Tổng hợp lý thuyết và bài tập về Phương trình lượng giác Toán 11 có đáp án

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chƣơng trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm [r]

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ ĐÁP ÁN

A LÝ THUYẾT

I CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

1) Công thức cơ bản:

sin xcos x1

sin tan

cos

x x

x



cos cot

sin

x x

x

 tan cotx x1

2

2

1

cos

x

x

2

2

1

sin

x

x

  sin(xk2 ) s inx cos(xk2 ) cos x tan(xk)t anx;cot(x+k )=cotx

2) Hai góc liên quan đặc biệt

Bù nhau:

x

  và x

Hơn nhau  :

x và x

Đối nhau:

x

 và x

Phụ nhau:

 

và x

Hơn nhau

2

 :

2

x 

 và x

x

















 

  

  

  

cos( ) sin 2

sin( ) cos 2

tan( ) cot 2

cot( ) tan 2









 

 

 

 

sin( ) cos

2

2

2

2









 

  

  

  

3) Công thức cộng

cos cosx ysin sinx xcos(xy)

cos cosx ysin sinx ycos(xy)

sin cosx ycos sinx ysin(xy)

sin cosx ycos sinx ysin(xy)

tan tan tan( )

1 tan tan

x y



 



tan tan tan( )

1 tan tan

x y



 



Hệ quả: tan 1 tan ; tan 1 tan

Công thức nhân đôi

cos 2xcos xsin x2cos x  1 1 2sin x

sin 2x2sin cosx x

Công thức nhân ba

3 cos3x4cos x3cosx

3 sin 3x3sinx4sin x

Công thức hạ bậc

cos

2

x

x 

sin

2

x



tan

1 cos 2

x x

x







Đẳng thức

2

4

4) Công thức biến đổi tích thành tổng:

1

2 1

2

1

2 1

2

5) Công thức biến đổi tổng thành tích:

x y x y

sinx sin 2sin cos

y

x y x y

Hệ quả:

 

 

II CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

1 Phương trình lượng giác cơ bản

m

x

sin (1) ( Bấm SHIFTsin m  )

m|>1 (1) vô nghiệm vì |sinx|1 với xR

m|1, (1) có nghiệm nếu có  đẹp sao cho m = sin

2

x

   



          

Nếu  lẻ thì ta dùng hàm ngược arcsin(m)

arcsin 2 sin

arcsin 2



       

3 trường hợp đặc biệt (cho 1 họ nghiệm)

 sinx0xk , k Z;

2 1

2 1

Với uu x v , v x 

2 sin sin

2

u v k



 



     



sinu sinvsinusin(v)

2

2

m

x

cos (2) ( Bấm SHIFTcos m  )

|m|>1 (1) vô nghiệm vì |cosx|1 với xR

|m|1, nếu có đẹp sao cho mcos, thì

 2 cos cos 2

2

x

   



        

Nếu  lẻ thì dùng hàm ngược arccos(m)

2 cos cos

2

u v k





 



     



cosu cosvcosucos(v)



 

   

cos





Trường hợp đặc biệt (cho 1 họ nghiệm)

 x x k

2 0

 cosx1xk2, k Z

tanx = m (3) ( Bấm SHIFTtan m  )

Với mọi m thì phương trình (3) luôn có nghiệm

Nếu  đẹp sao cho mtan thì

 3 tanxtan     x k , k Z

Nếu  lẻ thì  3  x arctan m  k

tanutanv  u v k

 

tanu tanvtanutan v

2

u v u v

cotx = m (4) ( Bấm SHIFTtan 1: m )

Với mọi m thì phương trình (4) luôn có nghiệm:

Nếu  đẹp sao cho mcot thì

 4 cotxcot     x k , k Z

Nếu  lẻ thì cotx  m x arccot m  k (k )

Đặc biệt: cot 0

2

cotucotv  u v k

 

cotu cotvcotucot v

Lưu ý:

- Trong công thức nghiệm đối với sin và côsin thường được 2 họ nghiệm cộng với 2k  hoặc k.3600; còn

trong công thức nghiệm đối với tang và côtang thường ta được 1 họ nghiệm cộng với k hoặc k.1800

- Đối với phương trình k phải cơ bản chứa tang, côtang hoặc h/s lượng giác ở mẫu cần đặt điều kiện

2 Phương trình bậc nhất đối với 1 HSLG:

Dạng: au b 0 u b

a

     với u là 1 hàm số lượng giác Giải tiếp tìm x

3 Phương trình bậc hai đối với 1 HSLG

Dạng: 2

0

au bu c  trong đó u là 1 HSLG

Cách giải: - Tìm u

- Giải tiếp tìm x



2 1

cosx xk

4 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

Dạng: acosxbsinxc(1) hoặc asinxbcosxc(2)

Điều kiện có nghiệm: phương trình (1) hoặc (2) có nghiệm a2b2 c2

Cách giải:

Ta chia các số hạng của 2 vế cho 2 2

a b để đưa phương trình đã cho về phương trình cơ bản

 

sin X  =m hoặc cos X m với 2

2 2

c m





* Một số phương trình có cùng cách giải

1/ asinx b cosx  a2b2.siny(3) hoặc asinx b cosx  a2b2.cosy (4)

2/ asinx b cosxasiny b cosy (5)

Phương pháp giải: Chia các số hạng của 2 vế cho 2 2

a b đưa phương trình về dạng sinusinv hoặc cosucosv

Công thức cộng cần nhớ:

5 Phương trình đẳng cấp theo sinx và cosx

sin sin cos cos

Cách giải:

+) Xét phương trình khi cosx0 2

  thay vào phương trình

 Nếu đúng thì pt có nghiệm

2

x  k

 Nếu sai thì pt vô nghiệm

+) Xét cosx0, chia cả hai vế của phương trình cho 2 x

cos

pta x b x c d  x Giải tiếp tìm x

+) Kết luận

6.Phương trình đối xứng:

Dạng 1 asinxcosxb.sin cosx x c 0  1

Đặt sinxcosxu u,  2 sin cos 2 1

2

u

2

u

Dạng 2 asinxcosxb.sin cosx x c 0  2

Đặt sinxcosxu u,  2 sin cos 1 2

2

u

2

u

Dạng 3 asinxcosxb.sin 2x c 0  3

Đặt sinxcosxu u,  2 2

1 a u b u    1 c 0

Dạng 4 asinxcosxb.sin 2x c 0  4 Đặt sinxcosxu u,  2 2

4 a u b  1u  c 0

B BÀI TẬP

Câu 1 Phương trình tan2

x – 2m.tanx + 1 = 0 có nghiệm khi và chỉ khi:









 1

1

m

m

Câu 2 Phương trình asinx + bcosx = c có nghiệm khi và chỉ khi:

A a2 + b2 > c2 B a2 + b2 < c2 C a2 + b2  c2 D a2 + b2  c2

Câu 3 Nếu đặt t = sinx + 3cosx thì điều kiện của t là:

Câu 4. Phương trình sin2x – (1 + 3) sinx cosx + 3cos2x = 0 có nghiệm là:

A.





























k x

k x

3

2 4

B





























2 3

4

k x

k x

C





























k x

k x

3

4

D





























2 3

2 4

k x

k x

Câu 5 Cho ABC, biết cos(B – C) = 1 Hỏi ABC có đặc điểm gì ?

A ABC vuông B ABC cân C ABC đều D ABC nhọn

Câu 6 Hàm số y =

x m

x

cos 2

cos

 xác định với mọi x R khi nào ?

Câu 7 Hàm số y = 1 + sin2x có chu kì là:

A T =

2



Câu 8 Chu kì của hàm số y = cosx cos5x + sin2x sin4x là:

2



D T = 4

Câu 9 Chu kì của hàm số y = cos4 x + sin4x là:

4



D T =

2



Câu 10 Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn trên R?

A y = x.cos2x B y = (x2 + 1).sinx C y = 2

1

cos

x

x

1

tan

x

x y





Câu 11 Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ trên tập xác định của nó?

A

x

x y

sin 1

sin



x

x y

cos 1

sin2



x x

x

x

sin 1

tan





Câu 12 Biết rằng y = f(x) là một hàm số lẻ trên tập xác định D Khẳng định nào sai?

C sin[ f(– x)] = sin[ f(x) ] D cos[ f(– x)] = cos[ f(x) ]

Câu 13 Hàm số nào sau đây có đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng?

A y = (x2 + 1)sinx B y = (x3 + x).tanx C y = x.cot2x D y = (2x + 1)cosx

Câu 14. Phương trình: 3(sinx + cosx) – sin2x – 1 = 0 có nghiệm là:

A x k

3 2

Câu 15. Xác định m để phương trình m cos2x – m.sin2x – sin2x + 2 = 0 có nghiệm

A 









 2

1

m

m

B 









 0

2

m

m

2

3 2

1  

Câu 16 Tìm nghiệm x  0 0

180

; 0

 của phương trình sin2x + sin4x = sin6x

A 300, 600 B 400, 600 C 450, 750, 1350 D 600, 900 , 1200

Câu 17 Phương trình cos2

x + cos22x + cos23x + cos24x = 2 tương đương với phương trình:

C sinx sin2x sin4x = 0 D sinx sin2x sin5x = 0

Câu 18 Với giá trị nào của m thì phương trình cos2x – (2m + 1)cosx + m + 1 = 0 có nghiệm















2

3

;

2





2

1



2

1

1 

Câu 19 Xác định m để hàm số y = (2m – 1)cosx + (2m + 1)sinx là hàm số lẻ trên R?

A

2

1





2

1





2

1



2

1



m

Câu 20. Cho phương trình

2

3 5 2









Biết x =

60

11

là một nghiệm của phương trình Tính

m

A













2 1 1

m

m

B













 0 2 3

m

m

C



















3 2 4 1

m

m

D



















3 1 2 1

m m

7 2









m m

x 

vô nghiệm khi :







 2

1

m

m

D 









 0

2

m m

Câu 22. Hàm số y =

x

x 1 cot 2

1 tan

1

1

2

2  

2



D T = 

Câu 23 GTNN và GTLN của hàm số y = 5cos2x – 12sin2x + 4 bằng:

Câu 24 Tìm m để điểm A 









8

1

; 3

nằm trên đồ thị hàm số y = cos4x + sin4x:

Câu 25. Cho phương trình cos3x = 2m2 – 3m + 1 (1) Xác định m để phương trình (1) có nghiệm













6

;









2

3 1

; 0













2

3 1

;

m























2

3

; 1 2

1

; 0











2

3 1

; 0

m

Câu 26. Xác định m để phương trình (2m – 1).tan

2

x

+ m = 0 có nghiệm 











2

A

2

1 3

1















 1 2 1

m

m

C 









 1

0

m

m

D

4

1

Câu 27. Xác định m để phương trình (3cosx – 2)(2cosx + 3m – 1) = 0 (1) có đúng 3 nghiệm phân biệt















2

3

;

3

1













 1 3 1

m

m

3

1



m

Câu 28 Số nghiệm của phương trình 6cos2x + sinx – 5 = 0 trên khoảng 









 ;2

Câu 29. Tìm m để phương trình cos2x – (2m – 1)cosx – 2m = 0 có nghiệm 













2

; 2





2

2

1 2



















2 1 2 1

m

m

3

1m

Câu 30 Xác định m để phương trình m.cos2

x – m.sin2x – sin2x + 2 = 0 có nghiệm









 0

2

m

m

C 









 2

1

m

m

D

2

3 2

1





Câu 31. Tìm 











 2

;

x thoả mãn phương trình cos5x sin4x = cos3x sin2x

A

14

5

; 14

3

; 14







B

12

7

; 12

5

; 12







C

8

; 6





D

10

; 4





Câu 32. Phương trình sin2x + sin22x = sin23x + sin24x tương đương với phương trình nào sau đây?

A cosx.cos2x.cos3x0 B. cosx.cos2x.sin3x0

C cosx.sin2x.sin5x0 D. sinx.cos2x.sin5x0

Câu 33 Phương trình cos2

x + cos22x + cos23x + cos24x = 2 tương đương với phương trình nào sau đây?

A cosx.cos2x.cos4x0 B. cosx.cos2x.cos5x0

C sinx.sin2x.sin4x0 D. sinx.sin2x.sin5x0

Câu 34 Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình

x

x x

x

3 2

2

cos

1 cos cos

tan 2



Câu 35 Tìm m để phương trình (m + 3)(1 + sinx.cosx) = (m + 2).cos2

x có nghiệm









 1

3

m m

Câu 36 Xác đinh a để hai phương trình sau tương đương:

2cosx.cos2x = 1 + cos2x + cos3x (1)

4cos3x + acosx + (4 – a)(1 + cos2x) = 4cos2x + 3cosx (2)

A

















1 4 3

a

a

a

B





















5 1 4 3

a a a a

C





















5 1 4 3

a a a a

D

















5 4 1

a a a

Câu 37 Kết quả nào sau đây sai?









 





4 sin 2 cos

x x









 







4 cos 2 cos

x x

x









 





4 2 cos 2 2 cos 2

x x









 





4 2 sin 2 2 cos 2

x x

x

Câu 38 Nếu đặt t = 3sin5x + 4cos5x + 6 với x thuộc R thì điều kiện của t là:

Câu 39 Số nghiệm của phương trình cosx.(4cos2x – 3) – 4cos2x + 3cosx – 4 = 0 trên 0;14 là:

Câu 40 Tìm m để phương trình sin2x = 7m + 3 có nghiệm  12

7

;

A

7

2 2

1







7

2 7

4







7

2 7

3







3

2 2

1







Câu 41 Cho biết sinx + cosx =

6

7 Khi đó sin4

x + cos4x bằng:

A

1324

1223

13

12

D

2592 2423

Câu 42 Cho f(x) = a(sin6x + cos6x) + b(sin4x + cos4x) Tìm hệ thức giữa a và b để f(x) độc lập đối với x

Câu 43. Tìm GTLN và GTNN của hàm số y 2sinxcosx2cosxsinx

A

2

5

và 2

5

2

7

và 2

7

2

1

và 2

1

Câu 44 Hàm số y = sin(ax + b), a,bZ tuần hoàn với chu kì là:

a

 2

D T = 2a

Câu 45 Hàm số y = cos(ax + b), a,bZ tuần hoàn với chu kì là:

A T =

a

 2

Câu 46 Hàm số y = tan(ax + b), a,bZ tuần hoàn với chu kì là:

A T =

a

 2

B T =

a



Câu 47 Hàm số y = cot(ax + b), a,bZ tuần hoàn với chu kì là:

A T =

a

 2

B T =

a



Câu 48 GTLN và GTNN của hàm số y = 









 



3 2

x trên đoạn  

3

; 3

2 

là:

A

2

1

và 2

1

2

1

2

1

2

3 4 3 sin 4 cos sin



















 



x x

x

A x k2 ,kZ



B. x k2 ,kZ



C x k ,kZ



D. x k ,kZ



Câu 50 Nghiệm của phương trình cos7x.cos5x – 3sin2x = 1 – sin7x.sin5x là:

k x

k x





















 2

k x

k x























 4

k x

k x























 2

2

k x

k x























 3

ĐÁP ÁN

1.B 2.C 3.C 4.C 5.B 6.C 7.D 8.B 9.D 10.C

11 C 12.D 13.C 14 B 15.A 16.D 17 B 18 B 19.A 20.D

21 C 22.D 23.A 24.C 25.C 26.A 27.A 28.A 29.B 30.C 31.A 32.C 33.B 34.D 35.D 36.B 37.D 38.D 39.B 40.A 41.D 42.A 43.A 44.C 45.A 46.B 47.B 48.D 49.C 50.D

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên

danh tiếng

I Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và

Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán : Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn

Đức Tấn

II Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh

Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc

Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí