b Giải phương trình ứng với các giá trị đó của m.. Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của H lên AB và AC; M và N lần lượt là trung điểm của HB và HC.. b Tứ giác MNFE là hình gì?. c Tính d
Trang 1PHÒNG GD&ĐT DUYÊN HẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG TRƯỜNG TRƯỜNG THCS NGŨ LẠC MÔN: TOÁN – LỚP 8
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề:
Câu 1 ( 5 điểm)
Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a) x2 – x – 12
b) (x + 1) (x + 3) (x + 5) (x + 7) + 15
c) x4 + 8x3 + 14x2 - 8x - 15
Câu 2 (3,5 điểm)
Cho biểu thức: P
1 1 2 :
− + − − a) Tìm giá trị của x để P có giá trị xác định và rút gọn P
b) Tìm x nguyên để P có giá trị nguyên
Câu 3 (3 điểm)
Cho phương trình x3 – (m2 – m + 7)x – 3 (m2 – m – 2 ) = 0
a) Tìm các giá trị của m để một trong các nghiệm của phương trình bằng 1
b) Giải phương trình ứng với các giá trị đó của m
Câu 4 (5 điểm)
Cho tam giác ABC có Aˆ 90 = 0 ; AB = 6cm; AC = 8cm; AH ⊥BC tại H Gọi E và
F lần lượt là hình chiếu của H lên AB và AC; M và N lần lượt là trung điểm của HB và HC
a) Tính AH
b) Tứ giác MNFE là hình gì?
c) Tính diện tích của tứ giác MNFE
Câu 5 (3,5 điểm)
Cho AC là đường chéo lớn của hình bình hành ABCD Từ C, vẽ đường vuông góc CE với đường thẳng AB, đường vuông góc CF với đường thẳng AD (E, F thuộc phần kéo dài của các cạnh AB và AD) Chứng minh rằng AB AE + AD AF = AC2 _
Người ra đề
(đã ký)
Bùi Thị Hồng Trang
Trang 2ĐÁP ÁN
1 a) x2 – x – 12 = x2 – 4x + 3x – 12
= (x2 – 4x) + (3x -12 )
= x(x – 4) + 3(x – 4 )
= (x + 3) (x – 4)
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
b) (x + 1) (x + 3) (x + 5) (x + 7) + 15 = (x2 + 8x +7)(x2+ 8x + 15 ) + 15
Đặt x2 + 8x + 11 = y
⇒ (y – 4 ) ( y + 4) + 15
= y2 – 16 + 15
= y2 – 1
= (y – 1) (y + 1)
= (x2+ 8x + 10) (x2 + 8x + 12)
= (x2 + 8x + 10) (x + 2) (x + 6)
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
c) x4 + 8x3 + 14x2 - 8x -15
= x4 + 8x3 + 16x2 – x2 – 8x – 16 – x2 + 1
= (x4 + 8x3 + 16x2) – ( x2+ 8x + 16) – (x2 – 1) = (x2 + 4x)2 - (x + 4)2 – (x2 – 1)
= [x (x + 4)]2 – (x + 4)2 – (x2 – 1)
= x2 (x + 4)2 – (x + 4)2 – (x2– 1)
= (x + 4)2 (x2 – 1) – (x2 – 1)
= ( x2 – 1) [(x + 4)2 – 1]
= (x + 1) (x – 1) (x +3)(x + 5)
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
a P
2 2
:
2 2
:
2 2
( 1) ( 1)( 1) (2 )
:
2
:
( 1)2 1
:
=
0,25đ
0,25đ 0,25đ
0,25đ
0,25đ
Trang 32 2
.
1
x x
=
=
− Vậy để giá trị của P được xác định khi
0,25đ
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
)
1 ( 1)
1
b P
x
x
− +
= + +
−
Để P∈Z thì x – 1 ∈ Z nên x – 1 ∈ Ư(1)
⇒ x – 1 ∈{1 ; -1}
+ Nếu x – 1 = 1 ⇒ x = 2 (thỏa mãn)
+ Nếu x – 1 = -1 ⇒ x = 0 (loại)
Vậy để P nguyên khi x = 2
0,25đ 0,25đ 0, 25
0, 25
3
a) Thay x = 1 vào pt ta được: - 4m2 + 4m = 0
⇔ m2 – m = 0
⇔ m (m – 1) = 0
⇔ m = 0 hoặc m = 1
b) Thay m2 – m = 0 vào pt ban đầu ta được:
x3 - 7x + 6 = 0
⇔ x3 - 1 – 7x +7 = 0
⇔ (x3 - 1) – (7x – 7) = 0
⇔ ( x - 1)(x2 + x + 1) – 7(x – 1) = 0
⇔ (x – 1) (x2 + x – 6) = 0
⇔ (x – 1) (x + 3)( x – 2) = 0
⇔ x = 1 hoặc x = -3 hoặc x = 2
Vậy pt có ba nghiệm x = 1; x = 2 ; x = -3
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
Trang 4M E
F
H B
C A
a) Xét ∆ABC vuông tại A có:
BC2 = AB2 + AC2 = 62 + 82 = 102
⇒ BC = 10 cm
Ta có: SABC = 1 . 1 .
2 AB AC= 2BC AH . 6.8 4,8
10
AB AC
BC
b) Xét ∆MHO và ∆MEO có:
MH = ME (EM là trung tuyến trong ∆BEH vuông)
MO: là cạnh chung
OH = OE (AH, EF là 2 đường chéo của hcn AEHF)
Do đó: ∆MHO = ∆MEO (c c c)
⇒ MEO MHO · = · = 900
⇒ ME ⊥ EF
Tương tự ta có: NF ⊥ EF
Vậy MF // NE nên MNFE là hình thang vuông
c) Ta có AEHF là hình chữ nhật nên EF = AH = 4,8 cm
Mặt khác, do EM = 1
2 HB
FN = 1
2 HC ⇒ EM + FN = 1
2 (HB + HC) = 1
2 BC Khi đó : SMNFE = 1
2(EM + FN) EF = 1
2.1
2 BC.EF = 1
4 10 4,8 = 12cm2
Vẽ hình đúng 0,5đ
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
5
G
E
F D
C B
A
Vẽ hình đúng 0,5đ
Trang 5Vẽ BG ⊥AC
Xét ∆ABG và ∆ACE có:
ˆA: là góc chung
0
ˆ ˆ 90
G E= =
Do đó: ABG ACE g g( ) AB AG
AC AE
⇒ AB AE = AC AG (1)
Xét ∆CBG và ∆ACF có:
G Fˆ = = ˆ 90 0
GCB CAF· = · (so le trong do AF // BC)
Do đó: CBG ACF g g( ) AF AC
CG CB
⇒ AF CB = AC CG (2) Cộng các vế tương ứng của (1) và (2) ta có:
AB AE + BC AF = AC (AG + CG)
⇒ AB AE + BC AF = AC AC
Hay AB AE + BC AF = AC2
Vì BC = AD (do ABCD là hình bình hành)
nên AB AE + AD AF = AC2
0,25đ 0,25đ
0,25đ 0,25đ
0,25đ 0,25đ
0,25đ 0,25đ
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ