VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN DẠNG 3... Điều kiện x∈ℝ... Thử lại x= ±1 thỏa mãn phương trình đã cho.
Trang 1VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
DẠNG 3 PP HÀM SỐ - ĐÁNH GIÁ
Ví dụ 1 [ĐVH]: Giải phương trình ( ) 3
x+ x− = x− +
Lời giải:
Đ K: x≥3, đặt a= x−3 ta có: ( 2 ) 3 3 ( ) 3
a + a= x− + ⇔a + x− + a+ + a= x− + x−
⇔ + + + + = − + − ⇔ + + + = − + −
Xét hàm ( ) 3
3
f t = +t t đồng biến trên R do đó 3 3
PT ⇔ + =a x− ⇒ x− + = x−
Đặt
( )
3
2 3
1
t
≥
− = −
Ví dụ 2 [ĐVH]: Giải phương trình ( )2
x− + x+ = + x+ + + x −
Lời giải:
DK: 1
8
x≥ −
Khi đó ta có: PT ⇔x2−2x+ +7 x+ =3 2 1 8+ x+ 1+ 1 8+ x
2
⇔ + + + + = + + + + + + +
⇔ + + + = + + + + +
Xét hàm số: ( ) 2 ( )
0
f t = +t t t≥ ta có: ( ) 1
2
t
= + > ∀ > do đó hàm số f t( ) đồng biến trên
[0;+∞) Khi đó ta có: f x( + =3) f ( 1 8+ x+ ⇔ + =1) x 3 1 8+ x+ ⇔ + =1 x 2 1 8+ x
( )
4 3 0
3
x
x
=
⇔ − + = ⇔
=
Vậy nghiệm của PT là: x=1;x=3
Ví dụ 3 [ĐVH]: Giải phương trình 2 8 1 1 21 2
x
x x
−
− − = −
+ −
Lời giải:
7
x
− +
f t t t t
t
= − − >
f t t t t
= + − = + + − ≥ − = , nên f t( ) đồng biến trên (0;+∞)
2
1
5 17
2
5 2 0
x
x x
CÁC PP TRỌNG TÂM GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – P4
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
Trang 2Vậy PT có nghiệm duy nhất là: 5 17
2
x= +
Ví dụ 4 [ĐVH]: Giải phương trình 7 3 3 7 2
Lời giải
Điều kiện x≠0 Phương trình tương đương
f t = +t t t∈ℝ⇒ f′ t = t + > ∀ ∈t ℝ
Hàm số liên tục và đồng biến trên tập hợp số thực nên thu được
2
1 0
x
x
+ = + ⇔ + = + ⇔ + = + + +
− =
+ = −
Kết luận phương trình có nghiệm duy nhất
Ví dụ 5 [ĐVH]: Giải phương trình 2( 2 ) 3 3 1
x
Lời giải
Điều kiện x≠0 Phương trình tương đương
+ − = + ⇔ + − = + ⇔ − + − = +
f t = t + ∈t t ℝ⇒ f′ t = t + > ∀ ∈t ℝ
Hàm số liên tục, đồng biến trên tập hợp số thực nên dẫn đến
− = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ = ⇔ ∈ −
Kết luận bài toán có hai nghiệm kể trên
Ví dụ 6 [ĐVH]: Giải p ươn trìn 3 2 3 3 2 ( )
Lời giải
Điều kiện x∈ℝ Phương trình đã cho tương đương với
3
⇔ − + − + + = − + − + + − + − +
Xét hàm số ( ) 3
2
f t = +t t ta có ( ) 2
f′ t = t + > ∀ ∈t ℝ
Do vậy hàm số f t( )liên tục và đồng biến trên ℝ
∗ ⇔ − = − + − + ⇔ − = − + − +
Thử lại ba giá trị trên đều thỏa mãn phương trình ban đầu Kết luận tập hợp nghiệm S ={1; 2;3}
Ví dụ 7 [ĐVH]: Giải phương trình
+ − = −
Lời giải:
2
1 9
5 6
1 3
x
x x
+
Trang 3( ) ( ) ( )
Xét hàm số ( ) 3
2
f t = t + > nên f t( ) đồng biến trên R
f x+ = f x + ⇔ + =x x + ⇔ =x
Vậy x=0 là nghiệm duy nhất của PT đã cho
Ví dụ 8 [ĐVH]: Giải phương trình ( 2 )3 ( ) (2 )
x − x− + −x = x− x− +
Lời giải:
ĐK: x≥1 Khi đó: ( 2 )3 2 ( )
PT ⇔ x − x− + −x x− = x− + x− ( ) (3 ) ( )3
Xét hàm số ( ) 3 ( ) 2
f t = +t t f t = t + > f t( )đồng biến trên R
f x − x− = f x− ⇔ x − x− = x− ( 2 ) ( )
⇔ − − + − − =
x
x x
+ −
Do vậy PT có nghiệm duy nhất x=5
Ví dụ 9 [ĐVH]: Giải phương trình 2
2 4
x x
Lời giải:
ĐK:
1
2 2
x
x
< <
− < <
2 4
2
−
Xét hàm số: ( ) 1 ( )
0
f t t t
t
= − > ta có: ( ) 2
2
f t
t t
= + > do đó hàm số f t( ) đồng biến với t>0
Khi đó ta có:
x
−
2
t= +x −x ta có: 2 2 1
2
t
t t
t
= −
= − ⇔
=
2
x
≤ −
x
≤
Vậy nghiệm của PT là 1; 1 3
2
x= x=− −
Ví dụ 10 [ĐVH]: Giải phương trình 1−x2 +2 x4− + =x2 1 x2− +x 2 (x∈ℝ)
Lời giải
Trang 4ĐK: 1− ≤ ≤x 1 (*) Khi đó ( ) 2 4 2 ( 2 )
1 ⇔ 1−x + − +x 1 2 x − + −x 1 x + =1 0 (2)
Ta có ( )2
1−x + x = +1 2 x 1−x ≥1⇒ 1−x + ≥x 1⇒ 1−x + − ≥x 1 0 (3)
Dấu " "= xảy ra 1 2 0 0
1
x
x x
x
=
⇔ − = ⇔
= ±
Mặt khác ( 4 2 ) ( 2 ) (2 4 2 ) ( 2 )2
4 x − + −x 1 x +1 =3 x −2x + =1 3 x −1 ≥0
( 4 2 ) ( 2 )2 4 2 2 4 2 ( 2 )
⇒ − + ≥ + ⇒ − + ≥ + ⇒ − + − + ≥ (4)
Dấu " "= xảy ra ( 2 )2
⇔ − = ⇔ = ±
Từ (3) và (4) ta có VT( )2 ≥0 Dấu " "= xảy ra
0
1
1 1
x
x x
x
Thử lại x= ±1 thỏa mãn phương trình đã cho
Đ/s: x= ±1
Ví dụ 11 [ĐVH]: Giải phương trình x x3 3+ +1 2 x4− + =x2 1 x2+ +1 3 x4+ + −x3 x2 1 (x∈ℝ )
Lời giải
ĐK: x∈ℝ (*) Ta có ( 4 2 ) ( 2 ) (2 4 2 ) ( 2 )2
4 x − + −x 1 x +1 =3 x −2x + =1 3 x −1 ≥0 ( 4 2 ) ( 2 )2 4 2 2
Dấu " "= xảy ra ( 2 )2
⇔ − = ⇔ = ± Lại có 3( 3 ) ( 4 3 2 ) (4 2 ) ( 2 ) ( 2 )( 4 ) ( 2 ) (2 2 )
x x + − x + + − =x x x x − − x − = x − x − = x − x + ≥
⇒ + − + + − ≥ ⇒ + ≥ + + − ⇒ + ≥ + + − (3) Dấu " "= xảy ra ( 2 ) (2 2 )
⇔ − + = ⇔ = ±
Từ (2) và (3) ta có VT( )1 ≥VP( )1 Dấu " "= xảy ra ⇔ = ±x 1
Thử lại x= ±1 thỏa mãn phương trình đã cho
Đ/s: x= ±1
Trang 5BÀI TẬP LUYỆN TẬP
x x
x x
x x
+
8 1−x + +x 4x − =x 2 4 x+ −1 3 x+ +1 3
3 2 1 1
x x
− + − + = − −
6x +x = − x − x
125x+255 x+ =2 x +6x +13x +10
1
6 7
x x
+ + +
x − x + x− = x + +x x + +x
3+ x +2x+10 x− x− = +1 x 1