Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán lớp 12 trường THPT Hồng Lĩnh, Hà Tĩnh năm học 2016 - 2017

Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán lớp 12 trường THPT Hồng Lĩnh, Hà Tĩnh năm học 2016 - 2017 tài liệu, giáo án, bà...

SỞ GD&ĐT HÀ TĨNH

TRƯỜNG THPT HỒNG LĨNH

ĐÈ CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HSG CẤP TRƯỜNG LỚP 12

NĂM HỌC 2016 - 2017 MÔN: TOÁN

Thời gian làm bài: 120 phút

Câu 1 (4,0 điểm)

a) Tìm điều kiện của tham số a để hàm số yx33a1x2 32a1x1 đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 thoả mãn x1 x2 2 5

b) Giải bất phương trình 2x3x2x3 1x 0

Câu 2 (2,0 điểm)

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm:

2

Câu 3 (2,0 điểm)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Biết đường thẳng AC vuông góc với đường thẳng SD Tính theo a khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAD) và góc giữa đường thẳng SC với (ABCD)

Câu 4 (2,0 điểm)

Cho hai số thực dương a, b thoả mãn abab 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

 2 2

1

3

1

3

b a b a

ab a

b b

a













_ Hết _

- Thí sinh không được sử dụng tài liệu.

- Giám thị không giải thích gì thêm.

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG MÔN TOÁN LỚP 12

1.a

Ta có y'3x2 6a1x32a1

Hàm số có 2 cực trị  y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt



















0

4 0

a

a

(*)

1,0

5

2

1x   x x  x x 

x 4a12 42a120

5



 a Kết hợp điều kiện (*) ta được: 













 0 1

5 4

a

1.b

ĐK: x 1

Phương trình (1) 2x3x2 1x3 1x (2)

Xét hàm số y f t 2t3 t, ta có: f' t 6t2 10,tR

Hàm số y = f(t) đồng biến trên R

1,0





























0 1

0 1

x x

x x

x x

f x f

2

5 1





 x

Kết hợp với điều kiện x 1, suy ra BPT có nghiệm là: 1

2

5

1  



x

1,0

2

Điều kiện: 2x2

Đặt t x 4 x 2 Xem t là hàm số của x, xét hàm số t trên 2;2:

2

2

4 4

1

'

x

x x x

x t













Bảng biến thiên của t trên 2;2:

Điều kiện của ẩn t là: 2t2 2 (Thí sinh phải trình bày được cách

1,0

2

2 2

2

tìm điều kiện của t, nếu điều kiện sai thì không tính điểm)

2

2 4 2x 4 x

2

4 4

2



x t

x PT trở thành  t t 2 m

2

1 2

2

1 ) (t   t2 t

f trên tập  2 ; 2 2

1 )

(

' t  t 

f , f' (t)  0 t  1

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên của f(t), phương trình ban đầu có nghiệm

 phương trình f(t) m có nghiệm t 2 ; 2 2 

2

5

2 

1,0

3

H là trung điểm AB SH ABCD, SH a 3

C, SAD dB,SAD  a 3

SHD

AC , AC HD  AHD DAC  Hai tam giác ADH và

DCA đồng dạng

CD

AD AD

AH 

phải trình bày được cách tính CH)

Gọi  là góc giữa SC và (ABCD)  450

1,0

4

a b ab a b

Đặt t a b  ab  3 t  t<3 và  

2

2

   2

2

4 t t t

     

  Ta có:

 2 2

2

0

4 12 0

t

a b t

t t



         

1,0

2

2

2 2

2 

Do đó: 2 t 3

Xét hàm số 2 12

f t t t

t

     với 2 t 3 ' 2 1122 0

t t t f

Hàm số y = f(t) nghịch biến trên 2;3 f t  f 2 6,t2,3

2

3



 P Vậy MaxP = 3

2 khi a = b = 1

1,0

Chú ý: Mọi cách giải đúng khác đều cho điểm tương ứng.