Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán lớp 12 trường THPT Hồng Lĩnh, Hà Tĩnh năm học 2016 - 2017

Tính theo a khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAD) và góc giữa đường thẳng SC với (ABCD).. Câu 4.[r]

SỞ GD&ĐT HÀ TĨNH

TRƯỜNG THPT HỒNG LĨNH

ĐÈ CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HSG CẤP TRƯỜNG LỚP 12

NĂM HỌC 2016 - 2017 MÔN: TOÁN

Thời gian làm bài: 120 phút

Câu 1 (4,0 điểm)

số đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 thoả mãn

2 x3+x +(2 x −3 )√1− x>0 b) Giải bất phương trình

Câu 2 (2,0 điểm)

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm:

x+√4 − x2=m+x√4 − x2

Câu 3 (2,0 điểm)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Biết đường thẳng

AC vuông góc với đường thẳng SD Tính theo a khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAD)

và góc giữa đường thẳng SC với (ABCD)

Câu 4 (2,0 điểm)

ab+a+b=3 Cho hai số thực dương a, b thoả mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

3 b

ab

a+b −(a

2 +b2)

_ Hết _

- Thí sinh không được sử dụng tài liệu.

- Giám thị không giải thích gì thêm.

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG MÔN TOÁN LỚP 12

Câu Đáp án Điểm

1.a

y '=3 x2− 6 (a −1) x+3 (2 a+1 ) Ta có

⇔ Hàm số có 2 cực trị y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt

a>4

a<0

⇔ Δ>0 ⇔¿ (*)

1,0

|x1− x2|≤ 2√5⇔(x1+x2)2− 4 x1x2≤ 20 ⇔ 4 (a −1)2

− 4 (2 a+1)≤ 20 4<a ≤5

−1 ≤ a<0

¿

1.b

x ≤ 1 ĐK:

⇔2 x3

+x >2(√1− x)3+√1 − x Phương trình (1) (2)

y=f (t)=2t3

+t f ' (t )=6 t2+1>0 ,∀ t ∈ R Xét hàm số , ta có:

⇒ Hàm số y = f(t) đồng biến trên R

1,0

⇔ f (x )>f(√1 − x)⇔√1− x< x ⇔{x2+x ≥ 0 x −1>0 ⇒ x > − 1+√5

2 (2)

2 <x ≤1 Kết hợp với điều kiện , suy ra BPT có nghiệm là:

1,0

2

−2 ≤ x ≤2 Điều kiện:

t=x+√4 − x2 [−2 ;2] Đặt Xem t là hàm số của x, xét hàm số t trên :

√4 − x2=

√4 − x2− x

√4 − x2 t '=0 ⇔ x=√2 ,

[−2 ; 2] Bảng biến thiên của t trên :

tìm điều kiện của t, nếu điều kiện sai thì không tính điểm)

1,0

x -2 2 t’ + 0

-t

-2

2 2

2

t2=4 +2 x√4 − x2 x√4 − x2=t2−4

1

2t

2

2t

2

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên của f(t), phương trình ban đầu có nghiệm

2 t ∈[− 2;2√2] f (t)=m Û phương trình có nghiệm Û

1,0

3

⇒SH⊥(ABCD) SH=a√3 H là trung điểm AB ,

AD=

AD CD

(Thí sinh phải trình bày được cách tính CH)

α ⇒α=450 Gọi là góc giữa SC và (ABCD)

1,0

4

2

2

3

 

2

2

Đặt t<3

và

2

2

 -    

 2 2

2

0

4 12 0

t



có:

1,0

t -2 1 2 2 f’(t) + 0

f(t)

-2

2

2 2

-2≤ t <3 Do đó:

2 12

t

2≤ t <3 ⇒ f ' (t )=− 2t +1−12

t2 <0 Xét hàm số với

¿ f(t)≤ f(2)=6 ,∀ t ∈¿ Hàm số y = f(t) nghịch biến trên

3

2 ⇒ P ≤32 Vậy MaxP = khi a = b = 1

1,0

Chú ý: Mọi cách giải đúng khác đều cho điểm tương ứng.