Phân tích phi tuyến dao động tham số tấm có chiều dày thay đổi mặt trên nền đàn hồi winkler bằng phương pháp ma trận độ cứng động lực

Trong luận văn này, ứng dụng phương pháp độ cứng động lực mở rộng để phân tích mất ổn định động và đáp ứng dao động tham số phi tuyến của tấm chữ nhật có chiều dày thay đổi đặt trên nền

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan rằng luận văn này “Phân tích phi tuyến dao động tham số của tấm có chiều dày thay đổi đặt trên nền đàn hồi Winkler bằng phương pháp ma trận độ cứng động lực” là bài nghiên cứu của chính tôi

Ngoài trừ những tài liệu tham khảo được trích dẫn trong luận văn này, tôi cam đoan rằng toàn phần hay những phần nhỏ của luận văn này chưa từng được công bố hoặc được sử dụng để nhận bằng cấp ở những nơi khác

Không có sản phẩm/nghiên cứu nào của người khác được sử dụng trong luận văn này mà không được trích dẫn theo đúng quy định

Luận văn này chưa bao giờ được nộp để nhận bất kỳ bằng cấp nào tại các trường đại học hoặc cơ sở đào tạo khác

Thành phố Hồ Chí Minh, 2018

Phạm Văn Lâm

TÓM TẮT

Việc phân tích hiện tượng mất ổn định động và dao động tham số của kết cấu chịu tải trọng động do cộng hưởng thông số có ý nghĩa quan trọng về lý thuyết và thực tiễn Trong luận văn này, ứng dụng phương pháp độ cứng động lực mở rộng để phân tích mất ổn định động và đáp ứng dao động tham số phi tuyến của tấm chữ nhật có chiều dày thay đổi đặt trên nền đàn hồi Pasternak chịu tải trọng động Tác giả trình bày cách thức thiết lập ma trận độ cứng động lực cho tấm chữ nhật có chiều dày thay đổi chịu tải trọng động dựa theo lý thuyết tấm Von Kármán Hệ phương trình vi phân bậc hai với hệ số thay đổi tuần hoàn thuộc loại phương trình phi tuyến Mathieu-Hill mở rộng được thiết lập để xác định hệ số lực tới hạn, hệ số tần số dao động, và các vùng mất ổn định động và đáp ứng dao động thông số phi tuyến theo phương pháp Bolotin Ảnh hưởng các tham số của hệ thống đến vùng mất ổn định động và đặc tính đáp ứng dao động phi tuyến của tấm được nghiên cứu và thảo luận

Từ khóa: Dao động tham số, nền Pasternak, mất ổn định động phi tuyến, phương pháp

độ cứng động lực, tấm có chiều dày thay đổi

ABSTRACT

The analysis of the phenomenon dynamic instability and parametric vibration of structures subjected to dynamic loadings due to the resonance parameter is of both theoretical and practical importance In the present paper, the extended dynamic stiffness method is presented for the dynamic instability and nonlinear responses parametric vibrations analysis for rectangular plates of variable thickness on Pasternak foundation subjected to dynamic load The authors represent the way to establish the dynamic stiffness matrices of rectangular plates of variable thickness subjected to dynamic load based on von Karman’s plate theory A set of second-order ordinary differential nonlinear equations of extended Mathieu–Hill type with periodic coefficients is formed to determine the dimensionless buckling load parameters, The dimensionless free frequency parameter, and the regions of dynamic instability and nonlinear responses parametric vibration based on Bolotin’s method The effects of various system parameters on the regions of dynamic instability and the nonlinear

response vibration characteristics of plates are investigated and discussed

Keywords: Parametric vibrations, Pasternak foundation, nonlinear dynamic

instability, dynamic stiffness method, plate of variable thickness

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN i

LỜI CẢM ƠN ii

TÓM TẮT iii

MỤC LỤC v

DANH MỤC HÌNH VẼ vii

DANH MỤC BẢNG BIỂU ix

DANH MỤC KÝ HIỆU QUY ƯỚC x

Chương 1: TỔNG QUAN VỀ ỔN ĐỊNH ĐỘNG CỦA KẾT CẤU TẤM VÀ PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN ĐỘ CỨNG ĐỘNG LỰC 1

1.1 Giới thiệu về ổn định động của kết cấu tấm 1

1.2 Tổng quan về ổn định động của kết cấu tấm 6

1.2.1 Tấm đẳng hướng 6

1.2.2 Tấm composite 12

1.3 Giới thiệu phương pháp ma trận động cứng động lực 16

1.4 Sử dụng phương pháp ma trận độ cứng động lực khảo sát kết cấu tấm 17

1.5 Kết luận 18

1.6 Mục tiêu và nhiệm vụ của luận văn 19

1.6.1 Mục tiêu nghiên cứu 19

1.6.2 Ý nghĩa nghiên cứu 19

1.6.3 Nhiệm vụ của nghiên cứu 20

1.6.4 Phạm vi nghiên cứu 20

1.7 Kết cấu luận văn 21

Chương 2: PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG THAM SỐ CỦA TẤM CÓ CHIỀU DÀY THAY ĐỔI ĐẶT TRÊN NỀN ĐÀN HỒI 23

2.1 Lý thuyết về tấm chịu uốn 23

2.1.1 Các mô hình lý thuyết tấm 23

2.1.2 Lý thuyết tấm mỏng cổ điển Kirchhoff 24

2.1.2.1 Chuyển vị và biến dạng trong tấm 24

2.1.2.2 Ứng suất và nội lực trong tấm 25

2.1.2.3 Tấm vừa chịu lực ngang vừa chịu lực tác dụng trong mặt trung bình 26

2.1.2.4 Xét đến lực quán tính 29

2.1.2.5 Lý thuyết tấm von Kárman (tấm có độ võng lớn) 30

2.1.2.5 Trường hợp tấm có chiều dày thay đổi đặt trên nền đàn hồi Pasternak 31

2.1.2.7 Các điều kiện biên trên chu vi tấm 31

2.2 Phân tích dao động tham số của tấm có chiều dày thay đổi đặt trên nền đàn hồi bằng phương pháp ma trận độ cứng động lực 32

2.2.1 Mô hình phân tích và phương trình chuyển động 32

2.2.2 Phân tích dao động tham số và đáp ứng phi tuyến 33

2.2.2.1 Phương pháp xác định nghiệm 33

2.2.2.2 Phương trình Mathieu-Hill mở rộng 34

2.2.2.3 Phân tích dao động tham số 35

2.2.3 Xác định ma trận độ cứng động lực 35

Chương 3: KHẢO SÁT SỐ ỔN ĐỊNH TĨNH, DAO ĐỘNG VÀ DAO ĐỘNG THAM SỐ CỦA TẤM 42

3.1 Tóm tắt trình tự tính toán 42

3.2 Kết quả khảo sát số ổn định tĩnh và dao động tự do của tấm 45

3.3 Kết quả khảo sát số dao động tham số của tấm 53

Chương 4: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 62

4.1 Kết luận 62

4.2 Kiến nghị 63

4.3 Hướng phát triển tiếp theo của nghiên cứu 64

BÀI BÁO ĐÃ CÔNG BỐ 65

TÀI LIỆU THAM KHẢO 66

PHỤ LỤC 75

DANH MỤC HÌNH VẼ

Hình 1.1 Vùng bất ổn định động dạng cộng hưởng tham số đơn 2

Hình 1.2 Vùng bất ổn định động dạng cộng hưởng tham số kết hợp 3

Hình 2.1 Mô hình tấm chữ nhật 23

Hình 2.2 Quan hệ giữa các góc xoay của mặt trung hoà và đạo hàm độ võng 24

Hình 2.3 Phân bố theo bề dày h của các thành phần ứng suất 25

Hình 2.4 Biểu diễn các thành phần nội lực của tấm khi chịu lực ngang 26

Hình 2.5 Khảo sát cân bằng phân tố trong tấm 27

Hình 2.6 Trạng thái cân bằng phân tố trong tấm 27

Hình 2.7 Độ võng của phân tố dxdy 29

Hình 2.8 Mô hình tấm chịu tải trọng động 29

Hình 2.9 Điều kiện liên kết ở mép tấm 31

Hình 2.10 Mô hình tấm và dạng tải trọng động điều hòa 33

Hình 2.11 Mô hình, điều kiện biên chuyển vị và lực suy rộng của một dải phần tử tấm 39

Hình 2.12 Mô hình lắp ghép trực tiếp các ma trận độ cứng động lực của dải phần tử tấm 40

Hình 3.1 Mô hình, chuyển vị suy rộng và lực suy rộng của từng dải phần tử tấm 42

Hình 3.2 Mô hình lắp ghép trực tiếp các ma trận độ cứng động lực của dải phần tử tấm 43

Hình 3.3 Mô hình bốn điều kiện biên của tấm: SSSS; SCSC, CSCS, CCCC 45

Hình 3.4 Đồ thị quan hệ giữa tham số lực tới hạn và tần số dao động của tấm vuông, liên kết tựa đơn (SSSS) có chiều dày không đổi (s= 0) 45

Hình 3.5 Đồ thị quan hệ giữa tham số lực tới hạn và tần số dao động của tấm vuông, liên kết tựa đơn (SSSS) có chiều dày thay đổi (s= 0.2) 46

Hình 3.6 Đồ thị quan hệ giữa tham số lực tới hạn và tần số dao động của tấm vuông có liên kết SCSC, chiều dày không đổi (s= 0) 46

Hình 3.7 Đồ thị quan hệ giữa tham số lực tới hạn và tần số dao động của tấm vuông có liên kết SCSC, chiều dày thay đổi (s= 0.2) 47

Hình 3.8 Đồ thị quan hệ giữa tham số lực tới hạn và tần số dao động của tấm vuông có liên kết ngàm, chiều dày không đổi (s= 0) 47

Hình 3.9 Đồ thị quan hệ giữa tham số lực tới hạn và tần số dao động của tấm vuông có liên kết ngàm, chiều dày thay đổi đổi (s= 0.2) 48

Hình 3.10 Đồ thị quan hệ giữa tham số lực tới hạn và tần số dao động của tấm vuông có liên kết SSSS, chiều dày thay đổi đổi (s= -0.1), và 1=0, 2=0 49

Hình 3.11 Đồ thị quan hệ giữa tham số lực tới hạn và tần số dao động của tấm vuông có liên kết SSSS, chiều dày thay đổi đổi (s= -0.1), và 1=50, 2=5 49

Hình 3.12 Đồ thị quan hệ giữa tham số lực tới hạn và tần số dao động của tấm vuông có liên kết SSSS, chiều dày thay đổi đổi (s= -0.1), và 1=100, 2=10 50

Hình 3.13 Đồ thị quan hệ giữa tham số lực tới hạn và tần số dao động của tấm vuông có liên kết SSSS, chiều dày thay đổi đổi (s= -0.1), và 1=200, 2=10 50

Hình 3.14 Mô hình bốn điều kiện biên của tấm: SSSS; SCSC, CSCS, CCCC 53

Hình 3.15 Tác động của việc thay đổi tải trọng tĩnh NXs lên các vùng mất ổn định động của tấm vuông SSSS có s=0, 1=0, 2=0 53

Hình 3.16 Tác động của việc thay đổi hệ số nền đàn hồi (1, 2) lên vùng mất ổn định động

của tấm vuông liên kết tựa đơn, βs=0.3, (a) s=-0.1, và (b) s=0.1 55

Hình 3.17 Tác động của việc thay đổi hệ số nền đàn hồi (1, 2) lên vùng mất ổn định động

của tấm vuông liên kết SCSC, βs=0.3, (a) s=-0.1, và (b) s=0.1 55

Hình 3.18 Tác động của việc thay đổi hệ số nền đàn hồi (1, 2) lên vùng mất ổn định động

của tấm vuông liên kết CSCS, βs=0.3, (a) s=-0.1, và (b) s=0.1 56

Hình 3.19 Tác động của việc thay đổi hệ số nền đàn hồi (1, 2) lên vùng mất ổn định động

của tấm vuông liên kết ngàm, βs=0.3, (a) s=-0.1, và (b) s=0.1 56

Hình 3.20 Tác động của việc thay đổi tải trọng động NXd lên đáp ứng dao động tham số của tấm vuông liên kết CSCS, s=0.5, s=0.1, 1=100, 2=10; (a) d=0.2; (b) d=0.5 57 Hình 3.21 Tác động của việc thay đổi tải trọng động NXd lên đáp ứng dao động tham số của tấm vuông liên kết ngàm, s=0.5, s=0.1, 1=100, 2=10; (a) d=0.2; (b) d=0.5 58 Hình 3.22 Ảnh hưởng của việc thay đổi tải trọng tĩnh NXs lên đáp ứng dao động tham số của tấm vuông liên kết tựa đơn, mode 1,2,3, d=0.5, s=0.1, 1=100, 2=10; (a) s=0.2; (b) s=0.5 59 Hình 3.23 Ảnh hưởng của việc thay đổi tải trọng tĩnh NXs lên đáp ứng dao động tham số của tấm vuông liên kết SCSC, mode 1,2,3, d=0.5, s=0.1, 1=100, 2=10; (a) s=0.2; (b) s=0.5.60

DANH MỤC BẢNG BIỂU

Bảng 3.1 So sánh các hệ số lực tới hạn và tần số dao động của tấm vuông liên kết tựa đơn có

chiều dày thay đổi tuyến tính h(x)=h0(1+sx/a) 46

Bảng 3.2 So sánh hệ số lực tới hạn và tần số dao động của tấm vuông liên kết SCSC, có chiều

dày thay đổi tuyến tính h(x)=h0(1+sx/a) 47

Bảng 3.3 So sánh hệ số lực tới hạn và tần số dao động của tấm vuông liên kết ngàm có chiều

dày thay đổi tuyến tính h(x)=h0(1+sx/a) 48

Bảng 3.4 Giá trị hệ số lực tới hạn và tần số dao động của tấm vuông liên kết tựa đơn có chiều

dày thay đổi tuyến tính h(x)=h0(1+sx/a) 50

Bảng 3.5 Giá trị hệ số lực tới hạn và tần số dao động của tấm vuông liên kết SCSC có chiều

dày thay đổi tuyến tính h(x)=h0(1+sx/a) 51

Bảng 3.6 Giá trị hệ số lực tới hạn và tần số dao động của tấm vuông liên kết CSCS có chiều

dày thay đổi tuyến tính h(x)=h0(1+sx/a) 51

Bảng 3.7 Giá trị hệ số lực tới hạn và tần số dao động của tấm vuông liên kết ngàm có chiều

dày thay đổi tuyến tính h(x)=h0(1+sx/a) 52

Bảng 4.1 So sánh biên của vùng chính mất ổn định động tấm vuông liên kết tựa đơn với s=0,

1=0, 2=0, s=0 hoặc s=0.2 54

Bảng 4.2 So sánh biên của vùng chính mất ổn định động tấm vuông liên kết tựa đơn với s=0,

1=0, 2=0, s=0.35 hoặc s=0.6 54

i - Mode không gian

k - Mode thời gian

um - Hệ tọa độ trực chuẩn (nomal coordinates)

 - Tham số nhỏ (small parameter)

 - Hàm giải tích của gia tốc và chuyển vị

m - Hàm giải tích của vận tốc và chuyển vị

m - Hàm giải tích của chuyển vị

a - Chiều dày kích thước tấm theo phương x

b - Bề rộng kích thước tấm theo phương y

b1, b2 - Chiều rộng của phần tử 1, 2 của tấm theo phương y

qz - Tải trọng phân bố vuông góc mặt trung bình tấm

w(x,y,t) - Chuyển vị ngang mặt trung bình tấm theo trục z (hàm độ võng)

u, v - Các thành phần chuyển vị tương ứng theo phương x, y

x , y - Góc xoay của mặt phẳng trung gian của tấm

Mx, My, Mxy - Nội lực mô men uốn theo phương x, y và mô men xoắn xy

Qx, Qy - Nội lực cắt theo phương x,y

Nx , Ny, Nxy - Thành phần lực dọc theo phương x, y (lực màng)

E - Môđun đàn hồi của vật liệu

v - Hệ số Poisson’s của vật liệu

 - Khối lượng riêng của tấm

Xm, Yn - Hàm riêng của dầm

Zp, Sq - Hàm riêng của dầm

{P} - Vector nội lực suy rộng

{  } - Vector chuyển vị suy rộng

{C} - Vector hằng số

m - Tần số dao động tự nhiên mode m

[K(  ,N)] - Ma trận độ cứng động lực

h0 - Chiều dày tấm tại tọa độ x=0

h(x,y) - Chiều dày của tấm thay đổi theo phương x,y

s - Hệ số thay đổi chiều dày tấm

m,n - Số nửa bước sóng hình sine (the number of half-sine waves) dọc theo trục x, y

Yni, ni - Chuyển vị suy rộng dải nút

Qyi , Myi - Lực (mô men và lực cắt) suy rộng dải nút dọc theo trục y

1 cosh(1 ); 1 sinh( 1 ); 2 cos(2 ); 2 sin( 2 )

g1, g2, g3, g4 - Được xác định theo phương trình (2.69)

t1, t2, t3, t4 - Được xác định theo phương trình (2.68)

m - Tần số dao động tự do mode thứ m của tấm

DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT

DSM : Dynamic Stiffness Method

FEM: Finite Element Methoad

FDM: Finite Different Methoad

RHSDT: Refined higher order shear deformation theory: IHB: Incremental harmonic balance method

Chương 1: TỔNG QUAN VỀ ỔN ĐỊNH ĐỘNG CỦA KẾT CẤU TẤM VÀ PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN ĐỘ CỨNG ĐỘNG LỰC

1.1 Giới thiệu về ổn định động của kết cấu tấm

Kết cấu tấm được sử dụng rất phổ biến trong thực tiễn các ngành công nghiệp, dân dụng, xây dựng, cơ khí, xe, hàng không vũ trụ, Một trong những kết cấu được sử dụng phổ biến trên thế giới là kết cấu tấm chữ nhật Về kỹ thuật, chỉ đơn thuần là đảm bảo tấm chữ nhật chịu được tải trọng không đổi được chứng minh là không đủ Do đó, trong kỹ thuật có thể xét đến quan hệ với biên độ chuyển vị, biến dạng và ứng suất lớn được gây ra bởi lực động điều hòa hoặc lực ngẫu nhiên Kết cấu tấm chịu tải trọng

điều hòa trong mặt phẳng dọc theo biên (periodic in-plane loads) và trở thành bất ổn định động và dao động tham số (dynamic instability and parametric oscillation) với sự

kết hợp biên độ lực, tần số nhiễu loạn và tần số dao động ngang của kết cấu Nghiên cứu ứng xử ổn định tĩnh, ổn định động và dao động tham số của kết cấu tấm chịu các dạng tải trọng khác nhau là rất cần thiết trong thiết kế kết cấu

Ổn định của kết cấu chịu tải trọng tác dụng động, trong đó cần xét đến ảnh hưởng của gia tốc chuyển động thông qua các lực quán tính khi thiết lập các phương trình ổn định, được gọi là ổn định động của kết cấu Vấn đề ổn định động bao gồm việc xét đến ứng xử ổn định tĩnh và ứng xử dao động tham số

Dao động phát sinh trong bài toán ổn định động thuộc thể loại dao động có tham

số, mang tính chất riêng biệt Khác với dao động tự do, dao động này xảy ra trong thời

kỳ có tác động của nguyên nhân bên ngoài thay đổi theo thời gian Cũng khác với dao động cưỡng bức đã quen biết vì sự tác động của nguyên nhân bên ngoài không phải là nguồn tác động trực tiếp

Dao động tham số là dao động được duy trì bởi các nguyên nhân bên ngoài, gián tiếp gây ra sự thay đổi các thông số của hệ theo thời gian, được mô tả bằng phương trình vi phân có hệ số thay đổi (thường là thay đổi tuần hoàn) và nằm ở vế trái của phương trình Tùy theo các đặc trưng của dao động tham số, hệ có thể ổn định động hoặc bất ổn định động

Giới thiệu cơ bản về bất ổn định động của hệ kết cấu được tác giả tham khảo từ H Nguyen (1987): Khi tấm chữ nhật chịu tác dụng tải trọng nén trong mặt trung bình thay đổi điều hòa theo thời gian với tần số của lực kích thích  : N(t)= Ns + Ndcos  (t),

với cos  (t) là hàm điều hịa của thời gian t, tấm thực hiện dao động mạnh ngồi mặt

phẳng (tần số dao động ngang lớn) vượt quá miền tham số khơng gian đã biết (Ns, Nt, T), nếu khảo sát ổn định của tấm trong trường hợp này thì gọi hiện tượng mất ổn định

động của tấm Sự cộng hưởng kết hợp với các vùng bất ổn định xảy ra khi tần số lực kích thích  (t) và dạng mode tần số i (i = 1, 2, 3, ) đáp ứng xấp xỉ mối quan hệ

 (t) = 2 i /k, (k = 1, 2, 3, ) (1.1)

phương trình (1.1) chứng tỏ mỗi mode khơng gian (spatial mode), i, sẽ cĩ vơ hạn số mode thời gian (temporal mode), k Trong trường hợp  (t) = 2 i (k = 1) là quan trọng

nhất và được gọi là cộng hưởng tham số chính Nĩi chung, mối quan hệ trên được gọi

là cộng hưởng tham số đơn Thuật ngữ đơn thể hiện rằng, chỉ cĩ một dao động riêng là tham gia chủ yếu trong các dao động cộng hưởng Biên vùng bất ổn định tương ứng với các cộng hưởng tham số đơn được biểu diễn trên hình 1.1 (theo Huynh, Q.H (2015))

Hình 1.1 Vùng bất ổn định động dạng cộng hưởng tham số đơn

Ngược lại, với các cộng hưởng tham số đơn, việc cộng hưởng tham số kết hợp cĩ thể cũng xảy ra Dạng cộng hưởng này được xảy ra bởi thực tế rằng, vấn đề cộng hưởng đồng thời của hệ thống tạo ra trong hai hoặc nhiều mode dao động riêng Cho

sự xuất hiện của những cộng hưởng là cần thiết khi tần số lực kích thích  (t) và dạng

mode tần số i đáp ứng xấp xỉ một mối quan hệ

Không có giảm chấn Có giảm chấn

Một lần nữa, sự cộng hưởng kết hợp quan trọng nhất là liên quan đến hai modes

không gian của dao động xảy ra khi k = 1, như minh họa trong hình 1.2 (theo Huynh,

m2, , mn sao cho:

 mii = 0 (1.3) Khi cộng hưởng tham số chính được kích thích trong sự xuất hiện của cộng hưởng nội,

 = 2 i ,  mjj = 0, (1.4)

sự trùng hợp ngẫu nhiên của hai dạng cộng hưởng dẫn đến cộng hưởng đồng thời

(simultaneous resonance) Dạng cộng hưởng này được đặc trưng bởi một số mode

k=2 k=3

N t

 ( i j

tham gia, mặt dù chỉ một mode được kích thích tham số có thể tồn tại trong phản ứng Cộng hưởng nội chịu trách nhiệm cho hiện tượng này, như một hệ quả của sự chuyển năng lượng từ mode trực tiếp kích thích sang các mode khác của dao động

Dạng khác của cộng hưởng đồng thời có thể xảy ra khi một cộng hưởng nội trùng hợp với một cộng hưởng tham số kết hợp

 =  mii ,  mjj = 0 (1.5) Đang phụ thuộc vào cộng hưởng nội, năng lượng từ các mode kích thích tham số

có thể bị chuyển đổi đến các mode chuẩn khác

Tầm quan trọng của dao động tham số đã thu hút được một số nhà khoa học nghiên cứu phát triển các lý thuyết về sự bất ổn định động Một trong những vấn đề kỹ thuật quan trọng là việc xác định vùng bất ổn định cho các hệ thống chịu kích thích tham số Chú ý rằng các mô hình tuyến tính của các hệ thống dự đoán chính xác vị trí ranh giới biên của vùng bất ổn định động mà tại đó là sự khởi đầu cho ứng xử tham số xảy ra Trong hệ thống phi tuyến không cản chịu kích thích tham số, những phi tuyến hạn chế sự phát triển của phản ứng, đó là, biên độ của dao động nói chung gia tăng dạng parabôn theo thời gian, nhưng không có ảnh hưởng đến biên độ lớn nhất Tác dụng của

hệ cản trong hệ thống đang cộng hưởng tham số cho phép biên độ đạt được một giá trị

ổn định hữu hạn Về bản chất, ứng xử phi tuyến có thể làm cho chuyển động cộng hưởng bị giới hạn tồn tại trong vùng của không gian tham số mà các phản ứng kích thích tham số trong mô hình tuyến tính không thể dự đoán được Mặt khác, hiện tượng mới xảy ra trong vấn đề phi tuyến, nhưng không xảy ra trong vấn đề tuyến tính, trong

số những hiện tượng mới, có thể quan sát biên độ phụ thuộc vào tải trọng và tần số

kích thích, và sự xuất hiện các hiện tượng bước nhảy và sụt giảm (jump and drop-out

phenomena)

Từ những nhận xét trước đây, tóm tắt một số vấn đề cơ bản về bất ổn định tham số

của hệ thống cơ học Tổng thể, sự bất ổn định tham số (parametric instability) của hệ

thống có thể xảy ra: (i) trên một số vùng của không gian tham số nhưng không phải các điểm rời rạc, (ii) ở tần số khác với tần số tự nhiên của các hệ thống, (iii) có phương pháp tuyến với lực kích thích, (iv) với tác dụng của ngoại lực phải nhỏ hơn lực tới hạn tĩnh nhỏ nhất, và (v) khi lực kích thích được đưa vào toán học của phương trình chuyển động như là một hệ số phụ thuộc vào thời gian hoặc tham số Các tính năng này thường là đặc tính của sự bất ổn định tham số và rõ ràng tạo thành một số vấn đề

Bài viết tổng quan này xem xét hầu hết các nghiên cứu gần đây được thực hiện

trong lĩnh vực ổn định động (dynamic stability), bất ổn định động (dynamic

instability), kích thích tham số (parametric excitation), đặc tính cộng hưởng tham số

(parametric resonance) của kết cấu Phương pháp giải quyết nghiệm của vấn đề ổn

định động liên quan đến nguồn gốc của phương trình chuyển động chủ đạo, xác định được vùng bất ổn định động của kết cấu Phân tích về hình học (tấm, vỏ hình trụ, vỏ hình cầu, vỏ hình nón, dầm, cột, khung), về tải trọng (phân bố đều dọc trục, phân bố không đều, tập trung, tải trọng ngẫu nhiên, lực kéo, lực bảo toàn và không bảo toàn, ),

về điều kiện biên, về phương pháp phân tích (chính xác, phần tử dải hữu hạn, sai phân

hữu hạn, phần tử hữu hạn, vi phân bậc hai tổng quát (generalized differential

quadrature method), phương pháp Galerkin, phương pháp nhiều bậc thang (method of multiple scales) và thực nghiệm, ), phương pháp xác định vùng bất ổn định (số mũ

Lyapunovian, phương pháp nhiễu loạn, phương pháp Floquet, phương pháp Bolotin, ), bậc của các lý thuyết được áp dụng (mỏng, dày, 3D, tuyến tính, phi tuyến, ), vật liệu của kết cấu (đồng nhất, đẳng hướng, trực hướng, dị hướng, bimodulus, composite, FGM, ) và xét đến tính phức tạp như ảnh hưởng của sự gián đoạn hình học, liên kết đàn hồi, trên nền đàn hồi, đàn hồi nhớt, bổ sung khối lượng, tương tác chất lỏng, lực không bảo toàn, xoắn, hệ số phi tuyến, Các tác động quan trọng đến ứng xử ổn định động của kết cấu chịu tải trọng điều hòa đã được xác định và ảnh hưởng của các tham số quan trọng được thảo luận Các nhà nghiên cứu cũng đã khảo sát các vấn đề liên quan đến cộng hưởng kết hợp và ảnh hưởng của cộng hưởng theo chiều dọc trên kích thích tham số

Lý thuyết chung liên quan đến sự ổn định động được trình bày trên đây và có thể tổng quan về nghiên cứu ứng xử bất ổn định động của hai loại tấm đẳng hướng và tấm

composite

có bốn biên tựa đơn Tiếp theo, Simons and Leissa (1971) phân tích ứng xử ổn định của tấm côngxon chữ nhật chịu tải trọng gia tốc và trọng lực trong mặt phẳng tấm sử dụng phương pháp Ritz Tani và Nakamura (1978) nghiên cứu lý thuyết cộng hưởng tham số tấm hình khuyên chịu tải trọng động điều hoà nén trong và ngoài hình khuyên

sử dụng phương pháp Galerkin và Hsu Cho thấy rằng cộng hưởng tham số chính là quan trọng thiết thực nhất, nhưng sự cộng hưởng kết hợp (cộng hưởng nội) không thể được bỏ qua khi tải trọng tĩnh tác dụng Bất ổn định động của tấm vuông chịu tải trọng động điều hoà phân bố đều dọc theo hai biên đối diện với bốn điều kiện biên được phân tích bởi Yamaki và Nagai (1975) Tác giả áp dụng phương pháp Galerkin vào phương trình cơ bản, phương pháp Bolotin và Hsu xác định vùng bất ổn định động, cho thấy cộng hưởng kết hợp có thể xảy ra nếu biên của lực là ngàm Carlson (1974) phân tích thực nghiệm đặc điểm đáp ứng lực kích thích tham số tấm mỏng chịu kéo với vết nứt hở Dữ liệu thu được từ kết quả khảo sát thực nghiệm được trình bày và cho thấy rằng cả hai vùng bất ổn định chính và phụ được phát triển Vết cắt, vết nứt và các dạng khác nhau của sự gián đoạn vật liệu là không thể tránh khỏi trong các kết cấu

do đó cần phải xem xét trong thực tế

P.K Datta (1978) khảo sát thực nghiệm về ứng xử mất ổn định và ứng xử cộng hưởng tham số của tấm chữ nhật chịu kéo có lỗ tròn hoặc elip Kích thước và biên độ dao động của các vùng bất ổn định chính được tìm thấy là lớn hơn các vùng bất ổn định thứ hai Hutt và Salam (1971) sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn phân tích ổn

định động tấm chữ nhật đẳng hướng với mô hình phần tử hữu hạn tấm mỏng bốn nút Kích thước của vùng bất ổn định động phụ thuộc vào mức độ giống nhau hình dạng mode của tần số dao động tự do, lực ổn định tĩnh và có xét đến hệ số cản nhớt của hệ Đáp ứng ổn định động phi tuyến của tấm mỏng đàn hồi có bốn biên tựa đơn chịu tải động điều hoà dọc theo bốn biên đã được khảo sát bởi Kisliakov (1976) sử dụng phương pháp Boubnov-Galerkin Birman (1986) phân tích ổn định động của tấm dày chữ nhật đàn hồi có các biên tựa đơn sử dụng hai lý thuyết tấm Mindlin và Levinson, tìm được các vùng chính bất ổn định động

Tham số bất ổn định động của tấm mỏng đàn hồi bọc lớp chất lỏng nhớt chịu tải trọng chuyển động điều hoà được khảo sát bởi Hasegawa (1987) Vùng bất ổn định động chính và phụ được xác định bằng cách sử dụng phương trình tuyến tính của tấm mỏng đàn hồi xét các chuyển động của chất lỏng không nén được, bao gồm các thành phần sức căng của chất lỏng nhớt, nhưng không phải là thành phần tiếp tuyến Ông khảo sát thực nghiệm để kiểm chứng kết quả lý thuyết nghiên cứu Takahashi và Konishi (1988) khảo sát ổn định động của tấm chữ nhật biến dạng nhỏ (tuyến tính) chịu tải trọng điều hòa phân bố bậc nhất trên hai biên đối diện, sử dụng phương pháp

Galerkin và phương pháp cân bằng điều hòa (harmonic balance) Xác định vùng bất

ổn định động của tấm có điều kiện biên khác nhau và xét đến sự cộng hưởng kết hợp của tần số tự nhiên

Sự ổn định của một tấm chữ nhật phi tuyến có độ võng lớn, biên đơn giản sử dụng phương trình von Kárman được nghiên cứu bởi M Hac (1989) Các vùng ổn định cân bằng không tầm thường của tấm được xác định bằng cách sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn Bằng cách sử dụng các điều kiện của phương pháp Liapunov trực tiếp

đủ để xác định sự ổn định tiệm cận ngẫu nhiên Sự bất ổn định động của tấm hình chữ nhật với bốn cạnh tự do sử dụng nguyên lý Hamilton và phương pháp Rayleigh-Rizt được khảo sát bởi Higuchi và Dowell (1989) Một cạnh của tấm tự do chịu tác dụng một lực đuổi phân bố đều không bảo toàn, các hướng được kiểm soát tương ứng với góc quay của biên tải trọng Các tấm có cả hai thành phần dao động và các loại phân

kỳ bất ổn định khi lực đuổi không bảo toàn tác dụng Tiếp theo, Chen (1989) nghiên cứu ổn định động tầm dày hình khuyên lưỡng modul (bimodulus) sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn, với phần tử hữu hạn hình khuyên sử dụng lý thuyết tấm Mindlin với hàm dạng đa thức Lagrange và các hàm lượng giác Ổn định tĩnh và ổn định động của tấm hình khuyên có chiều dày thay đổi tăng đều hoặc giảm theo hướng

xuyên tâm ra ngoài, chịu tải trọng động điều hoà phân bố tròn đều theo biên được nghiên cứu bởi Mermertas và Belek (1990, 1991) sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn với mô hình phần tử tấm Mindlin lý thuyết biến dạng cắt bậc cao cho cả tấm dày

và mỏng Vùng bất ổn định động được xác định với biên độ lớn tần số kích thích, điều kiện biên khác nhau sử dụng phương pháp Bolotin Phát triển công việc trên, tác giả nghiên cứu ổn định tấm hình khuyên có gia cường sườn cứng hướng tấm chịu tải trọng động điều hoà trong mặt phẳng tấm Yu và Mote (1991) trình bày, thảo luận cộng hưởng tham số của tấm tròn có liên kết lo xo quay bằng phương pháp chuỗi nhiễu loạn Một phương pháp nhiễu loạn được phát triển để dự đoán sự ổn định của hệ thống cộng hưởng tham số kích thích động có chứa nhiều nhiễu loạn tham số bởi Shen và Mote (1992) Phương pháp này dựa trên các định lý Floquet và phương pháp xấp xỉ liên tiếp để nghiên cứu một tấm tròn cổ điển đàn hồi hoặc đàn hồi nhớt chịu kích thích bởi một lò xo ngang tuyến tính quay ở tốc độ không đổi H Nguyen và Ostiguy (1989) nghiên cứu, phân tích lý thuyết ổn định động phi tuyến và đáp ứng phi tuyến kích thích tham số của tấm chữ nhật với bốn điều kiện biên khác nhau Áp dụng các phương pháp tiếp cận tổng quát chuỗi kép Fourier vào phương trình mở rộng động lực phi tuyến von Kármán Phương pháp tiệm cận suy rộng được sử dụng để giải quyết các phương trình phi tuyến theo thời gian của chuyển động, và khảo sát cộng hưởng tham số chính và cộng hưởng tham số kết hợp Xác định vùng bất ổn định động tham số và các đường cong đáp ứng tần số tương ứng cộng hưởng tham số chính liên quan đến các hình dạng mode, cùng với các loại tổng hợp cộng hưởng tham số kết hợp của hệ thống tham số

Để chứng minh kết quả của mô hình lý thuyết trên, tác giả tiếp tục nghiên cứu các thí nghiệm về bất ổn định động và đáp ứng cộng hưởng tham số của bốn tấm hình chữ nhật chịu tải động điều hoà trong mặt phẳng tấm với bốn điều kiện biên khác nhau Kết luận chung, các kết quả nhận được từ thực nghiệm thỏa mãn tốt với những kết quả

từ dự đoán lý thuyết

Singh và Dey (1992) sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn phân tích ứng xử bất

ổn định động của tấm chữ nhật chịu tải trọng động điều hoà trong mặt phẳng tấm Miền bất ổn định chính được xác định theo nghiệm tuần hoàn của phương pháp Bolotin, có xét đến sự kết hợp thành phần tĩnh và động của tải trọng và các điều kiện biên khác nhau Touati và Cederbaum (1994) phân tích ổn định động của tấm chữ nhật đẳng hướng vật liệu đàn hồi nhớt phi tuyến chịu tải trọng động điều hoà phân bố đều trên bốn biên và được tính toán theo các số mũ Lyapunov Các ứng xử vật liệu được

mô phỏng theo trình bày Leaderman (1962) về đàn nhớt phi tuyến Sử dụng phương pháp Galerkin để giải phương trình vi phân chuyển động phi tuyến tìm được hàm độ võng phụ thuộc thời gian Khảo sát sự ảnh hưởng của các thông số khác nhau đến khả năng bất ổn định động có thể xảy ra và biểu diễn các đáp ứng của hệ thống theo dạng hỗn loạn

Lee và Y Ng (1995) trình bày kết quả nghiên cứu ổn định động tấm chịu tải trọng động bảo toàn trong mặt phẳng tấm Các phương trình của chuyển động của tấm mỏng

cổ điển được xây dựng dựa trên nguyên lý Hamilton và phương pháp giả thiết mode dao động Những ảnh hưởng của nhiễu loạn hình sin được kiểm tra bởi phương pháp Bolotin Deolasi và Datta (1995) nghiên cứu đặc điểm bất ổn định động tấm chữ nhật chịu tải nén và kéo sử dụng phương pháp Bolotin Ảnh hưởng hệ cản đến ổn định tham

số của tấm sử dụng phương pháp nhiều bậc thang (Method of Multiple Scales)

Prabhakara và Datta (1997) phân tích ứng xử bất ổn định động tham số của tấm bị cắt tại trung tâm tấm chịu tải trọng kéo hoặc nén động điều hoà trong mặt phẳng tấm Ứng

xử bất ổn định động của tấm chịu kéo và nén cho thấy rằng vùng bất ổn định bị ảnh hưởng bởi kích thước và hình dạng của vùng cắt hở và tham số của lực Saha và cộng

sự (1997) nghiên cứu ổn định động của một tấm hình chữ nhật trên nền đàn hồi không đồng nhất, chịu tải trọng động nén trong mặt phẳng và biên liên kết đàn hồi Trong nghiên cứu này, sử dụng phương pháp Galerkin làm giảm hàm dạng riêng dầm và biến đổi các hệ phương trình theo dạng ma trận Hệ phương trình Mathieu-Hill thu được,

phân tích theo phương pháp nhiều bậc thang (method of multiple scales), xác định

được biên ổn định với các kết hợp khác nhau của biên độ kích thích của lực và tần số Những ảnh hưởng của độ cứng của nền đàn hồi, điều kiện biên, hệ số tải trọng tĩnh, hệ

số tải trọng động đến biên ổn định động của tấm và cộng hưởng kết hợp được nghiên cứu J.H Kim và H.S Kim (2000) sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn trên cơ sở lý thuyết tấm Kirchhoff-Love và Mindlin phân tích ổn định động tấm chữ nhật đẳng hướng và trực hướng chịu lực nén không bảo toàn trong mặt phẳng tấm Phương pháp phần tử hữu hạn sử dụng phần tử tứ giác bốn nút khảo sát ảnh hưởng của biến dạng cắt

và lực quán tính quay đến bất ổn định động Forys (1999) trình bày phương pháp biến phân làm tối ưu hoá của các vấn đề phần tử cơ học bao gồm tấm chịu lực kích thích tham số, tải trọng động điều hoà trong mặt phẳng tấm Các ví dụ về tối ưu hóa biến phân đối với sự mất ổn định đã được giải quyết và phân tích trong trạng thái cộng hưởng điều hoà tham số Sự ổn định động và hỗn loạn của tấm đàn hồi nhớt biến dạng

lớn có bốn biên tựa đơn chịu tải trọng động điều hoà trong mặt phẳng tấm được khảo

sát bằng cách sử dụng lý thuyết hỗn loạn và fractal (chaotic and fractal theory) bởi

Y.X Sun và S.Y Zhang (2001) Các ứng xử vật liệu được xét theo nguyên lý chồng chất Boltzmann Phương pháp Bubnov – Galerkin để giải hai phương trình vi phân phi tuyến chủ đạo của tấm tìm được phương trình vi – tích phân phi tuyến Phép tính tích phân thời gian số của phương trình được thực hiện bằng cách sử dụng phương pháp Runge-Kutta bốn bậc Thảo luận sự ảnh hưởng của phi tuyến hình học và tham số đàn

hồi nhớt đến mất ổn định động của tấm đàn hồi nhớt T.H Young và cộng sự (2002)

sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn nghiên cứu ổn định động tấm xiên chịu tải trọng khí động lực học và ngẫu nhiên trong mặt phẳng tấm Phương pháp phần tử hữu hạn sử dụng phân tích ổn định động của tấm có đặc tính sườn gia cường chịu tải trọng động điều hoà phân bố một phần hoặc tập trung trong mặt phẳng tấm Srivastava và cộng sự (2002, 2003) Phần tử áp dụng là phần tử tứ giác đẳng tham số chín nút với năm bậc tự do Phương pháp vô hạn định của Hill, phương pháp Bolotin được áp dụng

để xác định vùng bất ổn định động Nghiên cứu ảnh hưởng của các thông số khác nhau, như hệ số tải trọng tĩnh, tỉ lệ kích thước, điều kiện biên, bố trí sườn gia cường và các tham số tải trọng động đến vùng bất ổn định động chính của tấm Tiếp theo phát triển công việc trên, Srivastava và cộng sự (2003, 2010) sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn nghiên cứu ổn định động tấm chữ nhật có sườn gia cường bị cắt bỏ một phần chịu tải trọng động điều hoà trong mặt phẳng tấm Sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn phân tích ứng xử ổn định động lực phi tuyến của tấm đàn hồi đẳng hướng cũng như tấm composite, chịu tải trọng động điều hoà bởi Ganapathi và cộng sự (2000) Các phân tích đưa ra sự tồn tại của dao động, phụ thuộc vào tần số kích thích của lực, ảnh hưởng của điều kiện ban đầu, biên độ tải trọng và đặc trưng của dao động đến các vùng khác nhau S Sassi và cộng sự (2001) nghiên cứu sự tương tác của lực và cộng hưởng tham số của tấm hình chữ nhật không hoàn hảo Trong nghiên cứu này, đáp ứng thời gian và biểu đồ cân bằng pha đã được sử dụng đáp ứng tần số và đường cong FFT

để nghiên cứu các vùng chuyển tiếp Lần đầu tiên, phân tích sự ảnh hưởng của một mode không gian của tấm có khuyết tất đến mode khác nhau của tần số Kim và cộng

sự (2003) phân tích các cộng hưởng tham số của tấm kim loại theo một mô hình tấm chịu kéo với tải trọng động và phân bố không đều Kết quả lý thuyết về dao động của tấm được so sánh với các kết quả thực nghiệm của tấm kim loại dao động trong một cơ

sở sản xuất

G.Y Wu và Y.S Shih (2005) phân tích bất ổn định động và đáp ứng phi tuyến của tấm có nứt, biên tựa đơn, chịu nén tải trọng động điều hoà phân bố đều trong mặt phẳng tấm Nghiệm của hai phương trình vi phân chuyển động theo lý thuyết tấm von- Karman thoả mãn tất cả điều kiện biên nứt và biểu diễn hàm độ võng, hàm ứng suất là chuỗi kép theo điều kiện gần đúng hàm dạng riêng dầm Áp dụng phương pháp Galerkin cho hai phương trình vi phân động của tấm von-Karman xác định được phương trình Mathieu-Hill điều hoà phụ thuộc thời gian Phương pháp cân bằng gia số

điều hòa (Incremental harmonic balance method - IHB) được áp dụng để giải quyết

những phương trình chuyển động phi tuyến phụ thuộc thời gian và phân tích sự bất ổn định động của tấm Tính toán được thực hiện cho các tấm chữ nhật với tỉ lệ kích thước khác nhau và giá trị khác nhau của hệ số điều kiện vết nứt Vùng bất ổn định động tham số được biển diễn theo không gian của tải trọng kích thích, tần số tự nhiên hoặc biên độ của tần số tự nhiên Phát triển nghiên cứu trên, G.Y Wu và Y.S Shih (2006) nghiên cứu bất ổn định động và đáp ứng phi tuyến của tấm chữ nhật và tấm xiên nhiều lớp chịu tải trọng động điều hoà trong mặt phẳng tấm Dựa trên lý thuyết tấm von Karman, phương trình vi phân chuyển động biến dạng lớn của các tấm mỏng nhiều lớp được xác định bằng cách áp dụng các phương pháp chuỗi tổng quát kép Fourier Chọn hàm dạng độ võng và hàm ứng suất, các phương trình điều khiển được rút gọn thành phương trình Mathieu-Hill bằng cách sử dụng phương pháp Galerkin Phương pháp cân bằng gia số điều hòa (IHB) được áp dụng để giải quyết những phương trình chuyển động phi tuyến và xác định được vùng bất ổn định động Sự ổn định động của một tấm sắt từ hình chữ nhật, biên tựa đơn dưới tác dụng của khu vực từ ngang phân

bố đều và tải trọng động điều hoà nén trong mặt phẳng tấm được nghiên cứu bởi X Wang và J.S Lee (2006) có xét đến ảnh hưởng hệ số giảm từ Dựa trên một lý thuyết hiệu ứng từ đàn hồi tuyến tính và phương pháp nhiễu loạn, phương trình điều khiển hệ thống hiệu ứng từ đàn hồi được rút gọn thành phương trình Mathieu Tham số kích thích của hệ thống với các lực kích thích nén điều hòa trong mặt phẳng tấm được thảo luận và các vùng ổn định động tương ứng được mô phỏng chi tiết Z Wang và cộng sự (2009) nghiên cứu ổn định động tấm chữ nhật đàn hồi nhớt có chiều dày thay đổi tuyến tính và chịu tải trọng không bảo toàn tiếp tuyến Các phương trình giá trị riêng phức tạp của tấm đàn hồi nhớt chiều dày thay đổi tuyến tính được cấu tạo theo ứng xử giản nở đàn hồi và biến dạng vết nứt theo luật Kelvin-Voigt chịu tác dụng tải trọng không bảo toàn phân bố đều xác định được bằng phương pháp vi phân bậc hai

(differential quadrature method) Khảo sát những ảnh hưởng của tỷ lệ chiều dày, sự

chậm trễ thời gian và tham số vết nứt đến sự bất ổn định và tải trọng tới hạn của tấm Các đặc tính động và ổn định của tấm hình chữ nhật nhiệt đàn hồi chuyển động vận tốc hằng số chịu tải trọng không bảo toàn phân bố đều tiếp tuyến được nghiên cứu bởi

X Guo và cộng sự (2011) Tần số và tham số lực tới hạn của tấm nhiệt đàn hồi hình chữ nhật chuyển động với bốn biên tựa đơn giản, hai biên đối diện tựa đơn và hai biên

ngàm được xác định theo phương pháp sai phân bậc hai (differential quadrature

method)

1.2.2 Tấm composite

Birman (1985) nghiên cứu sự ổn định động của tấm hình chữ nhật nhiều lớp, bỏ qua biến dạng cắt ngang và quán tính quay Ảnh hưởng của việc ghép không đối xứng trên sự phân bố của các vùng bất ổn định động đã được khảo sát trong nghiên cứu này

Ảnh hưởng của biến dạng cắt đến bất ổn định động tấm hình chữ nhật góc lớp

(angle-ply) không đối xứng có các biên tựa đơn, chịu tải trọng động điều hoà phân bố đều trên

bốn biên được nghiên cứu bởi Bert and Birman (1987) Biên của miền bất ổn định động là nghiệm của phương trình Mathieu được lập bảng và biểu diễn trên hệ trục bình phương hệ số không thứ nguyên tần số kích thích – hệ số không thứ nguyên biên độ lực động J Moorthy và cộng sự (1990) sử phương pháp phần tử hữu hạn phân tích bất

ổn định động tấm composite lớp đối xứng và phản đối xứng theo trục, chịu tải trọng động điều hoà trong mặt phẳng tấm Xét các điều kiện biên, hình học khác nhau, giả thuyết sự biến dạng cắt ngang ảnh hưởng đáng kể và lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất được áp dụng Một số phương pháp giải phương trình chuyển động được sử dụng hai xấp xỉ dựa trên phương pháp Bolotin Các vùng bất ổn định chính và phụ được tính toán Ảnh hưởng của hệ số cản, tỷ lệ của chiều dài cạnh, độ dày của tấm, trực hướng, điều kiện biên, số lượng lớp và góc lớp được phân tích Ổn định động của tấm composite lớp chữ nhật dưới tác dụng tải trọng động điều hoà phân bố đều trong mặt phẳng của tấm được nghiên cứu bởi Chen và Yang (1990) Phương pháp phần tử hữu hạn mô hình Galerkin, bao gồm cả những ảnh hưởng của biến dạng cắt ngang và quán tính quay, được sử dụng để nghiên cứu tấm lớp góc phản đối xứng chịu sự kết hợp của ứng suất uốn điều hoà và ứng suất nén điều hoà phân bố đều Xác định vùng bất ổn định động theo phương pháp Bolotin M Mond và G Cederbaum (1992) khảo sát bất

ổn định tấm phản đối xứng góc lớp và phản đối xứng ngang lớp (antisymmetric

ply and antisymmetric cross-ply laminated plate), sử dụng lý thuyết lớp cổ điển

(classical lamination theory – CPT), chuyển động được điều khiển bởi ba phương

trình vi phân từng phần, biểu thức giải tích cho các vùng mất ổn định được xác đinh và tìm được miền chính bất ổn định có xét đến cộng hưởng nội của tần số tự nhiên của hệ thống

Bất ổn định động của tấm composite lớp biến dạng cắt có biên tựa đơn chịu tải trọng động điều hoà phân bố đều trong mặt phẳng tấm được nghiên cứu bởi L Librescu và S Thangjitham (1990) Sử dụng lý thuyết phi tuyến của tấm lớp đối xứng

và áp dụng phương pháp Galerkin tìm được phương trình phi tuyến thứ hai Hill Đường cong đáp ứng biên độ tần số đã được thể hiện trong mặt phẳng tọa độ tham số của lực kích thích và tham số tần số, biên độ dao động và tham số tần số Ổn định động của tấm chữ nhật chịu tải trọng động hoặc lực màng ngẫu nhiên sử dụng lý thuyết phi tuyến hình học được phân tích bởi A Tylikowski (1993) Phương trình vi phân chuyển động biến dạng lớn của tấm có xét đến ghép nối trong mặt phẳng và chuyển động ngang Sự ổn định tiệm cận và các tiêu chuẩn ổn định tiệm cận liên quan đến một hệ số cản và các tham số của tải trọng được xác định bằng cách sử dụng phương pháp trực tiếp của Liapunov Biểu diễn vùng ổn định xét đến ảnh hưởng của

Mathieu-số lượng các lớp, tỷ lệ kích thước tấm, đặc tính của vật liệu, góc lớp, hệ Mathieu-số cản, thành phần tĩnh của lực trong mặt phẳng và tham số tần số kích thích của lực Sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn, V Balamurugan và cộng sự (1996) nghiên sự bất ổn động của tấm composite dị hướng có xét đến phi tuyến hình học Mô hình toán học được xây dựng bằng cách sử dụng phần tử tấm C0 cắt- uốn, QUAD-9 Các phương trình chuyển động phi tuyến được giải quyết bằng cách sử dụng kỹ thuật lặp đi lặp lại trực tiếp

Bất ổn định động tấm composite lớp đẳng hướng hoặc trực hướng có bốn biên tựa đơn trên nền đàn hồi, chịu tải trọng động điều hoà phân bố đều, sử dụng phần tử C1tám nút cắt-uốn được nghiên cứu bởi Platel và cộng sự (1999) Phần tử tấm dựa trên một ý tưởng mới của động học cho phép đảm bảo các điều kiện liên tục cho chuyển vị

và ứng suất tại giao giữa các lớp của lớp tấm và điều kiện biên tại các bề mặt trên và dưới của lớp tấm Biên của vùng chính bất ổn định động được xác định theo phương pháp Bolotin là nghiệm tuần hoàn của chuỗi Fourier và biễu diễn theo tham số tần số kích thích và tham số biên độ lực Đánh giá được ảnh hưởng của các thông số khác nhau như đặc tính trực hướng, góc của lớp, hệ số tĩnh tải, chiều dày và tỷ số cạnh của

tấm, độ cứng của nền đàn hồi đến vùng ổn định động Sahu và Datta (2000) phân tích

ổn định động tấm chữ nhật composite lớp chịu tải trọng điều hòa phân bố không đều bằng phương pháp phần tử hữu hạn và xác định được các vùng chính bất ổn định động

theo phương pháp Bolotin A Tylikowski (2005) nghiên cứu dao động tham số hoặc

ổn định động của tấm hình chữ nhật FGM được mô tả bởi các phương trình vi phân phi tuyến hình học sử dụng phương pháp trực tiếp Liapunov Ảnh hưởng của luật số

mũ (power law exponent) đến miền ổn định được nghiên cứu Chattopadhyay và Radu

(2000) phân tích bất ổn định động của tấm composite lớp sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao bằng phương pháp phần tử hữu hạn D Debowski và K Magnucki (2006) phân tích ổn định động tấm chữ nhật xốp tổ ong đàn hồi chịu tải trọng nén điều hoà trọng mặt phẳng tấm Sử dụng nguyên lý Hamilton xây dựng một hệ thống năm phương trình vi phân của sự ổn định động của tấm thoả mãn đáp ứng các điều kiện biên Hệ thống phương trình vi phân cơ bản này được giải quyết xấp xỉ khi sử dụng

phương pháp Galerkin

Sự bất ổn động của các tấm sandwich nhiều lớp chịu tải trọng động điều hoà phân

bố tại hai biên trong mặt phẳng tấm được nghiên cứu bằng cách sử dụng hiệu quả mô hình tấm phần tử hữu hạn, được phát triển gần đây bởi A Chakrabarti và A.H Sheikh

(2006, 2010) Mô hình tấm được dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc cao (refined

higher order shear deformation theory – RHSDT) và phần tử tấm là tam giác sáu nút

Vùng chính bất ổn định động của tấm được xác định theo phương pháp Bolotin và được biểu diễn trong không gian của hai tham số tần số kích thích của tải trọng và tham số tải trọng động S.Y Lee (2010) sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn phân tích ổn định động tấm xiên composite lớp có vết cắt khuyết lỗ chịu tải trọng động điều hoà nén trong mặt phẳng tấm theo lý thuyết biến dạng cắt bậc cao (HSDT) Hai biên của vùng bất ổn định động được xác định bằng cách sử dụng phương pháp Bolotin Đặc tính ổn định động của tấm xiên (skew plate) composite lớp có bốn biên tựa đơn chịu tải trọng động điều hoà phân bố đều trong mặt phẳng tấm được nghiên cứu bởi P Dey và M.K Singha (2006) sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn Biên vùng bất ổn định động tìm được bằng cách sử dụng phương pháp Bolotin và được biểu diễn trong mặt phẳng không gian hệ số không thứ nguyên tải trọng động và biên độ tần số kích thích Các vùng bất ổn định động chính và thứ hai được xác định có xét ảnh hưởng của các tham số khác nhau như góc nghiêng, chiều dày, tỷ lệ kích thước, định hướng cốt sợi và tải trọng tĩnh trong mặt phẳng tấm Vùng bất ổn định động phi tuyến tấm

composite chịu áp lực điều hoà ngang hoặc tải trọng động điều hoà được nghiên cứu bằng cách sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn biến dạng cắt bởi M.K Singha và R Daripa (2009) Ma trận độ cứng phi tuyến được xây dựng dựa trên lý thuyết von- Karman để có được độ cứng tương tác giữa bậc tự do trong mặt phẳng và uốn Hơn nữa, chuyển động uốn và chuyển động trong mặt phẳng được giả thiết hàm điều hoà Biên độ phương trình ma trận phi tuyến thu được bằng cách sử dụng phương pháp Galerkin Asha và Sahu (2008, 2011) sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn phân tích dao động, ổn định tĩnh và đặc tính bất ổn định tham số của panel nhiều lớp phẳng hoặc cong Phần tử vỏ đẳng tham số bậc hai tám nút với năm bậc tự do cho mỗi nút được sử dụng cho phương pháp phần tử hữu hạn Các ảnh hưởng của các góc trước xoắn, tỉ lệ kích thước, tham số tải trọng tĩnh, tham số lực kích thích và các tham số góc lớp xoắn panal cong nhiều lớp đến vùng bất ổn động chính được nghiên cứu bằng cách sử dụng phương pháp Bolotin Yuda và Xiaoguang (2011) phân tích dao động tham số, cộng hưởng tham số chính của tấm chữ nhật FGM bằng phương pháp Galerkin theo tiêu chuẩn ổn định Lyapunov

Thời gian gần đây, L.S Ramachandra và S.K Panda (2012) nghiên cứu bất ổn định động của tấm chữ nhật composite chịu tải trọng điều hoà phân bố dạng tuyến tính hoặc parabolic sử dụng phương pháp Galerkin Theo phương pháp Bolotin, vùng bất

ổn định động được xác định với nghiệm điều hoà của phương trình vi phân với chu kỳ

T và 2T là phương trình Mathieu Vùng bất ổn định động được xác định trong hai

trường hợp xấp xỉ bậc nhất và bậc hai Kết quả số, xét đến ảnh hưởng của hệ số chiều dày của tấm, biến dạng cắt, điều kiện biên, hệ số tải trọng tĩnh và tải trọng động đến vùng bất ổn định động của tấm Wei-Ren Chen và cộng sự (2013) sử dụng phương pháp Galerkin phân tích sự ổn định động của tấm composite lớp theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất Phương pháp tìm nghiệm của phương trình vi phân chuyển động có

hệ số điều hòa thuộc dạng phương trình Mathieu-Hill là phương pháp Bolotin và xác định được các vùng bất ổn định động Myung-Hyun Noh và Sang-Youl Lee (2014) sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn với lý thuyết biến dạng cắt bậc cao để phân tích ổn định động của tấm xiên composite được phân lớp tại tâm của tấm Tìm được các vùng chính bất ổn định động theo phương pháp nghiệm Bolotin H.S Panda và cộng sự (2015) nghiên cứu đặc tính bất ổn định tham số của tấm composite bằng phân tích phần tử hữu hạn trên cơ sở lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất R Kumar và cộng sự (2016) sử dụng phương pháp Galerkin phân tích phi tuyến mất ổn định động tấm

FGMs theo lý thuyết biến dạng cắt bậc cao Huỳnh Quốc Hùng và cộng sự (2015,

2016, 2017) sử dụng phương pháp ma trận động cứng động lực mở rộng phân tích ổn định động và dao động tham số phi tuyến và đáp ứng phi tuyến cho tấm composite và sandwich

1.3 Giới thiệu phương pháp ma trận động cứng động lực

Việc phân tích động học về dao động tự do bắt đầu bằng việc xác định dạng ban đầu của bài toán trị riêng tuyến tính tổng quát:

[ ] K   [ M ] q  0 (1.6) trong đó: [ M - ma trận khối lượng tổng thể (the global mass matrix) ]

[ ] K - ma trận độ cứng tổng thể (the global stiffness matrix)

  q - vector chuyển vị nút

 - tần số riêng (tần số tự nhiên) Phương pháp phần tử hữu hạn là phương pháp số dùng để phân tích các kết cấu

Nó xác định một kết cấu mẫu như là tập hợp của các phần tử Mỗi phần tử là một kết cấu đơn giản và vì thế sẽ đơn giản hơn khi phân tích kết cấu thực Có hai phương pháp phần tử hữu hạn dựa vào chuyển vị để phân tích động học Một là phương pháp xấp xỉ,

nội suy các chuyển vị bằng cách dùng các hàm dạng của nhiều mẫu nhỏ (piecewise

polinominal) Hai là phương pháp chính xác, nội suy các chuyển vị bằng cách sử dụng

các hàm dạng thỏa điều kiện cân bằng chính xác về tĩnh học Phương pháp phần tử hữu hạn thường có sai số lớn do các hàm dạng của phương pháp này không phụ thuộc vào tần số Điều đó làm phương pháp này không thể biểu thị đầy đủ các hàm trị riêng chính xác

Fergusson and Pilkey (1991, 1993) và Zhou (1996) thảo luận về phương pháp ma trận độ cứng động lực có nhận định rằng: phương pháp ma trận độ cứng động lực

(Dynamic Stiffness Method - DSM) được áp dụng rộng rãi trong các bài toán động lực

học làm giảm những lỗi rời rạc về không gian và thời gian Do đó, DSM được đánh giá

là chính xác vì hàm dạng là trường chuyển vị động thỏa mãn phương trình vi phân cân bằng động chủ đạo, nên ma trận độ cứng động lực học [K(  ,P)] cũng phụ thuộc vào tần số Bài toán trị riêng về dao động tự do hoặc dao động cưỡng bức (1.7) trở thành:

 

[ ( , )] K  P q  0 (1.7)

( , ) [ ( )] [ ( )]

K  P  K    M  - ma trận độ cứng động lực (1.8) Phương pháp DSM có những ưu điểm hơn các phương pháp khác như phương

pháp phần tử hữu hạn (Finite Element Method – FEM), phương pháp sai phân hữu hạn

(Finite Different Method – DFM), đặc biệt trong trường hợp phân tích những kết cấu

đòi hỏi những dạng dao động bậc cao và cho kết quả chính xác hơn

1.4 Sử dụng phương pháp ma trận độ cứng động lực khảo sát kết cấu tấm

Wittrick và Williams (1968, 1974) phân tích ổn định tĩnh và dao động của tấm

đẳng hướng hoặc không đẳng hướng sử dụng DSM Langley (1989, 1992) sử dụng phương pháp DSM phân tích dao động tự do và cưỡng bức của tấm panel và vỏ Sau

đó ông và cộng sự Bercin (1995, 1996) sử dụng DSM phân tích dao động tự do và cưỡng bức trong mặt phẳng của tấm với hai biên đối diện có liên kết tựa đơn, do đó, giảm phần tử tấm hai chiều về phần tử một chiều Lee và Thompson (2001) thực hiện phân tích tần số dao động và dạng mode của lò xo xoắn bằng DSM Leung và Zhou (1996) phân tích dao động tự do và ổn định tĩnh của tấm composite lớp bằng phương pháp DSM Xây dựng ma trận độ cứng động lực của phần tử hai chiều rồi áp dụng cho dao động của tấm Kirchhoff và vỏ dày hình trụ tròn bởi Casimir và cộng sự (2005, 2007) Khadimallah và cộng sự (2011) phân tích đáp ứng điều hòa về dao động cưỡng bức của vỏ hình trụ tròn chịu tải trọng phân bố đều Kim và cộng sự (2003) phân tích dao động cưỡng bức của tấm chịu kéo và chuyển động trong mặt phẳng dọc trục sử dụng ma trận độ cứng động lực El-Kaabazi and Kennedy (2012) thực hiện phân tích tần số tự nhiên và mode dao động của vỏ hình trụ tròn có chiều dày thay đổi W.S Park và cộng sự (1999) phân tích dao động của dầm và tấm bằng phương pháp DSM Hatami và cộng sự (2008) xây dựng chính xác ma trận độ cứng động lực của tấm để phân tích dao động tự nhiên của tấm đàn nhớt chịu chuyển động dọc trục với vận tốc không đổi

Những công trình nghiên cứu tiêu biểu gần đây nhất được công bố bởi hai ông Boscolo và Banerjee (2011) về kết cấu tấm bằng phương pháp ma trận độ cứng động lực của phần tử tấm được phát triển bằng cách sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất để thực hiện phân tích chính xác dao động tự do của tấm bằng phương pháp DSM Ứng xử dao động tự do trong mặt phẳng của tấm được điều tra bằng cách sử dụng phương pháp DSM được công bố (2011) Trong năm 2012 tác giả đã công bố nghiên cứu phân tích chính xác dao động tự nhiên của tấm Mindlin composite sử dụng

lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất bằng phương pháp DSM Gần đây, công trình nghiên cứu của ba ông Fazzolari, Boscolo và Banerjee (2012) xây dựng chính xác ma trận độ cứng động lực của phần tử tấm sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao để phân tích dao động tự nhiên của tấm composite Năm 2013, công bố công trình nghiên cứu của

ba ông Fazzolari, Boscolo và Banerjee (2013) thiết lập chính xác độ cứng động lực của phần tử tấm sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao để phân tích ổn định tĩnh của tấm

ghép composite (plate assemblies) Năm 2014, Boscolo và Banerjee (2014) phương

pháp độ cứng động lực đã được phát triển bằng cách sử dụng lý thuyết tầng lớp ( wise theory) phân tích dao động tự nhiên của tấm composite lớp.

layer-Ở Việt Nam, Trần Văn Liên (2006) nghiên cứu ổn định của thanh bằng phương pháp ma trận độ cứng động lực Nguyễn Thị Hiền Lương và Lâm Tú Thanh (2007) nghiên cứu ổn định khung theo tiêu chuẩn động lực học Huỳnh Quốc Hùng, Nguyễn Thị Hiền Lương, và Nguyễn Hải (2010, 2015, 2016, 2017) nghiên cứu ổn định động phi tuyến, và đáp ứng dao động tham số phi tuyến của kết cấu tấm composite bằng phương pháp ma trận độ cứng động lực

1.5 Kết luận

Bài viết này giới thiệu về tình hình nghiên cứu sự ổn định động của kết cấu tấm và

vỏ chịu tác dụng của tải trọng động, lực bảo toàn hoặc không bảo toàn Các công bố trên cho thấy, tập trung nghiên cứu về sự ổn định động đã có đổi mới và có xu hướng đến các loại vật liệu mới, phương pháp phân tích, mô hình tính toán, hình học, tải trọng và các điều kiện biên phức tạp

Phương pháp xác định nghiệm của vấn đề ổn định động liên quan đầu tiên là biến đổi các phương trình chuyển động của một hệ thống về dạng hệ phương trình Mathieu- Hill có hệ số điều hòa và đặc điểm cộng hưởng các tham số được nghiên cứu từ các nghiệm của phương trình, thu được từ các phương pháp khác nhau Những phương pháp này có thể được nhóm lại: đối với nguồn gốc của nó có thể chia thành ba loại chính là phương pháp Bolotin bằng cách sử dụng lý thuyết Floquet, phương pháp phân

tích nhiễu loạn nhiều bậc thang (multiscale) và phương pháp số mũ Lyapunovian

Trong các phân tích, mô hình hình học (tấm, vỏ hình trụ, hình cầu và hình nón),

thành phần tải trọng, loại vật liệu (transversely isotropic, homogeneous, bimodulus, composite, FGM, ) cũng như điều kiện biên (SSSS, SCSC, CCCC, ) của kết cấu

đóng một vai trò quan trọng trong việc lựa chọn các phương pháp

Các khía cạnh khác nhau của nghiên cứu là phương pháp phân tích Phương pháp phân tích được sử dụng như phương pháp chính xác (phương pháp giải tích), phương pháp dải hữu hạn, phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp nhiều bậc thang

(method of multiple scales), phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp sai phân bậc hai tổng quát (generalized differential quadrature method), phương pháp Galerkin,

Tìm hiểu cho thấy rằng các phân tích gần đây về sự ổn định động được tập trung nhiều hơn vào các vấn đề phức tạp, chẳng hạn như tải phân bố không đều, tấm có sườn cứng, tấm trên nền Winkler, điều kiện biên, cộng hưởng kết hợp, tương tác kết cấu chất lỏng, lực cản, phi tuyến, panel cong, hơn so với các tấm hoặc vỏ hình trụ khép kín

Phát triển cần thiết cho sự ổn định động của kết cấu về bề mặt có chiều dày thay đổi được mô phỏng nhiều hơn đối với các ứng dụng thực tế Nghiên cứu thêm là cần thiết về kết cấu chịu tải động điều hòa trong mặt phẳng và theo hướng chứng minh bằng thực nghiệm của các mô hình tính toán

Đồng thời, từ tổng quan trên cho biết việc sử dụng phương pháp ma trận độ cứng

động để phân tích về dao động tự do, dao động cưỡng bức, ổn định tĩnh, cho các loại kết cấu tấm và vỏ Tuy nhiên, việc sử dụng DSM để phân tích bất ổn định động của kết cấu tấm có chiều dày thay đổi hoặc xét đến hệ số phi tuyến bậc hai, bậc ba thì rất ít tác giả nghiên cứu

1.6 Mục tiêu và nhiệm vụ của luận văn

1.6.1 Mục tiêu nghiên cứu

Ổn định công trình là một phần không thể thiếu trong việc tính toán thiết kế công trình Trong thực tế, kết cấu tấm được sử dụng rất phổ biến trong thực tiễn các ngành công nghiệp và dân dụng (tấm sàn, vách kính chịu lực, vách tường, panel, tấm lợp nhà công nghiệp, ngành hàng không, ngành hàng hải,…), nên việc tính toán và nghiên cứu dao động tham số của tấm nói chung là cần thiết Tác giả chọn hướng nghiên cứu:

“Phân tích phi tuyến dao động tham số của tấm có chiều dày thay đổi đặt trên nền đàn hồi bằng phương pháp ma trận độ cứng động lực”

1.6.2 Ý nghĩa nghiên cứu

Luận văn có ý nghĩa khoa học và được ứng dụng trong thực tiễn sản xuất, như tính toán và thiết kế những kết cấu sau:

- Tính toán và thiết kế vách kính, vách tường chịu lực tải trọng động trong mặt phẳng tấm có xét đến cộng hưởng dao động tham số chính;

- Tính toán, thiết kế và kiểm tra kết cấu sàn chịu tải trọng động đất trong mặt phẳng

có xét đến cộng hưởng dao động tham số chính;

- Tính toán và thiết kế tấm đặt trên nền đàn hồi chịu tải trọng động trong mặt phẳng tấm (đường bê tông, đường băng,…),…

1.6.3 Nhiệm vụ của nghiên cứu

- Thiết lập các ma trận độ cứng động lực của các phần tử tấm có chiều dày thay đổi đặt trên nền đàn hồi chịu hai dạng tải trọng là tải trọng tĩnh và tải trọng động;

- Lắp ghép các ma trận độ cứng động lực của các phần tử tấm thành ma trận động cứng động lực tổng quát;

- Khảo sát các dạng bài toán dao động tự do, bài toán ổn định tĩnh của kết cấu tấm

để xác định các hệ số tần số dao động và hệ số lực tới hạn tĩnh;

- Khảo sát các dạng bài toán dao động tham số phi tuyến của tấm chịu tải trọng động trong mặt phẳng của tấm, với một số điều kiện biên khác nhau bằng phương pháp ma trận độ cứng động lực;

- Tìm hiểu và xác định vùng ổn định động và vùng mất ổn định động, và đáp ứng dao động tham số;

- Lập chương trình tính dao động tự do, ổn định tĩnh và dao động tham số của tấm bằng phương pháp ma trận độ cứng động lực

- Biến dạng của hệ được xem là biến dạng lớn;

- Xét đến hệ số phi tuyến bậc ba;

- Sử dụng phương pháp ma trận độ cứng động lực được nhóm tác giả mở rộng;

- Ứng xử của vật liệu là đàn hồi, đồng nhất, đẳng hướng;

1.7 Kết cấu luận văn

Chương 1 Tổng quan về ổn định động của kết cấu tấm và phương pháp ma trận độ cứng động lực

Chương 2 Phân tích dao động tham số của tấm có chiều dày thay đổi đặt trên nền đàn hồi;

Chương 3 Khảo sát số ổn định tĩnh, dao động và dao động tham số của tấm có chiều dày thay đổi;

Chương 4 Kết luận và kiến nghị

KẾT LUẬN CHƯƠNG 1

Chương 1, tác giả trình bày tổng quan về sự hình thành, phát triển của vấn đề ổn định động và dao động tham số của kết cấu tấm Giới thiệu sơ lược về quá trình nghiên cứu, ứng dụng phương pháp ma trận độ cứng động lực ở ngoài nước cũng như tại Việt Nam

Tác giả trình bày sơ lược về ý tưởng, xuất phát điểm hình thành nên phương pháp

ma trận độ cứng động lực

Trình bày phần giới hạn nghiên cứu của luận văn, nội dung cơ bản của luận văn và các giả thiết tính toán

Chương 2: PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG THAM SỐ CỦA TẤM CĨ

CHIỀU DÀY THAY ĐỔI ĐẶT TRÊN NỀN ĐÀN HỒI

2.1 Lý thuyết về tấm chịu uốn

Bài tốn tấm chịu uốn được nghiên cứu từ những năm 1800, lý thuyết về tấm chịu uốn được trình bày chi tiết trong các sách của S.P Timoshenko, S.W Krieger và các tác giả khác Tác giả chỉ tĩm tắt một số lý thuyết cơ bản của tấm chịu uốn làm cơ sở thiết lập các phương trình cơ bản của phương pháp ma trận độ cứng động lực

2.1.1 Các mơ hình lý thuyết tấm

Hình 2.1 Mơ hình tấm chữ nhật

Cĩ nhiều mơ hình lý thuyết được xây dựng để nghiên cứu về sự làm việc của tấm

Cĩ thể chia ra các mơ hình hay dùng như sau:

- Mơ hình Kirchhoff: Sử dụng cho tấm mỏng với biến dạng nhỏ Tấm được gọi là

mỏng nếu: 1/ 80  h b /  1/ 5 (trong đĩ: h là chiều dày của tấm, b là kích thước nhỏ

nhất của mặt trung bình tấm) và độ võng wmax  h / 4

- Mơ hình von Karman’s: Mơ hình này phát triển từ mơ hình Kirchhoff để sử dụng

tấm mỏng với biến dạng lớn và các ứng suất uốn được đi liền bởi các ứng suất màng kéo hay nén tương đối trong mặt phẳng trung bình Tấm được gọi là tấm mỏng cĩ độ võng lớn nếu 1/ 80  h b /  1/ 5 và wmax  h / 4

- Mơ hình Ressner-Mindlin: Lý thuyết tấm dày với biến dạng nhỏ, các thành phần

lực cắt được tính tốn trong khảo sát Tấm được gọi là tấm dày nếu / h b  1/ 3

- Mơ hình chính xác (Exact model): Phân tích chính xác các tác động lên tấm bằng

cách sử dụng lý thuyết đàn hồi 3 chiều

Mặt trung bình tấm

O

b a

z, w

x, u

y, v h

2.1.2 Lý thuyết tấm mỏng cổ điển Kirchhoff

2.1.2.1 Chuyển vị và biến dạng trong tấm

Nghiên cứu tấm chịu tải trọng ngang, tức tải trọng vuông góc với mặt trung bình

của tấm Gọi u, v là các thành phần chuyển vị tương ứng theo phương x, y tại một điểm bất kỳ của tấm được biểu diễn theo độ võng w và các góc xoay x , y của mặt phẳng trung gian của tấm (Hình 2.2) như sau:



xx

ba của Kirchhoff Vì vậy, bài toán chuyển về bài toán ứng suất phẳng

2.1.2.2 Ứng suất và nội lực trong tấm

Trong trường hợp tấm đàn hồi đẳng hướng, thành phần ứng suất: Theo định luật Hooke (dạng ngược) với chú ý z  0

trong đó: E – môđun đàn hồi của vật liệu

v – hệ số Poisson’s của vật liệu

Hình 2.3 Phân bố theo bề dày h của các thành phần ứng suất

Thành phần nội lực là hợp lực của các ứng suất phân bố theo chiều dày tấm trên một đơn vị dài

hoặc:   M      Cf   k

trong đó:   k T   k k kx, y, xyT là vector độ cong của tấm chịu uốn

Đối với tấm đàn hồi đẳng hướng, ma trận các hệ số đàn hồi của tấm chịu uốn:

3 2

12(1 )

Eh D

x

x

x xy

y

xy xy yx

y y

Hình 2.4 Biểu diễn các thành phần nội lực của tấm khi chịu lực ngang

2.1.2.3 Tấm vừa chịu lực ngang vừa chịu lực tác dụng trong mặt trung bình

Tấm có thể làm việc vừa chịu uốn vừa chịu kéo (nén) bởi các tải trọng ngang pz

(vuông góc với mặt phẳng tấm) và các tải trọng Nx, Ny và Nxy trong mặt trung bình của tấm

- Phương trình vi phân cân bằng do tải trọng ngang pz

zQ Q

Hình 2.5 Khảo sát cân bằng phân tố trong tấm

Hình 2.6 Trạng thái cân bằng phân tố trong tấm

 Mxy

 x dx +

Mxy

 Mx

 x dx +

Mx

 Myx

 y dy +

Qx

Qx

 Qy

 y dy +

 Nxy

 x dx +

Nxy

 Nx

 x dx +

Nx

 Ny

 y dy +

Ny

 Nyx

 y dy +

Nx

 Nx

 x dx +