Lý thuyết và bài tập về Phương trình đường tròn Toán 10

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chƣơng trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễ[r]

LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

TOÁN 10

1 Lý thuyết

+ Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) tâm I a; b ; bán kính R  

   

M x; y C IM R

  2 2   2 2 2  

Phương trình (1) được gọi là phương trình (dạng chính tắc) của đường tròn C I; R  

+ Từ   2 2 2 2 2  

1 x y 2ax2by a b R 0 *

a b R  c *  x y 2ax2by c 0 2

 Phương trình (2) với a2b2 c 0 là phương trình (dạng tổng quát) đường tròn tâm I a; b ; bán  

kính R a2b2c

Ví dụ 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào không phải là phương trình đường tròn?

A   2 2

x y 4x 6y 1 0  

C x22y24x 6y 1 0   D 2x2 2y24x 6y 1 0  

Lời giải

- Phương án A: Dạng phương trình (1), là đường tròn (C) tâm I 2;1 ; bán kính R = 1  

- Phương án B: Dạng phương trình (2), có a2b2 c 22   32 1 0 là đường tròn

- Phương án C: Không đưa được về dạng phương trình (1) và (2) nên không phải là phương trình đường

tròn

- Phương án D: PT x2 y2 2x 3y 1 0

2

      là đường tròn tâm I 1;3

2

 

 

  , bán kính

2

 

    

 

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho phương trình đường tròn (C) đi qua 3 điểm

A 5;0 ; B 1;0 ; C 3; 4 là:

A   2 2

x2  y 1 10

C x2y24x2y 5 0 D x2y24x 2y 5  0

Lời giải Cách 1: Gọi tâm của đường tròn là I a; b  

5 a b 1 a b

 

I 2;1

  ; bán kính RIA 10

 đường tròn (C) có phương trình:

x2  y 1 10x y 4x 2y 5  0

Cách 2:

Gọi phương trình   2 2  2 2 

C : x y 2ax2by c 0 a b  c 0

Đường tròn (C) qua A, B, C

2 2

2 2

2 2

5 0 2a 5 2b.0 c 0

1 0 2.a.1 2.b.0 c 0

3 4 2a 3 2b.4 c 0





  2 2

2a c 1 b 1 C : x y 4x 2y 5 0a

6a 8b c 25 c 5

Đáp án D Lưu ý:

+ Bạn có thể tìm tâm (C) bằng cách tìm giao điểm của 2 đường trung trực của tam giác ABC

+ Đối với các phương án trong ví dụ này bạn có thể thử A, B, C vào các phương trình để tìm được

phương trình đúng

2 Bài tập

Lời giải

 Cm là phương trình đường tròn 2   2

m 2 m 2 6 m 0

      

2

m

10

m

10

 







    

 







Yêu cầu bài toán 17 89 m 17 89

    có 2 giá trị nguyên thỏa mãn

Đáp án C

Lời giải

m

m 2 m 1     1 0 m C là đường tròn với m

Gọi tâm của  Cm là I x; y  x m 1    

y 2 m 1 2

 



 

Từ  1   m x thế vào  2        y 2 x 1 y 2x 2 3 

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho

m

C : x y 2mx 4 m 2 y 6 m    0

Số giá trị nguyên để  Cm không phải là phương trình đường tròn là

A 0 B 1 C 2 D Vô số

Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn

m

C : x y 2mx 4 m 1 y 1 0   

Khi đó tập hợp tâm của  Cm khi m thay đổi là

A một đường thẳng B một đường tròn

C một parabol D một điểm cố định

 

I x; y thỏa mãn phương trình (3) với  m tập hợp I là đường thẳng (3)

Lưu ý: Phương pháp tìm tập hợp tâm của đường tròn  Cm

- Bước 1: Tìm điều kiện của m để  Cm là đường tròn  điều kiện (*)

- Bước 2: Gọi tâm là I x; y  x f m 1     

y h m 2





 



Rút m từ 1 phương trình thế vào phương trình còn lại f x; y 0

- Bước 3: Đối chiếu điều kiện (*)

Kết luận: Tập hợp là đường  

 

f x; y 0

t / m *









Lời giải

Giả sử điểm cố định mà  Cm luôn đi qua là A a; b  

 phương trình 2 2  

a b 2am 4b m 1   1 0 đúng với m

2a 4b m a b 4b 1 0

a 2

b 1

a

a b 4b 1 0 5b 4b 1 0 5

1 b 5

 







          



 





Vậy có hai điểm cố định mà đường tròn  Cm luôn đi qua khi m thay đổi

Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy, số điểm cố định mà đường tròn

m

C : x y 2mx 4 m 1 y 1 0    luôn đi qua khi m thay đổi là

Lời giải

Gọi tâm đường tròn (C) là tâm I a; b  

(C) qua A, B IAIB

  2  2  2 2  

1 a 1 b 3 a 3 b a b 4 1

(C) tiếp xúc với  d I;    2   2

2 2

a 5

1 a 1 b 2

1 0



Từ  1   b 4 a thế vào    2   2

2   a 5 1 a   1 4 a 

a 2a 15 0

a 3

 



- Với a   3 b 1  C có tâm I 3;1 và bán kính  

  2 2     2 2

RIA 1 3  1 1  2 C : x 3  y 1 4

- Với a    5 b 9  C có tâm I5;9 và bán kính

  2 2     2 2

R 1 5  1 9 10 C : x 5  y 9 100

Đáp án D

Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy, đường tròn (C) đi qua A 1;1 ; B 3;3 và tiếp xúc với đường thẳng    

   có phương trình là:

A   2 2

x 3  y 1 4 và   2 2

x 5  y 9 10

B   2 2

x 3  y 1 2 và   2 2

x 5  y 9 100

C   2 2

x 3  y 1 100

D   2 2

x 5  y 9 100

Bài 5: Trong mặt phẳng Oxy, tọa độ tâm I của (O) có phương trình   2 2

x 1  y 2 3 là:

A I 1; 2   B I1; 2 C I 1; 2 D I 1; 2  

Lời giải Đáp án A

Tâm I(1;-2)

Bài 6: Trong mặt phẳng Oxy, phương trình đường tròn tâm I 2; 3   qua A 4;6 là:  

A   2 2

B   2 2

x2  y 3 85

C x 2  y 3  85

D   2 2

Lời giải Đáp án D

Đường tròn (C) có tâm I 2; 3   và bán kính

  2 2

IA 4 2  6 3  85

    2 2

    

Bài 7: Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình đường tròn ngoại tiếp 3 điểm A 7;1 ; B 0;0 ;    C1; 7

A   2 2

B   2 2

x 3  y 4 25

C   2 2

D   2 2

Lời giải Đáp án B

Phương trình đường tròn có dạng:

2 2

x y 2ax 2by c  0

Giải hệ phương trình 3 ẩn:

2 2

2 2

7 1 14a 2b c 0 a 3

0 0 0 0 c 0 b 4

c 0

1 7 2a 14b c 0



2 2

R 3 4  0 5

Vậy phương trình đường tròn   2 2

x 3  y 4 25

Bài 8: Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình (C) bán kính R4 tiếp xúc trục hoành và tâm

 

I d : 3x  y 8 0

A

2

2

2

2

4

3 4

3

 





B    

    



    



2

2

4

3

x 4 y 4 16

 





2

2

4

3

x 4 y 4 16

 





Đáp án D

I t;8 3t

(C) tiếp xúc Ox d I;Ox  4

 

t I ; 4

8 3t 4

t 4 I 4; 4





Vậy   2  2

1

4

C : x y 4 16

3

    2 2

2

C : x4  y 4 16

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm,

giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên

danh tiếng

I Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và

Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán : Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn

Đức Tấn

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh

Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc

Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí