Phân tích phi tuyến khung thép phẳng bằng phương pháp khớp dẻo sử dụng hàm

Đề tài phân tích phi tuyến khung không gian có liên kết nửa cứng. Ứng xử phi tuyến vật liệu được kể đến bởi việc sử dụng phương pháp khớp dẻo có ma trận giảm dẻo dựa trên mặt dẻo ba tham số để mô phỏng sự chảy dẻo của mặt cắt ngang do tác động của lực dọc trục và mômen uốn theo hai phương.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

CÔNG TRÌNH NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG

PHÂN TÍCH PHI TUYẾN KHUNG THÉP PHẲNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP KHỚP DẺO SỬ DỤNG HÀM DẠNG CHUYỂN VỊ XẤP XỈ ĐA THỨC BẬC 5

MÃ SỐ: T2015 – 19TĐ

Tp Hồ Chí Minh, 2015

S KC 0 0 4 7 6 3

TR ƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT

KHOA XÂY DỰNG VÀ CƠ HỌC ỨNG DỤNG

BÁO CÁO TỔNG KẾT

ĐỀ TÀI KH&CN CẤP TRƯỜNG TRỌNG ĐIỂM

PHÂN TÍCH PHI TUYẾN KHUNG THÉP PHẲNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP KHỚP DẺO SỬ DỤNG

HÀM DẠNG CHUYỂN VỊ XẤP XỈ ĐA THỨC BẬC 5

Mã số: T2015 – 19TĐ

Chủ nhiệm đề tài:

ThS Đoàn Ngọc Tịnh Nghiêm Thành viên đề tài:

ThS Đặng Xuân Lam

TP HCM, 10/2015

1

MỤC LỤC

DANH MỤC HÌNH VẼ 3

DANH MỤC BẢNG BIỂU 4

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT 4

C HƯƠNG I MỞ ĐẦU 10

I.1 Tổng quan 10

I.2 Tình hình nghiên cứu 11

I.3 Tính cấp thiết của đề tài 14

I.4 Mục tiêu của đề tài 14

I.5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 15

I.6 Cách tiếp cận – Phương pháp nghiên cứu 15

I.7 Nội dung nghiên cứu 15

C HƯƠNG II CƠ SỞ LÝ THUYẾT 16

II.1 Giả thiết 16

II.2 Các hàm ổn định khi xấp xỉ chuyển vị bằng đa thức bậc 5 17

II.2.1 Lời giải giải tích của hàm chuyển vị và hàm ổn định 17

II.2.2 Các hàm ổn định khi xấp xỉ hàm chuyển vị bằng đa thức bậc 5 18 II.3 Quan hệ nội lực và góc xoay hai đầu phần tử 21

II.4 Thành lập ma trận độ cứng phần tử dầm-cột 22

II.5 Phi tuyến vật liệu 25

II.5.1 Sự chảy dẻo do tác động của ứng suất dư 25

II.5.2 Sự chảy dẻo do ảnh hưởng của nội lực 25

C HƯƠNG III CHƯƠNG TRÌNH PHÂN TÍCH 28

III.1 Thuật toán chiều dài cung kết hợp với chuyển vị dư nhỏ nhất 28

III.2 Lưu đồ thuật toán 30

III.3 Chương trình phân tích 31

C HƯƠNG IV VÍ DỤ MINH HỌA 34

IV.1 Ví dụ 1 – Cột phi đàn hồi hai đầu khớp chịu tải tập trung 34

2 IV.2 Ví dụ 2 – Dầm hai đầu ngàm chịu tải tập trung 36

IV.3 Ví dụ 3 – Khung 2 tầng 1 nhịp với các dạng liên kết chân cột 37

IV.4 Ví dụ 4 – Khung 2 tầng 1 nhịp Balling 40

IV.5 Ví dụ 5 – Khung 4 tầng 2 nhịp Kukreti và Zhou 42

IV.6 Ví dụ 6 – Khung 4 tầng 1 nhịp Kassimali 43

IV.7 Ví dụ 7 – Khung Vogel 6 tầng 2 nhịp 44

C HƯƠNG V KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 47

V.1 Kết luận 47

V.2 Kiến nghị 47

TÀI LIỆU THAM KHẢO 49

DANH MỤC HÌNH VẼ Hình II-1 Phần tử dầm-cột điển hình 17

Hình II-2 So sánh các hàm ổn định 20

Hình II-3 Lực và chuyển vị đầu mút phần tử dầm-cột 23

Hình II-4 Đường cường độ chảy dẻo được đề xuất bởi Orbison 26

Hình II-5 Đường cường độ chảy dẻo được đề xuất bởi Liew và cộng sự 26

Hình II-6 Đường cường độ chảy dẻo được đề xuất bởi Balling 27

Hình III-1 Lưu đồ thuật toán của chương trình 30

Hình IV-1 Cột thép phi đàn hồi hai đầu khớp chịu lực tập trung 34

Hình IV-2 Đường cường độ cột hai đầu khớp 35

Hình IV-3 Dầm hai đầu ngàm chịu tải tập trung 36

Hình IV-4 Chuyển vị tại điểm đặt lực của dầm hai đầu ngàm 37

Hình IV-5 Khung 2 tầng 1 nhịp Lui và Chen 37

Hình IV-6 Đường tải trọng – chuyển vị (Đàn hồi – LK khớp) 38

Hình IV-7 Đường tải trọng – chuyển vị (Phi đàn hồi – LK khớp) 39

Hình IV-8 Đường tải trọng – chuyển vị (Đàn hồi – LK ngàm) 39

Hình IV-9 Đường tải trọng – chuyển vị (Phi đàn hồi – LK ngàm) 40

Hình IV-10 Khung 2 tầng 1 nhịp Balling 40

Hình IV-11 Đường tải trọng – chuyển vị khung 2 tầng 1 nhịp Balling 41

Hình IV-12 Khung 4 tầng 2 nhịp Kukreti và Zhou 42

Hình IV-13 Đường hệ số tải trọng – chuyển vị khung 4 tầng 2 nhịp 42

Hình IV-14 Khung 4 tầng 1 nhịp Kassimali 43

Hình IV-15 Đường hệ số tải trọng – chuyển vị khung 4 tầng 1 nhịp 44

Hình IV-16 Khung Vogel 6 tầng 2 nhịp 45

Hình IV-17 Chuyển vị đỉnh bên phải khung Vogel 6 tầng 2 nhịp 46

DANH MỤC BẢNG BIỂU Bảng 1 Lời giải giải tích của hàm chuyển vị ∆( )x và các hàm ổn định s , s 181 2 Bảng 2 Lời giải của hàm chuyển vị ∆( )x và các hàm ổn định s , s đề xuất 201 2 Bảng 3 Định dạng file input.txt 31

Bảng 4 Hệ số tải giới hạn (P/Py ) của cột hai đầu khớp 35

Bảng 5 So sánh kết quả hệ số tải giới hạn λu của dầm 2 đầu ngàm 36

Bảng 6 So sánh hệ số tải giới hạn λu của khung 2 tầng 1 nhịp Lui và Chen 38

Bảng 7 Hệ số tải giới hạn λu của khung 4 tầng 1 nhịp Kassimali 44

Bảng 8 Đặc trưng hình học của khung Vogel 6 tầng 2 nhịp 45

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT

A Diện tích mặt cắt ngang cấu kiện

b1, b2 Các hàm hiệu ứng cung

E Mô-đun đàn hồi của vật liệu

Et Mô-đun tiếp tuyến của vật liệu

e1, e2 Hệ số chảy dẻo ở hai đầu phần tử

F, P Lực dọc trục phần tử

I Mô-men quán tính của tiết diện

L Chiều dài của phần tử

M1, M2 Mô-men uốn ở hai đầu phần tử

My Mô-men chảy dẻo của phần tử

Py Lực dọc chảy dẻo của phần tử

5

s1, s2 Các hàm ổn định của phần tử dầm-cột đàn hồi

s’1, s’2 Đạo hàm các hàm ổn định của phần tử dầm-cột đàn hồi

sip (i = 1~3) Các hàm ổn định của phần tử dầm-cột phi đàn hồi

s’ip (i = 1~3) Đạo hàm các hàm ổn định của phần tử dầm-cột phi đàn hồi

u1, u4 Chuyển vị theo phương ngang của hai đầu phần tử

u2, u5 Chuyển vị theo phương đứng của hai đầu phần tử

u3, u6 Chuyển vị theo xoay của hai đầu phần tử

Z Mô-men quán tính dẻo của tiết diện

δ Chuyển vị dọc trục phần tử

∆ Chuyển vị ngang tại đỉnh, chuyển vị đứng của hệ kết cấu

∆(x) Hàm chuyển vị của phần tử dầm-cột

∆λi, ∆λ(i)j Hệ số tải và hệ số điều chỉnh tải gia tăng

λC Hệ số độ mảnh của cột

λu Hệ số tải giới hạn của hệ kết cấu

σy Ứng suất chảy dẻo của vật liệu

θ1, θ2 Góc xoay ở hai đầu phần tử

{P}, {∆P} Véc-tơ tải và véc-tơ tải gia tăng

{u}, {∆u} Véc-tơ chuyển vị và véc-tơ chuyển vị gia tăng

{z} Véc-tơ nội lực nút phần tử trong tọa độ địa phương

{Z} Véc-tơ nội lực nút phần tử trong tọa độ tổng thể

[kG] Ma trận độ cứng hình học của phần tử theo tọa độ địa phương

[kθ] Ma trận độ cứng hình học bậc cao của phần tử theo tọa độ địa phương

[kT] Ma trận độ cứng tiếp tuyến phần tử theo tọa độ địa phương

[KT] Ma trận độ cứng tiếp tuyến phần tử theo tọa độ tổng thể

[T] Ma trận chuyển đổi của cấu kiện khung phẳng

6

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

KHOA XD & CHƯD

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

Tp HCM, ngày 24 tháng 10 năm 2015

THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

1 Thông tin chung:

- Tên đề tài: Phân tích phi tuyến khung thép phẳng bằng phương pháp khớp dẻo sử dụng hàm dạng chuyền vị xấp xỉ đa thức bậc 5

- Mã số: T2015 – 19TĐ

- Chủ nhiệm: Đoàn Ngọc Tịnh Nghiêm

- Cơ quan chủ trì: Trường ĐH Sư Phạm Kỹ Thuật Tp HCM

- Thời gian thực hiện: từ tháng 06 năm 2014 đến tháng 10 năm 2015

2 Mục tiêu:

Phát triển phần tử dầm-cột sử dụng hàm chuyển vị xấp xỉ đa thức bậc 5 kết hợp với các khớp dẻo hiệu chỉnh ở hai đầu phần tử để phân tích ứng xử phi tuyến hình học và phi tuyến vật liệu cho khung thép phẳng

Phát triển một chương trình phân tích tin cậy và hiệu quả cho phân tích ứng xử phi tuyến của khung thép phẳng

3 Tính mới và sáng tạo:

Nghiên cứu này trình bày một phần tử dầm-cột có thể mô phỏng tác động bậc hai và sự chảy dẻo của kết cấu khung thép phẳng chịu tải trọng tĩnh Hàm chuyển vị của cấu kiện dầm-cột chịu lực dọc và mômen uốn ở hai đầu mút được giả định xấp

xỉ bằng hàm đa thức bậc 5 thỏa các điều kiện tương thích và cân bằng tại hai đầu mút và ở chính giữa cấu kiện Từ đó một ma trận độ cứng với các hàm ổn định có xét đến hiệu ứng cung được thiết lập để giả lập chính xác tác động bậc hai

Các hệ số chảy dẻo đầu mút được sử dụng để mô phỏng sự chảy dẻo dần dần của tiết diện hai đầu phần tử theo giả thiết khớp dẻo

Một chương trình phân tích phi tuyến cho kết cấu khung thép phẳng được phát

triển bằng ngôn ngữ lập trình MATLAB dựa trên thuật toán giải phi tuyến theo

phương pháp chiều dài cung kết hợp với phương pháp chuyển vị dư nhỏ nhất và kết

quả phân tích của nó được chứng minh là tin cậy qua các ví dụ số

4 Kết quả nghiên cứu:

Để kiểm tra độ chính xác và hiệu quả tính toán của chương trình, kết quả phân

tích được so sánh với các kết quả có sẵn trong các tài liệu khác Thông qua các ví

dụ số, chương trình đề xuất được chứng minh là một công cụ đáng tin cậy và hiệu

quả trong việc tiên đoán khả năng chịu lực của hệ kết cấu

5 Sản phẩm:

Đoàn Ngọc Tịnh Nghiêm, Lê Nguyễn Công Tín, Nguyễn Thị Thùy Linh,

Nguyễn Tấn Hưng, Ngô Hữu Cường Phân tích phi tuyến khung thép phẳng

dùng hàm chuyển vị đa thức bậc năm Hội nghị Khoa học Công nghệ Trường Đại

học Bách khoa Tp.HCM lần thứ 14, 2015

Đoàn Ngọc Tịnh Nghiêm, Lê Nguyễn Công Tín, Nguyễn Thị Thùy Linh,

Nguyễn Tấn Hưng, Ngô Hữu Cường Phân tích phi tuyến khung thép phẳng

dùng hàm chuyển vị đa thức bậc năm Tạp chí Xây dựng, Số 10 (2015)

6 Hiệu quả, phương thức chuyển giao kết quả nghiên cứu và khả năng áp dụng:

Chương trình máy tính được phát triển có thể được ứng dụng để phân tích nâng

cao kết cấu phục vụ việc nghiên cứu, giảng dạy kết cấu thép nâng cao

Đưa vào giảng dạy theo dạng chuyên đề tại trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM

Trưởng Đơn vị

(ký, họ và tên)

Chủ nhiệm đề tài

(ký, họ và tên)

ThS Đoàn Ngọc Tịnh Nghiêm

INFORMATION ON RESEARCH RESULTS

1 General information:

- Project title:

Nonlinear Analysis Of Planar Steel Frames Using Fifth-Order Polynomial Displacement Function

- Code number: T2015 – 19TĐ

- Coordinator: Tinh-Nghiem Doan-Ngoc

- Implementing institution: HCMC University of Technology and Education

- Duration: from June 2014 to October 2015

2 Objective(s):

- Generate a formula of beam-column element using fifth-order polynomial displacement function in combination with refined plastic hinges at two ends for geometric and material non-linear analysis of planar steel frames

- Develop a reliable and efficient program for non-linear analysis of planar steel frames

3 Creativeness and innovativeness:

This research presents a beam-column element capable of modeling the second-order effects and the inelasticity of planar steel frame structures under static loads The displacement function of a beam-column member subjected to axial forces and bending moments at the ends is approximately assumed to be a fifth-order polynomial function satisfying the compatible and equilibrium conditions at the mid-length and ends of the member Then a stiffness matrix with stability functions considering the bowing effect is formulated in order to simulate the second-order effects accurately

The end plasticity factors are used to model the gradual plastification of two end element sections by plastic-hinge assumption

A structural nonlinear analysis program of steel frame structures is developed by MATLAB programming language based on the arc-length method combined with

9

minimum residual displacement method and its analysis results are proved to be

reliable through some numerical examples

4 Research results:

It is verified for accuracy and computational efficiency by comparing the

predictions with other results available in the literature Through a variety of

numerical examples, the proposed program proves to be a reliable and efficient tool

in predicting strength and behavior of steel structures

5 Products:

Tinh-Nghiem Doan-Ngoc, Cong-Tin Le-Nguyen, Thuy-Linh Nguyen-Thi,

Tan-Hung Nguyen, Cuong Ngo-Huu Nonlinear Analysis Of Planar Steel Frames

Using Fifth-Order Polynomial Displacement Function 14th Conference on Science

and Technology, HCMUT Vietnam, (2015)

Tinh-Nghiem Doan-Ngoc, Cong-Tin Le-Nguyen, Thuy-Linh Nguyen-Thi,

Tan-Hung Nguyen, Cuong Ngo-Huu Nonlinear Analysis Of Planar Steel Frames

Using Fifth-Order Polynomial Displacement Function Construction Magazine, 10

(2015)

6 Effects, transfer alternatives of reserach results and applicability:

The proposed program can be applied in advanced analysis for the purpose of

researching and teaching advanced analysis of steel structures

This research can be discussed as a special subject at HCMC University of

Technology and Education

10

Chương I MỞ ĐẦU I.1 Tổng quan

Phân tích kết cấu là quá trình xác định ứng xử của hệ kết cấu khi chịu các dạng tải trọng Phân tích đàn hồi tuyến tính giả thuyết bỏ qua ảnh hưởng của chuyển vị đến ứng xử của kết cấu và do đó quan hệ ứng suất – biến dạng là tuyến tính Phân tích này thường đơn giản với khối lượng tính toán ít Dạng phân tích này hiện đang được áp dụng phổ biến để thiết kế kết cấu với việc kể đến tác động phi tuyến hình học và vật liệu một cách gián tiếp thông qua các công thức thiết kế hoặc các hệ số đơn giản nào đó được đề xuất trong các tiêu chuẩn Tuy nhiên, dạng phân tích này chưa phản ánh đúng bản chất chịu lực thật của kết cấu Ngược lại, trong bài toán phân tích phi tuyến quan hệ tải trọng – chuyển vị là phi tuyến, do đó cần phải sử dụng các thuật toán giải lặp để phân tích (vì kết cấu đã bị biến đổi về hình học và tính chất vật liệu cũng đã thay đổi)

Do việc phân tích phải trải qua nhiều bước lặp và ma trận độ cứng luôn được cập nhật sau mỗi bước gia tải nên thời gian và khối lượng tính toán của bài toán phân tích phi tuyến sẽ lớn hơn nhiều so với bài toán phân tích đàn hồi tuyến tính Một phân tích phi tuyến cho khung thép cần kể đến các yếu tố chính sau: phi tuyến hình học và phi tuyến vật liệu

Phân tích phi tuyến hình học có kể đến ảnh hưởng do sự biến đổi hình học và

sự phân bố ứng suất dư ban đầu trong cấu kiện, do đó ma trận độ cứng sẽ có thêm các ẩn số chuyển vị so với ma trận độ cứng thông thường Nếu trong phân tích tuyến tính thì lời giải có thể tìm trực tiếp thì trong phân tích phi tuyến hình học lời giải phải dùng đến phương pháp gia tải từng bước do có sự biến đổi về mặt hình học của kết cấu sau mỗi bước tải

Phân tích phi tuyến vật liệu là phân tích có kể đến ứng xử phi đàn hồi của vật liệu Có hai phương pháp thường được sử dụng khi phân tích phi tuiyến vật liệu là phương pháp khớp dẻo và phương pháp vùng dẻo

Phương pháp khớp dẻo (plastic hinge) còn gọi là phương pháp dầm-cột là mô

hình đơn giản, dễ sử dụng và phổ biến nhất Trong phương pháp khớp dẻo giả thiết

sự chảy dẻo chỉ xảy ra trong một vùng nhỏ ở hai đầu phần tử, phần còn lại được giả

thuyết vẫn còn đàn hồi

Phương pháp vùng dẻo (plastic zone), hay còn gọi là phương pháp dẻo phân

bố (distributed plasticity), là phương pháp phần tử hữu hạn dựa trên việc chia cấu

kiện thành nhiều phần tử dọc theo chiều dài và chia mặt cắt ngang tiết diện thành

nhiều thớ Phương pháp này có thể: mô phỏng sự lan truyền dẻo qua mặt cắt ngang

và dọc theo chiều dài cấu kiện Tuy nhiên khối lượng tính toán và lưu trữ trong

phương pháp này là khá lớn Do vậy, phương pháp này thường chỉ được dùng trong

nghiên cứu để kiểm tra độ tin cậy các phương pháp phân tích khác

I.2 Tình hình nghiên cứu

Với tính hiệu quả về mặt tính toán, phương pháp dầm-cột đã được nghiên cứu

sâu rộng trong phân tích khung thép chịu tải trọng tĩnh và động Phương pháp này

dựa vào việc mô phỏng cấu kiện bằng việc chia cấu kiện thành một hay hai phần tử

Lui EM và Chen WF (1986) [14] phân tích ứng xử của khung thép phẳng dùng

phương pháp khớp dẻo Ứng xử phi tuyến của liên kết được mô phỏng bằng hàm

mũ và có kể đến sự gia tải và dỡ tải của liên kết

Hsieh SH và Deierlein GG (1991) [9] phân tích phi tuyến khung không gian

có liên kết nửa cứng Ứng xử phi tuyến vật liệu được kể đến bởi việc sử dụng

phương pháp khớp dẻo có ma trận giảm dẻo dựa trên mặt dẻo ba tham số để mô

phỏng sự chảy dẻo của mặt cắt ngang do tác động của lực dọc trục và mômen uốn

theo hai phương

Đã có một số nghiên cứu sử dụng hàm dạng bậc ba và hyperbole của Krahula

(1967), Krajcinovic (1969), Mei (1970) và Barsoum & Gallagher (1970) Các hàm

này có thể mô phỏng chính xác hàm dạng của một vài dạng kết cấu đơn giản, tuy

nhiên các hàm trên không cho kết quả chính xác đối với các bài toán về ổn định và

do đó việc sử dụng hàm nội suy đa thức bậc cao là vẫn cần thiết So và Chan (1991)

đề xuất hàm đa thức bậc bốn và cho kết quả tốt hơn hàm bậc ba, tuy nhiên kết quả phân tích là không chính xác khi sử dụng một phần tử cho một cấu kiện của kết cấu Chan và Zhou (1994) [6] đã phát triển một phần tử dùng đa thức bậc 5 cho hàm chuyển vị của cấu kiện dầm-cột chịu tải đầu mút theo phương pháp cân bằng từng điểm rời rạc (Pointwise Equilibrating Polynomial - PEP) cho phân tích phi tuyến khung thép phẳng chịu tải trọng tĩnh Trong phân tích chỉ cần sử dụng một phần tử cho mỗi cấu kiện của kết cấu nhưng kết quả vẫn đạt độ chính xác cao Phân tích phi tuyến vật liệu sử dụng phương pháp khớp dẻo hiệu chỉnh

Liew JYR, Chen WF, Chen H (2000) [13] đã phát triển phương pháp khớp dẻo hiệu chỉnh dùng hai mặt chảy dẻo đồng dạng cho phép mô phỏng sự chảy dẻo dần dần của đầu mút phần tử thay vì sự chảy dẻo đột ngột của thường thấy trong phân tích khớp dẻo đơn giản

Kim SE và Choi SH (2001) [11] trình bày một phương pháp phân tích nâng cao khung thép không gian có xét đến các yếu tố phi tuyến hình học, vật liệu và liên kết bằng cách dùng hàm ổn định và phương pháp khớp dẻo

Ngo-Huu C, Kim SE và Oh JR (2008) [15] đề xuất phương pháp khớp dẻo thớ

có chiều dài khớp thớ bằng không để phân tích phi tuyến vật liệu và dùng hàm ổn định truyền thống để phân tích phi tuyến hình học cho phần tử dầm-cột của khung thép không gian chịu tải tĩnh Sau đó, Tai TH và Kim SE (2011) [23] cũng dùng phương pháp trên để phân tích ứng xử động của hệ khung thép không gian Tuy nhiên, ở phương pháp trên, quan hệ lực dọc và chuyển vị bỏ qua ảnh hưởng của góc xoay hai đầu phần tử

Ngo-Huu C, Kim SE (2009) [16] đã phát triển một phần tử dầm-cột khớp thớ phi tuyến cho mô phỏng khung thép không gian chịu tải tĩnh Tác động phi đàn hồi được mô phỏng dựa vào phương pháp khớp dẻo hiệu chỉnh, cấu kiện được chia thành ba phần tử gồm hai phần tử khớp thớ hai đầu có chiều dài hữu hạn và một phần tử đàn hồi ở giữa Hàm ổn định truyền thống có được từ lời giải giải tích của cấu kiện dầm-cột chịu lực dọc trục và mô-men uốn ở hai đầu được sử dụng để mô

13

phỏng ứng xử bậc hai của phần tử đàn hồi ở giữa Lực dọc bỏ qua ảnh hưởng của

góc xoay hai đầu phần tử

Chiorean CG (2009) [8] đã đề xuất một phương pháp dầm cột mới cho phân

tích phi tuyến khung thép không gian có liên kết nửa cứng Quan hệ lực – biến dạng

phi đàn hồi phi tuyến và hàm ổn định được dùng để mô phỏng tác động phi tuyến

vật liệu và hình học

Chin-Long Lee và Filip C Flippou (2009) [7] đề xuất một phần tử dầm-cột sử

dụng phương pháp khớp thớ với chiều dài khớp thớ thay đổi (Spreading Inelastic

Zone Element – SIZE) để phân tích ứng xử kết cấu dưới tác dụng của tải lặp

Aslam Kassimali và Juan J Garcilazo (2010) [1] phân tích phi tuyến hình học

khung thép phẳng đàn hồi có xét đến ảnh hưởng của nhiệt độ Phương pháp đề xuất

sử dụng lý thuyết dầm-cột có xét đến hàm ổn định và hàm hiệu ứng cung được trình

bày trước đó bởi Oran (1973) [18] và Kassimali (1976) [19] Trong nghiên cứu này,

quan hệ lực dọc và góc xoay hai đầu phần tử được kể đến thông qua các hàm hiệu

ứng cung được thiết lập dựa trên các hàm ổn định truyền thống

R.J Balling và J.W Lyon (2010) [21] đề xuất phần tử đồng xoay mới kết hợp

lý thuyết khớp dẻo để áp dụng cho phân tích phi tuyến hình học và vật liệu cho

khung thép Phần tử đồng xoay được phát triển có ưu điểm là chỉ cần mô phỏng một

phần tử cho một cấu kiện mà vẫn đạt độ chính xác cao, tuy nhiên, phần tử khớp dẻo

được đề xuất vẫn là khớp dẻo cứng và sự chảy dẻo dần dần của khớp dẻo vẫn chưa

được kể đến

Thanh-Nam Le, Jean-Marc Battini và Mohammed Hjiaj (2011) [24] đề xuất

phần tử dầm đồng xoay trong phân tích động khung thép phẳng đàn hồi Nghiên cứu

sử dụng hàm chuyển vị xấp xỉ đa thức bậc 3 cho phần tử dầm nên quan hệ giữa

mô-men và góc xoay chưa xét đến ảnh hưởng của lực dọc

C.K Iu and M.A Bradford (2012) [10] đề xuất phần tử dầm-cột bậc 4 trong

phân tích phi tuyến hình học cho khung thép đàn hồi Ma trận độ cứng phần tử

dầm-cột được xây dựng từ hàm năng lượng

14

I.3 Tính cấp thiết của đề tài

Thông thường, khi hệ kết cấu ứng xử phi tuyến, phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) được sử dụng để phân tích Phương pháp này chia nhỏ một cấu kiện thành nhiều phần tử con, mức độ chính xác phụ thuộc vào số lượng phần tử con được chia

Do việc phân tích phải qua nhiều bước lặp và phải cập nhật lại ma trận độ cứng kết cấu sau mỗi bước gia tải nên khối lượng tính toán và dữ liệu lưu trữ của bài toán phân tích phi tuyến theo phương pháp này sẽ rất lớn Việc giảm khối lượng tính toán mà vẫn đảm bảo độ chính xác ứng xử phi tuyến của hệ kết cấu là cần thiết và

có tính thực tiễn cao

Trong phương pháp dầm-cột, yếu tố phi tuyến hình học do sự tương tác giữa lực dọc và mô-men uốn được tính đến bằng việc cải tiến các hàm ổn định từ lời giải của phương trình vi phân cân bằng chịu tải đầu mút Yếu tố phi tuyến vật liệu được được xét đến bằng cách sử dụng mô hình khớp dẻo hiệu chỉnh Ưu điểm của việc sử dụng phương pháp dầm-cột là chỉ cần sử dụng một hoặc hai phần tử con trên một cấu kiện là có thể mô phỏng khá chính xác ứng xử phi tuyến của kết cấu, do đó hiệu quả tính toán sẽ cao hơn so với phương pháp PTHH truyền thống

Tác giả tiếp tục phát triển phương pháp dầm-cột bằng cách: i) đơn giản hóa lời giải giải tích của hàm chuyển vị bằng việc xấp xỉ với hàm đa thức bậc 5; ii) thiết lập

ma trận độ cứng phần tử có kể đến ảnh hưởng của góc xoay hai đầu phần tử; iii) sử dụng phương pháp khớp dẻo hiệu chỉnh để phản ánh chính xác hơn ứng xử phi tuyến hình học và phi tuyến vật liệu của kết cấu khung thép phẳng khi chịu tải

I.4 Mục tiêu của đề tài

• Phát triển trận độ cứng mới cho phần tử dầm-cột dựa trên việc xấp xỉ hàm chuyển vị bằng hàm đa thức bậc 5 kết hợp với các khớp dẻo hiệu chỉnh ở hai đầu phần tử để phân tích ứng xử phi tuyến hình học và phi tuyến vật liệu cho khung thép phẳng

• Phát triển một chương trình phân tích tin cậy và hiệu quả cho phân tích ứng

xử phi tuyến của khung thép phẳng

I.5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu:

• Khung thép phi đàn hồi chịu tải trọng tĩnh

Phạm vi nghiên cứu:

• Khung thép phẳng có liên kết cứng

I.6 Cách tiếp cận – Phương pháp nghiên cứu

Cách tiếp cận:

• Cơ sở lý thuyết của phương pháp dầm-cột và phương pháp khớp dẻo

• Các kết quả của các phương pháp và hướng phân tích có trước

Phương pháp nghiên cứu:

• Nghiên cứu lý thuyết kết hợp với lập chương trình tính toán

• So sánh, đánh giá, phân tích các kết quả

I.7 Nội dung nghiên cứu

• Nghiên cứu tổng quan tình hình nghiên cứu liên quan đến đề tài

• Xây dựng ma trận độ cứng mới mô phỏng ứng xử bậc hai của phần tử dựa

vào phương pháp dầm-cột dựa trên việc xấp xỉ hàm chuyển vị bằng hàm đa

thức bậc 5, kết hợp với các mô hình khớp dẻo hiệu chỉnh để mô phỏng sự

chảy dẻo dần dần của khớp dẻo

• Xây dựng lưu đồ thuật toán phân tích phi tuyến cho hệ kết cấu

• Xây dựng chương trình phân tích bằng ngôn ngữ lập trình MATLAB để tự

động hóa quá trình phân tích

• So sánh kết quả phân tích với các nghiên cứu trước đó để chứng minh độ

tin cậy và tính hiệu quả của phương pháp đề xuất

Chương II CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Chương này trình bày cách xây dựng ma trận độ cứng phần tử có xem xét tác động phi tuyến hình học theo lý thuyết dầm-cột Hiệu ứng cung được kể đến để xem xét sự thay đổi chiều dài phần tử do sự uốn cong của phần tử khi chịu lực Các hệ số chảy dẻo đầu mút được sử dụng để mô phỏng sự chảy dẻo dần dần của tiết diện hai đầu phần tử theo giả thiết khớp dẻo Hàm chuyển vị của cấu kiện dầm-cột chịu lực dọc và mômen uốn ở hai đầu mút được giả định xấp xỉ bằng hàm đa thức bậc năm thỏa các điều kiện tương thích và cân bằng tại hai đầu mút và ở chính giữa cấu kiện (theo Chan và Zhou [6]) Ưu điểm của việc sử dụng hàm này là sự đơn giản trong việc thiết lập công thức mà vẫn đảm bảo độ chính xác như hàm ổn định lượng giác truyền thống Đây là những đóng góp chính của đề tài này

II.1 Giả thiết

Những giả thiết sau đây được sử dụng trong việc thành lập phần tử dầm-cột đồng xoay:

(1) Phần tử ban đầu thẳng và có dạng lăng trụ

(2) Mặt cắt ngang trước và sau biến dạng luôn phẳng và vuông góc với trục phần tử

(3) Bỏ qua biến dạng ngoài mặt phẳng và biến dạng cắt

(4) Bỏ qua ảnh hưởng của hệ số Poisson

(5) Sự mất ổn định cục bộ của cấu kiện và sự mất ổn định tổng thể của dầm không xảy ra

(6) Biến dạng của phần tử là nhỏ, nhưng chuyển vị của hệ kết cấu có thể lớn (7) Các đặc trưng mặt cắt ngang (kể cả mô-đun đàn hồi) được giả thiết là không đổi dọc theo chiều dài phần tử

(8) Mô hình khớp dẻo sử dụng các đường cường độ dẻo đã được đề xuất bởi Orbison, LRFD và Balling (sẽ được trình bày ở phần sau) tùy theo các ví

dụ phân tích

17

II.2 Các hàm ổn định khi xấp xỉ chuyển vị bằng đa thức bậc 5

II.2.1 Lời giải giải tích của hàm chuyển vị và hàm ổn định

Xét phần tử dầm-cột điển hình chịu lực dọc trục và mô-men uốn ở hai đầu như

trong Hình II-1

θ1

θ2

F

M 2

M 1

L

δ

∆(x)

x

Hình II-1 Phần tử dầm-cột điển hình

Phương trình vi phân bậc 4 của phần tử dầm-cột được viết như sau:

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

Áp dụng các điều kiện biên, ta được quan hệ giữa mô-men và góc xoay:

2 1

θ

=

Trong đó, s , s được gọi là các hàm ổn định Kết quả lời giải giải tích của 1 2

hàm chuyển vị ∆( )x và các hàm ổn định s , s được trình bày như trong Bảng 1 1 2

18

Bảng 1 Lời giải giải tích của hàm chuyển vị ∆( )x và các hàm ổn định s , s 1 2

Trường hợp F ≤ 0 Trường hợp F > 0

( )x a sin x bcos x cx d

1 2

2 2cos sin

2 2cos sin

1 cos c

2 2cos sin

2 2cos sin

− λ − λ λ θ + λ − θ

=

λ − λ − λ λ

λ − λ λ θ + λ − λ θ

=

λ − λ − λ λ

− λ θ + θ

=

− λ − λ λ

λ − λ λ θ + λ − λ θ

= −

λ − λ − λ λ

1 2

2 2cosh sinh

2 2cosh sinh

1 cosh c

2 2cosh sinh

2 2cosh sinh

− λ + λ λ θ + λ − θ

=

λ − λ λ θ + λ − λ θ

=

− λ θ + θ

=

λ − λ λ θ + λ − λ θ

= −

2

1 sin cos s

2 2cos sin

λ λ − λ λ

=

− λ − λ λ

2

1 cosh sinh s

2 2cosh sinh

=

2 2 sin s

2 2cos sin

λ − λ λ

=

− λ − λ λ

2 2

sinh s

2 2cosh sinh

λ λ − λ

=

EI

λ = cho cả hai trường hợp F ≤ 0 và F > 0)

II.2.2 Các hàm ổn định khi xấp xỉ hàm chuyển vị bằng đa thức bậc 5

Việc thực hiện các phép biển đổi toán học trong quá trình thiết lập công thức bằng việc sử dụng nghiệm giải tích chính xác của hàm chuyển vị ∆( )x có các hàm

ổn định s , s như trình bày ở trên rất phức tạp Để đơn giản hóa việc biến đổi toán 1 2 học mà vẫn đảm bảo độ chính xác cần thiết, hàm chuyển vị ∆( )x được tác giả xấp

xỉ thành các đa thức bậc 5 và từ đó biểu thức các hàm ổn định cũng sẽ có dạng đơn giản và dễ xử lý hơn Bên cạnh đó, hàm chuyển vị xấp xỉ đa thức bậc 5 phản ánh tốt hơn ứng xử phi tuyến hình học của phần tử dầm-cột so với việc sử dụng hàm dạng Hermit bậc 3 thông thường của phần tử dầm vì có xét đến tác động của lực dọc

Hàm chuyển vị ∆( )x được xấp xỉ như sau:

( ) 5 4 3 2

Các hệ số a i 0 ~ 5i( = ) được xác định từ việc cho hàm chuyển vị giả thiết ở

trên thỏa các điều kiện tương thích và điều kiện cân bằng Các phương trình được

trình bày như sau:

( )xx 0= 0

( )xx L= 0

( )

1

x 0

∆

= θ

( )

2

x L

∆

= θ

( ) ( ) ( )

2

1 2

1 2

L

x

2 2

( ) ( ) ( )

3

1 2 3

=

Trong đó, các giá trị M ,M ở các phương trình (9), (10) được thay bằng quan 1 2

hệ sau:

( )

2

x 0

( )

2

x L

Từ các phương trình (5) đến (10) ta xác định được các hệ số a i 0 ~ 5i(= ), từ

đây ta xác định được hàm chuyển vị ∆( )x và các hàm ổn định s , s theo 1 2 q = λ 2

như trong Bảng 2

Bảng 2 Lời giải của hàm chuyển vị ∆( )x và các hàm ổn định s , s đề xuất 1 2

Trường hợp F ≤ 0 Trường hợp F > 0

x a x a x a x a x a x a

( )( )

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

0

1 1

2

1 2

5 4

a 0 a 6q 512q 7680 q 64q 3840 a

L q 48 q 80 13q 832q 3840 5q 192q 3840 a

L q 48 q 80 4q 3q 160 2q 80 a

L q 48 q 80 4q

a

L q 80

=

= θ

− + θ + − + θ

= −

− −

− + θ + − + θ

=

− −

 − θ + − θ 

= −

− −

θ + θ

=

−

( )( )

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

0

1 1

2

1 2

5 4

a 0 a 6q 512q 7680 q 64q 3840 a

L q 48 q 80 13q 832q 3840 5q 192q 3840 a

L q 48 q 80 4q 3q 160 2q 80 a

L q 48 q 80 4q

a

L q 80

=

= θ + + θ + + + θ

= −

+ + + + θ + + + θ

=

+ +

 + θ + + θ 

= − + +

θ + θ

= +

2 1

4 3q 256q 3840 s

80 q 48 q

=

2 1

4 3q 256q 3840 s

80 q 48 q

=

2 2

2 q 64q 3840 s

80 q 48 q

=

2 2

2 q 64q 3840 s

80 q 48 q

=

Hình II-2 So sánh các hàm ổn định

21

Kết quả các hàm ổn định đề xuất và hàm ổn định truyền thống theo lời giải

giải tích được trình bày như trong Hình II-2 cho thấy hàm ổn định đề xuất có độ

chính xác khá cao Với các hàm ổn định đề xuất, ta dễ dàng xác định được các đạo

hàm của các hàm ổn định s , s1′ ′2 trong các công thức tính toán nội lực nút phần tử ở

phần sau

II.3 Quan hệ nội lực và góc xoay hai đầu phần tử

Theo Hình II-1, lực dọc F có xét đến biến dạng của phần tử được xác định như

sau:

Hay

2 L

0

∆

Theo Oran [18], lực dọc được viết lại như sau:

( )2 ( )2

L

δ

Trong đó, b , b là các hàm hiệu ứng cung (bowing functions) được xác định 1 2

theo các hàm ổn định s , s và 1 2 q = λ như sau: 2

( )( )

( ) ( )

1 2

( )( )

( ) ( )

1 2

Sử dụng MAPLE, tác giả chứng minh được các quan hệ sau:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Gọi e tương ứng là hệ số chảy dẻo mô tả mức độ chảy dẻo ở hai đầu mút 1,2

phần tử (0 e , e≤ 1 2≤1); trong đó, e có giá trị bằng 1 nếu tiết diện vẫn còn hoàn 1,2

22

toàn đàn hồi, bằng 0 nếu tiết diện đã chảy dẻo hoàn toàn và có giá trị nằm giữa 0 và

1 nếu tiết diện đang chảy dẻo Theo Liew và cộng sự [13], quan hệ mô-men và góc xoay được viết lại như sau:

1p 2p

2p 3p

θ

=

Trong đó, các giá trị s , s , s được xác định theo các hàm ổn đinh 1p 2p 3p s , s và 1 2 các hệ số e , e : 1 2

Từ (15), (18), (19) lực dọc được hiệu chỉnh lại như sau:

1p 1 2p 1 2 3p 2

δ

(Biểu thức lấy dấu “+” khi F > 0 và dấu “– ” khi F ≤ 0) Với

( )

2

1 2 2 2 1

2s s s s s

s

2p 1 2 2

( )

2

1 2 2 2 1

2s s s s s

s

II.4 Thành lập ma trận độ cứng phần tử dầm-cột

Sơ đồ lực và chuyển vị đầu mút của phần tử dầm-cột được trình bày như trong Hình II-3 Ta có quan hệ giữa các thông số hình học và các chuyển vị đầu mút phần

tử như sau:

(u4 u1)

( 5 2)

1 3

u L

−

( 5 2)

2 6

u L

−

θ1

θ2

F

M 2

M 1

L

(M 1 + M 2 )

L

(M 1 + M 2 ) L

δ

F

u

u 6

u 3

z

z 6

z 3

Hình II-3 Lực và chuyển vị đầu mút phần tử dầm-cột

Nội lực nút phần tử trong tọa độ địa phương và trong hệ tọa độ tổng thể:

{ } ( ) ( )

T

Trong đó, [T] là ma trận chuyển của phần tử dầm-cột khung phẳng

[ ]

T

Ma trận độ cứng phần tử trong tọa độ địa phương được thành lập bằng cách

lấy đạo hàm nội lực nút phần tử theo các chuyển vị:

{ }

{ } ( ) ( ) i j ( )

z

Ma trận độ cứng phần tử trong tọa độ tổng thể được xác định theo quan hệ:

[ ] [ ]T [ ]

Khai triển (32) bằng phần mềm MAPLE, ta xác định được ma trận độ cứng tiếp tuyến phần tử trong tọa độ địa phương:

 =   +

Trong đó

1p 2p 3p 1p 2p 1p 2p 3p 2p 3p

1p 2p

G

1p 2p 3p 2p 3p 2

3p

0

s s

I

L L

−

−

 

−

(35)

2

1 2

2 2

1 2

2 1 2 2

T T

L

T T

T T T L

θ

  =

−

(36)

Với

1 1p 1 2p 2 2 2p 1 3p 2

T= −s′θ +s′θ T= −s′θ +s′θ F 0≤ (37)

1 1p 1 2p 2 2 2p 1 3p 2

T=s′θ +s′θ T=s′θ +s′θ F 0> (38)

Ma trận độ cứng phần tử dầm-cột đề xuất ở trên có xét đến ảnh hưởng bậc hai

và tác động phi tuyến vật liệu thông qua các hàm ổn định s , s , s đã được hiệu 1p 2p 3p chỉnh theo các hệ số chảy dẻo và các góc xoay ở hai đầu phần tử