on tap thi tot nghiep 12p2

Đưa về dạng đa thức bậc cao (bậc 2, bậc 3, hay bậc 4 trùng phương), dùng ẩn phụ đặta. Ví dụ: Giải các phương trình sau:.[r]

CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN

PHẦN 2: MŨ - LOGARIT

DẠNG 1: TÍNH ĐẠO HÀM

Một số Quy tắc tính đạo hàm:

 e u 'u e' u  a u 'u a' ulna lnu' u'

u

ln

a

u u

u a



Ví dụ: Tính đạo hàm của các hàm số:

a) y2xe x3sin 2x b) y5x2 lnx8cosx c) y e sinx ln cos x

Bài giải:

a) y'2xe x' 3sin 2 ' 2 x  e x2xe x6 cos 2x

b) y' 5x2' ln x ' 8cosx' 10x 1 8sinx

x

cos

x

DẠNG 2: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC CHỨA ĐẠO HÀM

B1: Tìm đạo hàm y’.

B2: Thay y’ vào vế “trái” của đẳng thức, biến đổi suy ra điều cần chứng minh.

Ví dụ 1: Cho hàm số y e sin x Chứng minh rằng y'cosx y sin2xy

Bài giải:

Ta có y' cos xesinx

Khi đó: y'cosx y sin2xcos2 xesinxsin2xesinx cos2 xsin2x e sinx esinx y

Ví dụ 2: Cho hàm số ln1

x y

x



y  x e 

,  x 0;1

Bài giải:

0;1

x

 

, ta có

/

2

1

1 1

x

x x

y

x





1

x





DẠNG 3: RÚT GỌN BIỂU THỨC, TÍNH BIỂU THỨC

0 1

0

n

x

y

m n

n m n

n

a

b b



 

 

 

x

a

a  y x y a a y

, log

a



loga b b loga b loga b

1

2

loga b loga b loga b

b

 

 

 

1 loga loga b



 1

log n log

n

log

log

c a

c

b b

a

log

log

a

b

b

a

logab loga b





Ví dụ 1: Tính

0,75 5 log 2

2 1

0,25 3 16

A





 

 

log 6.log 9.log 2

B 

Bài giải:

27

log 2

2

3

A



 

log 6.log 9.log 2 log 6.log 2 log 3 log 2.log 3

Ví dụ 2: Biểu diễn log 830 qua log 530 và log 330 .

Bài giải:

log 8 3log 2 3log 2 3log 3 1 log 5 log 3

Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức

K











log log log log log log

L



  a b c x, , , 0, ,x abc1

Bài giải:

3 3 3 3

1 3 1 1

4 4 4 4

1













log log log

log log log

Ví dụ 4: Chứng minh rằng:

a)

2 5 3 2



    b) log 5 log 43  7 c) log 2 log 30,3  5

Bài giải:

a) Vì

1

1

3 và 2 5 20 18 3 2 nên

2 5 3 2



b) Vì log 5 log 3 13  3  và log 4 log 7 17  7  nên log 5 log 43  7

c) Vì log 2 log 1 00,3  0,3 

và log 3 log 1 05  5  nên log 2 log 30,3  5

DẠNG 4: TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ CHỨA MŨ, LOGARIT

1 TXĐ [a;b] Tìm đạo hàm f ’(x).

2 Tìm x i trên khoảng (a; b) mà f x ' i 0

3 Tính f a f x ;  i ;f b  (nếu cần thì học sinh cĩ thể lập bảng biến thiên)

4 So sánh và kết luận    

;

max và min

a b

Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y2x e x trên đoạn 0;ln 3 .

Bài giải:

0;ln 3

x

 

ta cĩ:

' 2 x

y   e ; y' 0  2 e x  0 xln 2

ln 2 2ln 2 2

;

ln 3 2 ln 3 3

;

y 

Vậy max0;ln3  y 2ln 2 2

khi x = ln 2 và min0;ln3  y 1

khi x = 0.

BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN:

BÀI 1: Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số:

3 1 1

x y

x





 BÀI 2: Tìm các điểm cực trị của hàm số:

a) y2x33x2 36x10 b) ysinxcosx với x   ; 

c) y2x1e x

c) y2x2009 ln x BÀI 3: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

a) y x 3 3x2 9x35 trên đoạn 4; 4 b) ysin 2x x trên đoạn

; 2







c) y e xex trên đoạn 1;ln 2

2

2 2 1

y x e 

e) y x  1 2 lnx trên đoạn 1;e .

BÀI 3: Tìm các cạnh của hình chữ nhật cĩ diện tích lớn nhất, biết rằng chu vi của nĩ khơng đổi và bằng 16cm

BÀI 4: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số:

a)

2 3

2 1

x

y

x





3 4

x y x





2 2

y



BÀI 5: Cho hàm số y x 33x2

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

b) Dùng đồ thị, hãy biện luận số nghiệm của phương trình x33x2m0

BÀI 6: Cho hàm số

4

2 3

x

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

b) Dùng đồ thị, hãy biện luận số nghiệm của phương trình x4 2x2 3 m0

BÀI 7: Cho hàm số

2 1

2 3

x y x





 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm cĩ tung độ 2

c) Dùng đồ thị, hãy giải bất phương trình

2 1

8 11

2 3

x

x x



 

BÀI 8: Cho hàm số y x 33x23 m x m  1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3.

b) Dùng đồ thị của hàm số, biện luận theo k số nghiệm của phương trình x33x2 k 2 0

c) Tìm giá trị của m để hàm số đạt cực tiểu tại x 2

BÀI 9: Cho hàm số y x 3 3x4

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số và tiếp tuyến của nó tại điểm cực tiểu

BÀI 10: Cho hàm số

4 7 2

x y x





 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b) Tìm các điểm có tọa độ nguyên mà đồ thị đi qua

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết rằng tiếp tuyến đó song song đường thẳng

2009

ĐS:

1/ a/nb 1;1

; đb   ; 1 ; 1;  

, b/ nb   ; 1 ; 0;1  

; đb 1;0 ; 1;  

, c/đb ;1 ; 1;  

2/ a/ xcđ=-3; xct=2, b/xcñ 4





, c/

1 2 ct

x 

, d/

1 2 ct

x 

3/ a/max y 4;4  40

khi x = -1; min y 4;4  31

khi x = -4, b/ 2;

3

max y







 

 

 





; 2,

min y







 



 



khi x , c/  1;ln 2 

1

max y e

e

khi x = -1; min y1;ln 2  1

khi x = 0, d/ max y 1;2  e

khi x = 0;

9

1;2 8

min y e

khi x = 2, e/ max  1;  0

e y

khi x = 2; min  1;  1 2 ln 2

e y

khi x = 2 cạnh bằng 4 và 4.

4/ a/ TCN

3 2

y 

, TCĐ

1 2

x 

; b/ TCN y 0, TCĐ x 2 và x 2; c/ TCN y 2, TCĐ x 1

và x 5

5/ m>0 hoặc m<-4 thì pt có 1 nghiệm; m=0 hoặc m=-4 thì pt có 2 nghiệm; -4<m<0 thì pt có 3

nghiệm

6/ m<2 thì pt vô nghiệm; m=2 hoặc m>3 thì pt có 2 nghiệm; 2<m<3 thì pt có 4 nghiệm; m=3 thì pt

có 3 nghiệm

7/ b/

; c/ x<1 hoặc x>2.

8/ b/ k<2 hoặc k>4 thì pt có 1 nghiệm, k=2 hoặc k=4 thì pt có 2 nghiệm, 2<k<4 thì pt có 3 nghiệm; c/ m=27.

1

3

2

27

4





10/ b/ (3;5) và (1;3); c/ y x8; y x4

BÀI 11: Rút gọn biểu thức:

a Aloga blogb a2 log  a b logab blogb a1

b

1



      

     

BÀI 12: Tính

a

27

log 81

3 2log3 1

10

3



 



 

1 log 2 2log 3 3log 3 2log 5 2

c

5 3 3 2

log

a

a a d log 166 biết log 27 a12 

e

3

1

2log 6 log 400 3log 45

2

BÀI 13: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a y2xe x3sin 2x b y5x2 lnx8cosx

c y e cos2x d y x ln sinxcosx

BÀI 14: So sánh các cặp số sau:

a 3 và 35 b log 23 và log 32 c log 32 và log 113 d log 32 và log 53

BÀI 15:

a Chứng minh rằng y'.sinx y .cos lnx y1 với y e cos x

b Chứng minh rằng ln 'yy0 với yln 3 x2009

ĐS:

11/ A = logba; B = 1/ab

12/ a/ 1/3; b/ 3

150 5

3 ; c/ -91/60; d/ 4(3-a)/(3+a); e/-4.

13/ a/y' 2 e x2xe x6cos 2x; b/

1

x

; c/y'2sin 2xecos2x; d/

2cos '

sin cos

x y



DẠNG TOÁN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH & BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ

LOGARIT

DẠNG 1: DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ CỦA MŨ, LOGARIT

Đưa về dạng:

Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a



    b log4x2 log2 x

Bài giải

a



     2x 3 3x 7 5x10 x2

b

2

2

0

x

  



DẠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH DÙNG PHƯƠNG PHÁP MŨ HÓA, LOGARIT HÓA

Đưa về dạng:

x

a

a  b x b b

Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a 5.6x1 2.51x b 2.3x1 4.3x11 c log3x2 log9x2 4

Bài giải:

a 5.6x1 2.51x

6

x x

30

30x 12 log 12

x

b 2.3x1 4.3x11

3 log 1 log 14 14

3

1

DẠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH DÙNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

Đưa về dạng đa thức bậc cao (bậc 2, bậc 3, hay bậc 4 trùng phương), dùng ẩn phụ đặt

Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a 2.16x17.4x 8 0 b 7x1 8.71x 41 c log2x1 2log4x1 5 0

Bài giải

a

1 2

2

x

x

x x

 







2

7 7

x

vn



 

c log2x1 2log4x1 5 0  2  2 2 

1

2

2

2

5

2

x x









2

5

2

5

1 2

1 1

x x

x





  



  

  

DẠNG 4: BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ CỦA MŨ, LOGARIT

Đưa về dạng:

hoặc hoặc hoặc

Và loga xloga y hoặc loga xloga y hoặc loga xloga yhoặc loga xloga y

Tùy theo a >1 hay a <1 mà ta cĩ kết quả (VD: 2x 23  x3; 0, 2x 0, 2 x1)

Ví dụ: Giải các bất phương trình sau:

a log3x2log9x2

log 4x11 log x 6x8

c 0, 22x1 0,043x1



Bài giải

1

2

1

2 1

x

1

x

log 4x11 log x 6x8

2

11

4 11 0

4

3 1 11 4

x x x

  



 

 



 

 1

x

c 0, 22x1 0,043x1



3 1

2 1

2

x

4

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là

3

; 4

  

DẠNG 5: BẤT PHƯƠNG TRÌNH DÙNG PHƯƠNG PHÁP MŨ HĨA, LOGARIT HĨA

Ví dụ: Giải các bất phương trình sau:

a 12

2

2 1

x

x





 b 22x1 22x33 c log 33 x2 log27 3x22  2

Bài giải:

a 12

2

2 1

x

x







2 1

x x





3 0

2x 1



1

2 1 0

2

Vậy

1

; 2

x  

b 22x1 22x3 3

3

x

3

log 5;

2

c log 33 x2 log273x22  2

DẠNG 6: BẤT PHƯƠNG TRÌNH DÙNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

Ví dụ: Giải các bất phương trình sau:

2

2

2 1

x x





3 3

log 1

1 log 3 2

x x



 



Bài giải

a 9x 5.3x 6 0  2 3 x 3 log 23 x1 Vậy tập nghiệm cần tìm là log 2;13  .

b

2

2

2 1

x

x







2

2 2.2 3

0

2 1

x

Đặt t 2x 0

Bất phương trình trở thành:

2 2 3

0 1

t

 





0;1 3; 

t   

+ 0  t 1 2x  1 x0

+ t 3 2x  3 xlog 32

Vậy nghiệm cần tìm là x 0, x log 32 .

c

3

3

log 1

1 log 3 2

x

x



 





   0 log 3x1  1 x3 Vậy nghiệm cần tìm là 1x3

BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN:

Bài 1: Giải các phương trình:

a

2 3 2 3

0

Bài 2: Giải các phương trình:

log x 8 log xlog 6

3

2

e log4x 2 log 2 1 x 

Bài 3: Giải các bất phương trình:

a 22x1 22x2 22x3 448

c

3

3

3 2

x

Bài 4: Giải các bất phương trình:

a log3x2 log9x2

b log3x 3log3x 51

2log (4x  3)  log (2x  3)  2

5

log x  6x8 2log x 4 0

t

2 2 3

t  t

1

t 

2 2 3

1

t t

t

 



0

– – –

+ – –

– + +

Bài 5: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

2

4 log

4

x y

x





3 log 2x x 4

1

x x

  

 

 

3 2

x 

; b/

;

; c/ x0;xlog 23 ; d/x0;x1 2/ a/x 0; b/x=3; x=5; c/x=4; x=2; d/x=4; e/ x=2.

3/ a/x 9; b/log 23 x1; c/xlog 23 hoặc x1; d/ x>0.

4/ a/x  1; b/5x6 ; c/

11 4



3

3

5/ a/D     ; 1  4;; b/D     ; 4  4;; c/D   1; 4; d/D 0;