Chiều Hausdorff của các tập tự đồng dạng thỏa mãn điều kiện hữu hạn kiểu có phủ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC VINHNGUYỄN QUÝ DƯƠNG CHIỀU HAUSDORFF CỦA CÁC TẬP TỰ ĐỒNG DẠNG THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN HỮU HẠN KIỂU CÓ PHỦ Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01.02

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

- -

NGUYỄN QUÝ DƯƠNG

CHIỀU HAUSDORFF CỦA CÁC TẬP

TỰ ĐỒNG DẠNG THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN HỮU HẠN KIỂU CÓ PHỦ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An - 2014

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN QUÝ DƯƠNG

CHIỀU HAUSDORFF CỦA CÁC TẬP

TỰ ĐỒNG DẠNG THỎA MÃN

ĐIỀU KIỆN HỮU HẠN KIỂU CÓ PHỦ

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS VŨ THỊ HỒNG THANH

NGHỆ AN - 2014

MỤC LỤC

1.1 Hệ hàm lặp và tập bất biến 51.2 Độ đo Hausdorff và chiều Hausdorff 91.3 Sự phân bố khối lượng 131.4 Chiều Hausdorff của tập tự đồng dạng sinh bởi hệ hàm lặp thỏa mãnđiều kiện tập mở 15

2 Chiều Hausdorff của các tập tự đồng dạng sinh bởi hệ hàm lặp thỏa

2.1 Chiều Hausdorff của tập tự đồng dạng sinh bởi hệ hàm lặp thỏa mãnđiều kiện hữu hạn kiểu có phủ 202.2 Đặc trưng của hệ hàm lặp thỏa mãn điều kiện hữu hạn kiểu có phủ 302.3 Một số ví dụ minh họa 36

LỜI NÓI ĐẦU

Hình học Euclid đã có nhiều tác dụng to lớn trong toán học và trong đời sống.Tuy nhiên, qua hình học Euclid ta nhìn mọi vật dưới dạng “đều đặn”, “trơn nhẵn”

và "lí tưởng" Với những vật “xù xì”, “gồ ghề” như quả núi, bờ biển, đám mây, hoaxúp lơ, lá dương xỉ, các hiện tượng khác thường trong toán học và rất nhiều vật thểrất quen thuộc xung quanh ta, hình học Euclid không thể mô tả đầy đủ và chínhxác được Sự xuất hiện của hình học Fractal là tất yếu để giúp giải quyết vấn đềtrên Dù mới chỉ có hơn ba thập kỷ ra đời và phát triển nhưng hình học Fractal đãnhanh chóng thu được nhiều thành tựu đáng kinh ngạc trong nhiều lĩnh vực.Công cụ chính để nghiên cứu hình học Fractal là chiều Hausdorff, nhưng việctính chiều Hausdorff lại rất khó Đối với những tập fractal sinh bởi hệ hàm lặp thỏamãn điều kiện tập mở (Open Set Condition - OSC), người ta đã thiết lập được côngthức để tính chiều Hausdorff Tuy nhiên, có rất nhiều hệ hàm lặp quan trọng cầnphải nghiên cứu nhưng không thỏa mãn điều kiện tập mở Trong trường hợp đó tagọi là hệ hàm lặp là có phủ (Overlap) Khi đó, việc tính chiều Hausdorff lại càngkhó hơn Bước đầu, các nhà toán học đặt ra các điều kiện cho hệ hàm lặp và nghiêncứu việc tính chiều cho các tập sinh bởi các hệ hàm lặp đó Chẳng hạn là điều kiệnhữu hạn kiểu (finite type condition - FTC), điều kiện tách yếu (weak separationproperty - WSP), điều kiện tách yếu * (weak separation property * - WSP*) vàđiều kiện hữu hạn kiểu suy rộng (genaralized finite type condition - GFTC) Người

ta đã thu được một số kết quả về việc tính chiều, nghiên cứu cấu trúc của các tập

tự đồng dạng sinh ra bởi các hệ hàm lặp kiểu này và mối quan hệ giữa các loại điềukiện này với nhau và với điều kiện tập mở Trong những điều kiện đưa ra thì điềukiện kiểu hữu hạn được quan tâm nhiều nhất do nó có nhiều mối quan hệ với cácloại điều kiện khác, đồng thời có nhiều hệ hàm lặp quan trọng thỏa mãn điều kiệnnày

Bài toán nghiên cứu về chiều, độ đo Hausdorff và cấu trúc của tập sinh bởi hệ

các ánh xạ đồng dạng thỏa mãn FTC được đưa ra đầu tiên bởi S M Ngai và Y.Wang vào năm 2001 (xem [8]) và ngay lập tức được rất nhiều nhà toán học quantâm nghiên cứu như C T Bandt, S M Ngai, Y Wang, Nguyen To Nhu, Q R.Deng, K S Lau, H Rao, R D Maulddin, S C Williams, Cho đến nay, bài toánnày cũng đã thu được một số kết quả.

Vì vậy, để tập duyệt với NCKH và tìm hiểu về vấn đề này chúng tôi chọn đề tàinghiên cứu cho luận văn của mình là:

“Chiều Hausdorff của các tập tự đồng dạngthỏa mãn điều kiện hữu hạn kiểu có phủ”

Luận văn được chia làm hai chương

Chương 1 Tập tự đồng dạng

Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về hệ hàm lặp, tập Fractal, tập tựđồng dạng, độ đo Hausdorff và một số khái niệm về chiều Fractal Công thức tínhchiều Hausdorff của hệ hàm lặp thỏa mãn điều kiện tập mở và một số ví dụ minhhọa cũng được chọn đưa vào vì đây là một kết quả đẹp trong nỗ lực tính chiềuHausdorff của các tập Fractal

Chương 2 Chiều Hausdorff của các tập tự đồng dạng sinh bởi hệ hàmlặp thỏa mãn điều kiện hữu hạn kiểu có phủ

Chương này trình bày một trường hợp để tính chiều Hausdorff của tập Fractal sinhbởi hệ hàm lặp có phủ, đó là hệ hàm lặp thỏa mãn hữu hạn kiểu

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tận tình,chu đáo và nghiêm khắc của cô giáo TS Vũ Thị Hồng Thanh Tác giả xin bày tỏlòng biết ơn sâu sắc nhất đến cô, người đã chỉ dạy tác giả những kiến thức, kinhnghiệm trong học tập và nghiên cứu khoa học

Tác giả xin chân thành cảm ơn Phòng đào tạo Sau đại học, Ban chủ nhiệm KhoaToán - Trường Đại học Vinh

Tác giả xin được cảm ơn quý Thầy giáo, Cô giáo trong tổ Giải tích của khoaToán - Trường Đại học Vinh đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốtthời gian học tập

Cuối cùng tác giả xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt là bạn bètrong lớp Cao học 20 - chuyên ngành Giải tích đã cộng tác, giúp đỡ và động viêntác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng luận văn không thể tránh khỏi những hạnchế, thiếu sót Kính mong quý Thầy cô và bạn bè đóng góp ý kiến để luận văn đượchoàn thiện hơn

Vinh, Ngày 24 tháng 6 năm 2014

Tác giả

CHƯƠNG 1 TẬP TỰ ĐỒNG DẠNG

Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về hệ hàm lặp, tập Fractal, tập

tự đồng dạng, độ đo Hausdorff và một số khái niệm về chiều Fractal

1.1.1 Định nghĩa ([3]) 1) Ánh xạ f : D −→ D được gọi là một ánh xạ co trên

D nếu tồn tại c ∈ [0; 1) sao cho

|f (x) − f (y)| 6 c|x − y| ∀x, y ∈ D,

c được gọi là tỷ số co

2) Ánh xạ f : D −→ D được gọi là một ánh xạ đồng dạng trên D nếu tồn tại

5) Ánh xạ f : D −→ D được gọi là một ánh xạ đẳng cự trên D nếu

Từ (1.3) dễ dàng chứng minh được g tuyến tính nhờ sự tuyến tính của tích vô hướng,

do đó g là phép biến đổi trực giao nên g(x) = Ax với A là ma trận trực giao cỡ

n × n Từ (1.2) suy ra φ(x) = ρ × g(x) + φ(0) với φ(0) = b ∈ D

1.1.3 Định nghĩa ([3]) Một họ hữu hạn ánh xạ co {φj}qj=1 với φj: D −→ D đượcgọi là một hệ hàm lặp (IFS - Iterated Function System) trên D.

1.1.4 Định nghĩa ([3]) Cho D là một tập con đóng trong không gian mêtric (Rn, d)với d là mêtric được xác định bởi

d(x, y) = |x − y| =

vuut

Nhận xét Công thức (1.4) tương đương với công thức

dH(A, B) = max{sup{d(a, B)}, sup{d(b, A)} : a ∈ A, b ∈ B}

1.1.5 Định lý ([3]) Với cách xác định dH như (1.4) thì dH là một mêtric trên K.Hơn nữa, (K, dH) là không gian mêtric đầy đủ

3) Các tập bất biến qua hệ hàm lặp được xem là các tập Fractal.

1.1.9 Ví dụ 1) Đệm Sierpinski F là tập được xây dựng bằng cách xuất phát từhình vuông đơn vị F0 = [0; 1] × [0; 1], chia nó thành 9 hình vuông nhỏ có độ dàicạnh là 13, giữ lại 8 hình vuông xung quanh và bỏ đi 1 hình vuông ở giữa ta được

F1 Tiếp tục như thế cho 8 hình vuông của F1 ta được F2 Cứ tiếp tục như thế đếnbước thứ k ta được Fk gồm 8k hình vuông cạnh là 31k Quá trình này được lặp lại

vô hạn lần, khi đó ta được F0 ⊃ F1 ⊃ ⊃

Đệm Sierpinski là tập tự đồng dạng sinh bởi hệ hàm lặp {Si}8

i=1 trên R2 với

1.2 ĐỘ ĐO HAUSDORFF VÀ CHIỀU HAUSDORFF

Mục này giới thiệu một số khái niệm và tính chất cơ bản về độ đo Hausdorff,chiều Hausdorff và tính chiều Hausdorff của một số tập tự đồng dạng

1.2.1 Định nghĩa ([3]) Một họ M những tập con của tập X được gọi là một đại

số những tập con của tập X nếu

Nếu M thỏa mãn i), ii) và

iii’) với họ đếm được bất kỳ A1, A2, ∈ M,

Cặp (X, M) với M là σ−đại số các tập con của X được gọi là không gian đo được,mỗi tập hợp A ∈ M gọi là một tập đo được.

1.2.2 Định nghĩa ([3]) Giả sử M là một σ−đại số các tập con của tập X Hàmtập

∞

P

n=1

µ∗(An) với A1, A2, ⊂ X

1.2.4 Định lý ([3]) Giả sử µ∗ là một độ đo ngoài trên X Ký hiệu

L =A ⊂ X : µ∗(E) = µ∗(E ∩ A) + µ∗(E\A), ∀A ⊂ X

Khi đó, L là đại số và µ = µ∗/L là một đại số trên L µ∗ được gọi là độ đo sinhbởi độ đo ngoài µ∗

1.2.5 Định nghĩa ([3]) Cho F ⊂ Rn, F 6= ∅ Khi đó,

1) |F | = sup{|x − y| : x, y ∈ F } được gọi là đường kính của tập F

2) Cho {Ui} là một họ đếm được các tập con trong Rn Nếu F ⊂

∞

S

i=1

Ui thì {Ui}

được gọi là một phủ của F Nếu thêm điều kiện 0 < |Ui| 6 δ với mọi i, trong đó

δ > 0 cho trước thì {Ui} được gọi là một δ−phủ F

F ∈ C là một độ đo ngoài trên C.

1.2.7 Định nghĩa ([3]) Độ đo sinh bởi độ đo ngoài Hs được gọi là độ đo Hausdorfftrên σ−đại số L các tập con Hs−đo được của Rn

Tập F ⊂ Rn thỏa mãn 0 <

Hs(F ) < +∞ được gọi là s−tập

1.2.8 Mệnh đề ([3]) Cho ∅ 6= F ⊂ Rn là tập Borel, nghĩa là F biểu diễn được dướidạng hợp đếm được hay giao đếm được của các tập mở (hay các tập đóng) Khi đó,luôn tồn tại duy nhất một giá trị sF ∈ [0; +∞] để

1) dimHF = inf{s : Hs(F ) = 0} = sup{s : Hs(F ) = ∞},

2) Nếu tồn tại s ∈ [0; +∞] để 0 < Hs(F ) < ∞ thì dimHF = s

Sau đây là một số tính chất của chiều Hausdorff

Hình 1.3: Chiều Hausdorff của F1.2.10 Mệnh đề ([3]) 1) Nếu E ⊂ F ⊂ Rn thì dimHE 6 dimHF (tính đơnđiệu).

3) dimHF = 0 với mọi tập đếm được F ⊂ Rn

4) Nếu F là tập mở trong Rn, F 6= ∅ thì dimHF = n

5) Nếu F là đa tạp con trơn m chiều trong Rn thì dimHF = m

Sau đây là một số khái niệm về chiều hộp và mối liên hệ giữa chiều hộp và chiềuHausdorff

1.2.11 Định nghĩa ([3]) Cho F ⊂ Rn, F 6= ∅ và bị chặn Ký hiệu Nδ(F ) là số tốithiểu các tập có đường kính không vượt quá δ và phủ F

Chiều hộp trên và chiều hộp dưới của F lần lượt được định nghĩa bởi

1.2.12 Định lý ([3]) Số Nδ(F ) trong Định nghĩa 1.2.11 được xác định là một trongcác giá trị sau:

1) Số tối thiểu các tập có đường kính không vượt quá δ−phủ F,

2) Số tối thiểu các hình lập phương cạnh δ phủ F,

3) Số các δ−lưới lập phương giao với F,

4) Số tối thiểu các hình cầu đóng bán kính δ phủ F,

5) Số lớn nhất các hình cầu rời nhau bán kính δ có tâm thuộc F

Mối liên hệ giữa dimHF và dimBF được thể hiện trong định lý sau

1.2.13 Định lý ([3]) 1) Cho F ⊂ Rn Khi đó ta luôn có

dimHF 6 dimBF 6 dimBF

2) Nếu F là tập tự đồng dạng của hệ hàm lặp {φi}qi=1 thì dimHF = dimBF

1.3 SỰ PHÂN BỐ KHỐI LƯỢNG

Mục này trình bày khái niệm về sự phân bố khối lượng và cách xây dựng một

sự phân bố khối lượng trên một tập con bị chặn của Rn

1.3.1 Định nghĩa ([3]) Cho µ là một độ đo trên Rn

1) Giá của độ đo µ ký hiệu sptµ là tập đóng bé nhất sao cho µ(Rn\sptµ) = 0.2) Cho A ⊂ Rn ta nói µ là độ đo trên A nếu sptµ ⊂ A

3) Giả sử µ là một độ đo trên tập con bị chặn của Rn thỏa mãn 0 < µ(Rn) < +∞thì µ được gọi là một sự phân bố khối lượng (Mass distributions) và µ(A) được xem

là khối lượng của A ⊂ Rn

Nhận xét Giá của độ đo µ là một tập đóng bé nhất mà độ đo tập trung trên tập

đó Hơn nữa, với bất kỳ x ∈ sptµ và mọi r > 0 thì µ(B(x, r)) > 0

Ta thường mô tả sự phân bố khối lượng một cách trực quan Sau đây là cáchthông dụng thường dùng để xây dựng một sự phân bố khối lượng trên một tập con

bị chặn của Rn

1.3.2 Sự phân bố khối lượng trên một tập con bị chặn

Lấy ε0 = {E} với E là tập Borel trong Rn Với k = 1, 2, ta ký hiệu εk là tậphợp các tập con Borel rời nhau của E sao cho mỗi U ∈ εk đều được chứa trong mộtphần tử của εk−1 và chứa hữu hạn các phần tử của εk+1 Ta giả thiết rằng đườngkính của tập lớn nhất trong εk dần về 0 khi k → ∞ Ta xây dựng một sự phân bốkhối lượng trên E như sau

• Gán cho tập E một giá trị ký hiệu là µ(E) thuộc (0; +∞)

• Với mỗi Ui ∈ ε1 = {U1, U2, , Um} ta gán cho µ(Ui) một giá trị sao cho

µ là một sự phân bố khối lượng trên E

1.3.3 Định lý ([3]) (Nguyên lý về sự phân bố khối lượng) Cho F là một tập compact,khác rỗng trong Rn và µ là một sự phân bố khối lượng trên F Nếu với mỗi s > 0tồn tại c > 0 và δ > 0 sao cho µ(U ) 6 c|U |s với mọi U thỏa mãn |U | 6 δ thì

Hs

(F ) > µ(F )

c Hơn nữa, dimH(F ) > s

Chứng minh Giả sử {Ui} là δ−phủ F Khi đó, ta có

1.4 CHIỀU HAUSDORFF CỦA TẬP TỰ ĐỒNG DẠNG SINH BỞI

HỆ HÀM LẶP THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN TẬP MỞ

Phần này chúng tôi trình bày công thức tính chiều Hausdorff của một lớp cáctập sinh bởi hệ hàm lặp thỏa mãn điều kiện tập mở và trình bày một số ví dụ minhhọa

1.4.1 Định nghĩa ([3]) Ta nói rằng hệ hàm lặp {f1, f2, , fm} trên Rn thỏa mãnđiều kiện tập mở (OSC – Open Set Condition) nếu tồn tại tập mở V khác rỗngtrong Rn sao cho

Chứng minh Giả sử B có giao với Vi Khi đó Vi nằm trong hình cầu B0 đồng tâmvới B và có bán kính (1 + 2a2)r Giả sử có q tập Vi giao với B khi đó B0 chứa q hìnhcầu bán kính a1r Khi đó,

q(a1r)n 6 ((1 + 2a2)r)n

Dựa vào Bổ đề 1.4.2, nguyên lý về sự phân bố khối lượng và công thức tính chiềuHausdorff ta có định lý sau

dimHF = s ta chứng minh dimHF 6 s và dimHF > s.

Trước hết, ta chứng minh dimHF 6 s Với mọi tập A và mọi bộ k số tự nhiên

ij ∈ {1, 2, , m}(j = 1, 2, , k) ta ký hiệu Ai1,i2, ,ik = Si1◦ ◦ Sik(A) Dễ chứngminh được Si1◦ ◦ Sik là ánh xạ đồng dạng với tỷ số đồng dạng là ci = ci1ci2 cik.Đặt

Mặt khác, với mọi δ > 0 ta có thể chọn k đủ lớn sao cho

|Fi1,i2, ,ik| 6 (max ci)k|F | 6 δ (vì |Fi 1 ,i 2 , ,ik| = Si1 ◦ ◦ Sik(F ) = ci1ci2 cik|F |)

Vì vậy, họ {Fi1,i2, ,ik} với (i1, i2, , ik) ∈ Jk là một δ−phủ F Ta có

Điều này dẫn đến |F |s < +∞, hay ta có dimHF 6 s.

Bây giờ ta chứng minh chiều ngược lại là dimHF > s

Ký hiệu I = {(i1, i2, ) : 1 6 ij 6 m} và với dãy {(i1, i2, , ik)} cho trước, kýhiệu

Ii1,i2, ,ik = {(i1, i2, ik, qk+1, ) : 1 6 qj 6 m, j > k}

gồm những dãy trong I với k số hạng đầu là i1, i2, , ik Ta xây dựng một sự phân

bố khối lượng µ trên I bởi µ(Ii1,i2, ,ik) = (ci1 cik)s

Khi đó µ là một sự phân bố khối lượng trên các tập con của I với µ(I) = 1 Từ đó

ta thiết lập một sự phân bố khối lượng trên F như sau

Với mỗi tập con A của F , đặt µ(A) =e n(i1, i2, ) : xi1,i2, =

B là hình cầu bất kỳ bán kính r < 1 Ta ước lượng µ(B) bằng cách xét các tậpe

Vi1,i2, ,ik có đường kính có thể so sánh được với đường kính của B và của F ∩ B.Tiếp theo, ta rút gọn mỗi dãy vô hạn (i1, i2, ) ∈ I từ chỉ số thứ k sao cho

min

Do V1, , Vm không giao nhau nên với mỗi (i1, i2, , ik) ∈ Q thì lớp các tập

mở {V i1, i2, , ik: (i1, i2, , ik) ∈ Q} cũng không giao nhau Hơn nữa, ta có

Chọn a1 và a2 sao cho V chứa một hình cầu bán kính a1 và đồng thời V lạiđược chứa trong hình cầu bán kính a2 Khi đó, với mỗi (i1, i2, , ik) ∈ Q thì tập

Vi1,i2, ,ik chứa một hình cầu ci1 cika1 và Vi1,i2, ,ik lại được chứa trong hình cầubán kính ci1 cika2 Do đó, nhờ (1.13) ta có Vi1,i2, ,ik chứa hình cầu bán kính

Do bất kỳ một tập U ⊂ Rn đều được chứa trong một hình cầu có đường kính là

|U | Do đó theo (1.14) ta cóµ(U ) 6 q|U |e s Theo Định lý 1.3.3 ta có Hs(F ) > q−1 > 0.Theo định nghĩa dimHF ta có dimHF > s

1.4.4 Ví dụ 1) Tập λ−Cantor được mô tả trong Ví dụ 1.1.9.2) là mở rộng củatập cantor cổ điển Tập Cantor cổ điển là tập tự đồng dạng được sinh bởi hệ hàmlặp gồm hai ánh xạ đồng dạng

Theo Định lý 1.4.3, ta có dimHF = s với s là nghiệm của phương trình

 13

s

+ 13

s

= 1 hay s = log 2

log 3.2) Đệm Sierpinski là tập bất biến sinh bởi hệ hàm lặp gồm tám ánh xạ đồng dạng(1.6) với các tỉ số đồng dạng c1 = · · · = c8 = 13 thỏa mãn điều kiện tập mở với tập

mở V = (0; 1) × (0; 1) Ta có dimHF = s với s là nghiệm của phương trình

8 · 13

s

= 1 hay s = log 8

log 3.

CHƯƠNG 2 CHIỀU HAUSDORFF CỦA CÁC TẬP TỰ ĐỒNG DẠNG SINH BỞI HỆ HÀM LẶP THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN HỮU HẠN KIỂU CÓ PHỦ

Như chúng ta đã biết, nếu hệ hàm lặp thỏa mãn OSC thì Định lý 1.4.3 đã cho

ta công thức để tính chiều của tập Fractal sinh bởi hệ hàm lặp đó Tuy nhiên, trongthực tế, có rất nhiều hệ hàm lặp quan trọng không thỏa mãn OSC (ta gọi là hệhàm lặp có phủ) mà chúng ta cần tính chiều của Fractal sinh bởi hệ hàm lặp đó

Do vậy, phần này chúng tôi trình bày một trường hợp để tính chiều Hausdorff củatập Fractal sinh bởi hệ hàm lặp có phủ, đó là hệ hàm lặp thỏa mãn hữu hạn kiểu

Hình 2.1: Hình minh họa Fractal thỏa mãn OSC và Fractal có phủ

2.1 CHIỀU HAUSDORFF CỦA TẬP TỰ ĐỒNG DẠNG SINH BỞI

HỆ HÀM LẶP THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN HỮU HẠN KIỂU CÓ PHỦMục này trình bày một số khái niệm cơ bản và các ký hiệu, mô tả điều kiện hữuhạn kiểu của một hệ hàm lặp và xây dựng công thức tính chiều Hausdorff và chiềuhộp của Fractal sinh bởi hệ hàm lặp thỏa mãn điều kiện hữu hạn kiểu có phủ

Với mỗi j ∈ Σnq, ký hiệu |j| = n và gọi là độ dài của j.

Với mỗi i ∈ Σmq và j ∈ Σnq, ký hiệu ij ∈ Σm+nq là sự ghép nối của hai bộ i và j tagọi i là phần đầu của ij

Cho hệ hàm lặp {φj}qj=1 gồm các ánh xạ đồng dạng trên Rd xác định bởi

Rõ ràng mỗi ánh xạ φj(x) = ρjRjx + φj(0) với j ∈ Λk xác định duy nhất phần tử

v = (ρjRj, φj(0), k) ∈ V Khi đó, v được gọi là đỉnh Do đó, để đơn giản ta ký hiệu