Nguyên Hàm 1−2
Nếu hai hàm số u(x) và v(x) có đạo hàm liên tục trên khoảng K thì :
u(x).v (x).dx′
∫ = u(x).v(x) − ∫u (x).v(x).dx′ ; gọn ∫u.dv= u.v − ∫v.du
Ví dụ 1: Tính I= ∫(1 2x).e dx− x
Đặt u =1−2x => du= −2dx
dv=ex.dx => v=ex
x
(1 2x).e dx−
∫ =(1−2x).ex +2∫e dxx =(1−2x).ex +2.ex +C = (3−2x).ex +C Bài tập 1: Tính a) ∫x.e dx−x b) ∫(5x 2).e dx− 3x
c) ∫(4 3x).e dx− 5x d) ∫(x 3).e+ −2x.dx
Ví dụ 2: Tính K= (x 3).sin(3x).dx∫ +
Giải : Đặt u=x +3 => du=dx
dv=sin3x.dx => v= −1
3cos3x K=−1
3(x+3).cos3x +1
3 ∫cos(3x).dx= 1
3(x+3).cos3x +1
9sin3x +C Bài tập 2: Tính : a) ∫(2x 3).cos 2x.dx− b) x.sin dxx
3
∫
c) (5 3x).sin 4x.dx∫ − d) (6x 1).cos4x.dx∫ + e) ∫(7 3x).cos x.dx− 2
g) ∫(4x 9).sin x.dx− 2 h) ∫x cos(3x).dx2 i) (3 4x).cos2x.dx
3
−
∫
Ví dụ 3: Tính : I= x.ln(1 x).dx∫ −
Giải : Đặt u =ln(1−x) => du= − 1
1 x− dx =
1
x 1− dx dv=x.dx => v=x2
2 I= x.ln(1 x).dx∫ − =x2
2 ln(1−x) −
2
x dx 2(x 1)−
2 ln(1−x)− ( x1 1 1 ).dx
2 + +2 2(x 1)
−
∫
=x2
2 ln(1−x)−x2
4 −1
2x−1
2ln x 1− +C Bài tập 3: Tính a) ∫ x.ln x.dx b) ∫(3x2− +x 5).l n(x 1).dx+
c) ∫(x2+1).l n(x 2).dx+ d) ∫(2x 1).ln x.dx− 2
e) x.ln1 x.dx
1 x
+
−
cos x
−
sin x
−
∫