành với điều kiện mọi R-môđun trái đơn suy biến là p-nội xạ 21

2.3 Vành với điều kiện R/P(R) là một vành  - chính quy 25

Kết luận 30

Tài liệu tham khảo 31

Mở đầu

Nghiên cứu cấu trúc của vành thông qua việc khảo sát các cấu trúc con nh- là các vành con, iđêan, các phần tử luỹ đẳng, các phần tử luỹ linh, là h-ớng nghiên cứu đã đ-ợc hình thành từ lâu trong lí thuyết vành cổ điển Ngày nay bên cạnh h-ớng nghiên cứu này đã hình thành h-ớng nghiên cứu vành thông qua điều kiện trên các lớp môđun Cả hai h-ớng đang đ-ợc nhiều ng-ời quan tâm và thu đ-ợc nhiều kết quả

Trong các cấu trúc của vành, các iđêan nguyên tố và iđêan tối đại từ lâu

đã đ-ợc nhiều ng-ời quan tâm nghiên cứu và trở thành công cụ để mô tả cấu trúc vành Đối với các vành có đơn vị thì mọi iđêan tối đại đều là iđêan nguyên tố Tuy nhiên chiều ng-ợc lại không phải lúc nào cũng đúng Đã có nhiều lớp vành thoả mãn điều kiện mọi iđêan nguyên tố đều là iđêan tối đại đã

đ-ợc nghiên cứu nh- vành chính, vành Ơclit Trong những năm gần đây có nhiều công trình nghiên cứu điều kiện trên các vành để mọi iđêan nguyên tố

đều là iđêan tối đại, bài báo [7] của Chan Yong Hong, Nam Kyun Kim và Tai Keun Kwak (2000) đã chỉ ra một số lớp vành thoả mãn điều kiện mọi iđêan nguyên tố đều là iđêan tối đại Nhận thấy vấn đề xét trong bài báo này có nhiều điều hấp dẫn, vì vậy chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn là :

Về một số lớp vành thoả mãn điều kiện mọi iđêan nguyên tố đều là iđêan tối đại.

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn có 2 ch-ơng

Ch-ơng 1 Kiến thức cơ sở

Trong ch-ơng này chúng tôi hệ thống hoá một số kiến thức về lí thuyết vành liên quan đến đề tài luận văn Nội dung của ch-ơng 1 gồm:

1.1 Các phần tử đặc biệt của vành

1.2 Các iđêan đặc biệt của vành

1.3 Đặc tr-ng một số lớp vành

1.4 Một số khái niệm về căn của vành

Ch-ơng 2 Về một số lớp vành thoả mãn điều kiện mọi iđêan nguyên tố

đều là iđêan tối đại

Trong ch-ơng 2 chúng tôi đề cập đến một số lớp vành có liên quan đến

điều kiện mọi iđêan nguyên tố đều là iđêan tối đại Nội dung của ch-ơng 2 gồm:

2.1 Về các vành 2-primal

2.2 Vành với điều kiện mọi R-môđun trái đơn suy biến là p-nội xạ

2.3 Vành với điều kiện R/P(R) là một vành  - chính quy

Luận văn này hoàn thành tại Tr-ờng Đại học Vinh d-ới sự h-ớng dẫn của thầy giáo TS Chu Trọng Thanh Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến thầy giáo h-ớng dẫn, ng-ời đã giao đề tài và cùng thực hiện luận văn

Tác giả xin trân trọng cảm ơn tới các thầy giáo: PGS TS Ngô Sỹ Tùng, PGS TS Nguyễn Thành Quang, PGS TS Lê Quốc Hán, TS Mai Văn T-,

TS Nguyễn Thị Hồng Loan, và các thầy cô giáo trong tổ Đại số, khoa Toán, khoa Sau Đại học đã động viên, giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập cũng nh- trong việc hoàn thành luận văn này

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Tr-ờng THPT Anh Sơn 2 cơ quan tác giả

đang công tác đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả học tập và hoàn thành luận văn

Mặc dù tác giả đã hết sức cố gắng nh-ng do hiểu biết còn hạn chế của bản thân nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót Tác giả kính mong nhận đ-ợc sự góp ý, chỉ bảo của quý thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp

Vinh, tháng 12 năm 2009

Nguyễn Trọng Thiện

ch-ơng 1 kiến thức cơ sở

Trong suốt luận văn này các vành đều đ-ợc giả thiết là vành kết hợp

Tính chất giao hoán và phần tử đơn vị sẽ cần đến trong việc chứng minh một

số mệnh đề Trong tr-ờng hợp đó chúng tôi luôn kí hiệu phần tử đơn vị là 1 và

những giả thiết khác sẽ đ-ợc nói rõ

Ch-ơng 1 dành cho việc trình bày một số kiến thức cơ sở về vành và

môđun Những kiến thức này cần thiết cho việc trình bày các nội dung của

ch-ơng 2 Cũng có một số kiến thức tuy không hoàn toàn cần thiết cho ch-ơng

2 nh-ng vì nằm trong một hệ thống trọn vẹn với những kiến thức khác nên

chúng tôi cũng hệ thống hóa lại ở ch-ơng này T- liệu dùng để viết ch-ơng

này là sách chuyên khảo trong số các tài liệu tham khảo đ-ợc liệt kê ở cuối

luận văn

1.1 Các phần tử đặc biệt của vành

Trong nghiên cứu một vành việc phát hiện ra những phần tử đặc biệt

trong các vành sẽ cung cấp nhiều thông tin bổ ích Chính vì vậy các phần tử

đặc biệt trong các vành có vai trò nh- những công cụ giúp chúng ta mô tả cấu

trúc và các tính chất của vành Việc tìm hiểu các phần tử đặc biệt của các vành

tự nó cũng có nhiều điều hấp dẫn

1.1.1 Định nghĩa i) Phần tử a của vành R đ-ợc gọi là luỹ đẳng nếu

,

n

a   a n ℕ*

ii) Phần tử luỹ đẳng a của vành R đ-ợc gọi là luỹ đẳng trung tâm nếu

a giao hoán đ-ợc với mọi phần tử của vành đã cho

iii) C R( ) a R xa| ax, x R đ-ợc gọi là tâm của vành R

Nh- vậy a là phần tử luỹ đẳng trung tâm nếu a luỹ đẳng và thuộc tâm của

vành

Nhận xét Chúng ta nhận thấy rằng phần tử a của vành R là phần tử lũy

đẳng nếu và chỉ nếu a2 = a

Nhận xét này cho phép chúng ta đơn giản hóa việc kiểm tra tính lũy

đẳng của một phần tử trong một vành cho tr-ớc

1.1.2 Định nghĩa i) Phần tử x của R đ-ợc gọi là phần tử luỹ linh nếu tồn

tại nℕ* sao cho x n 0

Số nguyên d-ơng bé nhất n sao cho x n 0 được gọi là bậc luỹ linh của x

Nếu x không phải là phần tử luỹ linh thì ta nói x có bậc luỹ linh vô hạn Nếu x là phần tử luỹ linh với bậc hữu hạn thì x là -ớc của 0

ii) Phần tử aR đ-ợc gọi là phần tử lũy linh chặt chẽ nếu đối với mỗi

dãy tuỳ ý a0, a1, a2, , an, … với a = a0, ai+1 aiRai, iℕ đều tồn tại một chỉ số

n sao cho an+i = 0 với mọi iℕ

1.1.3 Định nghĩa Phần tử a của vành R đ-ợc gọi là phần tử chính quy nếu

tồn tại bR sao cho abaa

Điều kiện trên đây còn có thể phát biểu d-ới một dạng khác: aaRa

Vành R đ-ợc gọi là vành chính quy von Neumann nếu mọi phần tử của

nó đều là phần tử chính quy Sau đây ta sẽ gọi tắt vành chính quy von Neumann là vành chính quy Vành chính quy là một lớp vành đ-ợc nhiều ng-ời quan tâm và thu đ-ợc nhiều kết quả Chúng tôi sẽ hệ thống hóa một số kết quả đó trong phần sau

Tùy thuộc vào đặc điểm của phần tử b trong định nghĩa tính chính quy của phần tử a mà ta có các khái niệm riêng của khái niệm phần tử chính quy

và vành chính quy loại đó Chẳng hạn nếu b là phần tử khả nghịch thoả

abaa thì ta gọi a là phần tử chính quy khả nghịch Vành R có mọi phần tử

chính quy khả nghịch sẽ đ-ợc gọi là vành chính quy khả nghịch Xung quanh khái niệm phần tử chính quy nhiều tác giả đã định nghĩa các khái niệm khác

có liên quan và sử dụng những thuật ngữ khác nhau cho các khái niệm này Sau đây chúng tôi hệ thống hóa một số khái niệm nh- vậy

1.1.4 Định nghĩa Phần tử a của vành R đ-ợc gọi là phần tử chính quy mạnh

nếu tồn tại phần tử b thuộc R sao cho a2b = a

Vành R đ-ợc gọi là vành chính quy mạnh nếu mọi phần tử của R đều là

phần tử chính quy mạnh

1.1.5 Định nghĩa Phần tử a của vành R đ-ợc gọi là phần tử -chính quy nếu

tồn tại số nguyên d-ơng n và phần tử b thuộc R sao cho anban = an

Vành R đ-ợc gọi là vành -chính quy nếu mọi phần tử của R đều là

1.2 các iđêan đặc biệt của vành

Các iđêan trong các vành có vai trò quan trọng trong việc mô tả cấu trúc của vành Từ các thuộc tính của các iđêan ta có thể suy ra đ-ợc nhiều tính chất của vành Trong mục này chúng tôi hệ thống hóa lại một số khái niệm và tính chất của một số loại iđêan trong vành R Đó là Iđêan nguyên tố, Iđêan tối đại, Iđêan tối tiểu, Iđêan lũy linh

Sau đây ta có định nghĩa về iđêan nguyên tố, iđêan hoàn toàn nguyên tố,

iđêan nửa nguyên tố

1.2.1 Định nghĩa Cho R là một vành và I là một iđêan của R

i) I đ-ợc gọi là iđêan nguyên tố nếu I R và mọi iđêan ,A B của R mà

1.2.2 Mệnh đề Trong vành R có đơn vị, P là iđêan của R Các phát biểu sau là t-ơng đ-ơng

 a P là iđêan nguyên tố

 b Với mọi iđêan trái I và J của R sao cho I J P , suy ra I P hoặc J P

 c Mọi , x yR sao cho xRyP thì xP hoặc yP

Trong phát biểu b) có thể thay các “iđêan trái” bởi “iđêan phải”

Chứng minh  a  b Giả sử I và J là các iđêan trái của R sao cho

I J P; IR JR là các iđêan của , R Ta có IR JR IJR P IRP hoặc

JRP Do P là iđêan nguyên tố, suy ra I P hoặc J P

 b  c Giả sử ,x yR sao cho xRyP khi đó Rx Ry là các iđêan trái ,của R và   Rx Ry R xRy PRxP hoặc RyP x P hoặc

yP

   c  a Giả sử I J là iđêan của , R sao cho với I P J, P ta chứng

minh IJ P Vì I    P x I P J| ;   P y I P| Khi đó theo (c) ta có

xRyP Vì xRI y,  J xRy IJ IJ P Vậy P là iđêan nguyên tố

Giữa thuộc tính nguyên tố và thuộc tính hoàn toàn nguyên tố của iđêan trong một vành có mối liên hệ với nhau Mệnh đề sau cho ta rõ thêm mối liên

hệ đó

1.2.3 Mệnh đề  a Trong một vành bất kì, mọi iđêan hoàn toàn nguyên tố

đều là iđêan nguyên tố

 b Trong vành giao hoán, iđêan nguyên tố là iđêan hoàn toàn nguyên tố Chứng minh Chứng minh (a) Giả sử P là iđêan hoàn toàn nguyên tố, ,

I J là iđêan của R sao cho IJ P và I P Ta chứng minh J P Ta có từ

\

I    P x I P vì IJ  P xJ   P y J thì xyP Do P là iđêan hoàn toàn nguyên tố và x      P y P, y J J P Vậy P là iđêan nguyên tố

Chứng minh (b) Giả sử R là vành giao hoán và P là iđêan nguyên tố của R ta chứng minh P hoàn toàn nguyên tố Với x y, R sao cho xyP ta chứng minh x thuộc P hoặc y thuộc P Từ giả thiết xy thuộc P , ta có xyRP Do

R là vành giao hoán nên xyRxRyxRyP, do P là iđêan nguyên tố suy

ra xP hoặc yP Vậy P là iđêan hoàn toàn nguyên tố

1.2.4 Định nghĩa Cho R là một vành và M là một iđêan của R M đ-ợc gọi

là iđêan tối đại của R nếu R chứa thực sự M và M không bị chứa thực sự trong một iđêan nào khác của R

Giữa các iđêan nguyên tố và iđêan tối đại có một mối liên hệ Mệnh đề sau đây cho ta thấy rõ mối liên hệ đó trong các vành có đơn vị

1.2.5 Mệnh đề Trong vành R có đơn vị mọi iđêan tối đại đều là iđêan nguyên tố

Chứng minh Giả sử M là tối đại trong R và A, B là các iđêan của R

sao cho ABM A, M ta chứng minh BM Giả sử ng-ợc lại BM Vì

AM  A M R Từ BM  B M R  R (AM B)( M) AB AM

 MB M AB M AB M  R ABM trái giả thiết ABM VậyBM hay M là iđêan nguyên tố

Chúng ta đã biết có một số lớp vành thoả mãn điều kiện mọi iđêan

nguyên tố đều là iđêan tối đại nh- vành chính, vành Ơclit Mệnh đề sau đây nói về sự tối đại của iđêan nguyên tố trong vành chính

1.2.6 Mệnh đề Trong một vành chính, các iđêan nguyên tố khác 0 là các

iđêan tối đại

Chứng minh Giả sử R là vành chính, P là iđêan nguyên tố khác 0 của

vành R, thế thì P = (a) với 0  a  R Giả sử P  I  R, I là iđêan của R và P

 I Vì R là vành chính nên mọi iđêan của R là iđêan chính, do đó I = (b) Vì

a  P suy ra a I hay a = bc P Ta có b  (a) vì nếu b  (a) khi đó (b) 

(a), vô lý vì P  I, P  I Nh- vậy b  P mà P nguyên tố nên c P = (a), suy

ra c = ax, x R, từ đó ta có bc = bax hay a = bax, vì vậy bx = 1, mà I = (b) nên bx = 1 I Vậy I = R

1.2.7 Định nghĩa Iđêan I của vành R đ-ợc gọi là iđêan tối tiểu nếu I ≠ 0 và I

không chứa thực sự một iđêan khác 0 nào của R

Một iđêan nguyên tố khác 0 và không chứa thực sự iđêan nguyên tố nào

khác đ-ợc gọi là iđêan nguyên tố tối tiểu

Sau đây ta có một mệnh đề về sự tồn tại của iđêan nguyên tố tối tiểu trong mỗi iđêan nguyên tố của vành R

1.2.8 Mệnh đề Mọi iđêan nguyên tố của vành R chứa một iđêan nguyên tố

Ta chứng minh Q là nguyên tố Với mọi , x yR sao cho xRyQ ta chứng

minh x Q hoặc y Q Giả sử x Q ta chứng minh y Q Vì x Q nên tồn tại P'J sao cho xP', P'' Jsao cho P''  P' x P" Với mọi PJ

sao cho PP' thì do tính sắp thứ tự của J ta có P'P, từ

Q là nguyên tố Vì Q là giao của tất cả các phần tử trong họ J nên ta có Q bé

nhất trong J theo quan hệ bao hàm Sử dụng Bổ đề Zorn sắp ng-ợc  có phần

tử tối tiểu Vậy P chứa iđêan nguyên tố tối tiểu

1.2.9 Định nghĩa Cho R là một vành và I là một iđêan của R

i) I đ-ợc gọi là iđêan luỹ linh nếu tồn tại số nguyên d-ơng n sao cho

0

n

I 

ii) I đ-ợc gọi là iđêan linh nếu mọi phần tử của I là phần tử luỹ linh

Hiển nhiên rằng mọi iđêan luỹ linh là iđêan linh nh-ng chiều ng-ợc lại không đúng trong tr-ờng hợp tổng quát

Cho tr-ớc một tập hợp A trong vành R Ta định nghĩa chỉ số lũy linh của tập con A là cận trên của tập tất cả các chỉ số lũy linh của các phần tử trong A Nếu cận trên đó là hữu hạn ta nói tập A có chỉ số luỹ linh bị chặn 1.3 đặc tr-ng một số lớp vành

1.3.1 Về các vành chính quy

Các mệnh đề sau đây cho ta một số dấu hiệu đặc tr-ng của vành chính quy

1.3.1.1 Mệnh đề Đối với một vành R có đơn vị, các phát biểu sau t-ơng

đ-ơng

i) R là vành chính quy

ii) Mỗi iđêan trái chính của R đ-ợc sinh bởi một phần tử lũy đẳng

iii) Mỗi iđêan trái chính của R là một hạng tử trực tiếp của R

iv) Mỗi iđêan trái hữu hạn sinh của R là một hạng tử trực tiếp của R

Trong ii), iii), iv) có thể phát biểu t-ơng tự cho bên phải

Chứng minh i)  ii) Giả sử R là vành chính quy, khi đó mọi phần tử của R đều là phần tử chính quy Lấy phần tử a bất kì của R, ta có một phần tử

b thuộc R sao cho aba = a Theo chứng minh ở phần trên ta có ab và ba là các phần tử lũy đẳng của R Vì R có đơn vị nên iđêan trái chính của R sinh bởi phần tử a có dạng Ra Do a = aba nên Ra = Raba Đặt e = ba, ta có e là phần

tử lũy đẳng của R Vì Ra  R nên Raba  Rba = Re, tức là Ra  Re Mặt khác cũng vì Rb  R nên Re = Rba  Ra Vậy Ra = Re, sinh bởi lũy đẳng e ii)  i) Giả sử mỗi iđêan trái chính của R đ-ợc sinh bởi một lũy đẳng, ta chứng minh R chính quy Lấy phần tử a bất kì của R, ta chứng minh a là phần

tử chính quy Theo giả thiết Ra sinh bởi một phần tử lũy đẳng, e chẳng hạn Khi đó Ra = Re Vì eRe = Ra nên tồn tại phần tử b thuộc R sao cho e = ba Lại do aRa = Re nên tồn tại c thuộc R sao cho a = ce Khi đó a = ce = cee = ceba = aba Vậy a chính quy Điều này suy ra R chính quy

ii)  iii) là do tính chất của phần tử lũy đẳng và sự phân tích của 1

ii)  iv) Chú ý rằng i) và ii) t-ơng đ-ơng nên ta sử dụng đ-ợc cả điều kiện R chính quy Ta chỉ cần chứng minh rằng với các phần tử lũy đẳng e và f của R

ta có Re + Rf sinh bởi một phần tử lũy đẳng Thật vậy, Re + Rf = Re + fe) Do R chính quy nên f-fe là phần tử chính quy, tức là tồn tại phần tử u sao cho f-fe = (f-fe)u(f-fe) Đặt v = u(f-fe) ta có v và e+v-ev là các phần tử lũy

R(f-đẳng của vành R Khi đó ta có Re + Rf = Re + R(f-fe) = Re + Rv = R(e+v-ev)

Do đó Re+Rf sinh bởi lũy đẳng e+v-ev iv) iii) là hiển nhiên

1.3.1.2 Mệnh đề Đối với vành có đơn vị R , các phát biểu sau t-ơng đ-ơng

i) R chính quy mạnh

ii) R chính quy không có phần tử luỹ linh khác 0

iii) Mỗi iđêan trái chính của R đ-ợc sinh bởi một luỹ đẳng trung tâm iv) R là chính quy và mọi iđêan trái đều là iđêan

Trong iii) và iv) có thể phát biểu t-ơng tự cho bên phải

i)  ii) Giả sử R là một vành chính quy mạnh Từ nhận xét trên ta có kết

luận R không có phần tử lũy linh khác 0 Do đó mọi lũy đẳng của R đều là lũy đẳng trung tâm Ta chứng minh R là vành chính quy Xét aR bất kỳ

Do R chính quy mạnh nên a là phần tử chính quy mạnh nên b R  thoả mãn a b2 a Từ đó ta có   2  

a aba  a aba a aba a2 a ba2 aba2

abaaba

 a2a2aba2aba20 Do R không có phần tử lũy linh khác 0 nên a aba 0 hay aaba , suy ra a chính quy Vì a là phần tử bất kì của R nên từ chứng minh này ta có R là vành chính quy

ii) iii) Ta biết rằng nếu vành R không có phần tử lũy linh khác 0 thì mỗi phần tử lũy đẳng của R là lũy đẳng trung tâm Do R là chính quy nên mỗi

iđêan trái chính sinh bởi một lũy đẳng, do đó sinh bởi một lũy đẳng trung tâm iii)  iv) Từ iii) ta có R là vành chính quy Nếu L là một iđêan trái của R và

aL khi đó iđêan trái Ra đ-ợc sinh bởi một lũy đẳng trung tâm, chẳng hạn

e Vì vậy RaRReRReRa L Llà iđêan

iv)  i) Ta chứng minh mỗi phần tử của R là phần tử chính quy mạnh Thật

vậy, lấy aR, do R chính quy nên b R  sao cho aaba khi đó Rab là iđêan chính trái chứa ab (do R có đơn vị) Theo giả thiết Rab cũng là iđêan phải suy ra abaRab , suy ra tồn tại cR để cho abacab Vì vậy có

aabacab c aba b  cab ababaabaaba b Vậy a là phần tử

chính quy mạnh, do đó R là vành chính quy mạnh

1.3.2 Vành đơn

1.3.2.1 Định nghĩa i) Iđêan trái I khác 0 của vành R đ-ợc gọi là iđêan trái

đơn nếu nó không chứa thực sự một iđêan trái khác 0 nào của R

ii) Iđêan I khác 0 của vành R đ-ợc gọi là iđêan đơn nếu nó không chứa thực sự một iđêan khác 0 nào của R

iii) Vành R đ-ợc gọi là vành đơn trái nếu R2 0 và R không chứa iđêan trái không tầm th-ờng nào

iv) Vành R đ-ợc gọi là vành đơn nếu R2 0 và R không chứa iđêan không tầm th-ờng nào

1.3.2.2 Định nghĩa i) Iđêan trái I của vành R đ-ợc gọi là iđêan trái tối

tiểu nếu I không chứa thực sự iđêan trái khác 0

ii) Vành R đ-ợc gọi là vành nửa đơn trái nếu R là tổng của các iđêan trái tối tiểu

1.3.3 Đặc tr-ng vành nguyên tố và vành nửa nguyên tố

1.3.3.1 Định nghĩa i) Vành R đ-ợc gọi là vành nguyên tố nếu 0 là iđêan

nguyên tố

ii) Vành R đ-ợc gọi là vành nửa nguyên tố nếu 0 là iđêan nửa nguyên tố

1.3.3.2 Định lí Đối với vành R các mệnh đề sau t-ơng đ-ơng

 a R là vành nửa nguyên tố

 b Nếu A và B là hai iđêan của R sao cho AB0 thì A B 0

 c 0 là iđêan lũy linh duy nhất của R

Chứng minh  a  b Giả sử A và B là hai iđêan của R sao cho 0

AB và a A B Với mỗi iđêan nguyên tố P, vì AB 0 P nên hoặc

AP hoặc BP Do đó aP với mọi iđêan nguyên tố Vì R là vành nửa

nguyên tố nên tồn tại một họ {P i } với iI các iđêan nguyên tố sao cho i I P i=

0 Vì a P i với iI nên a i I P i = 0 do đó a = 0 Vậy A B 0

 b  c Giả sử A là một iđêan lũy linh của R Khi đó tồn tại một số tự

nhiên n sao cho A n 0 Từ  b suy ra A0

   c  a Chỉ cần chứng minh 0 là phần tử lũy linh chặt chẽ duy nhất Giả sử

a R là phần tử lũy linh chặt chẽ Tr-ớc hết ta chứng minh rằng nếu a là phần

tử luỹ linh chặt chẽ thì RaR là iđêan lũy linh Thật vậy, giả sử a là phần tử luỹ linh chặt chẽ nh-ng (RaR)n  0 với mọi nℕ Khi đó tồn tại một s1 sao cho

0  a1 = as1a (RaR)2 và nếu đã xác định đ-ợc dãy a0 = a, a1 = a s1a, …, ak =

ak-1sk ak-1  0, ak = ak-1sk ak-1(RaR)2 thì tồn tại một sk+1R sao cho aksk+1 ak =

ak+1 0, nghĩa là tồn tại một dãy a0, a1, a2, , an, … với a = a0, ai+1aiRai, iℕ vô hạn mà ai 0 Trái với giả thiết a là phần tử luỹ linh chặt chẽ Vậy RaR là iđêan lũy linh

áp dụng kết quả trên ta có, tồn tại một số tự nhiên n sao cho

RaRn 0 Theo giả thiết 0 là iđêan lũy linh duy nhất của R nên RaR = 0

Vậy a = 0

1.4 một số khái niệm về Căn của vành

1.4.1 Căn linh, căn luỹ linh

1.4.1.1 Định nghĩa Tổng tất cả các iđêan linh của vành R đ-ợc gọi là căn

linh của R và ký hiệu là N R 1( )

Nhận xét:

- N R chứa tất cả các iđêan linh của 1( ) R

- N R là iđêan linh của 1( ) R (mỗi phần tử của N R đều là phần tử luỹ linh) 1( )

- Nếu R là vành giao hoán thì N R là tập hợp tất cả các phần tử luỹ linh của 1( )

R Kí hiệu là N R ( )

- N R N R1( / 1( )) 0 R N R/ 1( )

1.4.1.2 Định nghĩa Cho R là vành Tổng của tất cả các iđêan luỹ linh của R

đ-ợc gọi là căn luỹ linh của R Ký hiệu là N P( )R

Nhận xét:

- Nếu R giao hoán thì N P( )R N R( )

- Vì mỗi iđêan luỹ linh của vành R đều là iđêan linh do đó N P( )R N R1( )

1.4.2 Căn nguyên tố

1.4.2.1 Định nghĩa Giao của tất cả các iđêan nguyên tố của vành R đ-ợc gọi

là căn nguyên tố của R Kí hiệu là P(R)

1.4.2.2 Mệnh đề Căn nguyên tố của vành R là iđêan nhỏ nhất trong số các iđêan A mà R A là vành nửa nguyên tố

Chứng minh Ta luôn có R P R là vành nửa nguyên tố Giả sử C là / ( )

một iđêan mà R C là vành nửa nguyên tố Khi đó PP R C 0 với P chạy khắp tập các iđêan nguyên tố của R C Gọi :p RR C là phép chiếu

chính tắc P p 1 P là iđêan nguyên tố của R Ta có R P/ ( / ) /( / )R C P C