Các dạng phương trình lượng giác

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN -NGÔ THỊ THÚY ĐỀ TÀI CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ K

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-NGÔ THỊ THÚY

ĐỀ TÀI CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Lê Đình Định

HÀ NỘI - 2015

Mở đầu

Lượng giác là chuyên đề quan trọng trong chương trình toán phổ thông Các bài toán lượng giác thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng

Việc giảng dạy lượng giác đã được đưa vào chương trình từ lớp 10 bậc trung học phổ thông, trong đó phần kiến thức về phương trình lượng giác chiếm vai trò trọng tâm Tuy nhiên, do thời gian hạn hẹp của chương trình phổ thông, không nêu được đầy đủ chi tiết tất cả các dạng bài toán về phương trình lượng giác Vì vậy học sinh thường gặp nhiều khó khăn khi giải các bài toán nâng cao về phương trình lượng giác trong các đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng Mặc dù đã có nhiều tài liệu tham khảo về lượng giác với các nội dung khác nhau, nhưng chưa có chuyên đề riêng khảo sát về phương trình lượng giác một cách hệ thống

Đặc biệt, nhiều dạng toán về đại số và lượng giác có quan hệ chặt chẽ, khăng khít với nhau , không thể tách rời được Nhiều bài toán lượng giác cần có sự trợ giúp của đại số, giải tích và ngược lại, ta có thể dùng lượng giác để giải một số bài toán

về phương trình, bất phương trình và hệ phương trình trong đại số thông qua cách đặt ẩn phụ là những hàm lượng giác

Do đó, để đáp ứng nhu cầu về giảng dạy, học tập và góp phần nhỏ bé vào sự

nghiệp giáo dục, luận văn “ Các dạng phương trình lượng giác” nhằm hệ thống

các kiến thức cơ bản về phương trình lượng giác, đồng thời kết hợp với các kiến thức đại số, giải tích để tổng hợp, chọn lọc và phân loại các phương pháp giải

phương trình và xây dựng một số lớp bài toán mới

Luận văn được chia làm 2 chương

Chương I Các dạng phương trình lượng giác

- Hệ thống lại các dạng phương trình lượng giác cơ bản

- Đưa ra một số mẹo để giải phương trình lượng giác

- Đưa ra cách giải một số phương trình lượng giác không mẫu mực

Chương II Ứng dụng

- Trình bày một số ứng dụng của lượng giác trong một số dạng toán đại số

- Nêu các ví dụ minh họa đối với từng dạng toán

- Nêu một số bài tập ứng dụng

Luận văn được hoàn thành với sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của TS Lê Đình Định, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - ĐHQGHN Từ đáy lòng mình, tôi xin được bày

tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với sự quan tâm, động viên và sự chỉ bảo hướng dẫn nhiệt tình, chu đáo của thầy trong suốt thời gian tôi thực hiện luận văn này

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành của mình đến quý Thầy Cô giáo trong khoa Toán – Cơ – Tin, phòng Sau Đào Tạo Trường Đại Học Khoa học Tự Nhiên – ĐHQGHN, đặc biệt là những Thầy Cô giáo đã từng giảng dạy ở lớp PPTSC, khóa học 2013 – 2015 Cảm ơn Thầy Cô đã truyền cho tôi kiến thức và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại khoa Đồng thời, tôi xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao Học Toán PPTSC, khóa học 2013 - 2015 đã động viên, giúp tôi có cơ hội thảo luận và trình bày về một

số vấn đề trong luận văn của mình

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn đến những người thân trong gia đình và bạn bè đã luôn ủng hộ và nhiệt tình giúp đỡ tôi trong thời gian vừa qua

Tuy nhiên, do sự hiểu biết của bản thân và khuôn khổ của luận văn thạc sĩ, nên chắc rằng trong quá trình nghiên cứu không tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong được

sự chỉ dạy và đóng góp ý kiến của Thầy Cô và độc giả quan tâm tới luận văn này

Hà Nội, ngày 18 tháng 11 năm 2015

Học viên

Ngô Thị Thúy

Mục lục

1 CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 5

1.1 Các phương trình lượng giác cơ bản 5

1.1.1 Dạng phương trình 5

1.1.2 Cách giải và biện luận 5

1.1.3 Các công thức lượng giác 7

1.1.4 Các ví dụ 10

1.1.5 Bài tập 12

1.2 Phương trình hạ bậc bậc 2 13

1.2.1 Dạng phương trình 13

1.2.2 Cách giải và biện luận 13

1.2.3 Các ví dụ 13

1.2.4 Bài tập 15

1.3 Phương trình bậc nhất dạng a cos x + b sin x = c 17

1.3.1 Dạng phương trình 17

1.3.2 Cách giải và biện luận 17

1.3.3 Các ví dụ 17

1.3.4 Bài tập 21

1.4 Phương trình bậc hai dạng a(f (x))2 + bf (x) + c = 0 23

1.4.1 Dạng phương trình 23

1.4.2 Cách giải 23

1.4.3 Các ví dụ 23

1.4.4 Bài tập 25

1.5 Phương trình đẳng cấp theo sin x và cos x 27

1.5.1 Dạng phương trình 27

1.5.2 Cách giải 27

1.5.3 Các ví dụ 27

1.5.4 Bài tập 29

1.6 Phương trình đối xứng theo sin x và cos x 31

1.6.1 Cách giải 31

1.6.2 Các kiến thức cần nhớ 31

1.6.3 Các ví dụ 31

1.6.4 Bài tập 33

1.7 Một số mẹo lượng giác 33

1.7.1 Đổi biến cos 2x = t hoặc sin 2x = t 33

1.7.2 Đổi biến t = sin x ± cos x 35

1.7.3 Đổi biến t = tanx 2 . 37

1.7.4 Bài tập 39

1.7.5 Đổi biến t = af (x) ± b f (x) với ab > 0, trong đó f (x) là hàm lượng giác hoặc biểu thức lượng giác 40

1.7.6 Bài tập 43

1.8 Phương trình lượng giác bậc cao 44

1.8.1 Dạng phương trình 44

1.8.2 Cách giải 44

1.8.3 Các ví dụ 44

1.8.4 Bài tập 47

1.9 Phương trình tích 49

1.9.1 Dạng phương trình 49

1.9.2 Cách giải 49

1.9.3 Các ví dụ 49

1.9.4 Bài tập 52

1.10 Các dạng phương trình không chính tắc 53

1.10.1 Phương pháp ước lượng 2 vế 53

1.10.2 Biến đổi vế trái của phương trình f (x) = 0 về tổng các hạng tử cùng dấu 56

1.10.3 Dùng bất đẳng thức để giải phương trình lượng giác 57

1.10.4 Dùng hàm số để giải phương trình lượng giác 61

2 ỨNG DỤNG 65 2.1 Ứng dụng lượng giác để chứng minh các đẳng thức, bất đẳng thức 65

2.1.1 Ví dụ 65

2.1.2 Bài tập 72

2.2 Ứng dụng lượng giác để giải phương trình đại số, bất phương trình đại số 74 2.2.1 Ví dụ 75

2.2.2 Bài tập 81

2.3 Ứng dụng lượng giác để giải hệ phương trình 82

2.3.1 Ví dụ 82

2.3.2 Bài tập 85

2.4 Ứng dụng lượng giác trong bài toán cực trị 86

2.4.1 Ví dụ 86

2.4.2 Bài tập 88

2.5 Nhận dạng tam giác 90

2.5.1 Ví dụ 90

2.5.2 Bài tập 94

2.6 Cực trị tam giác 95

2.6.1 Ví dụ 95

2.6.2 Bài tập 100

Chương 1

CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH

LƯỢNG GIÁC

1.1 Các phương trình lượng giác cơ bản

1.1.1 Dạng phương trình

Về nguyên tắc, nếu phương trình lượng giác giải được thì phải dẫn được một trong ba dạng phương trình lượng giác cơ bản sau:

sin x = m; cos x = m; tan x = m

Phương trình cot x = m ↔ tan x = 1

m(m 6= 0) Nhưng vì phương trình hay gặp nên ta viết luôn nghiệm của nó để tiện sử dụng

1.1.2 Cách giải và biện luận

1 Phương trình sin x = m

Nếu |m| > 1 thì phương trình vô nghiệm

Nếu |m| ≤ 1 thì phương trình có nghiệm là:

x = arcsin m + 2kπ

y = (π − arcsin m) + 2kπ (k ∈ Z) Hay gộp nghiệm ta được x = (−1)karcsin m + kπ, k ∈ Z

Trong đó arcsin m là cung α ∈h−π

2;

π 2

i

mà sin α = m

Đặc biệt:

• Nếu m = 0 thì x = kπ

• Nếu m = 1 thì x = π

2 + 2kπ (k ∈ Z)

• Nếu m = −1 thì x = −π

2 + 2kπ

Ví dụ 1 Giải phương trình: sin 3x = 1

2. Giải

Vì arcsin1

2 =

π

6 nên ta có:

sin 3x = sin π

6 ⇔





3x = π

6 + 2kπ 3x = 5π

6 + 2kπ

⇔







x = π

18+

2kπ 3

x = 5π

18 +

2kπ 3 (k ∈ Z)

2 Phương trình cos x = m

• Nếu |m| > 1 thì phương trình vô nghiệm

• Nếu |m| ≤ 1 thì phương trình có nghiệm là x = ± arccos m + 2kπ(k ∈ Z) Trong đó arccos m là cung α ∈ [0; π] mà cos α = m

Đặc biệt:

• Nếu m = 0 thì x = π

2 + kπ

• Nếu m = 1 thì x = 2kπ (k ∈ Z)

• Nếu m = −1 thì x = π + 2kπ

Ví dụ 2 Giải phương trình: cos x =

√ 2

2 . Giải

Vì arccos

√

2

2 =

π

4 nên ta có: cos x =

cos π

4 ⇔ x = ±π

4 + 2kπ (k ∈ Z)

3 Phương trình tan x = m (cos x 6= 0)

Phương trình có nghiệm x = arctan m + kπ Trong đó arctan m là cung α ∈ (−π

2;

π

2)

mà tan α = m

Ví dụ 3 Giải phương trình tan 5x =√

3

Vì arctan√

3 = π

3 nên ta có:

tan 5x = tanπ

3 ⇔ 5x = π

3 + kπ ⇔ x =

π

15 + kπ

5 , (k ∈ Z)

4 Phương trình cot x = m (sin x 6= 0)

Phương trình có nghiệm x = arccot m + kπ Trong đó arccot m là cung α ∈ (0; π) mà cot α = m

Ví dụ 4 Giải phương trình: cot 4x = 1

Giải

Vì arccot 1 = π

4 nên ta có:

cot 4x = cotπ

4 ⇔ 4x = π

4 + kπ ⇔ x =

π

16 +

kπ

4 (k ∈ Z)

Chú ý:

• Nếu sin x = sin a thì nghiệm là x = a + k2π hoặc x = (π − a) + k2π (k ∈ Z)

• Nếu cos x = cos a thì nghiệm là x = ±a + k2π (k ∈ Z)

• Nếu tan x = tan a thì nghiệm là x = a + kπ (k ∈ Z)

• Nếu cot x = cot a thì nghiệm là x = a + kπ (k ∈ Z)

Ví dụ 5 Giải phương trình cos 2x = sin 3x

Giải

Ta có:

cos 2x = cos(π

2 − 3x)

⇔





2x = π

2 − 3x + k2π 2x = 3x −π

2 + k2π

⇔ x = π

10+ k

2π 5

⇔ x = π

2 − 2kπ (k ∈ Z)

1.1.3 Các công thức lượng giác

Giải phương trình lượng giác là dùng các công thức lượng giác để biến đổi tương đương phương trình về dạng các phương trình cơ bản

Chú ý là trong lượng giác có 3 công thức cơ bản sau:

(1) sin2x + cos2x = 1∀x

(2) sin(a ± b) = sin a cos b ± sin b cos a và cos(a ± b) = cos a cos b ± sin a sin b

(3) tan x = sin x

cos x (cos x 6= 0).

Các công thức khác đều suy được từ 3 công thức trên Chẳng hạn nên lưu ý các công thức sau:

(4) Công thức góc nhân đôi

Trong (2) cho a = b = x ta được:

sin 2x = 2 sin x cos x cos 2x = cos2x − sin2x

Lại lưu ý (1) và (3) ta được:

cos 2x = 2 cos2x − 1 = 1 − 2 sin2x tan 2x = sin 2x

cos 2x =

2 sin x cos x cos2x − sin2x = 2 tan x

1 − tan2x

(chia cả tử số và mẫu số cho cos2x)

(5) Công thức chia đôi

Trong (4) thay x = x

2 ta được:

sin x = 2 sinx

2cos

x 2 cos x = cos2 x

2 − sin2x

2 = 2 cos

2 x

2 − 1 = 1 − 2 sin2 x

2

tan x =

2 tanx 2

1 − tan2 x

2

= 2t

1 − t2 trong đó t = tanx

2.

(6) Công thức hạ bậc

Trong (4) giải cos2x, sin2x theo cos x ta được:

cos2x = 1 + cos 2x

2 sin2x = 1 − cos 2x

2 (7) Công thức nhân ba

Trong (2), cho a = 2x, b = x và dùng công thức (4) ta được:

sin 3x = −4 sin3x + 3 sin x cos 3x = 4 cos3x − 3 cos x

(8) Biến đổi tổng thành tích

Trong (2) đặt a + b = x; a − b = y, khi đó a = x + y

2 ; b =

x − y

2 và ta được:

sin x + sin y = 2 sinx + y

2 cos

x − y 2 sin x − sin y = 2 cosx + y

2 sin

x − y 2 cos x + cos y = 2 cosx + y

2 cos

x − y 2 cos x − cos y = −2 sinx + y

2 sin

x − y

2 . (9) Biến đổi tích thành tổng

Từ công thức (2) suy ra được:

sin a sin b = 1

2[cos(a − b) − cos(a + b)]

sin a cos b = 1

2[sin(a − b) + sin(a + b)]

cos a cos b = 1

2[cos(a − b) + cos(a + b)].

(10) Từ công thức (2) có thể suy ra các công thức lệch pha sau:

sin(π

2 − x) = cos x cos(π

2 − x) = sin x tan(π

2 − x) = cot x cot(π

2 − x) = tan x sin(π

2 + x) = cos x cos(π

2 + x) = − sin x tan(π

2 + x) = − cot x cot(π

2 + x) = − tan x sin(x + 2π) = sin x cos(x + 2π) = cos x tan(x + π) = tan x cot(x + π) = cot x sin[x + (2k + 1)π] = − sin x cos[x + (2k + 1)π] = − cos x tan[x + (2k + 1)π] = tan x cot[x + (2k + 1)π] = cot x

Kết luận

Mục tiêu của luận văn “các dạng phương trình lượng giác“ nhằm hệ thống các kiến thức cơ bản của lượng giác về phương trình, kết hợp kiến thức đại số, giải tích

để tổng hợp, chọn lọc và phân loại các phương pháp giải phương trình lượng giác

Luận văn đã đạt được một số kết quả chính như sau:

- Hệ thống các dạng phương trình lượng giác cơ bản và nêu phương pháp giải

- Đưa ra phương pháp giải một số phương trình lượng giác không mẫu mực

- Đưa ra một số ứng dụng của lượng giác trong việc giải quyết một số bài toán

về đa thức bậc cao, phương trình vô tỉ, chứng minh đẳng thức, bất đẳng

thức

Phần cuối của luận văn, tác giả đưa một số dạng toán của đại số và giải tích được giải bằng phương pháp lượng giác hóa và được minh họa bởi các ví dụ cụ thể được chọn lọc trên các đề thi, tạp chí toán học

Tài liệu tham khảo

[1] Lê Đình Thịnh-Lê Đình Định (2011), Ôn luyện Toán sơ cấp Tập hai: Lượng giác, hình học, tích phân, tổ hợp, xác suất và số phức, Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam

[2] Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên),Trần Nam Dũng, Nguyễn Vũ Lương, Nguyễn Minh Tuấn (2008)), Chuyên đề chọn lọc: Lượng giác và áp dụng, Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam

[3] Nguyễn Vũ Lương (Chủ biên), Nguyễn Hữu Độ, Phạm Văn Hùng, Nguyễn Ngọc Thắng (2008), Lượng giác, Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam

[4] Phan Huy Khải (2009), Lượng giác, Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam

[5] Tạp chí Toán học và tuổi trẻ