14 1 2017 tổng hợp bài tập nguyên hàm, tích phân và ứng dụng nhóm toán

Công thức nguyên hàm cơ bản Nguyên hàm của hàm số cơ bản Nguyên hàm mở rộng Fx là một nguyên hàm của hàm số fx trên đoạn [a;b] thì Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều

Hoàng Văn Quý – GV trường THPT Lương Tài số 2

1 Kiến thức liên quan 1.1 Công thức nguyên hàm cơ bản

Nguyên hàm của hàm số cơ bản Nguyên hàm mở rộng

F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a;b] thì

Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

( ) ( ) ( )

) (

ham nguyen

lay v

ham dao

lay dx

du dv

a b

Thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường

y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b quay xung quanh trục Ox là:

* Chú ý: Ta thường đặt t là căn, mũ, mẫu

- Nếu hàm có chứa dấu ngoặc kèm theo luỹ thừa thì đặt t là phần bên trong dấu ngoặc nào có luỹ thừa cao nhất

- Nếu hàm chứa mẫu số thì đặt t là mẫu số

- Nếu hàm số chứa căn thức thì đặt t = căn thức

- Nếu tích phân chứa dx

x thì đặt t  lnx

- Nếu tích phân chứa e thì đặt x te x

- Nếu tích phân chứa dx

x thì đặt t x

Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

- Nếu tích phân chứa cos xdx thì đặt t  sinx

- Nếu tích phân chứa sin xdx thì đặt t cosx

- Nếu tích phân chứa 2

1 1

2 2

1 1 2

1 ln

ln 1

0 0

S   x  x dx

Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

(e x x dx)

1 3 0

(x x x dx)

7.

2 1

( x 1)(x x  1)dx

2 3

1 (3sinx 2cosx )dx

(e x x  1)dx



10

3 3 1

2 2

2

dx x

1 4





7

2 sin 4

16

1 0

5

x x  dx

8 2 3

1 1

x

e dx

3 3 0

sin

x cos

x d x

1 x dx

1

2 0

1 4

dx x



1 2 0

(2x 7) ln(x 1)dx

1

2 0

(x 2)e dx x



Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

 B

1 ln

x C x

 D

2 ln

x C x

b a a

f x dxF x F b F a

b

b a a

f x dxF x F b F a

b

b a a

+) Phương án A,C Áp dụng sai công thức tích phân của một tổng

Câu 5: Giá trị tích phân

 

5

2016 1

+) Phương án B: Sai tại công đoạn thay cận đổi dấu

+) Phương án C: Đưa dx thành d(2x -1), không chia 2

+) Phương án D Đưa dx thành d(2x -1), không chia 2 và thay cận sai

+) Phương án B: Biến đổi sai công thức tích thành tổng.

+) Phương án C: đổi sai công thức tích thành tổng và sai bước đổi dấu thay cận

+)Phương án A: Không xác đinh được a,b

Câu 8: Biến đổi

C 0

D

2018

2 2

Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

xo x

là

A.S  0 (đvdt) B S  (đvdt) C.S  1 (đvdt) D.S  2 (đvdt) Câu thông hiểu

Câu 4 Diện tích hình phẳng giới hạn bỏi 2 đường thẳng x=1, y  3 x trục ox là

D Các kết quả trên đều sai

Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

( 1) 4

(1 ) 4

ln x

dx x

ln x

dx x

D Thiếu dấu giá trị tuyệt đối

Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

f x dx  x C

cos 2 2

Giải thích phương án nhiễu:

A Nhầm lẫn do hiểu là nguyên hàm của một tích bằng tích các nguyên hàm

B Nhầm lẫn với đạo hàm

C Nhầm dấu trong tich phân từng phần

Câu 4 (Mức độ 2) Tìm nguyên hàm của hàm số f x  xcosx

sin 2

f x dx x x C

C  f x dx   cosxxsinx C D  f x dx  xsinx cosx C

Câu 5 (Mức độ 2) Nguyên hàm của hàm số ( ) 21 2

KIỂM TRA 45 PHÚT - CHƯƠNG III

Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

- HS: Ôn tập, chuẩn bị kiểm tra

III Nội dung kiểm tra:

1 Kiến thức: Kiểm tra việc nắm bắt kiến thức của Hs về phần nguyên hàm, tích phân và ứng dụng của tích phân

2 Kĩ năng:

Rèn kỹ năng tính nguyên hàm, tích phân và giải các bài toán ứng dụng tích phân

Rèn tư duy lôgic và tính tự giác cho học sinh

3 Mức độ: Nhận biết ( 4,8 điểm ) + Thông hiểu ( 4.0 điểm) + Vận dụng ( 0,8 điểm)

VI Ma trận đề kiểm tra:

Mức độ Nội dung

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng

mức độ thấp mức độ cao Vận dụng Tổng

1,2

2

0,8

5 2.0

13 5,2

Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng

A cot2x C  B cos2x C  C sin2x C  D tan2x C 

Câu 5:Tìm nguyên hàm F x  của hàm số f(x)= 2

x dx x

Câu 12 Tính

1 ln

K  x e dx

A

2 4

e

2 1 4

e

2 1 4

1

2 ln 2

e

x dx x

Xét dấu x2  1 trên đoạn   2;2 

x x v

K  x e dx

A

2 4

e

2 1 4

e

2 1 4

e v

xdx du

dx e dv

x u

2 2

2

2 1 2

L e dx xe e

x

0 2 1

0 2 2

2

1 )

2

1 (

Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

e v dx e dv

x u

2 2

2 1

2 2

2

1 0 2 1

0 2

4

1 4

1 ) 4

1 4

1 ( 2 1

2 2

1 )

2

1 (

e e

e

dx e e

Câu 20: Số đo diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 𝑥+1𝑥 ; y = 0; x = 0 ; x = 1 bằng:

A 2ln2 B 1- ln2 C 2 + ln2 D 2 S= ∫ |01 𝑥+1𝑥 | 𝑑𝑥 = ∫ |1 −01 𝑥+11 | 𝑑𝑥 = |∫ (1 −01 𝑥+11 ) 𝑑𝑥 | = |[𝑥 − ln (𝑥 + 1)]1

2 dx x x

1

0

2 3

2 dx x x

) 2 (x x x dx =

0

2

2 3 4

) 3

1 4

1 (

2 3

) 2 (x x x dx =

1

0

2 3 4

) 3

1 4

1 ( x  x x =

12

5



S =

12

5 3

8   =

12

37

ĐA: A

Câu 22 Số đo diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = ex ; y = e-x ; x = 1 bằng:

A 1 + 2

𝑒 B 2e C e + 1 D e + 1

𝑒 - 2 Câu 22: Phương trình HĐGĐ : ex = e-x ⇔ x = 0

) 3

4 2

) 4 sin 2

1 2 sin 3

Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

HS quên tính chất 1 của nguyên hàm → Chọn câu D

Câu 2 (Nhận biết) Cho F x G x    , lần lượt là một nguyên hàm của f x    ,g x trên tập K và k h,  Kết

luận nào sau đây là sai?

A  f x    g x dx F x  G x  C B  kf x  hg x dx   kF x  hG x  C

C f x g x dx    F x G x    C D F'  x  f x  ,  x K

HS quên tính chất 2 của nguyên hàm → Chọn câu A

HS không biết kết hợp tính chất 2 và 3 → Chọn câu B

HS nghĩ nguyên hàm phải cộng thêm số C → Chọn câu D

Câu 3 (Thông hiểu) Biết   2

f y dyx xy C

Công thức nguyên hàm theo ẩn y, x xem là 1 hằng số giống số C

HS nhằm qua ẩn x → Chọn câu B

HS nhằm qua ẩn x → Chọn câu C

HS lấy nguyên hàm theo ẩn x → Chọn câu D

Câu 4 (Nhận biết) Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?

- B: HS nhầm với công thức đạo hàm

Câu 6 (Thông hiểu) Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số x

e

c e

 C) Theo công thức chọn C là nguyên hàm của hàm số yex, A, D là

biến đổi của C

Câu 7 (thông hiểu) Hàm số F x  e x cotx C là nguyên hàm của hàm số f x  nào?

Câu 10 (Thông hiểu)Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = cos3x.cosx ta có:

Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

- B: sai dấu khi tìm nguyên hàm

- D: Sử dụng công thức biến đổi sai dấu

Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

2 cos sin

Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

- A: Thế cận vào sai dẫn đến sai

- D: Tìm nguyên hàm sai dấu dẫn đến cos2a = 2 nên không tồn tại A

Câu 19 (Vận dụng) Biết rằng tích phân 1 

* Bước 1: Đặt t sinx dt cosxdx

Hỏi bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở đâu?

Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

Giải phương trình hoành độ giao điểm

ra 3 nghiệm 0, 1, 2 (loại 2)

3 2

Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

Câu 28 ( Thông hiểu)

→ Chọn câu D

Câu 30 (vận dụng cao) Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi y 2xx2, y 0 Tính thể tích của khối tròn xoay thu

C A

x

 B. 2 1 x C

2 1

e là nguyên hàm của hàm số nào?

Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

x x x

4 9

C x

1 9

C x

Câu 20: Nguyên hàm xcosxdx

A xsinx cosx C B xsinx cosx C C xsinx cosx+C D xsinxcosx

Câu 21:

Nguyên hàm của (với C hằng số) là 2 2

1

x dx x





A 1 1

x C x

 

x C

Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

Câu 24: Nguyên hàm của hàm số: y = sin3x.cosx là:

Câu 1 Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 3sinx+1 là

A.-3cosx+x +c B 3cos xx +c C -cos x +c D cos xx +c

Câu 2 Nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x

2

8 3

Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

2 2

1

2 u du D I =

3 3

Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

Câu 1 Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 3sinx+1 là

A.-3cosx+x +c B 3cos xx +c C -cos x +c D cos xx +c

Giải

+Chọn A đúng + Chọn B sai vì nhầm công thức đạo hàm cosx là sinx + Chọn C sai Vì nhầm lấy đạo hàm của 1 là 0

+ Chọn D sai Quên còn hệ số 3

Câu 2 Nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x

2

Câu 3 Nguyên hàm của hàm số f(x) = sin3x

Câu 4:Tìm nguyên hàm của hàm số: 𝑓(𝑥) = 2017 𝑥

Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

4 2

+ Chọn C sai Tính sai nguyên hàm của 52

x + Chọn D sai Chia đa thức sai

4

2 2

A ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 =𝑥22+ 3𝑥 − 6𝑙𝑛|𝑥 + 1| + 𝐶 B ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 =𝑥22− 3𝑥 + 6𝑙𝑛|𝑥 + 1| + 𝐶

C ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 =𝑥22+ 3𝑥 + 6𝑙𝑛|𝑥 + 1| + 𝐶 D ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 =𝑥22+ 3𝑥 − 6𝑙𝑛|𝑥 + 1| + 𝐶

HD: B ∫𝒙𝟐−𝟐𝒙+𝟑𝒙+𝟏 𝒅𝒙 = ∫(𝒙 − 𝟑 +𝒙+𝟏𝟔 )𝒅𝒙 =𝒙𝟐𝟐− 𝟑𝒙 + 𝟔𝒍𝒏|𝒙 + 𝟏| + 𝑪 Câu 9 Nguyên hàm xcosxdx

+Chọn D sai Tách thành tích của 2 nguyên hàm và tính sai nguyên hàm của cosx Mức 4

+ Chọn D sai Công thức nguyên hàm của

Câu D sai vì tính tích phân sai công thức (quên chia u’)

Câu B sai vì tính tích phân sai công thức

0 0

b

b

I   x dx x  b 

Câu C sai vì tính tích phân nhầm dấu +

t x

Câu 17: Biết

0

1 sin cos

Câu 19: Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau:

1

2x x  1dx

1

x  Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:

Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

0 0

Câu 22: Cho biết ( ) 5 , ( ) 2

ç öø

÷ 1

÷ 1

ç öø

÷ 1

Câu 25: Công thức diên tích hình phằng giới hạn bỡi đồ thị y f x  ,yg x  và hai đường thẳng xa x; blà

Câu 26: Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y  x3 3x 2 và đường thẳng y  x 2 là

A S= 4 B S= 40 C S= 2 D S= 8 Giải

Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

2 3

Câu 28: Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong 2 1

1

x y x

Câu 29: Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bỡi hình phẳng giới hạn bỡi đường cong y lnx, y = 0, xe quay quanh trục Ox là

Câu 30: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x 2 + 1, tiếp tuyến với đường thẳng này tại điểm M(2,5) và trục Oy là

Giải Tiếp tuyến tại M: y = 4x -3

Pt hđgđ: x2 -4x + 4 = 0 => x = 2

Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

Câu 2: Nguyên hàm của hàm số f x( )  s inx là:

A cosx C B cosx+1 C C -cosx C D tanx C

Câu 3: Nguyên hàm của hàm số ( ) 12

cos



f x

x là:

A cotx C B cosx C C -tanx C D tanx C

Câu 4: Nguyên hàm của hàm số f(x) = x3 - 32  2x

1 2

Câu 5: Nguyên hàm của hàm số f x( )  sin(2x 1)  là:

A - cos(2x 1)1

2  C B 1cos(2x 1)

2  C C 2cos(2x 1)  C D -2cos(2x 1)  C

Câu 6: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên [a;b].Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x),trục

hoành, hai đường thẳng x=a và x=b được xác định bởi công thức:

Câu 7:Cho hai hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên [a;b].Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị 2 hàm số y=f(x),

y=g(x) và đường thẳng x = a, x = b có diện tích S đươc tính bởi công thức

Câu 8: Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi ta cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường y f x( )

,trục Ox , x=a, x = b (a< b) quay quanh trục ox được tính bởi công thức

Đáp án: C

Câu A, B, D học sinh có thể hiểu sai công thức giữa nguyên hàm và đạo hàm

Câu 7: Biết F(x) là nguyên hàm của hàm số 1

Giải thiếu thế C=1nên được đáp án b/

Lấy sai đạo hàm và thiếu thế C=1 nên được đáp án d/

cos x  1 sin x nên được đáp án d/

Vừa sai đạo hàm, vừa sai công thức nên được đáp án b/

Câu 4: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

Giải thích

Đáp án A sai do hs hiểu nhầm tính chất nguyên hàm Đáp án A sai là do hs nhầm với công thức tính đạo hàm Đáp án C sai do hs không thuộc công thức lũy thừa

Câu 2 Cho a, b là hai số dương Gọi H là hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ hai, giới hạn bởi parapol

2

y ax  va đường thẳng y   bx Thể tích khối tròn xoay tạo được khi quay H xung quanh trục hoành là một

số không phụ thuộc vào giá trị của a và b thỏa mãn điều kiện sau:

Giải thích

Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

Câu D sai do học sinh tính tổng hai bài và không lấy NH và thế cận vào

Câu B sai do giải PT hoành độ giao điểm ra sai nghiệm là-a/b Câu A sai do học sinh tính tổng hai bài và không lấy NH và thế cận vào và qui đồng mẫu số sai

Câu 3 Một ô tô đang chạy với vận tốc 20m / s thì người lái đạp phanh Sau khi đạp phanh, ôtô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v t     40t 20(m / s)  , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ úc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ôtô còn di chuyển bao nhiêu mét?

Giải thích

Câu A sai là do thế vận tốc vào phương trình và tìm ra t Câu C sai là do thế t 0  vào phương trình

Câu D sai là hiểu tìm quảng đường là tính đạo hàm

Câu 4 Tính diện tích S của hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x , trục hoành, và đường thẳng

A 16

10 3

Giải thích

Câu A, B, C sai là do học lấy đôi một tính kết quả mà không có vẽ hình để phân chia bài và cận

Câu 5.Tính diện tích S của hình phẳng H nằm trong phần tư thứ nhất và được giới hạn bởi đồ thị hàm số

y 8x  , y x  , và đường thẳng y x  3 được kết quả là:

Câu 2 Hãy chọn mệnh đề đúng dưới đây:

A Nếu F x là một nguyên hàm của hàm số   f x thì  

 

Câu 5 Cho hàm số f x   2x 4x Khi đó nguyên hàm của hàm số f x là:  

2 2

ln 2 ln 2

x x



2 1

x C

cos 2 2

x x C

Câu 16 Nguyên hàm của hàm số f x  xsinx là:

Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

C xcosx sinx C D xsinx cosx C

Câu 17 Tìm một nguyên hàm F x của hàm số   f x  x e. x là:

f x   x , biết rằng khi x 1 thì nguyên hàm

đó bằng 1 Ta có kết quả nào sau đây?

C 1 44

Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

F x là hàm số nào sau đây:

A tanx cotx 1 B cotx tanx 1

C   tanx cotx  3 D tanx cotx 1

Câu 29 Cho F x là một nguyên hàm của hàm số     2

Câu 2: Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong y sinx, trục hoành và hai đường thẳng x 0,x 

Thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình này quanh trục trục Ox:

Câu 4: Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong y sinx, trục hoành và hai đường thẳng x 0,x 

Thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình này quanh trục trục Ox:

C. 335



D

2

32 3



Câu 6: Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong 2

y x y Thể tích của khối tròn xoay thu

được khi quay hình này quanh trục trục Ox:



Câu 7: Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong 2

y xx yx Thể tích của khối tròn xoay thu

được khi quay hình này quanh trục trục Ox:

y x y Thể tích của khối tròn xoay thu

được khi quay hình này quanh trục trục Ox:

2 2

xoay thu được khi quay hình này quanh trục trục Ox:

Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)