Cho điểm A(3 ; 1).Tìm tọa độ B và C sao cho OABC là hình vuông và B nằm trong góc phần tư thứ nhất.Viết phương trình hai đường chéo và tìm tâm của hình vuông OABC.Viết phương trình đườ[r]
Trang 1Câu 1: Cho hàm số: y 2x 2
x 1
+
=
− đồ thị (C)
1 Khảo sát và vẽ (C) Tìm M(x;y) trên (C) mà x,y∈Z
2 Tìm trên đồ thị điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận của đồ thị là
2
2
=
d Câu 2:
x x
x
2 sin
1 sin
2
1 sin
2
2 Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm x ∈ [ 0 ; 3 ]:
0 ) 2 ( ) 1 2 2 ( x2 − x+ + +x −x ≤
Câu 3:
1 Trong hệ Oxy cho đường tròn (C): x2+y2=1 Đường tròn (C’) tâm I’(2;2) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B sao cho AB= 2 Viết phương trình đường tròn (C’)
2 Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có AB=a; AC=2a; AA1=2a 5 và
∠BAC=1200 Gọi M là trung điểm của CC1 Chứng minh: MB⊥MA1 và tính khoảng cách từ A đến mp(A1BM)
Câu 4:
1 Tính thể tích vật thể giới hạn bởi miền sau khi quay quanh Oy:
}
; 1 2
; 1 x
5 x
+
+
=
D
2 Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn lớn hơn 2008 gồm 4 chữ số đôi một khác nhau mà mỗi số luôn có mặt chữ số 8
Câu 5:
1 Giải bất phương trình: (logx8+log4x2)log2 2x ≥0
2 Chứng minh với mọi a,b,c ta có:
4
3 b a c 2
c a
c b 2
b c
b a 2
a
2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
≤ + +
+ + +
+ + +
Trang 2Câu 1: Cho hàm số: y 2x m
x 1
+
= + đồ thị (Cm)
1 Khảo sát khi m=-1 Từ đó suy ra đồ thị hàm số: y (2x 1)
| x 1|
−
= +
2 Tìm m để qua A(0;1) không kẻ được tiếp tuyến nào đến (C)
Câu 2:
1 Xác định tất cả các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm:
4 x x 4 m x x
2 Nhận dạng tam giác ABC biết:
2
C cos 10 2
B cos 11 2
A cos 12 C sin 23 B sin 22 A sin
Câu 3:
1 Tính tích phân: ∫
π
+
+
= 4 0
dx x cos 4 x sin
x cos 3 x sin 2
2 Giải phương trình:
16 log 2 4 log ) 4 x ( ) 1 x ( log 4 ) 1 x ( log ) 4 x ( − 2 4 − − 4 − = − 2 x−1 − x−1 Câu 4:
1 Lập phương trình các cạnh của hình chữ nhật ABCD biết AB=2AD, tâm I(1;1), và M(2;4); N(-2;-1) lần lượt thuộc các cạnh AB và CD
2 Trong không gian cho (d1):
=
=
=
t z
t y
t x
và (d2):
= + +
= + +
0 5
3
0 2
z y x
z y x
Chứng tỏ
(d1) và (d2) cắt nhau Viết phương trình phân giác của góc tạo bởi (d1) và (d2) Câu 5:
1 Tìm hệ số của số hạng chứa x38 trong khai triển của:
20 2 ) x x 2 ( ) x (
2 Cho a,b,c>0 và abc=1 Hãy chứng minh:
b ) a c (
1 a
) c b (
1 c
) b a (
1 2
c b a
+
+ +
+ +
≥ + +
Trang 3
Câu 1: Cho hàm số: y 2 m
x 2
= +
− đồ thị (Cm)
1 Với m=1: +Khảo sát (C1)
+Tìm trên đồ thị điểm M để IM nhỏ nhất ( Với I là giao điểm hai tiệm cận)
2 Tìm m để trên (Cm) có hai điểm A, B mà A, B đối xứng nhau qua gốc toạ độ
Câu 2:
1 Giải phương trình:
) cos 3 (sin
3 1 cos sin 3 2 cos
2 Giải hệ phương trình:
−
= +
−
= +
−
1
1 2
3
2 2 3 2
xy x y x
y x y x x
Câu 3:
1 Trong không gian cho A(2;0;0); B(0;4;0); C(2;4;6) và đường thẳng (d):
=
− +
+
= +
−
0 24 2
3
6
0 2
3
6
z y
x
z y
x
.Chứng tỏ AB và OC chéo nhau từ đó viết phương trình đường thẳng song song với (d) và cắt cả hai đường thẳng AB và OC
2 Trên các cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông ABCD lần lượt 1, 2, 3,
n điểm phân biệt và khác A, B, C, D Biết số tam giác có ba đỉnh lấy từ n+6 điểm đã cho là 439 Tìm n?
Câu 4:
1 Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi miền D={4y=x2; y=x} khi quay quanh Ox; Oy?
2 Cho tam giác ABC có trọng tâm G(-2;0) Biết các đường thẳng qua AB
và AC lần lượt có phương trình: 4x+y+14=0; 2x+5y-2=0 Tính toạ độ các đỉnh
A, B, C
Câu 5:
1 Cho a, b, c>0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
) (
2 ) (
4 ) (
4 ) (
4
2 2 2
3 3 3
3 3 3
3 3 3
x
z z
y y
x x
z z
y y
x
2 Giải phương trình:
2 x log 2
1 4 log
1 )
1 x (
1 x
+
Trang 4Câu 1: Cho hàm số y=x3−6x2+3mx+ −2 m (1)
1 Xác định tham số m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại M1(x1;y1) và điểm cực tiểu M2(x2;y2) thỏa điều kiện: 1 2
0 (x x )(x x 2)
2 Khảo sát hàm số khi m=3 đồ thị là (C) Gọi (D) là đừơng thẳng qua điểm A(0;-1) và có hệ số góc k Tìm tất cả các giá trị của k để (D) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A,B,C sao cho BC= 2 2
Câu 2:
1 Giải bất phương trình:
x
2 Tìm các nghiệm của phương trình: 12sin x2 +2006cos2006x=2006 thoả mãn điều kiện: x 1− ≤9
Câu 3:
1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
y=x −2x+2, y=x +4x+5, y 1=
2 Chứng minh rằng:
2
+
Câu 4:
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol (P) có phương trình
2
4
=
y x Gọi d là đường thẳng đi qua tiêu điểm F của (P) và cắt (P) ở hai điểm
A, B sao cho FA = 2FB Tính AB
2 Trong không gian Oxyz, cho 2 đường thẳng(d) : 2x 3y 4 0
+ − =
x 1 y 2 z 1
( ) :
∆ = = Chứng minh (d) và ( ∆ ) chéo nhau và tính khỏang cách giữa chúng Lấy hai điểm phân biệt A,B và cố định trên đường thẳng (d) sao cho
AB= 117 Gọi C là 1 điểm di động trên (d), tìm GTNN của diện tích tam giác ABC
Câu 5: Cho 3 số dương a,b,c thỏa abc=10 Chứng minh rằng ta luôn có:
lg a lg b lg c 1 1 1
4 + 4 + 4 ≤ 4 + 4 +4
Trang 5Câu I (2 điểm)
Cho hàm số: y (m 1)x m
x m
=
−
1 Tìm m để hàm số đồng biến trên tập xác định Khảo sát sự biến thiên và
vẽ đồ thị của hàm số khi m = - 1
2 Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị (Cm)có hai điểm A, B đối xứng nhau qua đường phân giác goác phần tư thứ nhất
Câu II (2 điểm)
1 Giải phương trình:
tanx+tan2x+sin3xcos2x=0
2 Giải bất phương trình:
1 x 2
1 5
x 3 x 2
1
2 + − > −
Câu III (1 điểm)
1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm B(−1; 3;0);
)
0
;
3
;
1
(
C ; M(0;0:a) với a > 0 Trên trục Oz lấy điểm N sao cho mặt phẳng (NBC) vuông góc với mặt phẳng (MBC)
a) Cho a= 3 Tìm góc giữa mặt phẳng (NBC) và mặt phẳng (OBC)
b) Tìm a để thể tích của khối chóp BCMN nhỏ nhất
2 Trong hệ Oxy cho (E): 1
5
y 9
x2 2
= + Lấy hai điểm M(-3;m), N(3;n) Khi MN tiếp xúc với (E) tìm m, n để tam giác F1MN có diện tích nhỏ nhất với
F1 là tiêu điểm bên trái của (E)
Câu IV (2 điểm)
1 Tính tích phân: dx
1 x ln x
) x ln x (ln e
3
∫
+
+
2 Từ tám chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5,6,7 lập được bao nhiêu số có sáu chữ số
là số chẵn sao cho trong số có sáu chữ số đó có hai chữ số 2 còn các chữ số khác xuất hiện không quá một lần
Câu V (1 điểm)
Cho a,b,c>0 và a+b+c=3 Tìm giá trị nhỏ nhất của:
2 2
2
a 1
c 1 c 1
b 1 b 1
a 1 A
+
+ + +
+ + + +
Trang 6Câu I (2 điểm)
Cho hàm số 4 3 2 1
y=x − x +
1 Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
2 Tìm trên trục tung điểm M mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến đến đồ thị hàm số trên và hai tiếp tuyến đó đối xứng nhau qua trục tung và vuông góc với nhau
Câu III (1 điểm)
Tính tích phân: 1 ln(1 2)
0
x +x dx
∫
Câu VI (1 điểm)
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC Phương trình đường thẳng chứa cạnh AB là y=2x, phương trình đường thẳng chứa cạnh AC
là y= −0, 25x+2, 25, trọng tâm G của tam giác có tọa độ 8 7;
3 3
Tính
diện tích của tam giác ABC
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0), A' 0;0;1( ) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN
Câu VII (1 điểm)
Tìm số hạng chứa x2 trong khai triển biểu thức 1 2 3
n
x x x
− + , biết n là
số tự nhiên thỏa mãn hệ thức 6 2 454
4
n
C n−− +nAn =
Trang 7Câu I (2 điểm)
Cho hàm số y=2x3−3(2m+1)x2+6 (m m+1)x+1 có đồ thị (Cm)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0
2 Tìm m để (Cm) có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng (d) : y = x + 2
Câu II (2 điểm)
1 Giải phương trình : 2x2+ =4 5 x3+1
2 Giải phương trình : log 2( 1 log) (2 1 2) 2log 22 0
1 3
Câu III (1 điểm)
1 Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) ( 2)2
7 (2 1)
x
f x
x
+
=
−
2 Có 7 cái hộp và 10 viên bi (mỗi hộp này đều có khả năng chứa nhiều hơn 10 viên bi) Hỏi có tất cả bao nhiêu cách đưa 10 viên bi này vào 7 hộp đó ?
Câu IV (1 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), SA =
3a Đáy ABCD là hình bình hành, AB = a, BC = 2a và ABC=600 Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và SD Chứng minh rằng MN song song với mặt
phẳng (SAB) Tính thể tích khối tứ diện MANC, theo a
Câu V (1 điểm)
1 Cho x > y > 0 Chứng minh rằng 5lnx−4lny≥ln(5x−4 )y
2 Giải hệ phương trình 2log (2 ) log2 log (52 )
Câu VI (2 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A(1 ; 0), B(3 ; −1) và đường thẳng (d) : x − 2y −1 = 0 Tìm điểm C thuộc (d) sao cho diện tích tam giác ABC bằng 6
2 Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(3 ; 1 ; 1), B(1 ; 2 ; −1) và đường thẳng ( ) : 1
d − = = Tìm hình chiếu vuông góc A', B' của A, của B lên (d) và viết phương trình đường thẳng đi qua A', B'
Trang 8Câu I (2 điểm)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y=2x3−x2
2 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình:
( 1− +x x)3− x(1− =x) m có nghiệm
Câu II (2 điểm)
1 Giải hệ phương trình:
3 2 2 2
x xy
x xy y x
+ =
2 Tìm m để phương trình 2x2−2mx+ =1 3 4x3+2x có hai nghiệm thực phân biệt
Câu IV (1 điểm)
1 Tính tích phân:
2 ln2
2
x
e dx I
x x
e e
= ∫
+ −
2 Giải phương trình:
26 15 3 x 8 4 3 2 3 x 2 3 x− 0
Câu V (1 điểm)
1 Tìm hệ số x4 trong khai triển đa thức của biểu thức:
3 9 2 23 15
P= x − x + x−
2 Cho a b c, , > 0 thoả mãn abc= 1 Tìm GTLN của:
P
ab bc ca a b c
Câu VI.a (2 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A nằm trên đường thẳng ( )d :x−4y− =2 0, cạnh BC song song với (d), phương trình
đường cao BH: x+ + =y 3 0 và trung điểm cạnh AC là M( )1;1 Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) có phương trình: x+ + + =y z 3 0 và các điểm A(3;1;1), B(7;3;9), C(2;2;2).Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho MA+4MB+9MC đạt giá trị nhỏ nhất
Trang 9Câu I (2 điểm)
Cho hàm số y = x3 – 3x + 1 có đồ thị (C) và đường thẳng (d): y = mx + m + 3
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2 Tìm m để (d) cắt (C) tại M(-1; 3), N, P sao cho tiếp tuyến của (C) tại N
và P vuông góc nhau
Câu II (2 điểm)
1 Giải hệ phương trình: ( 1)( 1)( 2) 6
2 Giải phương trình : tan 2x+cotx=8cos2x
Câu III (1 điểm)
1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y=2x,
3
y= −x, trục hoành và trục tung
2 Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta đều có:
3 Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn: x2+y2+z2 = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất: F xy yz zx
Câu IV (1 điểm)
1 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, O là giao điểm của AC và BD Biết mặt bên của hình chóp là tam giác đều và khỏang cách từ O đến mặt bên là
d Tính thể tích khối chóp đã cho
2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độOxy, cho hai điểm A(1 ; 2), B(1 ; 6) và đường tròn (C): ( ) (2 )2
x− + −y = Lập phương trình đường tròn (C’) qua B
và tiếp xúc với (C) tại A
3 a) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A a( ;0;0),
(0; ;0)
B b , C(0;0;c với a, b, c là những số dương thay đổi sao cho )
a +b +c = Xác định a, b, c để khỏang cách từ O đến mp(ABC) lớn nhất
b) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Oz và tạo với mặt phẳng (Q): 2x+ −y 3z=0 một góc 600
Trang 10Câu I (2 điểm)Cho hàm số 2 1
1
x y x
+
= − (1)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) Viết phương trình đường thẳng nối hai tiếp điểm A, B của hai tiếp tuyến (C) có cùng hệ số góc
k=-15
2 Tìm k để đường thẳng d: y= +kx 3 cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm
M, N sao cho tam giác OMN vuông góc tại O ( O là gốc tọa độ)
Câu II (2 điểm)
1 Giải hệ phương trình:
x y x y x y
x y
2 Cho phương trình: cos 4x=cos 32 x m+ sin2x Tìm m để phương trình
có nghiệm trong khỏang 0;
12
π
Câu III (2 điểm)
1 Tính tích phân:
2
2 1 1 0
x
x
+
2 Tìm m để mọi nghiệm của phương trình: ( 2 +x) (m+ 2 −x)m = 2 2
cũng là nghiệm của phương trình: ( )
3 2 2
log 9
3 log 3
x x
−
=
−
Câu IV (3 điểm)
1 Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân có cạnh huyền AB= 2 Mặt bên (AA’B) vuông góc với mặt phẳng (ABC), ' 3
AA = , góc A’AB nhọn và mặt phẳng (A’AC) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 600 Tính thể tích khối lăng trụ
2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng d:
x− y+ − = và đường tròn (C): 2x +y2 2− − =x 3 0cắt nhau tại hai điểm
A, B Lập phương trình đường tròn (C’) đi qua ba điểm A, B và điểm C( )0;2
Câu V (1 điểm)
1 Cho n∈N n, ≥2 Chứng minh rằng:
1
0 1. . 2
1
n n n
C C C n n n C n
n
−
−
2 Cho a,b,c>0 và thoả: a+ + ≤b c 1 Tìm Min:
a b c F
b c a ab bc ca
Trang 11Cõu I (2 điểm)
Cho hàm số: 2 4
1
x y x
−
= + (C)
1 Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C) của hàm số Tỡm trờn đồ thị (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng MN, biết M(−3;0) và N(− −1; 1)
2 Tớnh thể tớch vật tạo bởi (C); trục Ox, cỏc đường thẳng x=0; x=2 khi quay quanh Ox
Cõu II (2 điểm)
4cos cos 2 cos 4 cos
x
2 Giải phương trỡnh: 3 2x x=3x +2x+1
Cõu III (2 điểm)
1 Tớnh tớch phõn:
2
0
1 sin
1 cos
x
x
x
π
+
= ∫ +
2 Giải hệ phương trỡnh: 8
5
x x y x y y
x y
− =
Cõu IV (3 điểm)
1 Cho hỡnh chúp tam giỏc đều S.ABC độ dài cạnh bờn bằng 1 Cỏc mặt bờn hợp với mặt phẳng đỏy một gúc α Tớnh thể tớch hỡnh cầu ngoại tiếp hỡnh chúp S.ABC
2 Trong hệ tọa độ Đề cỏc Oxyz cho đường thẳng d cú phương trỡnh
2 3
2
4 2
y t t R
= +
= +
và hai điểm A(1;2; 1− ), B(7; 2;3− ).Tỡm trờn đường thẳng d
những điểm sao cho tổng khoảng cỏch từ đú đến A và B là nhỏ nhất
3 Cho tam giác ABC : A(1; -2), B(4; 2), C(1; -1) Tìm toạ độ chân phân
giác trong và ngoài góc A
Cõu VI (1 điểm)
1 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của hàm số:
2
cos sin 2cos sin
x y
=
− với 0 x 3
π
< ≤
2 Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của x trong khai triển nhị thức Niu-tơn:
log 10 3 5 2 log3
n
, biết rằng số hạng thứ sỏu của khai triển (theo
thứ tự số mũ giảm dần của 2log 10 3
x
−
) bằng 21 và 1C n+C n3=2C n2
Trang 12Câu I (2 điểm)
1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: 2
1
x y x
−
=
− (C)
2 Chứng minh rằng với mọi giá trị thực của m, đường thẳng y= − +x m (d)
luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng AB
Câu II (2 điểm)
1 Giải phương trình: 3x2 2 1.2 x x− =6
2 Giải phương trình: tan tan sin 3 sin sin 2
Câu III (2 điểm)
1 Tính tích phân:
3
0 sin 3 cos
xdx I
π
= ∫
+
( )
2 2
xy x y x 2y 1
x 2y y x 1 2x 2y 2
+ + = −
Câu IV (3 điểm)
1.Tính thể tích hình chóp S.ABCD biết SA a= , SB=b , SC =c,
ASB 60o
∠ = , ∠BSC=90o, ∠CSA=120o
2 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, cho hai đường thẳng có phương trình 1 0( )
1
x+ + =y d ; 2 1 0( )
2
x− − =y d Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M( )1;1 cắt (d1), (d2) tương ứng tại A, B sao cho
2MA MB+=0
3 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;0;0),
(0;2;0)
B , C(0;0;3) Tìm tọa độ trực tâm của tam giác ABC
Câu V (1 điểm)
1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P= x+ + y+ + z+ , trong đó x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện xyz=8
2 Kí hiệu x1, x2 là hai nghiệm phức của phương trình bậc hai
2
2x − + =2x 1 0 Tính các giá trị các số phức 4 4
F
x x
= +