Trong việc học toán ở chương trình THCS và THPT việc hệ thống và nắm được các kiến thức một cách có hệ thống và tự phân thành các dạng kiến thức cho bản thân học sinh là rất khó.[r]
Trang 1CÁC PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG ĐỂ GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
A- Đặt vấn đề :
Trong việc học tốn ở chương trình THCS và THPT việc hệ thống và nắm được các kiến thức một cách cĩ hệ thống và tự phân thành các dạng kiến thức cho bản thân học sinh là rất khĩ Chính vì vậy cần hệ thống hố lại tồn bộ các dạng và phương pháp giải phương trình vơ tỉ, giúp các em hiểu sâu hơn và cĩ cách nhìn sâu hơn về phương trình vơ
tỉ và từ đĩ cũng biết cách làm tương tự đối với các dạng tốn khác
B - Nội dung :
I) Phương pháp biến đổi tương đương
A) Lí thuyết
√a=√b ⇔ a=b ≥ 0
√a=b ⇔ b 0
a = b2
√a+√b=√c ⇔ a 0 , b 0
a + b + 2 √ab = c
*) Thí dụ áp dụng
+) Giải các phương trình sau
a) x - 2x 3= 0
Ta cĩ : x = 2x 3 ⇔ x ≥ 0
x2=2 x +3 ⇔ x ≥ 0
x2−2 x − 3=0 ⇔
x ≥0
x=−1 , x=3 ⇔ x = 3
b) x 4 1 x 1 2 x √x − 4=√1 − x +√1− 2 x
⇔
1 2 0
x
x
⇔
x ≤1
2
2 x +1=√2 x2−3 x +1
⇔
x ≤1
2
2 x+1 ≥ 0 (2 x +1)2=2 x2− 3 x +1
⇔ −
1
2≤ x ≤
1 2
2 x2+7 x=0
⇔
−1
2≤ x ≤
1 2
x=0 , x=−7
2
⇔
x = 0
c) √x −1=√x2−3 x −1 ⇔ x −1 ≥0
x −1=x2−3 x −1 ⇔ x ≥ 1
x2− 4 x=0 ⇔
x ≥ 1
x=0 , x=4
⇔ x = 4
Trang 2d) √4 x +1−√3 x −2= x +3
5 ⇔
4 x +1 ≥ 0
3 x −2 ≥ 0
x +3
√4 x+1+√3 x − 2=
x +3
5
2 3
√4 x +1+√3 x −2=5
2 3
( √4 x +1+√3 x −2)2=25
⇔
x ≥2
3
2√12 x2−5 x − 2=26 − 7 x
⇔
x ≥2
3
26 −7 x ≥ 0
4(12 x2− 5 x −2)=(26 −7 x )2
⇔
x ≥2
3
x ≤26
7
x2−344 x +684=0
⇔
2
3≤ x ≤
26
7
x=2 , x =342
⇔ x = 2
II) Phương pháp đổi biến
*) Phương trình dạng : af(x) + b √f (x ) + c = 0
*) Phương pháp
Đặt √f (x ) = t ( t 0 )
phương trình tương đương với
at2 + bt + c = 0 Tìm t bằng cách giải phương trình bậc II
*)Thí dụ áp dụng
+) Giải các phương trình sau
a) x(x + 1) - √x2
+x +4 +2=0
⇔ x2
+x+4 −√x2
+x+4 − 2=0
Đặt √x2+x +4 = t ( t 0 )
Phương trình ⇔ t2 - t - 2 = 0 ⇔ t = -1 (Loại) , t = 2 (Nhận)
Với t = 2 ⇔ √x2
+x +4 = 2 ⇔ x2 + x = 0 ⇔ x = 0 , x = -1 b) √5 x2+10 x+1=7 − x2− 2 x
Đặt √5 x2+10 x+1=t (t 0 )
⇔ 5x2 + 10x + 1 = t2
⇔ x2 + 2x = t2− 1
5
pt ⇔ t = 7 - t2− 1
5 ⇔ t2 + 5t - 36 = 0 ⇔ t = 4 (nhận), t = -9(loại) Với t = 4 ⇔ x2 + 2x - 3 = 0 ⇔ x = 1 , x = -3
*) Dạng √a+cx +√b −cx +d√(a+cx ) (b− cx )=n (1) trong đó a, b, c, d, n là các hằng
số, c > 0, d 0
*) Phương pháp
Điều kiện : a + cx 0 , b - cx 0
Trang 3Đặt √a+cx +√b −cx = t ( t 0 )
⇔ 2√( a+cx )(b − cx )=t2− a− b
phương trình đã cho có dạng
2t + d( t2- a - b) = 2n "Tìm t bằng cách giải phương trình bậc hai"
+)Thí dụ áp dụng
+) Giải các phương trình sau
a) √x+1+√3 − x −√( x+1) (3 − x )=2
Điều kiện : x +1 ≥ 0
3 − x ≥ 0 ⇔ -1 x 3 Đặt t=√x+1+√3 − x , ( t 0 )
⇔ 2√(x+1)(3 − x )=t2− 4
pt ⇔ t2 - 2t = 0 ⇔ t = 0, t = 2
+) Với t = 0 không tồn tại x
+) Với t = 2 ⇔ x=-1, x = 3
b) √2 x +3+√x+1=3 x+ 2√2 x2+5 x+3− 16 ( 1 )
Điều kiện : 2 x +3 ≥ 0 x+1 ≥ 0 ⇔ x ≥ −
3 2
x ≥ −1
⇔ x -1
Đặt : √2 x +3+√x+1=t , ( t 0 )
⇔ 3x + 2 √2 x2+5 x+3 = t2 - 4
pt ( 1 ) ⇔ t2 - t - 20 = 0 ⇔ t = 5 ( nhận ), t = - 4 ( loại )
Với t = 5 ⇔ 2 √2 x2+5 x+3 = 21 - 3x
21− 3 x ≥ 0
4 (2 x2+5 x +3)=441 −216 x +9 x2 ⇔ x ≤
21 3
x2−236 x +429=0
⇔
x=upload.123doc.net −√1345
*) Phương trình dạng
√x+a2− b+2 a√x −b +√x +a2− b −2 a√x −b=cx +m
Trong đó a, b, c, m là hằng số, a 0
*) Phương pháp
Đặt : t = √x −b , ( t 0 )
⇔ x = t2 + b
pt ⇔ |t+a|+|t −a|=c(t2+b)+m
- Xét hai trường hợp :
+) t a , thì phương trình trở thành 2t = ct2 + bc + m ⇔ ct2 - 2t + bc + m = 0 +) 0 t a thì phương trình trở thành , ct2 - 2a + bc + m = 0
*) Thí dụ áp dụng
+) Giải phương trình sau
√x+6√x − 9+√x − 6√x −9= x +23
6 Đặt : √x − 9=t , ( t 0 ) Khi đó x = t2 +9
Phương trình trở thành : 6 ( √(t +3)2+√(t −3)2)=t2
+32
⇔ 6 (|t +3|+|t −3|)=t2+32
TH1 : Với t 3 pt ⇔ t2 - 12t + 32 = 0 ⇔ t = 8 , t = 4
khi t = 4 ⇔ x = 25
Khi t = 8 ⇔ x = 73
Trang 4TH2 : Với 0 t 3 pt ⇔ t2 = 4 ⇔ t = 2
Khi t = 2 ⇔ x = 13
Vậy phương trình đã cho có 3 n0 : x1 = 25 , x2 = 73 , x3 = 13
III) Phương pháp đưa về hệ
*) Nhận dạng tổng ( hiệu ) các biểu thức dưới dấu căn không phụ thuộc vào biến
*) Phương pháp : đổi biến để đưa về các hệ phương trình cơ bản
+) Thí dụ áp dụng
+) Giải các phương trình sau
a) √25− x2−√10 − x2=3
TXĐ : −√10 ≤ x ≤√10
Đặt : √25− x2=u
√10− x2=v (u, v 0 )
Ta có hệ phương trình u− v =3
u2− v2=15 ⇔ u − v=3 u+v=5 ⇔ u=4 v=1 ⇒ x =
±3
b) 3
√2− x+√x − 1=1
TXĐ : x 1
Đặt 3
√2− x=a và √x −1=b ( b 0 )
Ta có hệ phương trình
a+b=1
a3+b2=1 Giải hệ phương trình ta có
a=0 b=1 ;
a=1 b=0 ;
a=−2 b=3
Từ đó ta có các nghiệm là : x1= 2 ; x2= 1; x3 = 10
*) Phương trình dạng : x 2 + √x+a=a Với a 0
*) Phương pháp
Đặt y = √x+a ( y 0 )
⇔ y2= x + a
+) Kết hợp với đầu bài ta có hệ phương trình
x2
+y=a
y2− x=a ⇔ x2 - y2 + y + x = 0 ⇔ ( x + y )( x - y + 1 ) = 0
⇔
1
x y
x y
TH1: x = - y Suy ra phương trình có dạng
y2+ y - a = 0 " Tìm y bằng cách giải phương trình bậc hai"
TH2 : x = y - 1 Suy ra phương trình có dạng
y2 - y + 1 - a = 0 "Tìm y bằng cách giải phương trình bậc hai"
IV) Phương pháp đánh giá
+)Phương đánh giá thường sử dụng các bất đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hai vế để tìm nghiệm
*) Các ví dụ áp dụng
+) Giải các phương trình sau
Trang 5a) √x −2+√4 − x = x2 - 6x + 11
+) Xét (VT)2 = ( √x −2+√4 − x )2 ( 12 + 12)( x - 2 + 4 - x ) = 4
VT 2 , VT = 2 ⇔ x = 3
+) Xét VP = ( x - 3 )2 + 2 2 , VP = 2 ⇔ x = 3
Vậy phương trình có nghiệm x = 3
b) √3 x2+6 x +7+√5 x2+10 x+ 14=4 − 2 x − x2
Ta có VT =
x+1¿2+4
¿
x +1¿2+9
¿
5¿
3¿
√¿
VT = 5 ⇔ x = -1
Ta có VP = 4 - 2x - x2 = 5 - (x + 1)2 5
VP = 5 ⇔ x = -1
Vậy phương trình có nghiệm x = -1
c) x
√4 x −1+
√4 x − 1
x =2
ĐK : x > 14
áp dụng bất đẳng cosi cho VT ta được
x
√4 x −1+
√4 x − 1
x ≥ 2√ x
√4 x − 1 ⋅√4 x − 1
x =2 dấu = xẩy ra ⇔ x = √4 x −1
⇔ x2 - 4x + 1 = 0 ⇔ x = 2 ±√3 , thỏa mãn
V) Phương pháp sử dụng nghiệm duy nhất
+) Nhận dạng: VT luôn tăng hoặc luôn giảm, vế phải luôn tăng hoặc luôn giảm +) Phương pháp: Đoán nghiệm sau đó chứng minh nghiệm đó là nghiệm duy nhất
*) Các ví dụ áp dụng
+) Giải phương trình sau
3
√x −2+√x +1=3
ĐK : x - 1
Ta thấy x = 3 là nghiệm của phương trình
+) Xét x > 3 3
√x −2>1 ; √x+1>2 VT > 3 phương trình không có nghiệm x
> 3
+) Xét -1 x < 3 thì 3
√x −2<1 ; √x+1<2 VT < 3 phương trình không có nghiệm -1 x < 3
Bài tập tự luyện
Giải các phương trình sau
1) √3 x2−9 x+1+ x −2=0
2) √x+1+√x − 1=4
3) √3 x +4+√x − 3=√4 x+9
4) √x2−6 x +6=2 x −1
5) x2 + 3x + 1 = (x + 3) √x2
+1 6) 3(2+√x −2)=2 x +√x+6
7) √x+1+√x +10=√x +2+√x +5
8) √x+3 −√7 − x =√2 x − 8
Trang 69) x+√x +1
2+√x+1
4=2 10) ( x - 3 )( x + 1 ) + 4( x - 3 ) √ x+1
x − 3=−3
11) √3+x+√6 − x −√(3+ x ) (6 − x )=3
12) x x 1 x x 2 x x 3
13) x 1 2x1 x 1 1 x3 1 x2
14)
2
7
1
x
x x x
15) x1 1 32 x1 2 x
16) x 94 96 x x2190x9027
2
x y z x y z 18)x y z 4 2 x 2 4 y 3 6 z 5 19)3x22x2 x2 x 1 x
20)
2 2 3
3 1
x x
x x
21)
14
x x
x
23) 3 x4 49 4 3 x312 3x
24) 2x28x 6 x21 2 x2
25)x2 4x8 x1
26) √x+√2 x −1+√x −√2 x −1=√2
27) 1+2
3√x − x2
=√x+√1 − x
28) √x −2 −√x +2=2√x2− 4 −2 x+ 2
29) 3x2 + 2x = 2√x +x2+1 − x
30) √x+2 − 4√x −2+√x +7 −6√x − 2=1
31) √10− 2 x −√2 x +3=1
32) √48 − x3
+√35− x3=13 33) 3
√x −1+3=4
√82− x
34) x+√17 − x2+x√17 − x2 = 9
35) x3 + 1 = 2 3
√2 x −1
36) x2 + √x+7=7
37) x2 + √x+5=5
38)5 x3 1 2x22
Trang 739)x2 4x 5 2 2x3
40)x2 x 6 4 3x 2
41) 3x26x12 5x410x29 3 4 x 2x2 42)
2
3 2
2 2
x x
x x x
43) x2 x 5 x2 x 3 x2 3x4
44) x 2 10 x x212x40
45)
3
2 3
6 1
y x
46)
3
2
xy
x y y x
47)x2 y22x4y 1 2 x22x3 y24y 2
48) 4x 1 x3 1 2x32x 1
49) x2 – 1 = 2x x2 2x