Phân tích phi tuyến cáp treo bằng phần tử cáp chùng đàn hồi

Kết cấu cáp là hệ phi tuyến hình học, do phải giả thiết dạng ban đầu của cáp và dùng các phép toán đơn giản hoá khi tính chiều dài phần tử cáp nên việc tìm kiếm lời giải chính xác còn hạ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

PHAN VĂN SƠN

PHÂN TÍCH PHI TUYẾN CÁP TREO BẰNG PHẦN TỬ

Cán bộ hướng dẫn khoa học: TS Vũ Tân Văn

PGS TS Lương Văn Hải

Cán bộ chấm nhận xét 1:

Cán bộ chấm nhận xét 2:

Luận văn th ạc sĩ được b ảo v ệ t ại Trường Đại h ọc Bách Khoa Tp HCM, ngày tháng năm 2018

Thành phần Hội đồng đánh giá đề cương luận văn thạc sĩ gồm:

1

2

3

4

5

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc Lập - Tự Do - Hạnh Phúc

Tp HCM, ngày tháng … năm 2018

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

MSHV: 7140747 Nơi sinh: Vĩnh LongMN: 60580208

Họ và tên học viên : PHAN VĂN SƠN

Ngày, tháng, năm sinh: 25/06/1991

Chuyên ngành: KTXD công trình dân d ụng và công nghiệ p

II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG

1 Tìm hiểu các loại phần tử dùng phân tích kết cấu cáp treo để phân tích ứng xử phituyến kết cấu cáp

2 Tìm hiểu lưu đồ tính toán ngôn ngữ lập trình Fortran để giải các ví dụ số

3 Kiểm chứng độ tin cậy của các ví dụ số đã trình bày bằng cách so sánh kết quả của các

ví dụ số với các bài báo đã công bố

4 Phân tích các yếu tố ảnh hưởng đến ứng xử cơ học của kết cấu mái treo

IV NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ : 17/06/2018

V GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN: TS Vũ Tân Văn

PGS TS Lương Văn Hải

LỜI CẢM ƠN

Luận văn thạc sĩ Xây dựng công trình dân dụng và công nghiệp nằm trong hệ thống bài luận cuối khóa nhằm trang bị cho Học viên cao học khả năng tự nghiên cứu, biết cách giải quyết những vấn đề cụ thể đặt ra trong thực tế xây dựng… Đó là trách nhiệm và niềm tự hào của mỗi học viên cao học

Để hoàn thành luận văn này, ngoài sự cố gắng và nỗ lực của bản thân, tôi đã nhận được sự giúp đỡ nhiều từ tập thể và các cá nhân Tôi xin ghi nhận và tỏ lòng biết ơn đến tập thể và các cá nhân đã dành cho tôi sự giúp đỡ quý báu đó

Đầu tiên tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy PGS TS Lương Văn Hải và thầy TS Vũ Tân Văn đã đưa ra gợi ý đầu tiên để hình thành nên ý tưởng của đề tài

và Thầy góp ý cho tôi rất nhiều về cách nhận định đúng đắn trong những vấn đề nghiên cứu, cũng như cách tiếp cận nghiên cứu hiệu quả

Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy Cô Khoa Kỹ Thuật Xây Dựng trường Đại học Bách Khoa Tp.HCM đã truyền dạy những kiến thức quý giá cho tôi, đó cũng là những kiến thức không thể thiếu trên con đường nghiên cứu khoa học và sự nghiệp của tôi sau này

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến cử nhân kinh tế Nguyễn Thị Hòa, gia đình tôi và tất cả thầy, cô, bạn bè, đồng nghiệp đã động viên tôi rất nhiều trong quá trình thực hiện luận văn này

Luận văn thạc sĩ đã hoàn thành trong thời gian quy định với sự nỗ lực của bản thân, tuy nhiên không thể không có những thiếu sót Kính mong quý Thầy Cô chỉ dẫn thêm để tôi bổ sung những kiến thức và hoàn thiện bản thân mình hơn

Xin trân trọng cảm ơn,

Tp HCM, ngày…….tháng…… năm 2018

Phan Văn Sơn

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ

Ở nước ta việc áp dụng kết cấu cáp trong các công trình dân dụng và công nghiệp còn nhiều mới lạ Tuy nhiên thời gian gần đây chúng ta đã quan tâm nhiều hơn tới việc áp dụng kết cấu này trong lĩnh vực xây dựng, đặc biệt là đã rất thành công trong việc thiết kế và thi công xây dựng công trình cầu, tuy nhiên việc ứng dụng vẫn còn rất hạn chế Kết cấu cáp là hệ phi tuyến hình học, do phải giả thiết dạng ban đầu của cáp và dùng các phép toán đơn giản hoá khi tính chiều dài phần tử cáp nên việc tìm kiếm lời giải chính xác còn hạn chế, các phương pháp tính toán cho đến nay đã được nhiều tác giả nghiên cứu cơ bản là gần đúng.Luận văn trình bày phương pháp phân tích kết cấu cáp bằng phần tử cáp chùng không gian Một số bài toán được giải quyết và so sánh với các phương pháp số có sẵn để chứng minh được tính đúng đắn của luận văn, đồng thời phân tích các yếu tố ảnh hưởng đến ứng xử cơ học của kết cấu mái treo

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công việc do chính tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của thầy TS Vũ Tân Văn và thầy PGS TS Lương Văn Hải

Các kết quả trong luận văn là đúng sự thật và chưa được công bố ở các nghiên cứu khác

Tôi xin chịu trách nhiệm về công việc thực hiện của mình

Tp HCM, ngày …tháng…… năm 2018

Phan Văn Sơn

MỤC LỤC

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ i

LỜI CẢM ƠN ii TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ iii

LỜI CAM ĐOAN iv

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ viii

DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU xi

MỘT SỐ KÝ HIỆU VIẾT TẮT xii

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN 1

1.1 Giới thiệu 1

1.2 Các loại kết cấu điển hình sử dụng kết cấu cáp 3

1.2.1 Cầu treo 3

1.2.2 Kết cấu cáp treo mái 4

1.2.3 Kết cấu cáp neo cột 5

1.2.4 Kết cấu cáp neo các kết cấu nước sâu 6

1.2.5 Hệ thống dây xích neo các phao chịu tải trọng ngoài khơi 7

1.3 Tình hình nghiên cứu và tính cấp thiết của đề tài 8

1.3.1 Các công trình nghiên cứu trên thế giới 8

1.3.2 Các công trình nghiên cứu trong nước 9

1.4 Mục tiêu và hướng nghiên cứu 10

1.5 Cấu trúc luận văn 11

CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT 12

2.1 Tổng quan về phần tử cáp 12

2.1.1 Giới thiệu chung 12

2.1.2 Phương pháp phân tích phần tử cáp 13

2.1.3 Phân loại phần tử cáp chùng không gian 20

2.1.4 Phần tử thẳng và phần tử parabolic 23

2.1.5 Phần tử cáp chùng hai chiều 26

2.2 Phần tử cáp chùng không gian 35

2.2.1 Giả thiết cơ bản 35

2.2.2 Phương trình của phần tử cáp chùng không gian 35

2.2.3 Thuật toán để tính các phần tử ma trận độ cứng và các lực tại điểm cuối 39 CHƯƠNG 3 KẾT QUẢ PHÂN TÍCH SỐ 45

3.1 Kiểm chứng bằng ví dụ số 45

3.1.1 Cáp đơn chịu một tải trọng tập trung 45

3.1.2 Cáp treo mái của sân vận động Scandinavium arena 51

3.2 Khảo sát sự ảnh hưởng thông số ban đầu của cáp đến chuyển vị nút của kết cấu mái sân vận động Scandinavium Arena 54

3.2.1 Xét ảnh hưởng sự biến thiên lực căng ban đầu T đến chuyển vị nút của cáp mái Scandinavium Arena 55

3.2.2 Xét ảnh hưởng sự biến thiên độ cứng AE đến chuyển vị nút của cáp mái Scandinavium Arena 56

3.2.3 Xét ảnh hưởng biến thiên trọng lượng bản thân kết cấu w đến chuyển vị nút của cáp mái Scandinavium Arena 58

3.2.4 Xét ảnh hưởng sự biến thiên độ lớn fx, fy đến chuyển vị nút của cáp mái Scandinavium Arena 59

3.2.5 Xét ảnh hưởng sự biến tỉ số fx/ fy đến chuyển vị nút của cáp mái Scandinavium Arena 60

3.2.6 Xét ảnh hưởng sự biến thiên đường kính kết cấu mái L đến chuyển vị nút của cáp mái Scandinavium Arena 60

CHƯƠNG 4 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 62

4.1 Kết luận 62

4.2 Kiến nghị 63

TÀI LIỆU THAM KHẢO 64

LÝ LỊCH TRÍCH NGANG 67

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ

Hình 1.1 Cầu treo Winch Footbridge 1830 dùng thay thế cho cầu treo xây

dựng 1741 qua sông Tees bị sập năm 1802 2

Hình 1.2 Kết cấu triển lãm nghệ thuật ở Nizhny Novgorod, thiết kế bởi kỹ sư người Nga Vladimir Shukhov năm 1896 2

Hình 1.3 Cầu Niagara nối Canada và Hoa Kỳ, nhịp chính dài 246m (1855) 3

Hình 1.4 Cầu Brooklyn (New York) dài 1825m, khánh thành 24/05/1883 3

Hình 1.5 Cầu Golden Gate năm 1934, tại SanFrancisco, nhịp chính dài 1280m 4

Hình 1.6 Cầu Akashi Kaikyo (Nhật), nhịp chính dài 1991m 4

Hình 1.7 Sơ đồ kết cấu cáp chịu lực điển hình của cầu treo 4

Hình 1.8 Cáp mái thiết kế cho thế vận hội 1972 tại Munich, Đức 5

Hình 1.9 Diplomatic Club Heart Tent, 1980, Riyadh, Saudi Arabia 5

Hình 1.10 Cảnh quan bên trong của Olympic Stadium, Munich 5

Hình 1.11 Chi tiết cột neo cáp công trình thế vận hội 1972 tại Munich, Đức 5

Hình 1.12 Trạm thu phát sóng Beckley, Oxfordshire, cao 154,4m 6

Hình 1.13 Mô hình cột tháp được neo bởi cáp 6

Hình 1.14 Cáp neo cột để đỡ các thiết bị bên trên mực nước 7

Hình 1.15 Mô hình cáp neo tàu 7

Hình 1.16 Cáp neo tàu ngoài khơi 7

Hình 2.1 Đoạn cáp không mở rộng 13

Hình 2.2 Sự khác biệt giữa độ oằn và lực cáp cho phần tử chùng không mở rộng và parabola với nhịp l và lực ngang H 15

Hình 2.3 Đoạn cáp mở rộng 16

Hình 2.4 Hệ toạ độ cho cáp không mở rộng với độ cứng uốn khác 0 19

Hình 2.5 Hàm chiều cao b, nhịp a của cáp không mở rộng với độ cứng uốn 20

Hình 2.6 Một số kết quả cho cáp không mở rộng với độ cứng uốn 20

Hình 2.7 Phần tử thanh thẳng trong không gian 24

Hình 2.8 Ba lời giải cho phẩn tử cáp chùng 34

Hình 2.9 Ba lời giải cho các phần tử khác nhau: (a) H = H1, (b) H = H2, (c) H

= H3 34

Hình 2.10 Phần tử cáp chùng không gian 36

Hình 2.11 Lưu đồ tính toán phần tử ma trận độ cứng và lực tại điểm cuối 42

Hình 2.12 Lưu đồ tính toán chiều dài cáp ban đầu (không căng ứng suất trước) 44

Hình 3.1 Cáp đơn chịu tải tập trung 46

Hình 3.2 Tạo các đặc tính vật liệu của phần tử cáp trong Midas 47

Hình 3.3 Tạo tiết diện cho phần tử cáp trong Midas 47

Hình 3.4 Xác định toạ độ nút của các nút trong phần mềm Midas 48

Hình 3.5 Gán loại phần tử cable cho mô hình trong Midas 48

Hình 3.6 Gán chiều dài ban đầu cho phần tử cáp trong Midas 49

Hình 3.7 Kết quả chuyển vị tại nút số 2 khi mô hình trong phần mềm Midas 49

Hình 3.8 Xuất kết quả chuyển vị tại nút số 2 từ phần mềm Midas 50

Hình 3.9 Cáp mái sân vận động Scandinavium Arena 52

Hình 3.10 Hình ảnh 3 chiều của kết cấu mái sân vận động Scandinavium Arena 52

Hình 3.11 Mặt bằng cáp mái sân vận động Scandinavium Arena 53

Hình 3.12 Kiểm chứng toạ độ các nút trong luận văn bằng phần mềm Midas 53

Hình 3.13 Lưới cáp sân vận động Scandinavium Arena 55

Hình 3.14 Biểu đồ tương quan lực căng trước và chuyển vị nút 56

Hình 3.15 Biểu đồ tương quan biến thiên độ cứng – chuyển vị nút 57

Hình 3.16 Biểu đồ tương quan biến thiên trọng lượng bản thân kết cấu – chuyển vị nút tương ứng 58

Hình 3.17 Biểu đồ tương quan biến thiên độ lớn fx, fy với chuyển vị nút 59

Hình 3.18 Biểu đồ tương quan biến thiên độ lớn fx, fy với chuyển vị nút 60

Hình 3.19 Biểu đồ tương quan biến thiên đường kính kết cấu L với chuyển vị nút 61

DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU

Bảng 3.1 Thông số ban đầu của cáp 46Bảng 3.2 So sánh kết quả chuyển vị tại nút số 2 với các kết quả đã công bố 50Bảng 3.3 Thông số ban đầu của cáp 53Bảng 3.4 Bảng so sánh kết quả chuyển vị của cáp treo mái sân vận động

Scandinavium Arena 54

MỘT SỐ KÝ HIỆU VIẾT TẮT

Chữ viết tắt

PCCC Cáp căng trước liên kết liên tục (Pretensioned Continuous Catenary

Cable) DCC

PDCC

Rời rạc liên kết cáp (Discrete Catenary Cable) Rời rạc liên kết cáp căng trước (Pretensioned Discrete Catenary Cable )

FEM

DCCWP

Phương pháp phần tử hữu hạn (Finite Element Method) Rời rạc liên kết cáp với tải trọng nút (Discrete Catenary Cable With Point loads)

i

i

Trong ngành xây dựng, kết cấu cáp được sử dụng trong kết cấu mái treo dùng trong các sân vận động, nhà triển lãm, ga hàng không…Trong ngành giao thông, kết cấu cáp được dùng trong cầu treo, cầu dây văng…Trong ngành du lịch, kết cấu cáp được dùng để treo các carbin để phục vụ cáp treo du lịch Trong ngành hàng hải và khai thác, kết cấu cáp được sử dụng để neo, đậu các tàu thuyền và đỡ các trụ khai thác ngoài khơi

Trên thế giới kết cấu cáp được ứng dụng sớm trong ngành giao thông: tại Anh cầu treo đầu tiên vượt 21m được xây dựng năm 1741 bắc qua Sông Tess, năm 1802 cầu này bị sập đổ và được xây dựng lại để thay thế vào năm 1830 như Hình 1.1 Trong lĩnh vực xây dựng dân dụng và công nghiệp, năm 1896 lần đầu tiên trên thế giới kỹ

sư V.G.Shukhov người Nga dùng kết cấu cáp để thiết kế mái với các dạng tròn (D=68m), ô van (Dmax=100m) và hình chữ nhật (30x70m) như Hình 1.2 Đến năm

1932 công trình tiếp theo sử dụng kết cấu dây là công trình Băng tải nâng hàng ở Allbaney (Mỹ) Từ đó đến nay nhiều công trình sử dụng kết cấu dây đã được xây

dựng, nó đã trở thành biểu tượng văn hoá, khoa học kỹ thuật, điểm thăm quan du lịch, niềm tự hào của địa phương và của Quốc gia có công trình kiến trúc sử dụng loại kết cấu này

Hình 1.1 Cầu treo Winch Footbridge 1830 dùng thay thế cho cầu treo xây dựng

1741 qua sông Tees bị sập năm 1802

Hình 1.2 Kết cấu triển lãm nghệ thuật ở Nizhny Novgorod, thiết kế bởi kỹ sư người

Nga Vladimir Shukhov năm 1896

1.2 Các loại kết cấu điển hình sử dụng kết cấu cáp

1.2.1 Cầu treo

Từ thế kỉ thứ XIX, nước Mỹ là nơi xây dựng nhiều cầu treo nhịp dài nhất, kết cấu cáp kim loại dạng song song do Roebling đề xuất được áp dụng lần đầu tiên khi xây dựng cầu Niagara bắt qua sông Niagara nối giữa Canada và Hoa Kỳ với nhịp chính dài 246m, hoàn thành năm 1855 như Hình 1.3 Sau đó là cầu Brooklyn được xây dựng tại New York dài 1852m khánh thành vào 24/05/1883 như Hình 1.4

Năm 1937 Mỹ cũng xây dựng cầu Golden Gate với nhịp giữa 1280m, tháp bằng thép cao 227m, cáp chủ dùng hai bó cáp, mỗi bó cáp đường kính 90cm Hình 1.5 Năm 1998, Nhật hoàn thành cầu Akashi Kaikyo với nhịp chính 1991m, dài nhất thế giới thời điểm đó như Hình 1.6

Hình 1.3 Cầu Niagara nối Canada và

Hoa Kỳ, nhịp chính dài 246m (1855)

Hình 1.4 Cầu Brooklyn (New York) dài 1825m, khánh thành 24/05/1883

Hình 1.5 Cầu Golden Gate năm 1934, tại

SanFrancisco, nhịp chính dài 1280m

Hình 1.6 Cầu Akashi Kaikyo (Nhật),

nhịp chính dài 1991m Cáp chính gồm tổ hợp các bó sợi cáp song song là bộ phận chịu lực chính của cầu, nâng đỡ dầm/ dàn cứng và hệ mặt cầu, đồng thời truyền tải trọng qua tháp cầu đến trụ cầu và nền móng Sự truyền tải trọng từ dầm/ dàn lên cáp chính được thực hiện thông qua các dây treo hoặc thanh treo Hệ kết cấu cầu treo điển hình gồm hai tháp cao ở hai đầu, sàn cầu bê tông cốt thép hoặc thép, hai dây cáp lớn căng ngang nối hai đỉnh tháp và dây cáp nhỏ treo sàn bê tông cốt thép vào dây cáp lớn như Hình 1.7

Hình 1.7 Sơ đồ kết cấu cáp chịu lực điển hình của cầu treo

1.2.2 Kết cấu cáp treo mái

Trong những năm 1950 có nhiều tiến bộ đáng kể trong việc tìm hiểu và phân tích kết cấu cáp đỡ mái, đỉnh cao trong kết cấu này là dự án Olympic Roof thiết kế cho thế vận hội 1972 tại Munich, Đức như Hình 1.8 Kết cấu cáp đỡ mái cũng làm giảm

áp lực lên các kết cấu bên trên, sử dụng vật liệu ít hơn và yêu cầu tương đối cao về vật liệu Hầu hết các kết cấu mái rơi vào hai loại: (1) cáp treo; hoặc (2) dây hỗ trợ (1) cáp treo dùng để trực tiếp treo các kết cấu mái; và (2) trường hợp thêm tải trọng,

chẳng hạn như khung trần, bị đình chỉ trực tiếp từ bên dưới và cáp, tải trọng mái được đỡ bởi các bộ phận cứng của kết cấu

Hình 1.8 Cáp mái thiết kế cho thế vận hội

1972 tại Munich, Đức

Hình 1.9 Diplomatic Club Heart Tent,

1980, Riyadh, Saudi Arabia

Hình 1.10 Cảnh quan bên trong của

Olympic Stadium, Munich

Hình 1.11 Chi tiết cột neo cáp công trình thế vận hội 1972 tại Munich, Đức

1.2.3 Kết cấu cáp neo cột

Cáp dùng để đỡ cột viễn thông theo phương đứng Mục đích sử dụng cáp trong trường hợp này là hỗ trợ độ cứng tương đối cho cột, làm giảm kích thướt hình học

của cột và làm giảm tải trọng bên ngoài tác dụng lên kết cấu, nội lực bên trong cột

và vật liệu sử dụng được giảm đáng kể Hình 1.12 là công trình trạm thu phát sóng Beckley, Oxfordshire, cao 154.4m minh họa cho kết cấu này

Hình 1.12 Trạm thu phát sóng Beckley,

Oxfordshire, cao 154,4m

Hình 1.13 Mô hình cột tháp được neo

bởi cáp

1.2.4 Kết cấu cáp neo các kết cấu nước sâu

Giống như cáp neo cột viễn thông Trong trường hợp này, kết cấu tháp theo phương đứng dùng để đỡ các thiết bị nặng bên trên mực nước biển và nó được giữ lại thông qua cáp như Hình 1.14 Do qui mô lớn hơn so với cáp trên mặt đất nên kích thướt

và trọng lượng của cáp cũng lớn hơn rất nhiều Yếu tố hình học của cáp và trọng lượng của hệ thống cáp được xem xét Kết cấu cáp trong trường hợp này còn chịu tác động của nước hoặc tác động va chạm Thông thường cáp được thiết kế trong điều kiện bão lớn, xét ảnh hưởng đồng thời chuyển động của tháp Các ứng xử như vậy thường phức tạp hơn do các hình thức phi tuyến tính khác nhau, tăng độ cứng, tải trọng tác dụng và tăng độ biến dạng

Hình 1.14 Cáp neo cột để đỡ các thiết bị bên trên mực nước

1.2.5 Hệ thống dây xích neo các phao chịu tải trọng ngoài khơi

Hệ thống dây xích dùng để hạn chế tải trọng nước bên ngoài tác động hoặc dùng để neo các phao chở dầu vĩnh viễn Dây xích dùng để chịu tải trọng theo phương đứng khi neo tàu nổi như Hình 1.16 Do tải trọng nặng nên khi có bão tác động lên phao hoặc các tàu chở dầu gây ra chuyển vị ngang là đáng kể Lực giữ lại theo phương ngang là lực thông qua độ cứng của hệ thống dây xích được cung cấp ban

1.3 Tình hình nghiên cứu và tính cấp thiết của đề tài

Cùng với sự phát triển của khoa học kỹ thuật, nhiều phương pháp số được thiết lập

để tính toán và phân tích ứng xử của kết cấu cáp chịu tải trọng tĩnh và động học có xét đến yếu tố phi tuyến hình học của cáp

1.3.1 Các công trình nghiên cứu trên thế giới

Các phương pháp phân tích kết cấu cáp đều dựa trên phương pháp phần tử hữu hạn

và có thể chia thành 2 phương pháp chính: Phương pháp phần tử hữu hạn và phương pháp phân tích

Trong phương pháp phần tử hữu hạn: Đa thức được sử dụng để mô tả hình dạng

và chuyển vị của cáp

Thanh thẳng được sử dụng để mô hình hóa các loại cáp đã được các nhà nghiên cứu thông qua như Argyris and Scharpf 1972 [4], Gambhir and Batchelor 1979 [3] Cáp chùng sử dụng độ cứng tương đương được xem xét bởi Ernst 1965, đó là các phương trình lực cáp, trọng lượng bản thân của cáp, chiều dài phần tử, độ cứng dọc trục để thể hiện độ cứng tương đương của cáp [13 – trang 2]

Trong trường hợp cáp có độ cong lớn, số lượng phần tử thanh để mô tả đúng yếu tố hình học của phẩn tử cáp, do đó giả thiết như vậy là không hiệu quả vì số bậc tự do tăng mạnh Do giả định phần tử cáp gồm nhiều phần tử thanh thẳng nối lại có nhược điểm là sự gián đoạn độ dốc giả xuất hiện tại các nút mà không có tải trọng tập trung tác dụng dẫn đến vấn đề hội tụ Thay vì sử dụng các phần tử thanh kết hợp với nội suy tuyến tính ta có thể sử dụng ít nút hơn với đa thức bậc cao hơn cho hình dạng và chuyển cị của các phần tử Một phần tử được phát triển bởi Gambhir và Batchelor (1977) [5]

Chuyển vị và biến dạng được xấp xỉ bởi đa thức bậc 3 và liên tục tại các nút cáp được thực hiện bằng cách sử dụng phần tử tiếp tuyến, các dịch chuyển thông thường, góc xoay và độ cong Sử dụng các phần tử cong có thể tránh được các hàm bậc cao Trong trường hợp cáp chùng có độ cong lớn thì cần một số lượng lớn phần

tử để mô tả đúng hình dạng của cáp, không xuất hiện các yếu tố độ dốc

Phương pháp phân tích: Dựa vào các công thức phân tích để điều khiển tác dụng

của lực phân bố đều dọc theo chiều dài cáp Liên kết giữa 2 phần tử thành một loại

nhất định chịu tải trọng phân bố đều đã được sử dụng trong thực tế, đó là các phần

tử cáp chùng đàn hồi hình parabol Trong phần tử parabol, tải trọng phân bố đều dọc theo sợi cáp, yếu tố hình học của cáp được tiếp cận bằng đa thức bậc hai Một số nhà nghiên cứu như Cohen và Perrin (1957) [6], Poskitt và Livesley (1963) [7], Mollmann (1970) [8] đã phát triển kỹ thuật phân tích kết cấu cáp dựa trên cách tiếp cận này Sử dụng phần tử có dạng parabol là có thể chấp nhận được đối với cáp nhưng có thể bị lỗi do tồn tại sự khác biệt trong yếu tố hình học Việc xây dựng các hàm cơ bản cho phần tử dây xích đàn hồi dựa trên phương pháp phân tích được đề xuất bởi O’Brien and Francis (1964) [9] Yếu tố đầu tiên được trình bày bởi Peyrot

và Goulois (1979) [10] là các ma trận độ cứng tiếp tuyến thu được bằng cách nghịch đảo ma trận linh hoạt Việc xây dựng công thức không chính xác do không xét đến

độ cứng bên ngoài mặt phẳng Sau đó Jayaraman và Knudson (1981) [11] đã cải thiện công thức bằng cách xét đến độ cứng tiếp tuyến bên ngoài mặt phẳng kết hợp với các kỹ thuật biến đổi

Nhiều nhà nghiên cứu đã phân tích kết cấu cáp bằng việc sử dụng các phần tử cáp chùng Mô hình ứng xử tĩnh của cáp chùng và cáp căng chịu tải trọng phân bố đều với độ chính xác cao và không có sự gián đoạn xảy ra ở vùng biên Việc phân tích kết cấu cáp theo tải trọng động sẽ có kết quả chính xác hơn

1.3.2 Các công trình nghiên cứu trong nước

Với sự ra đời và phát triển ngày càng cao của các phương pháp số, các nghiên cứu phân tích phi tuyến hình học kết cấu cáp chịu tải trọng tĩnh và động học ngày càng được nhiều nhà nghiên cứu trên thế giới quan tâm Tuy nhiên nghiên cứu trong nước về lĩnh vực này còn rất hạn chế Trong báo cáo tại Hội nghị Khoa học Toàn quốc về Cơ kỹ thuật và Tự động hóa, TS Nguyễn Xuân Toản đã có báo cáo đề tài nghiên cứu về dao động phi tuyến của phần tử cáp và ứng dụng trong phân tích dao động cầu dây văng dưới tác dụng của đoàn tải trọng di động (trang 281 – 290, năm 2006) [12], tác giả đưa ra phần mềm TMS_KCX ứng dụng phần tử thanh có xét đến biến dạng lớn và phần tử cáp phi tuyến trong phân tích tĩnh và phân tích động cầu treo, cầu dây văng để làm tăng độ chính xác của kết quả tính toán TS Vũ Tân Văn

có nghiên cứu về phân tích phi tuyến kết cấu cáp (2012) [13] Trong luận án tiến sĩ

của TS Phùng Bá Thắng cũng đã nghiên cứu đề tài “Phân tích tĩnh học kết cấu hệ dây liên hợp theo phương pháp nguyên lý cực trị Gauss”, năm 2014 [14] - Ứng dụng nguyên lý cực trị Gauss để xây dựng lý thuyết dây tổng quát cho phép xác định đồng thời lực căng và chuyển vị trong cáp, kết hợp với lý thuyết cáp và lý thuyết dầm chịu uốn có xét biến dạng trượt ngang vào xây dựng và giải bài toán phẳng phân tích tĩnh học kết cấu hệ dây liên hợp mà không cần đưa vào giả thiết về hình dạng độ võng dây trước và sau khi biến dạng Tại trường Đại học Kiến trúc Hà Nội, luận văn thạc sĩ ngành xây dựng dân dụng và công nghiệp của Nguyễn Tiến Lương (2011) cũng đã nghiên cứu đề tài “Tính toán tĩnh và tìm tần số dao động riêng của hệ lưới dây theo phương pháp nguyên lý Gauss” [15], tác giả đã ứng dụng nguyên lý Gauss cho bài toán hệ dây chịu tải trọng tĩnh và cách tìm tần số dao động riêng của hệ lưới dây

1.4 Mục tiêu và hướng nghiên cứu

Mục tiêu của luận văn: sử dụng phần tử cáp chùng không gian để phân tích kết cấu cáp treo Trong đó phương pháp rời rạc hóa phần tử cáp DCC (Discrete Catenary Cable) dựa trên cơ sở của phần tử cáp liên tục CCC (Continous Catenary Cable) được phát triển nhằm khảo sát ứng xử phi tuyến của kết cấu cáp dưới ảnh hưởng của các yếu tố tải trọng

Để đạt được mục tiêu trên, các vấn đề nghiên cứu trong phạm vi luận văn sẽ được thực hiện gồm:

 Tìm hiểu các phương trình tính toán của phần tử cáp chùng

 Xây dựng thuật toán để tính toán ma trận độ cứng và các lực tại điểm cuối

 Ứng dụng các phương trình theo các thuật toán vừa xây dựng vào các loại kết cấu cáp cụ thể như kết cấu cáp đơn, kết cấu cáp hypar, cáp yên ngựa hay cáp mái sân vận động Scandinavium Arena… để tính toán chuyển vị nút của kết cấu khi chịu ảnh hưởng bởi các dạng tải trọng khác nhau

 Tập trung xem xét sự ảnh hưởng thông số ban đầu của phần tử cáp đến chuyển vị nút của kết cấu thông qua phân tích các thông số ban đầu của cáp trong kết cấu cáp mái sân vận động Scandinavium Arena

 Các kết quả thu được của luận văn được phân tích, kiểm tra và so sánh độ tin cậy với các kết quả đã được công bố từ các tạp chí uy tín trên thế giới

1.5 Cấu trúc luận văn

Nội dung trong luận văn được trình bày như sau:

Chương 1: giới thiệu tổng quan về các kết cấu sử dụng phần tử cáp, tình hình nghiên cứu phần tử cáp của các tác giả trong và ngoài nước, cũng như mục tiêu và hướng nghiên cứu của đề tài

Chương 2: trình bày cơ sở lý thuyết của phần tử cáp chùng

Chương 3: trình bày các ví dụ số và so sánh kết quả các ví dụ số đã trình bày với kết quả của các bài báo đã được công bố để chứng minh tính đúng đắn của đề tài

Chương 4: đưa ra một số kết luận quan trọng đạt được trong luận văn và kiến nghị hướng phát triển của đề tài trong tương lai

Tài liệu tham khảo: trích dẫn các tài liệu liên quan phục vụ cho mục đích nghiên cứu của đề tài

CHƯƠNG 2

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Chương này trình bày các giả thiết, công thức tính toán và mô hình phần tử cáp chùng được sử dụng trong luận văn Cơ sở lý thuyết của phần tử cáp chùng không gian được sử dụng để phân tích phi tuyến hình học của kết cấu cáp treo Các phương trình cân bằng của các phần tử cáp chùng được trình bày, ma trận độ cứng tiếp tuyến trong và ngoài mặt phẳng của phần tử cáp được xây dựng trực tiếp từ tập hợp các biểu thức giải tích Giải pháp gia số lặp dựa vào phương pháp Newton-Raphson để tìm ra mối quan hệ giữa lực và chuyển vị tại nút Ngoài ra, áp dụng một thuật toán để xác định chiều dài cáp ban đầu trong trường hợp biết lực căng trước

Sự chính xác và hiệu quả của các phần tử cáp chùng được công nhận qua các ví dụ

số so với các kết quả đã được công bố

2.1 Tổng quan về phần tử cáp

2.1.1 Giới thiệu chung

Ngày nay, trong nhiều lĩnh vực công nghệ, phương pháp phần tử hữu hạn đang là công cụ phân tích phổ biến Trong phân tích các thành phần của kết cấu như tấm, dầm, thanh, cáp cần phải xem xét các phần tử hữu hạn phù hợp Các phần tử được xây dựng sao cho ứng xử đúng thực tế nhất Đối với dầm, phương pháp phần tử hữu hạn có sẵn trong các ứng dụng Đối với phần tử cáp, thường sử dụng phần tử thanh thẳng để mô hình kết cấu cáp Các phần tử cáp ứng xử phi tuyến và hầu như không thể mô hình bằng kỹ thuật Galerkin tiêu chuẩn Tính phi tuyến hình học của kết cấu cáp do cáp có độ cứng uốn thấp Đối với cáp căng, phần tử thanh thẳng là mô hình tốt nhất để mô phỏng kết cấu cáp Nhưng nếu cáp chịu lực nén sẽ rất dễ mất ổn định Độ dốc của cáp phụ thuộc vào mối quan hệ giữa các đặc tính vật lý của cáp Tuy nhiên, độ cứng uốn của cáp thấp dẫn đến việc mô hình cáp khó khăn

2.1.2 Phương pháp phân tích phần tử cáp

2.1.2.1 Phần tử chùng không giãn dài - The inextensible catenary

Để thu được phương trình của phần tử chùng không mở rộng, một số giả thiết nhất định phải được thực hiện về thông số của cáp Giả thiết cáp hoàn toàn linh hoạt (E≡0), không thể mở rộng (AE → ∞), không có độ cứng xoắn và có thể duy trì lực kéo Theo kết quả của những giả thiết này, lực tiếp tuyến với cáp tại từng điểm Xem xét một đoạn cáp nhỏ của cáp mở rộng như hình 2.3 Đặt AE → ∞ và từng đoạn không mở rộng như hình 2.4

(2.5) Trong đó H là thành phần ngang của lực căng cáp, hằng số dọc theo cáp không có tải trọng ngang tác dụng Phương trình (2.5) thay thế cho (2.1)

(2.10)

(2.11) Phương trình (2.9) là phương trình cáp chùng không mở rộng Phương trình (2.9) cho độ dốc như sau:

(2.12) Chiều dài của phần tử chùng không mở rộng có thể tính theo phương trình sau:

(2.13) Phương trình gần đúng cho phần tử cáp không mở rộng có thể tìm được hình dạng cáp với cáp có độ chùng nhỏ Trong trường hợp này ds0/ dx ≈ 1 và phương trình (2.6) đơn giản hoá

Sử dụng các điều kiện biên, kết quả phương trình (2.14) theo phương trình parabolic:

(2.15) Phương trình (2.15) dễ sử dụng hơn phương trình (2.9) Do đó, phương trình parabola đã được dùng cho phương trình cáp trong phát triển các biểu thức gần đúng cho thiết kế sơ bộ kết cấu cáp Đối với cáp chỉ có trọng lượng bản thân, phương trình parabolic (2.15) gần đúng và lỗi tăng lên khi độ võng tăng Để đạt được sự khác nhau giữa parabola và cáp chùng Xem xét cáp với h = 0 cho tỉ lệ độ võng lớn hơn 0.2 như hình 2.5 Tuy nhiên, việc sử dụng phương trình parabolic có thể trong vài trường hợp chính xác hơn

Hình 2.2 Sự khác biệt giữa độ oằn và lực cáp cho phần tử chùng không mở rộng và

parabola với nhịp l và lực ngang H

2.1.2.2 Phần tử chùng đàn hồi

Các phương trình cân bằng của chuỗi cáp dài, đáp ứng lại định luật Hooke được bắt nguồn từ Jacob và Johann Bernoulli nhưng lời giải đầu tiên là năm 1891 bởi Routh

[27] Để tìm phương trình phần tử chùng đàn hồi, đoạn cáp mở rộng như hình 2.6 được xem xét Cân bằng các đoạn cáp ngang và đứng

(2.19) Trong đó A là diện tích tiết diện mặt cắt ngang cho biên dạng không ứng suất

Hình 2.3 Đoạn cáp mở rộng

Trong đó (2.16) và (2.17) được bình phương, thay vào phương trình (2.18), cho lực cáp tại bất kì điểm s0:

Lưu ý rằng, dx/ ds0 = (dx/ds)(ds/ds0) và dz/ ds0 = (dz/ ds)(ds/ ds0), các tham số bắt nguồn từ (xs0) và z(s0), vì dx/ ds, dz/ ds và ds/ ds0 được cho bằng các phương trình (2.16), (2.17), (2.19) tương ứng, kết quả như sau:

(2.21)

(2.22) Nếu kết hợp phương trình (2.20), (2.22), được kết quả sau

(2.23)

Do đó, lực cáp tại bất kỳ giá trị s(0) độc lập với l

Gần đây, Russell và Lardner [26] thực hiện một số thí nghiệm với mô hình để xem xét tính đàn hồi của cáp Mục đích thí nghiệm là so sánh các phân tích số từ phương trình (2.20) – (2.22) của cáp chùng đàn hồi với các giá trị thu được Kết quả cho thấy, sai số trung bình thấp hơn 2.5% giá trị lý thuyết đã được báo cáo

2.1.2.3 Ảnh hưởng độ cứng uốn của cáp

Phần tử cáp chùng đàn hồi không bao giờ chính xác trong thực tế vì các giả định vi phạm trong nhiều trường hợp Một giả định có vai trò quan trọng, cần nghiên cứu thêm là độ cứng uốn bằng 0 Đối với cáp thực tế như cầu treo, độ lớn của độ cứng uốn rất lớn Do đó, ảnh hưởng của độ cứng uốn không khác về yếu tố hình học và lực sẽ được phân tích

Đầu tiên, cần xem xét độ cứng uốn của cáp lớn như thế nào Tính toán độ cứng uốn phức tạp hơn độ cứng dọc trục, 2 trường hợp để phân biệt là:

1 Các sợi cáp dính với nhau, cáp có trục trung hoà và độ cứng của cáp tương tự như dầm

2 Ma sát giữa các sợi cáp bằng 0, uốn cong quanh trục trung hoà

Trường hợp đầu tiên là giới hạn trên của độ cứng uốn trong khi trường hợp thứ hai cho giới hạn dưới Một số phương pháp tính độ cứng uốn cho cáp xoắn Theo khuyến cáo của Cardou và Jolicoeur [29] một ước lượng tốt nhất cho giới hạn trên của độ cứng uốn cáp thu được bằng sử dụng phương pháp Lanteigne

(2.24) Đối với giới hạn dưới của độ cứng uốn, mô hình ma sát của Costello [28] được sử dụng

(2.25) Ảnh hưởng độ cứng uốn trên thông số hình học của cáp và lực cáp được phân tích bởi Wang và Watson [30] Trong đó, cáp không thể mở rộng và sử dụng phương trình đàn hồi đầu tiên được xây dựng bởi Euler để đại diện cho cáp như hình 2.7

(2.26) Bằng cách chia tất cả các lực bởi EI/ S2 và tất cả chiều dài bằng S với S = L/ 2 Phương trình (2.26) trở thành:

(2.27) Trong đó

K tương đối quan trọng của trọng lượng riêng và chiều dài đối với độ cứng và tỉ số nửa chiều dài với chiều dài uốn (RI/ q0)1/3 Do không có kết quả cho phương trình (2.27) nên dùng phương pháp số tích hợp Tuy nhiên, do độ cứng cực đại (2.27) cho giá trị lớn nhất của K cho tất cả các phương pháp số cổ điển, chẳng hạn như phương pháp Newton’s với các thuật toán và hữu hạn gần đúng Các giải pháp cho giá trị K trên toàn phạm vi chỉ được cung cấp bởi phương pháp liên tục phức tạp

Một vài kết quả từ nghiên cứu bởi Wang và Watson’s [30] trình bày trong hình 2.8

và 2.9 Đối với a > 0.8 ảnh hưởng của K trên hình dạng có thể được bỏ qua, hình 2.8 Đối với độ cong tối đa trong hình 2.9(a) hiệu ứng K là đáng kể khi a < 0.8 Lực ngang rất nhạy với K cho tất cả giá trị của a, hình 2.9 (b) Các kết luận sau từ nghiên cứu của Wang và Watson:

- Ảnh hưởng của độ cứng uốn trên hình dạng cáp có thể bỏ qua đối với cáp căng

- Bỏ qua độ cứng uốn dẫn đến mô hình nhẹ hơn, trong đó phân tích động cho phép trường hợp eigenfrequencies thấp hơn

Tuy nhiên, giả định về độ cứng uốn dọc trục của cáp là không chính xác Đối với cáp căng, độ cứng uốn không có ý nghĩa

Hình 2.4 Hệ toạ độ cho cáp không mở rộng với độ cứng uốn khác 0

Mặc dù bỏ độ cứng uốn trong phân tích nhưng vẫn giả định độ cứng xoắn bằng không Để kiểm tra ảnh hưởng của giả định này, mô hình cáp mở rộng với mức độ quay tự do

Đối với phân tích chung của kết cấu cáp thường được trình bày bằng phần tử hữu hạn

Hình 2.5 Hàm chiều cao b, nhịp a của cáp không mở rộng với độ cứng uốn

Hình 2.6 Một số kết quả cho cáp không mở rộng với độ cứng uốn

2.1.3 Phân loại phần tử cáp chùng không gian

2.1.3.1 Phần tử dựa trên hàm nội suy đa thức

Gồm ba loại phần tử cơ bản như sau:

 Phần tử thanh thẳng

 Phần tử thanh với độ cong đẳng hướng

 Phần tử cong với gốc quay tự do

Phần tử thanh thẳng hai nút

Phần tử thanh thẳng là phổ biến nhất được sử dụng trong các mô hình của các loại cáp Một số công thức của phần tử thanh được trình bày để phân tích phi tuyến hình học Phần tử thanh thẳng chỉ có độ cứng dọc trục thích hợp cho cáp ứng lực trước, được sử dụng trong mạng lưới và dàn cáp Đối với cáp chùng, độ cong lớn phải sử dụng nhiều phần tử thanh để mô hình cáp làm tăng số bậc tự do, đồng thời độ dốc giả tại các nút không liên tục làm cho phương pháp không hiệu quả Do giả định

phần tử cáp là thanh thẳng dẫn đến phần tử không liên tục và có thể dẫn đến hội tụ khi phân tích

Một phương pháp thường được sử dụng để mô hình cáp chùng là các mô đun tương đương hoặc độ cứng xấp xỉ Trong phương pháp này, cáp được gán một độ cứng nhất định và đưa cáp võng vào tính toán Độ cứng tương đương được xây dựng bởi Ernst (1965) [31] Bằng cách cân bằng độ cứng một phần tử thanh thẳng của một phần tử parabol thu được một biểu thức đơn giản cho độ cứng dọc trục tương đương của một phần tử cáp chùng Các độ cứng tương đương phụ thuộc vào lực căng cáp, trọng lượng bản thân, độ dài của các phần tử và các độ cứng dọc trục của một phần

tử cáp thẳng

Phần tử hữu hạn đẳng tham số tại nhiều nút

Thay vì sử dụng nhiều phần tử thanh với chức năng nội suy tuyến tính, có thể sử dụng ít phần tử hơn với chức năng nội suy bậc cao Bằng cách thêm vào các nút phần tử hữu hạn với đa thức bậc cao cho các mô hình và chuyển vị của phần tử Phổ biến nhất là phần tử ba và bốn nút, trong đó sử dụng chức năng nội suy bậc 3 tương ứng Các ma trận độ cứng tiếp tuyến và lực nút tương đương thu được bằng cách sử dụng công thức đẳng tham số Do các biểu thức phức tạp, các ma trận độ cứng tiếp tuyến và lực nút tương đương phải được tìm bằng cách nhập số Những phần tử cong cho kết quả chính xác đối với các loại cáp với độ võng nhỏ

Phần tử cong với gốc quay tự do

Tính liên tục của độ dốc có thể được thực hiện bằng cách thêm góc quay tự do cho nút Phần tử này được phát triển bởi Gambhir và Batchelor (1977) [5] Đa thức bậc

3 mô tả chuyển vị và hình dạng của dây cáp Do đơn giản hóa, các phần tử này chỉ

áp dụng cho các loại cáp với tỷ số võng của nhịp nhỏ Để mô hình một dây cáp có

độ võng lớn hơn thì phải sử dụng phần tử khác và không có độ dốc liên tục sẽ xảy

ra

Cáp có độ cứng uốn cho trước hoặc giả thiết thay thế có thể cung cấp kết quả chính xác hơn cáp được mô hình hóa bằng cách sử dụng các phần tử thanh với độ cứng uốn thấp Tuy nhiên, nhiều phần tử thanh với độ cứng uốn nhỏ là cần thiết cho các

mô hình cáp Nhưng khi có gốc quay tự do trong các phần tử thanh thì tổng số bậc

tự do sẽ tăng đáng kể

Một số ưu điểm kết hợp với các đa thức dựa trên phần tử cáp:

 Việc xây dựng với đa thức là gần như tổng quát

 Ứng xử ngoài mặt phẳng của cáp có thể thu được nếu việc xây dựng phần tử đẳng tham số nhiều nút được sử dụng

 Đối với phân tích động lực học, các ma trận khối lượng được xem xét

Những khuyết điểm:

 Với gốc quay tự do của cáp dẫn đến độ dốc không liên tục xảy ra và có thể dẫn đến hội tụ

 Sử dụng nhiều phần tử để mô hình cáp chùng với hệ số võng nhịp lớn

2.1.3.2 Phần tử dựa trên các hàm phân tích

Loại thứ hai dựa trên các hàm phân tích là dựa trên việc phân tích các hàm để xét ảnh hưởng của tải trọng dọc theo chiều dài của cáp Ba phần tử, mỗi phần tử liên kết với một loại tải phân bố đều:

 Phần tử parabol tải trọng phân bố đều dọc theo nhịp ngang của cáp

 Phần tử chùng đàn hồi tải trọng phân bố đều dọc theo chiều dài không căng của cáp

 Phần tử chùng liên kết chịu tải trọng phân bố đều dọc theo chiều dài căng của

cáp

Phần tử Parabol

Phần tử parabol do hình thức đơn giản của nó so với các phần tử chùng nên được sử dụng thường xuyên trong việc phân tích các kết cấu cáp Một loại phần tử parabol, phần tử ba nút đẳng tham số, sử dụng giả thiết cáp ngắn và chỉ áp dụng cho các loại cáp với hệ số độ võng nhịp nhỏ Đối với cả hai phần tử, lực cáp thu được bằng cách giải một phương trình bậc ba

Phần tử chùng đàn hồi

Đối với một cáp chịu tải trọng bản thân thì sử dụng phần tử đàn hồi là chính xác.Về

cơ bản, hai phần tử chùng đàn hồi đã được phát triển Phần tử đầu tiên đã được trình bày bởi Peyrot và Goulois (1979) [10] bằng cách sử dụng các biểu thức của O'Brien

et al (1964) [9] để có được ma trận độ cứng Các ma trận tiếp tuyến được cho là không chính xác bởi vì ma trận ngoài mặt phẳng theo hướng trục y được thiết lập bằng không Điều này sau đó đã được trình bày lại bởi Jayaraman và Knudson (1981) [11] đã chứng minh sự chính xác của các phần tử cho một số ví dụ

Liên kết phần tử cáp chùng đàn hồi

Phần tử chùng liên kết là một loại đặc biệt Đối với phần tử này tải trọng phân bố dọc theo chiều dài căng của các phần tử Một tải trọng của loại hình này là tải trọng tuyết Dưới tác động của tải tuyết các đoạn phần tử do đó làm tăng chiều dài có sẵn

do các lớp tuyết rơi xuống đất Như vậy, tải trọng là phụ thuộc vào các chuyển vị Trong trường hợp tải trọng không ước lượng trước và do đó ma trận độ cứng tiếp tuyến là không đối xứng Trong phần tử này các phương trình thể hiện lực nút và

ma trận độ cứng tiếp tuyến rất phức tạp

Ưu điểm của phần tử là chỉ sử dụng một phần tử để mô hình một sợi cáp với độ chính xác cao

Mặc dù phần tử này làm việc tốt nhưng cũng có một số nhược điểm:

 Các lực nút tương đương và ma trận độ cứng tiếp tuyến phải được xác định bằng phương pháp lặp

 Việc sử dụng các hàm lượng giác, chẳng hạn như các hàm tiếp tuyến trong công thức không định nghĩa được trường hợp tải trọng nhất định

 Ma trận khối lượng không có sẵn

Từ các phần tử đã được trình bày trong tổng quan này, phần tử được lựa chọn và sẽ được mô tả trong các phần sau là phần tử cáp chùng không gian

Ma trận độ cứng đàn hồi theo toạ độ địa phương như sau:

Hình 2.7 Phần tử thanh thẳng trong không gian

Phân tích phi tuyến kết cấu cáp theo ma trận độ cứng hình học như sau:

(2.38) Đối với cáp, chord length dài hơn chiều dài ban đầu căng cáp và tính toán như sau:

(2.39) Khi L ≤ L0 phương trình 2.39 chảy dẻo về 0 hoặc chịu lực nén

2.1.4.2 Phần tử parabolic đàn hồi

Là phần tử có tải trọng q0 phân bố theo chiều dài theo nhịp ngang cáp Vài tác giả chia lực nút và ma trận độ cứng phần tử cho phần tử parabolic với với tỉ số độ chùng đến nhịp nhỏ Phần tử parabolic đàn hồi có độ chùng lớn không được phát triển

Vector lực nút tương đương cho phần tử parabolic như sau:

Trong đó,

(2.41)

(2.42)