de thi hoc sinh gioi cap truong mon toan

Qua M kẻ đường thẳng song song với OB và OA lần lượt cắt OA tại P, cắt OB tại Q.. Gọi I là trung điểm QA và BP.[r]

PHÒNG GD&ĐT HUYỆN KRONG BUK ĐỀ THI HSG TOÁN 9 Năm học 2008-2009

TRƯỜNG THCS PHAN BỘI CHÂU Thời gian : 120 phút(không kể thời gian giao đề)

Đề ra :

Câu 1 : (5 điểm )

Xét biểu thức :

P=

a) Rút gọn P ?

b) Tìm các giá trị của x sao cho P =

1

2 ? c) So sánh P với

2

3 ? Câu 2 :(2 điểm)

Cho a và b là hai số dương thỏa mãn : a + b  1

Tính GTNN của biểu thức

P = 2 2

4ab

a b ab ? Câu 3 :(3 điểm)

Cho 2 điểm A(-1;5) và B(5;1) trong hệ tọa độ vuông góc Oxy Chứng minh tam giác AOB vuông cân Tính chu vi và diện tích tam giác ?

Câu 4 :(3 điểm)

Cho tam giác OAB, M là điểm di động trên AB Qua M kẻ đường thẳng song song với

OB và OA lần lượt cắt OA tại P, cắt OB tại Q Gọi I là trung điểm QA và BP Chứng minh rằng

1

OP OQ

OA OB 

Câu 5 :(2 điểm )

Chứng minh rằng :

Cotg2 tg2 2 (tgCotg)2 Câu 6 : (5 điểm)

Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC = a; BD = b Góc tạo bởi hai đường chéo là  Tính diện tích tứ giác ABCD heo a,b, ?

Hết

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM

Câu 1: (5đ)

a) Điều kiện : x0;x1;x9 (0,5đ)

Mẩu chung : x2 x 3 x1  x3

(0,5đ)

Rút gọn được : P =

2 5 3

x x



b) Giải phương trình :

3

x

x



c)

2 2 2 2 15 15 17 5( 3)

P

3

x     (1đ)

Vậy P

2 3

 Dấu đẳng thức xảy ra khi x = 0 (0,5đ) Câu 2 :(2đ)

Với a,b >0

1 1 2

a b ab

(0,25đ)

Và a + b 2 ab

 

1 1

4

a b

a b

     

a b a b

  

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b (0,25đ)

a b ab

ab a b

P = 2 2

4



2 4 5 2 11

P

a b ab a b

Vậy P

2 min

2

1 4 4

a b ab

ab a b

a b

ab ab

  



 



    





1 2

a b

  

(0,5đ)

Câu 3: (3đ)

Đường thẳng OA là y = -5x (0,25đ)

Đường thẳng OB là y =

1

Vì a.a’ = -5

1

5= -1 nên OAOB hay AOB vuông tại O Từ các tam giác vuông OCA

và ODB theo định lí Pitago có :

OA2OC2AC2  12 52 26 (0,25đ)

OB2OD2DB2 5212 26 (0,25đ)

OA OB OA OB

Vậy AOB vuông cân tại A

Chu vi AOB = OA + OB + AB = 2 26 52 2( 26  13) (0,5đ)

Với AB =

OA OB 

(0,5đ)

SAOB =

1

2OA.OB =

2

26 26 13

Câu 4 :(3đ)

Theo định lí Talets trong tam giác ta có :

OP MB

OA AB và

OQ AM

1

OP OQ MB AM AM MB



(1đ) Câu 5 :(2đ)

Biến đổi vế phải ta được :

(tgCotg)2 tg22tg Cotg  Cotg2 (1đ)

=tg2  2 Cotg2 =VT (1đ) Câu 6 : (5đ)

Giả sử AC và BD cắt nhau tại O, đặt BOC = 

Kẻ BH AC DK; AC

SABCD ABC ADC

(1đ)

Mà S

1 2

ABC AC HB

và HB = OB.Sin (1đ) 1

2

ABC

S AC OB Sin

(1đ)

S

ADC AC DK AC OD Sin

(1đ) Suy ra : SABCD 1

2AC OB Sin α+

1

2AC OD Sin α

= 1

2AC(OB+OD)Sin α

= 12AC BD Sin α

= 1

2ab Sin α (1đ)