Định lý 1: Tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục tại một điểm là những hàm số liên tục tại điểm đó (trong trường hợp thương, giá trị của mẫu tại điểm đó phải khác 0 ). b) Hà[r]
Trang 1LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP VỀ HÀM SỐ LIÊN TỤC TOÁN 11
1 Kiến thức cần nhớ
Định nghĩa 1: Cho hàm số y f x xác định trên khoảng a b Hàm số ; y f x được gọi là liên tục tại x nếu 0
0
0
lim
Hàm số y f x không liên tục tại x được gọi là gián đoạn tại điểm đó 0
Khi xét tính liên tục của hàm số tại một điểm, đặc biệt chú ý đến điều kiện hàm số xác định trên một
khoảng (dù nhỏ) chứa điểm đó
Định nghĩa 2: Hàm số y f x được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của
khoảng đó
Hàm số y f x được gọi là liên tục trên một đoạn a b nếu nó liên tục trên khoảng ; a b và ;
f x f a f x f b
Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một đường liền trên khoảng đó
Định lý 1: Tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục tại một điểm là những hàm số liên tục tại
điểm đó (trong trường hợp thương, giá trị của mẫu tại điểm đó phải khác 0)
Định lý 2:
a) Hàm đa thức liên tục trên R
b) Hàm phân thức hữu tỉ, hàm lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định
c) Các hàm số sơ cấp liên tục trên từng khoảng xác định của chúng
Định lý 3: Nếu hàm số y f x lên tục trên đoạn a b và ; f a f b 0 thì tồn tại ít nhất một điểm
;
c a b sao cho f c 0
Nếu y f x liên tục trên đoạn a b và ; f a f b 0 thì phương trình f x 0 có ít nhất một
nghiệm nằm trong khoảng a b ;
2 Một số dạng toán thường gặp
Dạng 1: Xét tính liên tục của hàm số
Phương pháp:
- Bước 1: Tính f x và 0
0
lim
- Bước 2: So sánh và kết luận
+) Nếu
0
0
lim
thì hàm số liên tục tại x 0
+) Nếu
0
lim
không tồn tại hoặc
0
0
lim
thì kết luận hàm số không liên tục tại x 0
Trang 2Dạng 2: Chứng minh phương trình có nghiệm
Phương pháp:
- Bước 1: Chứng minh hàm số y f x liên tục trên đoạn a b ;
- Bước 2: Chứng minh f a f b 0
- Bước 3: Kết luận phương trình f x 0 có ít nhất một nghiệm trên đoạn a b ;
Đối với bài toán chứng minh phương trình f x 0 có nghiệm mà không cho khoảng nào thì ta cần tìm hai số a, b sao cho f a f b 0
3 Bài tập
Câu 1 Cho hàm số
1
0 , 1
0 2
ax
e khix x
f x
khix
với a0 Tìm giá trị của a để hàm số f x liên tục tại
x
A a1 B 1
2
2
a
Hướng dẫn giải
Chọn B
Câu 2 Tìm a để các hàm số 2
4 1 1
khi 0
3 khi 0
x
x
x
liên tục tại x0
A 1
1
1 6
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có :
4 1 1 lim ( ) lim
2 1
x
f x
x ax a
0
lim
2 1
Hàm số liên tục tại 0 2 3 1
a
Trang 3Câu 3 Cho hàm số
2
3
, 1 2
, 0 1 1
sin , 0
x
x
Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A f x liên tục trên B f x liên tục trên \ 0
C f x liên tục trên \ 1 D f x liên tục trên \ 0;1
Hướng dẫn giải
Chọn A TXĐ: D Với x1 ta có hàm số 2
f x x liên tục trên khoảng 1;. 1
Với 0 x 1 ta có hàm số 2 3
1
x
f x
x
liên tục trên khoảng 0;1 2 Với x0 ta có f x xsinx liên tục trên khoảng ; 0 3
Với x1 ta có f 1 1; 2
; 3
2
1
x
f x
x
Suy ra
1
Vậy hàm số liên tục tại x1
Với.x0 ta có f 0 0; 3
2
1
x
f x
x
lim lim sin
2
sin lim lim 0
x x
x
0
Vậy hàm số liên tục tại x0 4
Từ 1 , 2 , 3 và 4 suy ra hàm số liên tục trên
Câu 4 Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số
khi 0 1
khi 0 1
x x
f x
x
x
liên tục tại x0
A m1 B m 2 C m 1 D m0
Hướng dẫn giải
Chọn B
Trang 4Câu 5 Tìm m để các hàm số
3
2 2 1
khi 1
3 2 khi 1
x
liên tục trên
3
Hướng dẫn giải
Chọn B
Với x1 ta có
3
2 2 1 ( )
1
f x
x nên hàm số liên tục trên khoảng \ 1
Do đó hàm số liên tục trên khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x1
Ta có: (1)f 3m2
3
2 2 1 lim ( ) lim
1
f x
x
3
2 lim 1
x
x x
2
2
2 ( 2)
x
x x
Nên hàm số liên tục tại 1 3 2 2 4
3
Vậy 4
3
m là những giá trị cần tìm
Câu 6 Tìm m để các hàm số
2
2 4 3 khi 2
khi 2
x
liên tục trên
6
Hướng dẫn giải
Chọn C
Với x2 ta có hàm số liên tục
Để hàm số liên tục trên thì hàm số phải liên tục trên khoảng ; 2 và liên tục tại x2
Trang 5TH 1:
2
m
TH 2:
2 2
2 1
2 ' 2
' ( 2)
m
x m
m
3 17
3 17
6 2
2 6
m
m m
Nên 3 17 6
2
m (*) thì g x( )0, x 2
2
lim ( ) lim
x
f x
Hàm số liên tục tại 2 3 3 5
6
m (thỏa (*))
Câu 7 Cho hàm số liên tục tại Tính
Hướng dẫn giải
Chọn C
Câu 8 Chon hàm số Tìm tất cả các giá trị của tham số thực để hàm số
liên tục tại
Hướng dẫn giải
Chọn A
Hàm số đã cho xác định trên
2
2
2
2 4
neáu x x
2
x I a b?
9 30
16
32
16
I
2
3 khi 3
3 khi 3
x
x
m
3
x
Trang 6Ta có Tương tự ta có (có thể dùng MTCT để tính giới hạn của hàm số) Vậy nên không tồn tại Vậy với mọi , hàm số đã cho không liên tục tại
Do đó đáp án đúng là A
Ta có thể tam khảo thêm đồ thị của hàm số khi để hiểu rõ hơn
Câu 9 Cho hàm số
2
2
( 2) 2
khi 1
8 khi 1
x
Có tất cả bao nhiêu giá trị của a để hàm số
liên tục tại x1?
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có
2
( 2) 2
x ax a
Hàm số liên tục tại 2
1
0
8
x
a
a
Câu 10 Cho hàm số
3
12 9
2 12
9
1 2
x
f x ax b
x x
Biết rằng a, b là giá trị thực để hàm số liên tục tại
x Tính giá trị của P a b
A 1
2
2
P
Hướng dẫn giải
f x
3
x
f x
3
lim
3
x
3
x
Trang 7Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên
danh tiếng
xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và
Sinh Học
trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn
THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG
dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc
Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
III Kênh học tập miễn phí
các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất
- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi
miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online cùng Chuyên Gia
HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí